2024屆北京市西城區(qū)回民學校數(shù)學高一第二學期期末考試模擬試題含解析

2024屆北京市西城區(qū)回民學校數(shù)學高一第二學期期末考試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，，是的內(nèi)心，若，其中，動點的軌跡所覆蓋的面積為（）A． B． C． D．2．已知200輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如圖所示，時速在的汽車輛數(shù)為()A．8 B．80 C．65 D．703．某單位有職工160人，其中業(yè)務(wù)員有104人，管理人員32人，后勤服務(wù)人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一個容量為20的樣本，則抽取管理人員()A．3人 B．4人 C．7人 D．12人4．等差數(shù)列中，，則的值為()A．14 B．17 C．19 D．215．與直線垂直于點的直線的一般方程是（）A． B． C． D．6．已知銳角中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知向量,滿足,和的夾角為,則()A． B． C． D．18．在平行四邊形中，，若點滿足且，則A．10 B．25 C．12 D．159．若實數(shù)a＞b，則下列結(jié)論成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B． C．ln2a＞ln2b D．a(chǎn)x2＞bx210．小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M，A．815 B．18 C．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．數(shù)列滿足，當時，，則是否存在不小于2的正整數(shù)，使成立？若存在，則在橫線處直接填寫的值；若不存在，就填寫“不存在”_______.12．設(shè)向量，，______.13．設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，若，則__________________．14．直線的傾斜角為__________．15．已知，，若，則實數(shù)_______.16．已知點A(-a,0),B(a,0)(a>0)，若圓(x-2)2+(y-2)2=2上存在點C三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2019年，河北等8省公布了高考改革綜合方案將采取“3+1+2”模式，即語文、數(shù)學、英語必考，然后考生先在物理、歷史中選擇1門，再在思想政治、地理、化學、生物中選擇2門.為了更好進行生涯規(guī)劃，甲同學對高一一年來的七次考試成績進行統(tǒng)計分析，其中物理、歷史成績的莖葉圖如圖所示.(1)若甲同學隨機選擇3門功課，求他選到物理、地理兩門功課的概率；(2)試根據(jù)莖葉圖分析甲同學應在物理和歷史中選擇哪一門學科？并說明理由；(3)甲同學發(fā)現(xiàn)，其物理考試成績(分)與班級平均分(分)具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示，試求當班級平均分為50分時，其物理考試成績.參考數(shù)據(jù):，，，.參考公式：，，(計算時精確到).18．土筍凍是閩南種廣受歡迎的特色傳統(tǒng)風味小吃某小區(qū)超市銷售一款土筍凍，進價為每個15元，售價為每個20元.銷售的方案是當天進貨，當天銷售,未售出的全部由廠家以每個10元的價格回購處理.根據(jù)該小區(qū)以往的銷售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；(2)已知該超市某天購進了150個土筍凍，假設(shè)當天的需求量為個銷售利潤為元.(i)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(ii)結(jié)合上述頻率分布直方圖，以額率估計概率的思想,估計當天利潤不小于650元的概率.19．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當為何值時，PB⊥AC？20．已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.21．在平面直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Γ與y軸交于點C．（1）是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程;若不存在，請說明理由；（2）求證:過A，B，C三點的圓過定點，并求出該定點的坐標．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

由且，易知動點的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)部（含邊界），在中，由，利用余弦定理求得邊，再由和，求得內(nèi)切圓的半徑，從而得到，再由動點的軌跡所覆蓋的面積得解.【題目詳解】因為且，根據(jù)向量加法的平行四邊形運算法則，所以動點的軌跡為以為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)部（含邊界），因為在中，，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，，所以.設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，所以所以.所以.所以動點的軌跡所覆蓋的面積為：.故選：A【題目點撥】本題主要考查了動點軌跡所覆蓋的面積的求及正弦定理，余弦定理的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.2、B【解題分析】

先計算時速在的汽車頻率，再乘200,。【題目詳解】由圖知：時速在的汽車頻率為所以時速在的汽車輛數(shù)為，選B.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題。3、B【解題分析】

根據(jù)分層抽樣原理求出應抽取的管理人數(shù)．【題目詳解】根據(jù)分層抽樣原理知，應抽取管理人員的人數(shù)為：故選：B【題目點撥】本題考查了分層抽樣原理應用問題，是基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，.【題目詳解】，解得：.故選B.【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.5、A【解題分析】由已知可得這就是所求直線方程，故選A.6、B【解題分析】

利用余弦定理化簡后可得，再利用正弦定理把邊角關(guān)系化為角的三角函數(shù)的關(guān)系式，從而得到，因此，結(jié)合的范圍可得所求的取值范圍.【題目詳解】，因為為銳角三角形，所以，，，故,選B.【題目點撥】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.7、B【解題分析】

由平面向量的數(shù)量積公式，即可得到本題答案.【題目詳解】由題意可得.故選：B.【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

先由題意，用，表示出，再由題中條件，根據(jù)向量數(shù)量積的運算，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為點滿足，所以，則故選C.【題目點撥】本題主要考查向量數(shù)量積的運算，熟記平面向量基本定理以及數(shù)量積的運算法則即可，屬于?？碱}型.9、C【解題分析】

