公共課高數3第三章練習

【例3-1］驗證羅爾定理對函數

/(x)=lnsinx在區(qū)間弓片］上的

正確性.

解：顯然函數/(x)=lnsinx在閉區(qū)

間［工，紅］上連續(xù)，在開區(qū)間

66

(7^)上可導，

66

1

/'(%)=(Insinx)f--------cosx=cot

sinx

，且/(g)=/(￥)=—ln2,故滿

66

足羅爾定理的條件，由定理可得至

少存在一點六邑至)，使得

66

7T

八即c。心。，

為滿足條件的點.

【例3-2］驗證拉格朗日中值定理

對函數/。）=412-8x-2在區(qū)間

［0,1］上的正確性.

解：顯然函數“x）=4f-8x-2

在閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在開區(qū)間

（0,1）內可導，/V）=8x-8,根據

拉格朗日中值定理可得至少存在

一點J￡（0,1）,使得

/（i）-/（o）=/w-o），即

—6—（—2）=84—8，可得

11

J=—w(0/)，J=—即為滿足條件

的點.

【例3-3]不求導數，判斷函數

/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)(%-4)

的導數有幾個零點，這些零點分別

在什么范圍.

解：顯然/(x)是連續(xù)可導的函數，

且/⑴=八2)="3)=/(4)=0,

故在區(qū)間[1,2],[2,3],[3,4]上

滿足羅爾定理的條件，所以在區(qū)間

(1,2)內至少存在一點昏，使得

/(4)=0,即。是:(無)的一個零

點；在區(qū)間(2,3)內至少存在一點

42,使得/(女)=0,即是尸(X)的

一個零點；又在區(qū)間(3,4)內至少存

在一點5，使得/(當)=0,即5也

是/'(X)的一個零點.又因為:(無)

是三次多項式，最多只能有三個零

點，故廣(工)恰好有三個零點，分

別在區(qū)間(1,2),(2,3)和(3,4)內.

【例3-4]證明

.TC?

arcsmx+arccosx=—,其中

2

證明：設

/(x)=arcsinx+arccosx,

因為

11

fM/2+(__/2)".’

yjl—Xy/l—X

所以/(x)=C,XG[-1,1].

又因為

71

/(O)=arcsin0+arccos0=0H——=

，即c=-f

2

故

,TC

arcsmx+arccosx=—?

2

說明：同理可證，

71

arctanx+arccotx=一,

2

XG(-00,+00).

【例3?5】求下列函數的極限.

/Y—3x+2

1.求lim--------------.

X-1x-x-x+1

解：該極限為時的

xf1“3,型未

o

定式，由洛必達法則可得

原式

6x3

二lim產-3二］加

x-i3x—2x—1“一I6x-22

71

----arctanx

2.求lim-......--------

xf+81

解：本題為Xf+8時的“9”型未

0

定式，由洛必達法則可得

原式

1

1?----1---+----X---71.X21

=lim-=lim------二I.

