高中數(shù)學(xué)必修二《第八章 立體幾何初步》同步練習(xí)

《第八章立體幾何初步》同步練習(xí)

8.1基本立體圖形

第1課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.下列幾何體中，柱體有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

答案D

解析根據(jù)棱柱的定義知，這4個(gè)幾何體都是棱柱.

2.下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個(gè)棱柱的是（）

答案D

解析圖A缺少一個(gè)面;圖B有五個(gè)側(cè)面而兩底面是四邊形，多了一個(gè)側(cè)面;

圖C也是多一個(gè)側(cè)面，故選D.

3.具有下列哪個(gè)條件的多面體是棱臺(tái)（）

A.兩底面是相似多邊形的多面體

B.側(cè)面是梯形的多面體

C.兩底面平行的多面體

D.兩底面平行，側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)的多面體

答案D

解析棱臺(tái)是由棱錐截得的，因此一個(gè)幾何體要是棱臺(tái)應(yīng)具備兩個(gè)條件：

是上、下底面平行，二是各側(cè)棱延長后必須交于一點(diǎn)，選項(xiàng)C只具備一個(gè)條件,

選項(xiàng)A,B則兩條件都不具備.

4.某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案相同的正方體禮品盒（如圖），則這個(gè)正方體禮

品盒的表面展開圖應(yīng)該為（

B

答案A

解析兩個(gè)國不能并列相鄰，B、D錯(cuò)誤；兩個(gè)區(qū)］不能并列相鄰，C錯(cuò)誤.故

選A.也可通過實(shí)物制作檢驗(yàn)來判定.

5.下列三種敘述，其中正確的有（）

①兩個(gè)底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；

②如圖所示，截正方體所得的幾何體是棱臺(tái)；

③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是梯形的六面體是棱臺(tái).

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

答案A

解析①不正確，因?yàn)椴荒鼙ＷC各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)；②不正確，因?yàn)?/p>

側(cè)棱延長后不交于一點(diǎn)；③不正確，因?yàn)樗鼈兊膫?cè)棱延長后不一定交于一點(diǎn).

二、填空題

6.對(duì)棱柱而言，下列說法正確的序號(hào)是.

①有兩個(gè)平面互相平行，其余各面都是平行四邊形；②所有的棱長都相等；

③棱柱中至少有2個(gè)面的形狀完全相同；④相鄰兩個(gè)面的交線叫做側(cè)棱.

答案①③

解析①正確，根據(jù)棱柱的定義可知；②錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱與底面上的棱長不

一定相等；③正確，根據(jù)棱柱的特征知，棱柱中上下兩個(gè)底面一定是全等的，棱

柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同；④錯(cuò)誤，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面的交線不是側(cè)棱.

7.如圖，正方形46口中，E,尸分別為切，比的中點(diǎn)，沿AF,）將其

折成一個(gè)多面體，則此多面體是.

答案三棱錐（或四面體）

解析此多面體由四個(gè)面構(gòu)成，故為三棱錐，也叫四面體.

8.長方體4G的長、寬、高分別為3、2、1,從/到G沿長方體的表面的最

短距離為.

答案372

解析如圖，在長方體極區(qū)6〃中，AB=3,BC=2,微=1.如圖⑴所

示，將側(cè)面力的4和側(cè)面展開，貝U有ACl=yf^+?=yj2Q,即經(jīng)過側(cè)面ABB4

和側(cè)面6SA時(shí)的最短距離是回；

如圖⑵所示，將側(cè)面1微4和底面45G〃展開，則有陽=亞百=3m,

即經(jīng)過側(cè)面4防4和底面4為G〃時(shí)的最短距離是3色;

如圖（3）所示，將側(cè)面/加4和底面464〃展開，

則有/&=后百=2乖，即經(jīng)過側(cè)面和底面43G〃時(shí)的最短距離是

2乖.

由于3鏡＜2或〈便，

所以由1到C在長方體表面上的最短距離為隊(duì)也.

I：G

G

4i_____f,

---------氏

BCA1--------------1B

I)

(I)⑵

三、解答題

9.如圖所示，在底面為正三角形的直三棱柱力a'—43G中，AB=2,44=2,

從頂點(diǎn)8沿棱柱側(cè)面(經(jīng)過棱用)到達(dá)頂點(diǎn)C，與力4的交點(diǎn)記為"求：

(1)此三棱柱側(cè)面展開圖的對(duì)角線長；

⑵從點(diǎn)8經(jīng)過點(diǎn)"到點(diǎn)G的最短路線長及此時(shí)部I勺值.

解沿側(cè)棱仍將正三棱柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)矩形園8'8,(如圖).

