5-3等比數(shù)列（復(fù)習(xí)講義）-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)擊1．等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為eq\f(an＋1,an)＝q.?(2)等比中項(xiàng)：如果a，G，b成等比數(shù)列，那么eq\o(G叫做a與b的等比中項(xiàng),\s\do4(?)).即G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝a1qeq\o(n－1,\s\do4(?)).(2)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(3)前n項(xiàng)和公式：3.等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)（1）若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).（2）若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．（3）在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.（4）{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…成等比數(shù)列．4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)若Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.二、典例分析模塊一等比數(shù)列的基礎(chǔ)例1.（1）已知等比數(shù)列滿足，，則A．21 B．42 C．63 D．84【分析】由已知，，，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求，然后在代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求．【解答】解：，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．（2）古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出這女子每天分別織布尺，由此利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，該女子所需的天數(shù)至少為多少天．【解答】解：設(shè)該女五第一天織布尺，則，解得，前天織布的尺數(shù)為：，由，得，解得的最小值為8．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．練習(xí)1.（1）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則A． B． C． D．【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)已知等式求出的值，進(jìn)而求出的值，表示出與，即可求出之比．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，解得：，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等比數(shù)列，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（2）我國(guó)古代數(shù)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對(duì)穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”上述問題中，兩鼠在第幾天相逢．A．3 B．4 C．5 D．6、【分析】利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：由題意可知：大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前天打洞之和為，同理，小老鼠每天打洞的距離，，解得，?。磧墒笤诘?天相逢．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．練習(xí)2.已知公比為的等比數(shù)列，且滿足條件，，，則A． B． C．或 D．【分析】解方程，得，，或，，由此能求出．【解答】解：公比為的等比數(shù)列，且滿足條件，，，，，是方程的兩個(gè)根，解方程，得，，或，，當(dāng)，時(shí)，，解得，．當(dāng)，時(shí)，，解得，不成立．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的第12項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．練習(xí)3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則A． B． C． D．【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用已知和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到，解出即可．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，解得．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵．模塊二等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)例1.已知為等比數(shù)列，，，則A．5 B．7 C． D．【解答】解：，，，解得，，或，．當(dāng)，，，，當(dāng)，．．故選：．練習(xí)1.已知為等比數(shù)列，，，則A．7 B．5 C． D．【解答】解：，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，或，當(dāng)，時(shí)，，，，當(dāng)，時(shí)，，則，綜上可得，故選：．例2.在等比數(shù)列中，，是方程的根，則的值為A． B．4 C．或 D．或4【解答】解：，是方程的根，，；或，．可知，．．則．故選：．練習(xí)1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，則A． B．7 C．6 D．【解答】解：；，，，，故選：．練習(xí)2.在等比數(shù)列中，，是方程的兩個(gè)根，則A． B． C． D．以上皆非【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：，是方程的兩個(gè)根，，，，則則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．練習(xí)3.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則A．12 B．10 C．8 D．【分析】由題意可得，由等比數(shù)列的性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得原式，化簡(jiǎn)可得．【解答】解：由題意可得，解之可得，故故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．練習(xí)4.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則的值為A．3 B．6 C．9 D．18【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得，從而，由此能求出．【解答】解：等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的前10項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．模塊三等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例1.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C．1 D．3【分析】由等比數(shù)列的前項(xiàng)和求出前3項(xiàng)，由此能求出利用等比數(shù)列中，，能求出．【解答】解：等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，等比數(shù)列中，，，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩數(shù)比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．練習(xí)1.若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為常數(shù)），則的值為A．2008 B．2009 C．2010 D．2011【分析】寫出數(shù)列的前3項(xiàng)，利用，求出的值，即可求出的值．【解答】解：等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的前項(xiàng)和，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．練習(xí)2.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則2．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，，可求．【解答】解：因?yàn)?，，結(jié)合等比數(shù)列和的特點(diǎn)可知，中，，故．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．例2.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則等于A．80 B．30 C．26 D．16【分析】利用等比數(shù)列的求和公式，整體思維，即可求得結(jié)論．【解答】解：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比等于，，，，，解得，．，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．練習(xí)1.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則A．16 B．19 C．20 D．25【分析】由等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，得，，成等比數(shù)列，即可得到，進(jìn)而得到．【解答】解：等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，成等比數(shù)列，，，，所以，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．練習(xí)2.等比數(shù)列的前5項(xiàng)和，前10項(xiàng)和，則它的前15項(xiàng)和________.【解析】法一：由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)，即(50－10)2＝10(S15－50)，解得S15＝210.