Xf+oo1X—+8]_|_工之

~~~2

4「Insin2x

3.求lim----------■

-。+Insin3x

nn

解：該極限為X-0+時的“一”型

00

未定式，由洛必達法則可得

原式

1cc

--------COSZX-2c.o

二lim崢-----=lim2

%―。+1ccx—>0+3sin2J

--------cos3x-3

sin3x

d-「tanx

4.求lim-------

"tan3x

2

TT

解：本題為xf七時的“藝”型未

200

定式，由洛必達法則可得

原式

22Q

「secx「cos3x「2

=lim------——二lim-------=lim—

71

-3sec3xx^-3cosxX———

222

cos3x-3sin3x

二lim=lim二3

n

--cosxx—>—sinx

22

—為—tanx-x

5.求lim--------■

a。%tanx

解：該極限為xfo時的“°”型

o

未定式，結合等價無窮小的替換，

運用洛必達法則可得

原式

2

「tan%-x「secx-1一

二lim------——二lim-------——=lim

1-°Xxf°3^X->0

說明：此題也可這樣求解（運用公

式sec?x=l+tan2x和等價無窮小

替換來簡化運算）:

原式

2

「tanx-xrsecx-1「

=lim-----；——=lim------；——=lim

x->0—九—03丫2x->0

11

6.求lim(----------).

%一°sinxx

解：該極限為Xf。時的“00—00”

型未定式，解決方法為先化為

110

型，然后通分化為

000

型，故

原式

x-smx「x-sinx「1

=lim二lim------——二lim-

x—^0xsmxX-^0X-^0

7.求limxx.

%—>o+

解：該極限為X-0+時的“0°”型

未定式，解決方法為取對數化為

“04n0”型，進而化為“3,型，

0

故

原式

]lim

limxlnxlim

=lim/in*=e，—。=e"-。'=e

x—>0+

x+cosx

8.求lim

X-00

解原式

=lim----------=lim(l-sinx)，最

Xfoo]XfB

后的極限不存在，不滿足洛必達法

則的條件，實際上，原式

cosxcosx

=lim(l+)=1+lim=1+(

X-00

【例3-6］求下列函數的單調區(qū)間.

1./(X)=2X3-9X2+12X-3.

解：因

f\x)=6x2-18x+12=6(x-l)(x-

令r(x)=0,得玉=1,

工2二2?

用玉，馬將函數的定義域

(-00,+00)分成三個區(qū)間(-00,1),

(1,2),(2,+8),其討論結果如下表

所示：

X(-00,1)(1,2)(2,+8)

—

/'(%)++

fM//

由上表可得，函數的單調遞增區(qū)間

為(-8,1］和［2,+8),單調遞減區(qū)間

為［1,2］.

2.于(x)=W.

解：函數的定義域為(-8,+8),

2

r⑴=--=(xwO),當x=0時

3'yjx

導數不存在.將函數定義域分成兩

個區(qū)間(-00,0)和(0,+8),討論結果

如下表所示：

X(-8,0)(0,+oo)

f'M—+

/(x)/

所以函數的單調遞增區(qū)間為

[0,+00),單調遞減區(qū)間為(-8,0].

【例3-7]利用函數的單調性證明

不等式.

1.試證當x>0時，x>ln(l+x)成

立.

證明："S/(x)=x-ln(l+x),則

1X

小)=1—「=「，

1+x1+x

因/（X）在區(qū)間0+8）上連續(xù)，在

（0,+8）內可導,且/v）＞o,

故/（X）在區(qū)間［0,+8）上單調增加,

又因為/（0）=0,所以當x〉0時,

/?>0,

即x-ln(l+x)>0,也即

x>ln(l+x)成立.

2.試證當時，26〉3—工.

證明：令f(x)=2V^-(3--),

X

則

因/(X)在區(qū)間［1,+8)上連續(xù)，在

(1,+8)內可導且/'(%)>0,

故/(X)在區(qū)間［1,+8)上單調增加,

又因為了⑴=0,所以當元＞1時,

f?>0,

即26—（3—工）〉0，也即

_]

2A/X>3—.

X

【例3-8］證明方程爐+x+1=0在