⑴矩形的8'B'的長曲'=6,寬的=2,

所以三棱柱側(cè)面展開圖的對(duì)角線長為

^62+22=2VIO.

(2)由側(cè)面展開圖可知，當(dāng)B,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，從點(diǎn)8經(jīng)過點(diǎn)物到達(dá)點(diǎn)C

的路線最短，

所以最短路線長為園=蔣踵=2擊.

顯然Rt△然儂所以4"=4加即啖=1.

AM

L.1/

所以從點(diǎn)5經(jīng)過點(diǎn)，"至點(diǎn)G的最短路線長為2事,此時(shí)無=L

能力提升訓(xùn)練

1.下列說法正確的是（）

A.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)

B.兩底面平行，并且各側(cè)棱也互相平行的多面體是棱柱

C.棱錐的側(cè)面可以是四邊形

D.棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面

答案B

解析A中所有側(cè)棱不一定交于一點(diǎn)，故A不正確；B正確；C中棱錐的側(cè)面

一定是三角形，故C不正確；D中棱柱的側(cè)面也可能平行，故D不正確.

2.在一個(gè)長方體的容器中，里面裝有少量水，現(xiàn)將容器繞著其底部的一條棱

傾斜，在傾斜的過程中：

（1）水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形,

對(duì)嗎？

（2）水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_(tái)或棱錐，對(duì)嗎？

（3）如果傾斜時(shí)，不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底部的一個(gè)頂點(diǎn)，上面

的第（1）題和第（2）題對(duì)不對(duì)？

解（1）不對(duì);水面的形狀就是用一個(gè)與棱（傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱）平行的平面

截長方體時(shí)截面的形狀，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四邊形.

（2）不對(duì);水的形狀就是用與棱（將長方體傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱）平行的平面將

長方體截去一部分后，剩余部分的幾何體，此幾何體是棱柱，水比較少時(shí)，是三

棱柱，水多時(shí)，可能是四棱柱，或五棱柱；但不可能是棱臺(tái)或棱錐.

（3）用任意一個(gè)平面去截長方體，其截面形狀可以是三角形，四邊形,五邊形，

六邊形，因而水面的形狀可以是三角形，四邊形，五邊形，六邊形；水的形狀可

以是棱錐，棱柱，但不可能是棱臺(tái).故此時(shí)（1）對(duì)，（2）不對(duì).

第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球和簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.下列幾何體是簡單組合體的是（）

答案D

解析A項(xiàng)中的幾何體是圓錐,B項(xiàng)中的幾何體是圓柱,C項(xiàng)中的幾何體是球，

D項(xiàng)中的幾何體是一個(gè)圓臺(tái)中挖去一個(gè)圓錐，是簡單組合體.

2.給出下列命題：①圓柱的底面是圓；②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一

個(gè)矩形；③連接圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段是圓柱的母線；④圓柱的任意

兩條母線互相平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析本題的判斷依據(jù)是圓柱的定義及結(jié)構(gòu)特征.①中圓柱的底面是圓面，

而不是圓，故①錯(cuò)誤；②和④中，圓柱有無數(shù)條母線，它們平行且相等，并且母

線都與底面垂直，②④正確；③中連接圓柱上、下底面圓周上兩點(diǎn)的線段不一定

與圓柱的軸平行，故③錯(cuò)誤.故選B.

3.如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為

（）

A.一個(gè)球體

B.一個(gè)球體中間挖去—個(gè)圓柱

C.一個(gè)圓柱

D.一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長方體

答案B

解析圓面旋轉(zhuǎn)一周形成球，圓中的矩形旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓柱，所以選B.

4.若用長為4,寬為2的矩形作側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，則此圓柱軸截面的面積

為()

842

A.8B.—C.—D.一

JTJTJT

答案B

4

解析若4為底面周長，則圓柱的高為2,此時(shí)圓柱的底面直徑為反，其軸

OO

截面的面積為瓦；若底面周長為2,則圓柱高為4,此時(shí)圓柱的底面直徑為瓦，其

O

軸截面的面積也為盛.

5.兩平行平面截半徑為5的球，若截面的面積分別為9允和16兀，則這兩

個(gè)平面間的距離是()

A.1B.7C.3或4D.1或7

答案D

解析如圖⑴所示，若兩個(gè)平行平面在球心同側(cè)，則但病二孕一花彳

=1.如圖(2)所示，若兩個(gè)平行平面在球心兩側(cè)，則CZ?=^52-32+-V52-42=7.

故選D.

B8

(1)(2)

二、填空題

6.已知圓錐的底面半徑為1cm,高為嫡cm,其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)接正方體,

則這個(gè)內(nèi)接正方體的棱長為.