特值法排除A,B,D,單調(diào)性判斷C【題目詳解】由題意，可知：對于A：當a、b都是負數(shù)時，很明顯a2＜b2，故選項A不正確；對于B：當a為正數(shù)，b為負數(shù)時，則有，故選項B不正確；對于C：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴l(xiāng)n2a＞ln2b，故選項C正確；對于D：當x＝0時，結(jié)果不成立，故選項D不正確；故選：C．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)應用，特殊值技巧的應用，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)值大小的比較．本題屬中檔題．10、C【解題分析】試題分析：開機密碼的可能有(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5)，(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)，共15種可能，所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是115【考點】古典概型【解題反思】對古典概型必須明確兩點：①對于每個隨機試驗來說，試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．只有在同時滿足①、②的條件下，運用的古典概型計算公式P(A)=m二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、70【解題分析】

構(gòu)造數(shù)列，兩式與相減可得數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，讓=0即可求出.【題目詳解】設(shè)兩式相減得又數(shù)列從第5項開始為等差數(shù)列，由已知易得均不為0所以當n=70的時候成立，故答案填70.【題目點撥】如果遞推式中出現(xiàn)和的形式，比如，可以嘗試退項相減，即讓取后，兩式作差，和的部分因為相減而抵消，剩下的就好算了。12、【解題分析】

利用向量夾角的坐標公式即可計算.【題目詳解】.【題目點撥】本題主要考查了向量夾角公式的坐標運算，屬于容易題.13、【解題分析】

由可知,算出用表示的極限,再利用性質(zhì)計算得出即可.【題目詳解】顯然公比不為1,所以公比為的等比數(shù)列求和公式,且,故.此時當時,求和極限為,所以,故,所以,故,又,故.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列求和公式,當時.14、【解題分析】試題分析：由直線方程可知斜率考點：直線傾斜角與斜率15、【解題分析】

利用平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系可得，再利用數(shù)量積的坐標運算可得：，解方程即可.【題目詳解】因為，所以，整理得：，解得：【題目點撥】本題主要考查了平面向量垂直的坐標關(guān)系及方程思想，屬于基礎(chǔ)題．16、3【解題分析】

利用參數(shù)方程假設(shè)C點坐標，表示出AC和BC，利用AC?BC=0可得到a【題目詳解】設(shè)C∴∵∠ACB=90°∴∴當sinα+∴0<a≤3本題正確結(jié)果：3【題目點撥】本題考查圓中參數(shù)范圍求解的問題，關(guān)鍵是能夠利用圓的參數(shù)方程，利用向量數(shù)量積及三角函數(shù)關(guān)系求得最值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】

(1)列出基本事件的所有情況，然后再列出滿足條件的所有情況，利用古典概率公式即可得到答案.(2)計算平均值和方差，從而比較甲同學應在物理和歷史中選擇哪一門學科；（3）先計算和，然后通過公式計算出線性回歸方程，然后代入平均值50即可得到答案.【題目詳解】(1)記物理、歷史分別為，思想政治、地理、化學、生物分別為，由題意可知考生選擇的情形有，，，，，，，，，，，，共12種他選到物理、地理兩門功課的滿情形有，共3種甲同學選到物理、地理兩門功課的概率為(2)物理成績的平均分為歷史成績的平均分為由莖葉圖可知物理成績的方差歷史成績的方差故從平均分來看，選擇物理歷史學科均可以；從方差的穩(wěn)定性來看，應選擇物理學科；從最高分的情況來看，應選擇歷史學科(答對一點即可)(3)，,關(guān)于的回歸方程為當時，,當班級平均分為50分時，其物理考試成績?yōu)?3分【題目點撥】本題主要考查古典概型，統(tǒng)計數(shù)的相關(guān)含義，線性回歸方程的計算，意在考查學生的閱讀理解能力，計算能力和分析能力，難度不大.18、（1）（2）(i)（）；(ii)【解題分析】

(1)設(shè)日需求量為，直接利用頻率分布圖中的平均數(shù)公式估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)；（2）(i)分類討論得（）；(ii)由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量，再利用互斥事件的概率和公式求解.【題目詳解】解：（1）設(shè)日需求量為，依題意的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為．則與的頻率為．故該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)，．（2）（i）當時，；當時，．故（）（ii）由（i）可知，利潤，當且僅當日需求量．由頻率分布直方圖可知，日需求量的頻率約為，以頻率估計概率的思想，估計當天利潤不小于元的概率為．【題目點撥】本題主要考查頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算和分段函數(shù)解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）見解析【解題分析】

1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,由EO//PB可證PB//平面EA．（2）由側(cè)面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【題目詳解】（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,因為O，E分別為BD.PD的中點,所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E為PD的中點，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）設(shè)N為AD中點，連接PN，則．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB為PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設(shè)AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，當時，PB⊥AC．【題目點撥】本題綜合考查線面平行的判定，線面垂直的判定，及探索性問題找異面直線垂直，第三問難度較大，需要把異面直線垂直轉(zhuǎn)化為射影垂直，即共面垂直問題．20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）利用數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列是等比數(shù)列；（2）確定等比數(shù)列的首項和公比，