區(qū)間(-1,0)內有且僅有一個實根.

證明：令/(%)=三+1+1,因為

/(%)在閉區(qū)間［-1,0］上連續(xù),且

y(-l)=-l<0,f(0)=l>0,根

據零點定理，/(x)在區(qū)間(0,1)內至

少有一個零點.

另一方面，對于任意實數X,

有廣(x)=5/+1〉0,所以/(%)在

(-8,+8)內單調增加,因此曲線

/(X)=X5+X+1與X軸至多有一個

交點.

綜上所述，方程/+x+l=0在區(qū)

間(-1,0)內有且僅有一個實根.

【例3?9】求下列函數的極值.

1./(x)=x3-3x2-9x+5.

解：函數的定義域為(-8,+8),且

有

f\x)=3x1-6x-9=3(x+l)(x-3)

9

令八x)=0,得駐點g=—1,

%=3,列表討論如下：

(-00,-1)

X「1(-1,3)3(3,+8)

f'(x)+0—0+

/(X)/極大值X極小值/

由上表可得，函數的極大值為

/(-1)=10,極小值為/(3)=-22.

3-

2./(x)=x——x3.

解：函數的定義域為(-8,+8),且

--\/~x—1

有廣⑴=173=號一，

7X

令/，(X)=0,得駐點x=l,當x=o

時/'(x)不存在，駐點x=l以及不

可導點x=0將定義域分成三個區(qū)

間，列表討論如下：

XSO)0(0,1)1(L+8)

(一胃,-1]

f'(x)+不存在—+

/(%)/極大值極小值/

由上表可得，函數的極大值為

1

/(0)=0,極小值為.

(例3-10】求函數

/(%):2%3+3X2-12X+14在區(qū)間

[—3,4]上的最值.

解：因為

f\x)=6x2+6x-12=6(x+2)(%-

令廣⑴=0,得為=—2,

"2二],

計算/(—3)=23,

/(-2)=34,川)=7,/(4)=142,

比較上述結果可知，最大值為

7(4)=142,七小值為了⑴=7.

【例3-11］求下列曲線的凹凸區(qū)間

和拐點.

/(X)=3/-4x3+1

[0,1]

解：函數的定義域為(-8,+8),且

有

f(x)=12x3-12x2,

/"⑴=36x(%--),

2

令/〃(x)=0,得為=0,x2,

列表討論如下：

2

(-00,0)

X0嗚)

3

0一0+

/W凹對應拐點凸對應拐點凹

由上表

可得，曲線/⑴的凹區(qū)間為(-8⑼

22

和［—,+00),凸區(qū)間為［0,—］,拐點

211

為(0,1)和(§,云).(,)

/(x)=yjx-x

解：函數的定義域為(-8,+8),當

XW0時有

1

y=—,x>O,x=O,y=O,

x

仆)=-記2--3,

當X=O時，/（X）和尸（X）均不存

在，但在區(qū)間（―8,0）內，/〃（4）＞0,

故曲線在(-8,0］上是凹的；在區(qū)間

(0,+8)內，f\x)<0,故曲線在

［0,+00)上是凸的.所以曲線的凹區(qū)

間為(—8,0］，凸區(qū)間為［0,+8)，拐

點為(0,0).

【歷年真題】

一、選擇題

1.(2009年，1分)若函數y=/(x)

滿足/(%)=0,見lx=/必為了⑴

的()

(A)極大值點(B)極

小值點(C)駐點

(D)拐點

解：若r(%)=0,則x=/必為

/(X)的駐點，選(C).

2.(2009年，1分)當x〉0時，曲

1

線丫=耶抽一()

(A)沒有水平漸近線

(B)僅有水平漸近線

(C)僅有鉛直漸近線

(D)既有水平漸近線，又有鉛直

漸近線

.1

1sm—

解：由limxsin—=lim二］可

X-00XXf00

知，y=l為曲線的水平漸近線；

1

limxsin—=0,故曲線無鉛直漸近

Xf°+X

線.選項(B)正確.

3.(2008年，3分)函數/(x)=Inx

在區(qū)間［1,2］上滿足拉格朗日公式

中的。等于()

(A)In2(B)Ini

(C)Ine(D)—

In2

解：對函數/(x)=lnx在區(qū)間［1,2］

上應用拉格朗日中值定理,

z(2)-/(i)=ro2-i)，即

11

ln2-0=-,故小——.選（D）.

}In2

4.(2007年，3分)曲線y=x3-3x

上切線平行于x軸的點為()

(A)(-1,-4)(B)(2,2)

(C)(0,0)(D)(1,-2)

解：切線平行于x軸的點即為一階

導數等于零的點.由

