2024屆重慶南開中學數(shù)學高一下期末調研試題含解析

2024屆重慶南開中學數(shù)學高一下期末調研試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A． B． C． D．2．使函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)的的一個值是()A． B． C． D．3．在中，，，，是外接圓上一動點，若，則的最大值是（）A．1 B． C． D．24．若a＜b＜0，則下列不等式關系中，不能成立的是（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前n項和為，則A．140 B．70 C．154 D．776．設滿足約束條件則的最大值為（）.A．10 B．8 C．3 D．27．已知函數(shù)圖象的一條對稱軸是，則的值為（）A．5 B． C．3 D．8．如圖，正方形的邊長為a，以A,C為圓心，正方形邊長為半徑分別作圓，在正方形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（）A．2-π2 B．2-π39．邊長為1的正方形上有一動點，則向量的范圍是（）A． B． C． D．10．函數(shù)的最大值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等比數(shù)列的公比為，其各項和，則______________.12．不論k為何實數(shù)，直線通過一個定點，這個定點的坐標是______.13．若無窮等比數(shù)列的各項和等于，則的取值范圍是_____．14．中，，則A的取值范圍為______．15．已知，，則______.16．走時精確的鐘表，中午時，分針與時針重合于表面上的位置，則當下一次分針與時針重合時，時針轉過的弧度數(shù)的絕對值等于_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調查與預測，產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關系如圖1，產(chǎn)品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2，（注：利潤與投資單位：萬元）（1）分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關系，并寫出它們的函數(shù)關系式；（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，全部投入到，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，怎樣分配資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）.18．在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大??；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．19．設函數(shù)，其中，.（1）設，若函數(shù)的圖象的一條對稱軸為直線，求的值；（2）若將的圖象向左平移個單位，或者向右平移個單位得到的圖象都過坐標原點，求所有滿足條件的和的值；（3）設，，已知函數(shù)在區(qū)間上的所有零點依次為，且，，求的值.20．某校從高一年級學生中隨機抽取60名學生，將期中考試的物理成績（均為整數(shù)）分成六段：，，，…，后得到如圖頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計眾數(shù)和中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從的學生中抽取一個容量為5的樣本，從這五人中任選兩人參加補考，求這兩人的分數(shù)至少一人落在的概率.21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，若，求的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由函數(shù)的最小正周期為，逐個選項運算即可得解.【題目詳解】解:對于選項A,的最小正周期為,對于選項B,的最小正周期為,對于選項C,的最小正周期為,對于選項D,的最小正周期為,故選D.【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的最小正周期，屬基礎題.2、B【解題分析】

先根據(jù)輔助角公式化簡，再根據(jù)奇偶性及在在上是減函數(shù)為減函數(shù)即可算出的范圍。【題目詳解】由題意得：因為是偶函數(shù)，所以，又因為在的減區(qū)間為，,在上是減函數(shù)，所以當時滿足,選B.【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的性質：奇偶性質、單調性以及輔助角公式。型為奇函數(shù)，為偶函數(shù)。其中輔助角公式為。屬于中等題。3、C【解題分析】

以的中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，設M的坐標為，，求出點的坐標，得到，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質即可求出答案.【題目詳解】以的中點O為原點，以為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則外接圓的方程為，設M的坐標為，，過點作垂直軸，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中，，當時，有最大值，最大值為，故選C．【題目點撥】本題考查了向量的坐標運算和向量的數(shù)乘運算和正弦函數(shù)的圖象和性質，以及直角三角形的問題，考查了學生的分析解決問題的能力，屬于難題．4、B【解題分析】

根據(jù)的單調性，可知成立，不成立；根據(jù)和的單調性，可知成立.【題目詳解】在上單調遞減，成立又，不成立在上單調遞增，成立在上單調遞減，成立故選：【題目點撥】本題考查利用函數(shù)單調性比較大小的問題，關鍵是能夠建立起合適的函數(shù)模型，根據(jù)自變量的大小關系，結合單調性得到結果.5、D【解題分析】