答案當(dāng)cm

解析過圓錐的頂點(diǎn)S和正方體底面的一條對(duì)角線切作圓錐的截面,得圓錐

的軸截面必汽，正方體對(duì)角面儂G,如圖所示.

設(shè)正方體棱長為xcm,

則CC\—xcm,C口=\^xcm,

作SO_L￡F于0,則S0=\[2cm,0E=\cm,

CC\EC\

'：△AECCrXAESO,.??==石，

SOEO

x2”、歷、歷

即痘=―「，，戶彳，即內(nèi)接正方體棱長為愕cm.

7.過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的截面，則截面的面積與球的一

個(gè)大圓面積之比為.

答案3：4

解析令球的半徑為2r,則截面的半徑為譙八截面的面積為3n?,大圓

的面積為4"產(chǎn),所以它們的面積之比為3：4.

8.一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過球心作一截面,則截面的可能圖形有

答案①②③

解析當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)得③，當(dāng)截面過正方體的對(duì)角線時(shí)

得②，當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面也不過對(duì)角線時(shí)得①，但無論如何都不能截出④.

三、解答題

9.如圖所示，已知圓錐的母線長為6cm,底面直徑為3cm,在母線如上有

一點(diǎn)8,AB=2cm,求由力點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周到8點(diǎn)的最短距離.

0

解設(shè)側(cè)面展開的扇形圓心角為〃.

由題意知底面周長為3“cm,

則黑-=3“，解得〃=90°?

loU

如圖，在展開扇形中，

ZA0B'=90°,OB'=4cm.

在Rt△業(yè)煙中，

AB'=^A0+B'&=^/62+42=2713cm.

故由/點(diǎn)繞圓錐側(cè)面一周到6點(diǎn)的最短距離為2棟cm.

能力提升訓(xùn)練

1.由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對(duì)接形成的軸對(duì)稱平面圖形如圖

所示，若將它繞軸旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體，則下面說法不正確的是（）

A.該組合體可以分割成圓臺(tái)、圓柱、圓錐和兩個(gè)球體

B.該組合體仍然關(guān)于旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱

C.該組合體中的圓錐和球只有一個(gè)公共點(diǎn)

D.該組合體中的球和半球只有一個(gè)公共點(diǎn)

答案A

解析等腰梯形旋轉(zhuǎn)形成的是圓臺(tái)，矩形旋轉(zhuǎn)形成的是圓柱，半圓旋轉(zhuǎn)形成

的是半球，圓旋轉(zhuǎn)形成的是球，倒三角形旋轉(zhuǎn)形成的是圓錐.

2.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，軸截面的面積等于392cm）

母線與軸的夾角是45°,求這個(gè)圓臺(tái)的高、母線長和兩底面的半徑.

解圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為xcm,3xcm,

延長力4交0。的延長線于S,

在中，ZASO=45°,則N￡k?=45°,

所以S0=A0=3x,SQ=4Q=x,所以0Q=2x.

又S軸截面=J(6x+2x)?2x=392,所以x=7.

所以圓臺(tái)的高0Q=14(cm),母線長1=*0Q=14*(cm),

兩底面的半徑分別為7cm,21cm.

8.2立體圖形的直觀圖

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.水平放置的△/6C，有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是正三角形

A'B'C,則△48。是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.任意三角形

答案C

解析如圖所示，斜二測直觀圖還原為平面圖形，故△/勿是鈍角三角形.

2.如圖所示，△/'O'B'表示水平放置的△兒班的直觀圖，B'在*'軸上,

A'0'和『軸垂直，且，0'=2,則△4后的邊加上的高為（）

A.2B.4C.2^2D.4^2

答案D

解析由直觀圖與原圖形中邊仍長度不變，得S原圖形=2鏡S直觀圖，即90B?h

=2y[2X^X2-O'B','：0B=0'B',；"=4乖.

3.已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，直觀圖中有一邊長為4,則

此正方形的面積是（）

A.16B.64

C.16或64D.都不對(duì)

答案C

解析直觀圖中一條邊長為4,此邊可能在x'軸上，也可能在/軸上.若

在X’軸上，則原正方形的邊長為4,面積為16；若在/軸上，則原正方形的邊

長為8,面積為64.故選C.

4.如圖，用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，

則原來圖形的形狀是（）

V'I

答案A

解析在直觀圖中，其一條對(duì)角線在，軸上且長度為明，所以在原圖形中

其中一條對(duì)角線必在y軸上，且長度為人「，所以A正確.