了=312—3=0可得，

x=±1；x=1時,y=—2,%=—1時,

y=2,故曲線y=^—3x上切線平

行于X軸的點為(1,-2)和(-1,2).選

項(D)正確.

5.(2007年,3分)若在區(qū)間(〃))

內，導數廣(工)〉0,二階導數

f\x)<0,則函數/(%)在該區(qū)間內

()

(A)單調增加，曲線為凸的

(B)單調增加，曲線為凹的

(C)單調減少，曲線為凸的

(D)單調減少，曲線為凹的

解：/(x)>0可得/(x)單調增加,

/〃(x)<0可得曲線為凸的，故選

(A).

二、填空題

1.(2010年，2分)函數

/⑴=2d—9/+i2x的單調減

區(qū)間是.

解：令

尸(x)=6X2-18X+12=6(X-1)(X-

,得駐點x=l和x=2；當x<l時，

f(x)>0,當1<工<2時,

f(x)<0,當x〉2時，/(x)>0,

故函數的單調遞減區(qū)間為[1,2].

7T7T

2.(2009年,2分)當一<%<一時，

62

/(幻=縛是函數(填

“單調遞增”、“單調遞減”).

解當x=-時,

6

.71

sm—

/(-)=—色=3當％=工時,

61712

6

.71

sm—。

故當

21乃

兀//兀口卜(、日的、國

—VxV一時，/c(%)=-s-m--x是單調

62x

遞減函數.

3.(2009年，2分)函數

f(x)=2爐—9/+12%+1在區(qū)間

[0,2]上的最大值點是

解：令

yr(x)=6x2-18x+12=6(x-l)(x-

,得駐點x=l和x=2.比較函數值

"1)=6,"2)=5,/(0)=1,可

知，函數的最大值為了⑴=6,故

函數的最大值點為x=1.

x=t2

4.（2007年，4分）曲線《在

y=4/

t=1處的切線方程為.

解：將/=1代入參數方程可得切點

為（1,4）,切線斜率

左=與必=2腐=2,故切線方程

為y—4=2(x—1),即

y=2x+2.

5.(2005年，3分)丁=元"、的凸

區(qū)間是.

解：

yf=(xexy=e~x—xex=(1—x)ex

9

y,f=-e-x-(1-x)e-x=(x—2)e-x

.令y〃=(x—2)"'=0可得，

x=2,且當x〉2時，/>0,當

工<2時，y<o,故函數了=泥一、的

凸區(qū)間是(—8,2].

6.(2005年，3分)曲線y=x"通

過(1,1)點的切線方程為.

解：因

y=(7y=”)，=小?Qnx+1)=

9

故切線斜率

x

k-[x(Inx+1)]|x=}=1,

所以切線方程為y-l=l-(x-l),

即y=%.

三、應用題或綜合題

1.(2010年，10分)現有邊長為96

厘米的正方形紙板，將其四角各剪

去一個大小相同的小正方形，折做

成無蓋紙箱，問剪區(qū)的小正方形邊

長為多少時做成的無蓋紙箱容積

最大？

解：設剪區(qū)的小正方形邊長為X,

則紙盒的容積y=x(96-2x)2,

0<x<48.

y'=(96-2xy+%.2(96-2x)(—2)二

9

令y=0,可得x=16(x=48舍

去).因只有唯一的駐點，且原題

中容積最大的無蓋紙箱一定存在,

故當剪區(qū)的小正方形邊長為16厘

米時，做成的無蓋紙箱容積最大.

2.(2010年，10分)設函數/(%)在

［0,1］上連續(xù)，并且對于［0,1］上的任

意工所對應的函數值/(%)均為

0</(x)<L證明：在［0,1］上至少

存在一點瘋使得了(?=-

解：令尸⑴=/(X)-X,由于/(X)

在［0,1］上連續(xù)，故尸(X)在［0,1］上也

連續(xù).

F(o)=/(o)-o=y(o),

F(l)=/(1)-1.而對Vx￡［0』］,

0</(x)<l,故F(0)>0,

F(l)<0.

若尸(0)=0,即/(0)—0=0,

/(0)=0,貝4=0；

若尸(1)=0,即/(1)-1=0,

"1)=1,則4=1;

當尸(0)。0,尸(1)。0時，

F(0)-F(l)<0,而0(%)在［0,1］上

連續(xù)，故根據零點定理可得，至少

存在一點j￡(0』)，使得/4)=0,

即/?8=0,/?=/

綜上，在［0,1］上至少存在一點

使得/?)=』.

3.(2009年，10分)某工廠需要

圍建一個面積為512%2的矩形堆料

場，一邊可以利用原有的墻壁，其

他三邊需要砌新的墻壁.問堆料場

的長和寬各為多少時，才能使砌墻