利用等差數(shù)列的前n項和公式，及等差數(shù)列的性質，即可求出結果.【題目詳解】等差數(shù)列的前n項和為，.故選D.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的前n項和的求法和等差數(shù)列的性質，屬于基礎題.6、B【解題分析】

作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)即可求解.【題目詳解】作出可行域如圖：化目標函數(shù)為，聯(lián)立，解得.由圖象可知，當直線過點A時，直線在y軸上截距最小，有最大值.【題目點撥】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.7、D【解題分析】

化簡函數(shù)f（x）＝acosx+sinx為一個角的一個三角函數(shù)的形式，利用圖象關于直線對稱，就是時，函數(shù)取得最值，求出a即可．【題目詳解】函數(shù)f（x）＝acosx+sinxsin（x+θ），其中tanθ＝a，，其圖象關于直線對稱，所以θ，θ，所以tanθ＝a，故答案為D【題目點撥】本題考查正弦函數(shù)的對稱性，考查計算能力，邏輯思維能力，是基礎題．8、D【解題分析】

將陰影部分拆分成兩個小弓形，從而可求解出陰影部分面積，根據(jù)幾何概型求得所求概率.【題目詳解】如圖所示：陰影部分可拆分為兩個小弓形則陰影部分面積：S正方形面積：S=∴所求概率P=本題正確選項：D【題目點撥】本題考查利用幾何概型求解概率問題，屬于基礎題.9、A【解題分析】

分類，按在正方形的四條邊上分別求解．【題目詳解】如圖，分別以為建立平面直角坐標系，，設，，∴，當在邊或上時，，所以，當在邊上時，，，當在邊上時，，，∴的取值范圍是．故選：A.【題目點撥】本題考查平面向量的數(shù)量積，通過建立坐標系，把向量和數(shù)量積用坐標表示，使問題簡單化．10、D【解題分析】

函數(shù)可以化為，設，由，則，即轉化為求二次函數(shù)在上的最大值.【題目詳解】由設，由，則.即求二次函數(shù)在上的最大值所以當，即時，函數(shù)取得最大值.故選：D【題目點撥】本題考查的二次型函數(shù)的最值，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用等比數(shù)列各項和公式可得出關于的方程，解出即可.【題目詳解】由于等比數(shù)列的公比為，其各項和，可得，解得.故答案為：.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列中基本量的計算，利用等比數(shù)列各項和公式列等式是關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.12、(2,3)【解題分析】

將直線方程變形為，它表示過兩直線和的交點的直線系，解方程組，得上述直線恒過定點，故答案為.【方法點睛】本題主要考查待定直線過定點問題.屬于中檔題.探索曲線過定點的常見方法有兩種：①可設出曲線方程，然后利用條件建立等量關系進行消元（往往可以化為的形式，根據(jù)求解），借助于曲線系的思想找出定點(直線過定點，也可以根據(jù)直線的各種形式的標準方程找出定點).②從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關.13、．【解題分析】

根據(jù)題意可知，，從而得出，再由，即可求出的取值范圍．【題目詳解】解：由題意可知，，且，，，，或，故的取值范圍是，故答案為：．【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的極限問題，解題時要熟練掌握無窮等比數(shù)列的極限和，屬于基礎題．14、【解題分析】

由正弦定理將sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC變?yōu)椋缓笥糜嘞叶ɡ硗普摽汕?，進而根據(jù)余弦函數(shù)的圖像性質可求得角A的取值范圍．【題目詳解】因為sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，所以，即．所以，因為，所以．【題目點撥】在三角形中，已知邊和角或邊、角關系，求角或邊時，注意正弦、余弦定理的運用．條件只有角的正弦時，可用正弦定理的推論，將角化為邊．15、【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系求得的值，利用二倍角的正切公式，求得，再利用兩角和的正切公式，求得的值，再結合的范圍，求得的值．【題目詳解】，，，，，，故答案：.【題目點撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和的正切公式，二倍角的正切公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎題．16、.【解題分析】