5.已知兩個(gè)圓錐，底面重合在一起,其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為2cm,

另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3cm,則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離為

()

C.2.5cmD.5cm

答案D

解析兩頂點(diǎn)間的距離為2+3=5(cm),與z軸平行(或在z軸上)的線段在

直觀圖中長度不變，仍為5cm.故選D.

二、填空題

6.如圖所示為一個(gè)水平放置的正方形4^0,在直角坐標(biāo)系xa中，點(diǎn)8的

坐標(biāo)為(2,2),則在用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)6'到V軸的

距離為.

答案平

解析點(diǎn)B'到V軸的距離等于點(diǎn)A'到V軸的距離d,而O'A'=^0A

7.如圖是水平放置的△/勿在坐標(biāo)系中的直觀圖，其中〃'是/C的中點(diǎn),

且N/330°,則原圖形中與線段做的長相等的線段有條.

答案2

解析為直角三角形，因?yàn)椤榱?。的中點(diǎn)，所以BD=AD=CD,所以與

劭的長相等的線段有兩條.

8.如圖，四邊形物回是上底為2,下底為6,底角為45°的等腰梯形，用

斜二測畫法，畫出這個(gè)梯形的直觀圖O'A'B'C,在直觀圖中梯形的高為

答案

2

解析由原圖形可知以=6,BC=2,N6W=45°,則切=2,則直觀圖中的

高力'=CD'sin45°=1X^=乎.

乙乙

三、解答題

9.如圖，是用斜二測畫法得到的某個(gè)四邊形的直觀圖，其中四邊形

A'B'CD'是邊長為1的正方形，且對(duì)角線/C在水平位置，試畫出該四邊

形的真實(shí)圖形并求出其面積.

D'

解四邊形/四的真實(shí)圖形如圖所示,

\'A'C在水平位置，A'B'CD'為正方形,

A'C=//CB'=45°，

...在原四邊形/版中,

DALAC,ACLBC,

?:DA=2D'A'=2,AC=A'C=/,

：.S四邊形ABC!）=AC-AD=2班.

10.用斜二測畫法畫出下列圖形的直觀圖（不寫畫法）.

①正方形48C0

③正△48C④平行四邊形。48C

解

y

能力提升訓(xùn)練

i.如圖，在斜二測畫法下，兩個(gè)邊長為1的正三角形/寬的直觀圖不是全等

三角形的一組是()

答案c

解析根據(jù)斜二測畫法知在A,B,D中，正三角形的頂點(diǎn)43都在X軸上，

點(diǎn)C由48邊上的高線確定，所得直觀圖是全等的；對(duì)于C,左側(cè)建系方法畫出的

直觀圖，其中有一條邊長為原三角形的邊長，但右側(cè)的建系方法中所得的直觀圖

中沒有邊與原三角形的邊長相等，由此可知不全等.

2.(1)已知的直觀圖△/'B'C是邊長為a的正三角形.求原△48。

的面積；

(2)如圖，△/B'C是水平放置的△4%'斜二測畫法的直觀圖，能否判斷

△/8C的形狀;

(3)若(2)中B'C的?C=6,B'C=4,則4?邊的實(shí)際長度是多

少？

(4)若已知一個(gè)三角形的面積為S,則它的直觀圖的面積是多少？

.12asin60°A/6,

解⑴S△『于*sin45°=2

(2)由斜二測畫法規(guī)則知N/"=90°,故為直角三角形.

(3)由已知得△/優(yōu)中，AC=6,BC=R,故46=勺初+86a=10.

(4)原三角形面積為5=：劭心為三角形的底，力為三角形的高)，畫直觀圖后,

乙

8.3簡單幾何體的表面積與體積

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.設(shè)正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為乖，那么它的體積為()

A.6mB.^3C.2小D.2

答案B

解析由正六棱錐的底面邊長為1和側(cè)棱長為乖，可知高h(yuǎn)=2,又因?yàn)榈?/p>

面積S=￥^,所以體積，=；S/7=1X"^X2=，5.

乙*jozS

2.將一個(gè)棱長為a的正方體切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了

()

A.6才B.12a2C.18a2D.24才

答案B

解析棱長為a的正方體的表面積為S=6a2,由棱長為a的正方體切成的27

個(gè)全等的小正方體的表面積和為S=27x[6x[fj|=18a2,因此表面積增加了12a2,

故選B.

3.在正方體/靦一464〃中，三棱錐〃一46C的表面積與正方體的表面積

的比為（）

A.1：1B.1：^2

C.1：小D.1：2

答案C

解析如圖，三棱錐〃一48。的各面均是正三角形，其邊長為正方體的面對(duì)

1

S-㈤2X

角線.設(shè)正方體的棱長為a,則面對(duì)角線長為鏡a,錐2

2M53,S正方體=6a;故S他：S正方體=1：-,^3.

