河北省永年縣一中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

河北省永年縣一中2024屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若集合,則集合()A． B． C． D．2．已知集合，，則()A． B． C． D．3．已知函數(shù)f：R+→R+滿足：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)x，y，z，均有f（）.設(shè)a，b，c是互不相等的三個(gè)正數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若a，b，c是等差數(shù)列，則f（a），f（b），f（c）一定是等差數(shù)列B．若a，b，c是等差數(shù)列，則f（），f（），f（）一定是等差數(shù)列C．若a，b，c是等比數(shù)列，則f（a），f（b），f（c）一定是等比數(shù)列D．若a，b，c是等比數(shù)列，則f（），f（），f（）一定是等比數(shù)列4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，并使正多邊形的面積無限接近圓的面積，進(jìn)而來求得較為精確的圓周率.如果用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值記為，那么用圓的內(nèi)接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值加可表示成（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，滿足，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．34B．39C．51D．686．“（）”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，,=1，若，則＝()A．22019 B．22020 C．22017 D．220188．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．119．阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)幾何問題有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指出的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓.請(qǐng)解答下面問題：已知，，若直線上存在點(diǎn)M滿足，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）A． B． C． D．10．若，則的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)，英語(yǔ)，音樂3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39，32，33個(gè)成員，一些成員參加了不止一個(gè)小組，具體情況如圖.現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)成員，他恰好只屬于2個(gè)小組的概率是____.12．若，且，則=_______.13．已知直線l過定點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，則直線l的方程為______.14．正六棱柱各棱長(zhǎng)均為，則一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿表面移動(dòng)到時(shí)的最短路程為__________．15．從1，2，3，4，5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率為________.16．若a、b、c正數(shù)依次成等差數(shù)列，則的最小值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，.（1）求解不等式；（2）若，求的最小值.18．已知四棱錐的底面ABCD是菱形，平面ABCD，，，F(xiàn)，G分別為PD，BC中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：平面PAB；（Ⅱ）求三棱錐的體積；（Ⅲ）求證：OP與AB不垂直.19．如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，為中點(diǎn).(1)證明:;(2)求點(diǎn)到平面的距離.20．已知平面向量，，，其中，（1）若為單位向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若且與垂直，求向量，夾角的余弦值.21．如圖，正三棱柱的各棱長(zhǎng)均為，為棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】試題分析：作數(shù)軸觀察易得.考點(diǎn)：集合的基本運(yùn)算.2、D【解題分析】依題意，故.3、B【解題分析】

令，，，若是等差數(shù)列，計(jì)算得，進(jìn)而可得結(jié)論.【題目詳解】由題意，，令，，，若是等差數(shù)列，則所以，即，故，，成等差數(shù)列.若是等比數(shù)列，，，與，，既不能成等差數(shù)列又不等成等比數(shù)列.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)的解析式，等差數(shù)列的等差中項(xiàng)的性質(zhì)，屬于中檔題.4、C【解題分析】

設(shè)圓的半徑為，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，問題得解.【題目詳解】設(shè)圓的半徑為，將內(nèi)接正邊形分成個(gè)小三角形，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，整理得：，此時(shí)，即：同理，由內(nèi)接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，整理得：此時(shí)所以故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的面積公式及三角形面積公式的應(yīng)用，還考查了正弦的二倍角公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．5、D【解題分析】由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且滿足，得，所以，所以，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故選D.6、C【解題分析】若，則，函數(shù)為奇函數(shù)，所以充分性成立；反之，若函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，因此必要性也是成立，所以“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”充要條件，故選C.7、A【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【題目詳解】由題知∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,∴a1010∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題，注意：若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則，性質(zhì)的應(yīng)用.8、B【解題分析】

由題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，正實(shí)數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以的最小值為9.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用基本不等式求解最值問題，其中解答中熟記基本不等式的使用條件，合理構(gòu)造是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能，屬于據(jù)此話題.9、B【解題分析】

根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得到關(guān)于的一元二次方程，只需即可求解.【題目詳解】點(diǎn)M在直線上，不妨設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由直線上存在點(diǎn)M滿足，則，整理可得，，所以實(shí)數(shù)c的取值范圍為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式、一元二次不等式的解法，考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.10、C【解題分析】