設時針轉過的角的弧度數(shù)為，可知分針轉過的角為，于此得出，由此可計算出的值，從而可得出時針轉過的弧度數(shù)的絕對值的值.【題目詳解】設時針轉過的角的弧度數(shù)的絕對值為，由分針的角速度是時針角速度的倍，知分針轉過的角的弧度數(shù)的絕對值為，由題意可知，，解得，因此，時針轉過的弧度數(shù)的絕對值等于，故答案為.【題目點撥】本題考查弧度制的應用，主要是要弄清楚時針與分針旋轉的角之間的等量關系，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）為，為；（2）產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，最大利潤為4萬元【解題分析】

（1）根據(jù)題意給出的函數(shù)模型，設；代入圖中數(shù)據(jù)求得既得，注意自變量；（2）設產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設企業(yè)利潤為萬元.，列出利潤函數(shù)為，用換元法，設，變化為二次函數(shù)可求得利潤的最大值．【題目詳解】解：（1）設投資為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元由題設知；由圖1知，由圖2知，則，.（2）設產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設企業(yè)利潤為萬元.，，令，則則當時，，此時所以當產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為4萬元.【題目點撥】本題考查函數(shù)的應用，在已知函數(shù)模型時直接設出函數(shù)表達式，代入已知條件可得函數(shù)解析式．18、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)二倍角公式,三角形內角和,所以,整理為關于的二次方程，解得角的大??；（2）根據(jù)三角形的面積公式和上一問角，代入后解得邊，這樣就知道,然后根據(jù)余弦定理再求，最后根據(jù)證得定理分別求得和.試題解析：（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因為0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.從而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.考點：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面積公式.【方法點睛】本題涉及到解三角形問題，所以有關三角問題的公式都有涉及，當出現(xiàn)時，就要考慮一個條件，,,這樣就做到了有效的消元，涉及三角形的面積問題，就要考慮公式,靈活使用其中的一個.19、（1）；（2），；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)對稱軸對應三角函數(shù)最值以及計算的值；（2）根據(jù)條件列出等式求解和的值；（3）根據(jù)圖象利用對稱性分析待求式子的特點，然后求值.【題目詳解】（1），因為是一條對稱軸，對應最值；又因為，所以，所以，則；（2）由條件知：，可得，則，又因為，所以，則，故有：，當為奇數(shù)時，令，所以，當為偶數(shù)時，令，所以，當時，，又因為，所以；（3）分別作出（部分圖像）與圖象如下：因為，故共有個；記對稱軸為，據(jù)圖有：，，，，，則，令，則，又因為，所以，由于與僅在前半個周期內有交點，所以，則.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)圖象與性質的綜合運用，難度較難.對于三角函數(shù)零點個數(shù)問題，可將其轉化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，通過數(shù)形結合去解決問題會更方便.20、（1）眾數(shù)為75，中位數(shù)為73.33；（2）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖能求出a=0.1．由此能求出眾數(shù)和中位數(shù)；（2）用分層抽樣的方法從[40，60）的學生中抽取一個容量為5的樣本，從這五人中任選兩人參加補考，基本事件總數(shù)，這兩人的分數(shù)至少一人落在[50，60）包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這兩人的分數(shù)至少一人落在[50，60）的概率．【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖得：，

解得，

所以眾數(shù)為：，的頻率為，

的頻率為，

中位數(shù)為：.（2）用分層抽樣的方法從的學生中抽取一個容量為5的樣本，

的頻率為0.1，的頻率為0.15，

中抽到人，中抽取人，從這五人中任選兩人參加補考，

基本事件總數(shù)，這兩人的分數(shù)至少一人落在包含的基本事件個數(shù)，所以這兩人的分數(shù)至少一人落在的概率.【題目點撥】在求解有關古典概型概