法二：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，顯然q≠1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q5,1－q)＝10，①,\f(a11－q10,1－q)＝50，②))由①÷②得1＋q5＝5，所以q5＝4，代入①得eq\f(a1,1－q)＝－eq\f(10,3)，所以S15＝eq\f(a11－q15,1－q)＝－eq\f(10,3)×(1－43)＝210.【答案】210練習(xí)3.已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，,則()A． B．54 C．72 D．90【答案】D根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭歉黜?xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，所以也成等比數(shù)列，且公比為，所以，所以，因此，所以.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)，熟記性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.例3.等比數(shù)列中，公比則________.利用eq\f(S偶,S奇)＝q，及S2n＝S奇＋S偶求解.【自主解答】設(shè)S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.則eq\f(S1,S2)＝q＝3即S1＝3S2.又S1＋S2＝S80＝32，∴eq\f(4,3)S1＝32，解得S1＝24.即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.【答案】24練習(xí)1.等比數(shù)列共項(xiàng)，其和為，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大，則公比________.【解析】(1)根據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，,S偶＝－160，))∴q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(－160,－80)＝2.練習(xí)2.等比數(shù)列共項(xiàng)，它的全部各項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的倍，則公比________.【解析】設(shè){an}的公比為q，則奇數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q2，首項(xiàng)為a1，S2n＝eq\f(a11－q2n,1－q)，S奇＝eq\f(a1[1－q2n],1－q2).由題意得eq\f(a11－q2n,1－q)＝eq\f(3a11－q2n,1－q2).∴1＋q＝3，∴q＝2.【答案】2模塊四等比數(shù)列證明等比數(shù)列的判定方法定義法若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列中項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列通項(xiàng)公式法若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式法若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列例1.已知數(shù)列滿足，且，．（1）求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】（1）對(duì)進(jìn)行變形處理得到：，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）根據(jù)是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列來(lái)推知數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解答】（1）證明：由已知得：，因?yàn)?，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）知，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推式，考查構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考查數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造法證明等比數(shù)列．練習(xí)1.已知數(shù)列滿足，．證明：是等比數(shù)列；【分析】直接利用定義法進(jìn)行證明．【解答】證明：（Ⅰ）由，得，即，故．又，所以是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，等比數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用．練習(xí)2.已知數(shù)列滿足，，．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【解答】解：因?yàn)?，所以．所以．因，則．所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．練習(xí)3.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，．（1）設(shè)，判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）根數(shù)列的遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法，構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可證明是等差數(shù)列．（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用求和公式，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1），．，即，（5分），，構(gòu)成以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．（6分）（2）由（1）可知，所以（8分）①②②①得（10分）（13分）（15分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列求和的計(jì)算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．例2.(2018·黃山模擬)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知(1)設(shè)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(1)證明由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＋1＝4an＋2，①,Sn＝4an－1＋2n≥2，②))①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首項(xiàng)b1＝3，公比為2的等比數(shù)列．(2)解由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,4)，故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為eq\f(3,4)的等差數(shù)列．∴eq\f(an,2n)＝eq\f(1,2)＋(n－1)·eq\f(3,4)＝eq\f(3n－1,4)，故an＝(3n－1)·2n－2.練習(xí)1.數(shù)列中，前項(xiàng)和，求證：是等比數(shù)列．【分析】利用時(shí)，，驗(yàn)證時(shí)成立，利用等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論．【解答】證明：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．又當(dāng)時(shí)，，．（常數(shù)），是等比數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．練習(xí)2.已知等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和，．（Ⅰ）求的值及；（Ⅱ）在等比數(shù)列中，，，若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：數(shù)列為等比數(shù)列．【分析】由題意可得：，可得，求出公差，即可求出；（Ⅱ）確定數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，即可證明結(jié)論．【解答】解：由題意可得：，，（3分），公差（5分）由此可得：（6分）（Ⅱ）由題意可得：聯(lián)立方程組解得：，（8分）數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（10分）又，，是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．模塊五等比數(shù)列和等差數(shù)列綜合例1.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差均不為0，且滿足，，成等比數(shù)列，則的值為A． B． C． D．【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)計(jì)算可得所求值．【解答】解：等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差均不為0，且滿足，，成等比數(shù)列，可得，即，化為，即，則，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，考查方程思想和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．練習(xí)1.已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為．【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足，，且，．可得，解得，可得．可得，利用等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足，，且，．，即，解得，．，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為3．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．例2.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解】(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝eq\f(b3,b2)＝eq\f(9,3)＝3，所以b1＝eq\f(b2,q)＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…).設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝1,2,3，…).(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1＝eq\f(n1＋2n－1,2)＋eq\f(1－3n,1－3)＝n2＋eq\f(3n－1,2).