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

側(cè)視圖

560580

A.B.-T-

O

C.200D.240

答案C

解析由三視圖可作出如圖所示幾何體，該幾何體為直四棱柱，其底面為等

腰梯形，上底長為1,下底長為9,高為4,故底面積S=9號(hào)2=20.又棱柱

的高為10，所以體積，=々7=20X10=200.

5.如圖，已知正三棱錐S—/6C的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO

=3,則此正三棱錐的表面積為（）

A.9^3B.18^3

C.27^3D.36

答案C

解析如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為a,斜高為〃，過點(diǎn)。作施工

與48交于點(diǎn)反連接跖，則宏L/8,SE=h'.

?1Q//2s。

3a*h=才（9Xsz2.

.".a=y/3/i'.

,：SOLOE,:.sG+oE=sE.

.力十憐X?\=h'\

：.h'=2餡，：.a=yjih'=6.

:?S般=1~孑="^~X.H,S|?=2S底=18^/5.

...S表=S?9+S底=18m+94=27，1

二、填空題

6.用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為1的正方體禮品盒完全包住,不將紙撕開,

則所需紙的最小面積是.

答案8

解析如圖（1）為棱長為1的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式

展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖（2）所示，由圖

知正方形的邊長為2m，其面積為&

(1)

7.如圖所示，在三棱柱48。一/'B'C中，若E,尸分別為47,的中點(diǎn)，

平面比B,/將三棱柱分成體積為/（棱臺(tái)4EF—/'CB'的體積），%（幾何體

BFECCB'的體積）的兩部分，那么匕：V2=.

答案7:5

解析設(shè)三棱柱的高為力，底面面積為S,體積為匕

則V=Vx+V2=Sh.

因?yàn)榉丛路謩e為力449的中點(diǎn)，所以叢

3（44）12

5

V2=V-V}=—Sh.

所以匕：V2=l：5.

8.已知正三棱錐的側(cè)面積是27cm2,底面邊長是6cm,則它的高是—

答案乖cm

解析如圖所示，正三棱錐尸一/回的底面邊長為6cm,

C

R

過點(diǎn)尸作HU平面力比；。為垂足，取的中點(diǎn)〃，連接外，0D.

由題意得3*AABXPD=Tl,

所以加=3cm.

又0D=^'XG=y[3cm,

所以它的高PO=NPI^-加=正工=#cm.

三、解答題

9.甲、乙是邊長為4a的兩塊正方形鋼板，現(xiàn)要將甲裁剪焊接成一個(gè)正四棱

柱，將乙裁剪焊接成一個(gè)正四棱錐，使它們的表面積都等于這個(gè)正方形的面積(不

計(jì)焊接縫的面積).

(1)將你的裁剪方法用虛線標(biāo)示在圖中，并作簡要說明；

(2)試比較你所制作的正四棱柱與正四棱錐體積的大小，并證明你的結(jié)論.

解(1)將正方形甲按圖中虛線剪開，以兩個(gè)正方形為底面，四個(gè)長方形為側(cè)

面，焊接成一個(gè)底面邊長為2a,高為a的正四棱柱.

將正方形乙按圖中虛線剪開，以兩個(gè)長方形焊接成邊長為2a的正方形為底面,

三個(gè)等腰三角形為側(cè)面，兩個(gè)直角三角形合拼成為一個(gè)側(cè)面，焊接成一個(gè)底面邊

長為2a,斜高為3a的正四棱錐.

⑵因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L為2a,高為a,

所以其體積％=(2"?a=4星

又因?yàn)檎睦忮F的底面邊長為2a,高為力=啊=3=2啦a,

所以其體積瞑=；(24?2蚯戶平星

OO

因?yàn)?2—%2=16—等等〉0,即4＞平，

所以4a：,〉乎熱所以%＞%，

O

故所制作的正四棱柱的體積比正四棱錐的體積大.

能力提升訓(xùn)練

1.已知長方體的表面積是24,所有棱長的和是24,則長方體的體對(duì)角線的

長是.

答案2小

解析設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z,

[2(xy+xz+yz)=24,\xy~\~xz~\~yz=12,

則有〈今＜

、14(x+y+z)=24[x+y+z=6,

則長方體的體對(duì)角線的長為

yjx+y+z=yl(x+y+z)~—2(xy+xz+yz)

=^36-24=2^3.

2.已知一個(gè)三棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為20cm和30cm的正三角形,

側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺(tái)的高和體

積.