所用的材

料最省？

解：設堆料場的寬為x根，則長為

512

----m,設砌墻周長為y,則

x

c512

y=2x-\------,

x

512

令y'=2——-=Q得f=256,

xf

x=16（x=—16舍去）.因只有一

個駐點，且原題中最值一定存在,

故當x=16時，函數有最小值.即

當寬為16根，長為32機時，才能使

砌墻所用的材料最省.

4.（2009年，10分）當x〉0,

0<〃<1時，xa-ax<1-a,

解：原不等式即為

xa-ax+a~1<0.設

a

/(x)=x-ax+a-l9貝1|

(1)當X=1時9

/(x)=1-a+a-l=09即

xcl-ax+a-1=0成立；

(2)當0<x<l時9

1

f\x)=axa~l-a-a{-1)>0,

故/（X）單調增加，可得

</⑴=0，即

x'-〃4+〃一1<0成立；

(3)當x>\時，

1

f\x)=axa1-a--1)<。，

故f(x)單調減少，可得

/(X)</⑴=0，即

xa-ax+a-1<0成立.

綜上，當x〉0,0<〃<1時，不等

式xa-ax+a~1<0成立,即

xa-ax<1-a.

5.(2008年，8分)求函數

y=3/—/的單調區(qū)間、極值、凹

凸區(qū)間與拐點.

解：函數的定義域為(-8,+8).

先求單調區(qū)間和極值.令

y'=6x-3x2=3x(2-x)=0,得駐

點1=0,%=2,用駐點將整個定

義域分為三個區(qū)間(-8,0),(0,2),

(2,+00).當xe(—8,0)時，y<0,

函數單調減少；當xe(0,2)時，

y>o,函數單調增力口；當

X￡(2,+8)時，y<o,函數單調減

少.故函數的單調增加區(qū)間為

[0,2],單調減少區(qū)間為(-8,0]和

[2,+8)；極小值"0)=0,極大值

"2)=4.

再求凹凸區(qū)間和拐點.令

y"=6-6x=0,得x=l.當

xG(-8,1)時，y">0,函數為凹的;

當X￡(l,+8)時，y<o,函數為凸

的，且當X=1時，y=2,故函數的

凹區(qū)間為(—8」，凸區(qū)間為[1,+8),

拐點為(1,2).

6.(2007年，8分)求函數

1

y=x+——的單調區(qū)間、極值、

X+]

凹凸區(qū)間和拐點.

解：函數的定義域為

(-8,-1)U(-1,+°0)?

先求單調區(qū)間和極值.令

y=i-—二=M+?=O,得

(x+1)(x+1)

駐點x=-2,x=0f用駐點將整個

定義域分為三個區(qū)間(-巴-2),

(-2,-1),(-1,0),(0,+8).當

xw(—oo,—2)時，/>0,函數單調

增加；當%￡(—2,—1)時，y<o,

函數單調減少；當xe(-1,0)時，

y<o,函數單調減少；當

XG(o,+8)時，y>o,函數單調增1

加.故函數的單調增加區(qū)間為

(-8,-2］和［0,+8),單調減少區(qū)間

為［-2,-1)和(-1,0］；極大值

/(-2)=-3,極小值"0)=1.

再求凹凸區(qū)間和拐點.因

__故當

(x+1)4(x+1)3

工￡(一8,-1)時，y<0,函數為凸

的；當X￡(—1,+8)時，/>0,函

數為凹的，故函數的凸區(qū)間為

(―8,—1),凹區(qū)間為(―L+S).凹凸

性改變的點為1=-1，不在定義域

內，故函數沒有拐點.

7.(2007年，8分)在周長為定值

/的所有扇形中，當扇形的半徑取何

值時所得扇形的面積最大？

解：設扇形的半徑為X,則弧長為

l-2xf設扇形的面積為y,則由題

意

11

y——(/-2x)x-—x?+—Zx?v*

y，=-2x+'=0得，x=—,

24

唯一的極值點即為最大值點.故當

扇形的半徑為時，扇形的面積最

大.

8.(2006年，10分)求函數

>=%3—工2一x+i的單調區(qū)間、極

值及凹凸區(qū)間、拐點.

解：函數的定義域為(-8,+8).

先求單調區(qū)間和極值.令

y=3x12-32x-l=（3x+1）（%-1）=0

1

，得駐點x=-一，x=l用駐點將

39

整個定義域分為三個區(qū)間

11

（一00,-4）,（--,1），（1,+8）.當

1

工￡（——）時，y>o,函數單調

1

增加；當'￡（——』）時，y<o,函

數單調減少；當%￡（1,+8）時,

y>o,函數單調增加.故函數的