練習(xí)1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列中，且又成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解】(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)，∴an＝2Sn－1＋1(n∈N＋，n＞1)，∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an(n∈N＋，n＞1).而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴an＝3n－1(n∈N＋).∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，在等差數(shù)列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.又∵a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2.∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn＞0(n∈N＋)，∴舍去d＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1(n∈N＋).(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1， ①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n， ②∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n＝3＋2×eq\f(3－3n,1－3)－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n，∴Tn＝n·3n.三、當(dāng)堂鞏固1.設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，則下面四個(gè)數(shù)列：（1）；（2）為非零常數(shù)）；（3）；（4）．其中是等比數(shù)列的有幾個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用等比數(shù)列的定義即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則下面四個(gè)數(shù)列：（1）由于，因此為等比數(shù)列；（2）由于，因此為等比數(shù)列；（3）由于，因此為等比數(shù)列；（4）取，則，因此數(shù)列不是等比數(shù)列．其中是等比數(shù)列有3個(gè)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2.已知等比數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公比為A．2 B．1 C． D．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用，即可求出的值．【解答】解：等比數(shù)列中，，，該數(shù)列的公比．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思是“有一個(gè)人走378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”請(qǐng)問第三天走了A．60里 B．48里 C．36里 D．24里【分析】由題意得：每天行走的路程成等比數(shù)列、且公比為，由條件和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出答案即可．【解答】解：由題意得，每天行走的路程成等比數(shù)列，且公比為，天后共走了378里，，解得，第三天走了，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則A．2 B．4 C． D．【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，代入要求的式子化簡(jiǎn)可得．【解答】解：由等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式可得：，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬基礎(chǔ)題．5.設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是A． B． C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無(wú)最大值【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，分析可得，可得數(shù)列各項(xiàng)均為正值，又由可得或，由等比數(shù)列的性質(zhì)分析可得的范圍，據(jù)此分析4個(gè)選項(xiàng)，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列的公比為，若，則，又由，必有，則數(shù)列各項(xiàng)均為正值，又由，即，則有或，又由，必有，則有，對(duì)于，有，即，則正確；對(duì)于，有，則，則正確；對(duì)于，，則是數(shù)列中的最大值，錯(cuò)誤，同理錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的前項(xiàng)和，注意分析的范圍．6.已知等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的首項(xiàng)，若且，則以下結(jié)論正確的有A． B． C． D．【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分析正確，與不正確，結(jié)合條件判斷等差數(shù)列為遞減數(shù)列，即可得到正確．【解答】解：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是首項(xiàng)為12，公差設(shè)為的等差數(shù)列，則，，，故正確；正負(fù)不確定，故錯(cuò)誤；正負(fù)不確定，由，不能求得的符號(hào)，故錯(cuò)誤；由且，則，，可得等差數(shù)列一定是遞減數(shù)列，即，即有，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及單調(diào)性的判斷，考查運(yùn)算能力和推理能力，是中檔題．7.已知等比數(shù)列中，若，則6．【分析】等比數(shù)列中，根據(jù)，可得，即可得出．【解答】解：等比數(shù)列中，若，則，．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8.已知數(shù)列中，，試用定義證明數(shù)列是等比數(shù)列．【分析】當(dāng)時(shí)，，即可證明．【解答】證明：數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公比為，由已知列關(guān)于與的方程組，求得與值，則數(shù)列與的通項(xiàng)公式可求；（2）直接利用數(shù)列的分組求和與等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等差數(shù)列的公比為，由，，．得，，解得：，．，；（2），的前項(xiàng)和為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的求法，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，是中檔題．三、典型題鞏固1.已知為公比的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則的值是A．18 B．19 C．20 D．21【分析】先利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得到以和；再把所得結(jié)論用和表示出來(lái)，求出；最后把所求問題也用和表示出來(lái)即可的出結(jié)論．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為．因?yàn)楹褪欠匠痰膬蓚€(gè)根所以，．①②，又因?yàn)?，所以解得．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系以及等比數(shù)列的性質(zhì)．在解決本題的過程中用到了整體代入的思想，當(dāng)然本題也可以求出首項(xiàng)和公比再代入計(jì)算．2.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則的值為A．6 B．5 C． D．【分析】據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【解答】解：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．即若、、、，且，則．3.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A． B． C． D．【分析】利用等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算，即可得出結(jié)論．【解答】解：，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．4.在等比數(shù)列中，，，則的值為A．4 B．8 C．16 D．32【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，解得．則．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5.在遞增的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則下列說(shuō)法正確的是A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 C． D．?dāng)?shù)列是公差為2的等差數(shù)列【分析】本題先根據(jù)題干條件判斷并計(jì)算得到和的值，則即可得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，則對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)判斷即可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：由題意，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得，，故，．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可知，是一元二次方程的兩個(gè)根．解得，，或，．故必有公比，．等比數(shù)列是遞增數(shù)列，．，滿足題意．，．故選項(xiàng)不正確．．．．?dāng)?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．故選項(xiàng)正確．．故選項(xiàng)正確．．?dāng)?shù)列是公差為1的等差數(shù)列．故選項(xiàng)不正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，不等式與等比數(shù)列的綜合，以及排除法的應(yīng)用，本題屬中檔題．6.在公比為2的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的