解如圖所示，在三棱臺(tái)46。一/'B'C中，0',。分別為上、下底面的中

心，D,D'分別是BC,B'C的中點(diǎn)，連接00',A'D',AD,DD',則DD'

是等腰梯形夕的高,

記為人,所以

O'C'

SM=3X-X(20+30)A0=754.

上、下底面面積之和為

222

S上+S下=乎><(20+30)=325^/3(cm).

由S惻=S」：+S下，得75久=325餡，所以A,=^2(cm).

O

d,,1m10A/3Z、

又O'D'=-X^-X20=^-(cm),

。乙0

X當(dāng)X30=5m(cm),

O乙

記棱臺(tái)的高為力，則

h=0'O=yl/ii-(OD-O'D')2

1函

由棱臺(tái)的體積公式，可得棱臺(tái)的體積

(S上+S下+、SESF)=4^義

X20X30=1900(cm3).

8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積

第1課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4門，那么圓柱的體積等于()

A.nB.2nC.4nD.8n

答案B

h

解析由于側(cè)面積為4n,，2nr力=4m,且力=2r,，r=5=l,；.，=JT/力

=2n.

2.已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的

比是（）

答案A

解析設(shè)圓柱的底面半徑為r,則其底面的周長為2B八高為h=2"r,且S

3.若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為小，則這個(gè)圓錐的表面積

是（）

A.3gB.3^/5nC.6nD.9n

答案A

解析根據(jù)軸截面面積是小，可得圓錐的母線長為2,底面半徑為1,所以

5=nr+JIrl=n+2n=3n.

4.已知某幾何體的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

B.3n

D.6n

答案B

解析由題圖可知，此幾何體為從底面半徑為1,高為4的圓柱的母線的中

1Q

點(diǎn)處截去了圓柱的]后剩余的部分，所以％=[XnXl2X4=3n.

5.若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°,半徑為/的扇形，則這個(gè)圓錐的

表面積與側(cè)面積的比是()

A.3：2B.2：1C.4：3D.5：3

答案C

解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,WiJ<—2JI7=2n/，/=3r,.?.彩=-n/+--n-rl

3Swnrl

g)+3nl4

=-3n?—=亍

二、填空題

6.若圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)半徑為2的半圓，則圓錐的體積是.

答案土

解析易知圓錐的母線長，=2,設(shè)圓錐的底面半徑為r,

則2Jir=1x2nX2,；.r=l,.,.圓錐的高h(yuǎn)=?￥—#=木,則圓錐的體積

乙

K=-mr/i=^~z—.

0O

7.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.

tIH——2-Hir--H0.5H—2-

側(cè)視圖

答案38

解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是長為4,寬為3,高為1的長方體

內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1,高為1的圓柱后剩下的部分.

.?—=(4X1+3X4+3X1)X2+2nX1X1-2nXl2=38.

8.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為3,圓臺(tái)的側(cè)面

積為84n,則圓臺(tái)較小的底面半徑為.

答案7

解析設(shè)圓臺(tái)較小的底面半徑為r,因?yàn)閳A臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面

周長的3倍,所以圓臺(tái)較大的底面半徑為3r,母線長1=3,圓臺(tái)的側(cè)面積為84n,

所以5惻面積=n(r+3r)7=84n,解得r=7.

三、解答題

9.如圖，底面半徑為1,高為1的圓柱0a中有一內(nèi)接長方體46d4身

設(shè)矩形/靦的面積為S,長方體48W一434〃的體積為匕AB=x.

(1)將S表示為x的函數(shù)；

(2)求產(chǎn)的最大值.

解(1)連接AC,'：矩形ABCD內(nèi)接于。0,

.?.力。是。。的直徑.

'：AC=2,AB=x,:.BC=、4—V,

"：S=AB?BC=x^4-x(0<^<2).

(2『.?長方體的高44=1,

/.K=5*AAi==-\//(4—/)

=q——2)-'+4,

V0<K2,.\0</<4,

當(dāng)f=2,即矛=也時(shí)，取得最大值，此時(shí)監(jiān)x=2.

能力提升訓(xùn)練

1.若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面的高度為6cm,

若將這些水全部倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面的高度是

()

A.cmB.6cm

C.2^/18cmD.3^/12cm

答案B

解析水的體積，="X22X6=24n（cm：'）.設(shè)圓錐中水的底面半徑為r,則

水的高度為出?，#?45r=24",.".r=24^/3.

o

3=216,，/r=6,即圓錐中水面的高度為6cm.

2.養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已

建的倉庫的底面直徑為12m,高為4m,養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫，以

存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案:一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m（高不變）；

二是高度增加4m（底面直徑不變）.