由，得，當(dāng)時(shí)，即可求出的范圍，根據(jù)幾何概型的公式，即可求解．【題目詳解】由，得，當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，，所以的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型的公式，屬基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由題中數(shù)據(jù)，確定課外小組的總?cè)藬?shù)，以及恰好屬于2個(gè)小組的人數(shù)，人數(shù)比即為所求概率.【題目詳解】由題意可得，課外小組的總?cè)藬?shù)為，恰好屬于2個(gè)小組的人數(shù)為，所以隨機(jī)選取一個(gè)成員，他恰好只屬于2個(gè)小組的概率是.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查古典概型，熟記列舉法求古典概型的概率即可，屬于?？碱}型.12、【解題分析】

由的值及，可得的值，計(jì)算可得的值.【題目詳解】解：由，且，由，可得，故，故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟練掌握其基本關(guān)系是解題的關(guān)鍵.13、或.【解題分析】

設(shè)直線的方程為，利用已知列出方程，①和②，解方程即可求出直線方程【題目詳解】設(shè)直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以①.因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,所以②.由①②可知或解得或故直線的方程為或，即或.【題目點(diǎn)撥】本題考查截距式方程和直線與坐標(biāo)軸形成的三角形面積問題，屬于基礎(chǔ)題14、【解題分析】

根據(jù)可能走的路徑，將所給的正六棱柱展開，利用平面幾何知識(shí)求解比較.【題目詳解】將所給的正六棱柱下圖(2)表面按圖(1)展開.，，，故從A沿正側(cè)面和上表面到D1的路程最短為故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間幾何體展形圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.15、0.2【解題分析】從1,2,3,4,5中任意取兩個(gè)不同的數(shù)共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10種.其中和為5的有(1,4),(2,3)2種.由古典概型概率公式知所求概率為=.16、1【解題分析】

由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，再結(jié)合基本不等式求最值即可.【題目詳解】解：由正數(shù)a、b、c依次成等差數(shù)列，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：1.【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差中項(xiàng)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或（2）【解題分析】

（1）對(duì)x分類討論解不等式得解；（2）由題得，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，解得.所以不等式解集為或.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.18、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）連接，，由已知結(jié)合三角形中位線定理可得平面，再由面面平行的判斷可得平面平面，進(jìn)而可得平面；（Ⅱ）首先證明平面，而為的中點(diǎn)，然后利用等積法求三棱錐的體積；（Ⅲ）直接利用反證法證明與不垂直.【題目詳解】（Ⅰ）如圖，連接，∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，∴，而平面，平面，∴平面，又∵是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，∴，而平面，平面，∴平面，又∴平面平面，即平面.（Ⅱ）∵底面，∴，又四邊形為菱形，∴，又，∴平面，而為的中點(diǎn)，∴.（Ⅲ）假設(shè)，又，且，∴平面，則，與矛盾，∴假設(shè)錯(cuò)誤，故與不垂直.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用反證法證明線線垂直問題，訓(xùn)練了利用等積法求解多面體的體積，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由題設(shè)AB=AC=SB=SC=SA，連結(jié)OA，推導(dǎo)出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能證明SO⊥平面ABC;（2）設(shè)點(diǎn)B到平面SAC的距離為h，由VS﹣BAC=VB﹣SAC，能求出點(diǎn)B到平面SAC的距離．【題目詳解】（1）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而．所以為直角三角形，．又．所以平面，故AC⊥SO．（2）設(shè)B到平面SAC的距離為，則由（Ⅰ）知：三棱錐即∵為等腰直角三角形,且腰長(zhǎng)為2.∴∴∴△SAC的面積為=△ABC面積為,∴,∴B到平面SAC的距離為【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20、（1）或；（2）.【解題分析】

(1)設(shè),根據(jù)和列出關(guān)于的方程求解即可.(2)根據(jù)垂直數(shù)量積為0,代入的模長(zhǎng),求解得.再根據(jù)夾角公式求解即可.【題目詳解】（1）設(shè),由和可得：∴或,∴或（2）∵,