（1）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積；

（2）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；

（3）哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？

解（1）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m,

則倉庫的體積

1,1f161256n3

如果按方案二，倉庫的高變成8m,

則倉庫的體積

11fl2\3

V2=-S/i=-XJTX—rX8=96nm'.

oo、乙）

（2）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m,半徑為8m.

棱錐的母線長/=后彳=4/，

則倉庫的表面積S=nX8X4/=324五m2.

如果按方案二，倉庫的高變成8m.

棱錐的母線長為7=A/82+62=10,

則倉庫的表面積S=g><6X10=60nm2.

（3）?.,%>%,W〈S,

方案二比方案一更經(jīng)濟(jì).

第2課時(shí)球的表面積和體積

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.已知棱長為2的正方體的體積與球。的體積相等，則球。的半徑為（）

答案D

4

解析設(shè)球。的半徑為r,則3n/=23,解得r=

2.用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為H,則球的表面

積為（）

答案c

解析設(shè)球的半徑為R,則截面圓的半徑為后二i,...截面圓的面積為S=

JT（6/—1）2=（#—1）JT=JT,：1=2,球的表面積S=4n#=8n.

3.一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長分別為3,4,5,則它的外接球的

表面積是（）

A.2（h/2nB.25鏡nC.50nD.200”

答案C

解析因?yàn)檫@個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以此三棱錐可視為一個(gè)

長方體的一個(gè)角（如圖所示），而且此長方體的外接球就是此三棱錐的外接球.設(shè)

此三棱錐的外接球的半徑為r,則有（2r）2=32+42+W=50,即4/=50,故它的

外接球的表面積是5=4n?=50n.

兀

4.如圖所示，扇形的中心角為了，其所在圓的半徑為/?,弦48將扇形分成

兩個(gè)部分，這兩部分各以力。為軸旋轉(zhuǎn)--周，若△46。旋轉(zhuǎn)得到的幾何體體積為憶

弓形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體積為1,則%:%的值為（）

0If

A.1：1B.2：1C.1：2D.1：4

答案A

解析△力必繞力。旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓錐，體積匕=；""，整個(gè)扇形

21

繞/。旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為半球，體積—可五"，于是v=v—^=-n

O2O

5.一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積

32n

為一【，那么這個(gè)正三棱柱的體積是（）

O

A.96V5B.16^3C.24^3D.48m

答案D

解析設(shè)正三棱柱的底面邊長為a,則球的半徑口=鳥焉=右,正三棱

326

3

……、N「44n（J3）,32JT廠市

柱的懸1為3-a.又Vtu=~n^=——X/=—r—./.且=4也.，/柱=3一

3336a3v4

x（4#）?X算X4m=48鏡.

o

二、填空題

6.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球（球的半徑與圓

柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是

_______cm.

X

答案4

解析設(shè)球的半徑為r,則圓柱形容器的高為6r,容積為n/X6r=6"冷

4

高度為8cm的水的體積為8幾片3個(gè)球的體積和為3X-JIr=4冗落由題意6兀/

O

—8n/=4n/,解得r=4cm.

7.已知如為球。的半徑，過力的中點(diǎn)"且垂直于物的平面截球面得到圓

必若圓，"的面積為3%則球。的表面積等于.

答案16n

解析設(shè)球。的半徑為/?,圓〃的半徑為r,由題意得廠=/，又球心到圓

的距離為今由勾股定理，得#=/+用2,R=2,則球的表面積為16n.

8.已知兩個(gè)正四棱錐有公共底面，且底面邊長為4,兩棱錐的所有頂點(diǎn)都在

同一個(gè)球面上，若這兩個(gè)正四棱錐的體積之比為1：2,則該球的表面積為

答案36JI

解析???兩正四棱錐有公共底，且體積比為1：2,

.?.它們的高之比為1：2,

設(shè)高分別為力,2力，球的半徑為則力+2力=3力=2/?,

又?.?底面邊長為4,

?"=切=圖+(2歷，

解得力=2,.,./?=3,.?.5球=4口#=36”.

三、解答題

9.如圖，46是半徑為A的球的直徑，。為球面上一點(diǎn)，且N陰。=30°,求

圖中陰影區(qū)域構(gòu)成的幾何體的全面積及其體積.

解如圖所示，過點(diǎn)C作于點(diǎn)

由題意可得N6G4=90°.

又/胡。=30°,AB=2R,

廠鋪3不

:"C=y]3R,BC=R,COX=~^rR,AO1=-R,BO\=~

乙乙乙

幾何體我=球錐AO側(cè)圓錐多側(cè)

??sS+s101l+s

=4n#+|n*+乎n口*,

幾何體的表面積為I1口

4。

又「球=鼻兀R,

O

V惱鑲的、=WBQ.nCZ^=-n#,

oo

15

---

***y幾何體=V球—（隹力。+2JI6

能力提升訓(xùn)練

1.已知正三棱柱的體積為345cm3,其所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，則球。

的表面積的最小值為cm'.

答案12n

解析球。的表面積最小時(shí)，球。的半徑斤最小.設(shè)正三棱柱的底面邊長為

a,高為b,則正三棱柱的體積—坐才，=3m，所以才力=12.底面正三角形所在

自.2,MaIJ112I)4ID2,2,1)

截面圓的半徑S，則=r+^=-+-=-X-+-=-+-=-+-+-

三3刈分|?*3,當(dāng)且僅當(dāng)%。，即Q2時(shí)，取等號(hào).又因?yàn)?＜伙2凡所以

(4)小=3.故球。的表面積的最小值為12n.

2.在半徑為15的球。內(nèi)有一個(gè)底面邊長為12小的內(nèi)接正三棱錐A-BCD,

求此正三棱錐的體積.

解①如圖甲所示的情形，顯然%=仍=%=切=15.設(shè)〃為△靦的中心，

則40,〃三點(diǎn)在同一條直線上.

'：HB=HC=HD=^：y^X\2^=\2,

：.0H=N()E—H#=9,

.?.正三棱錐/一8(力的高力=9+15=24.

又見頌=^X(1273)2=108^3,

，三棱錐月一改笫=^x108^3X24=864^/3.

O

②對(duì)于圖乙所示的情形，同理，可得正三棱錐力一8口的高力'=15-9=6,

S&BCD=108d5,

??V三枝鍍/1-陽〃=鼻乂108，^X6=216，5.

O

綜上，此正三棱錐的體積為864小或216小.

8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

8.4.1平面

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練

一、選擇題

1.能確定一個(gè)平面的條件是（）

A.空間三個(gè)點(diǎn)B.一個(gè)點(diǎn)和一條直線

C.無數(shù)個(gè)點(diǎn)D.兩條相交直線

答案D

解析不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面，A,B,C的條件不能保

證有不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，故不正確.

2.下面空間圖形畫法錯(cuò)誤的是（）

答案D

解析D中被遮住的線畫成了實(shí)線.

3.已知空間四點(diǎn)中，無三點(diǎn)共線，則經(jīng)過其中三點(diǎn)的平面有（）

A.一個(gè)B.四個(gè)

C.一個(gè)或四個(gè)D.無法確定平面的個(gè)數(shù)

答案C

解析當(dāng)空間四點(diǎn)共面時(shí)，它們確定一個(gè)平面；當(dāng)空間四點(diǎn)不共面時(shí)，每三

個(gè)點(diǎn)都可以確定一個(gè)平面，即四個(gè)平面.

4.給出下列四個(gè)命題：

①不共面的四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線；

②若點(diǎn)4B,C,〃共面，點(diǎn)B,C,少共面，則4B,C,D,￡共面；

③若直線a,6共面，直線a,c共面，則直線6,c共面；

④依次首尾相接的四條線段必共面.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線與直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面,

這與四點(diǎn)不共面矛盾，故不共面的四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確；②當(dāng)4

B,，共線時(shí)，結(jié)論可能不成立，所以②不正確；利用正方體模型，易知③不正確;

由空間四邊形，知④不正確.

5.如圖，平面平面￡=1,A,BGa,B,657,直線/8A

過力，B,C三點(diǎn)確定的平面為y,則平面y與B的交線必過（）

A.點(diǎn)/B.點(diǎn)8

C.點(diǎn)C,但不過點(diǎn)DD.點(diǎn)C和點(diǎn)〃

答案D

解析根據(jù)基本事實(shí)判定點(diǎn)C和點(diǎn)。既在平面￡內(nèi)又在平面Y內(nèi)，故在平

面￡與y的交線上.

二、填空題

6.已知力ea,國a,若[e],那么直線/與平面a有公

共點(diǎn).

答案1個(gè)

解析若1與a沒有公共點(diǎn)，則Ra,又AG1,所以點(diǎn)a與力6a矛盾；

若/與a有一個(gè)公共點(diǎn)，AGa,A&1,陰a,1可以同時(shí)成立，若/與。

至少有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則由基本事實(shí)2知/ua,又BG1,所以與反

。矛盾，所以/與。有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)4

7.如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線

面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的

“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是.

答案36

解析正方體的一條棱長對(duì)應(yīng)著2個(gè)“正交線面對(duì)”，12條棱長