高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考點(diǎn)解析 (八)

第十二章概率與統(tǒng)計(jì)

12.2古典概型與幾何概型

古典概型的概

專(zhuān)題

1率

■(2015遼寧丹東二模，古典概型的概率,填空題，理15)將標(biāo)號(hào)為123,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同

的信封中,若每個(gè)信封放2張，則標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一個(gè)信封的概率為.

解析:由題意，將標(biāo)號(hào)為123,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中,若每個(gè)信封放2張，共有=90種.

先從3個(gè)信封中選一個(gè)放1,2有3種不同的選法，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)數(shù)中選兩個(gè)放一個(gè)信封有=6,

余下放入最后一個(gè)信封，

標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一個(gè)信封共有3=18種.

.：標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一個(gè)信封的概率為.

答案：

[專(zhuān)題3]幾何概型在不同測(cè)度中的概率|

■(2015河北邯鄲二模，幾何^型在不同測(cè)度中的概率,選擇題，理12)己知函數(shù)火x)=x3+fex2+cx,對(duì)任意

的6,。6[一3,3]1/0)在(-1,1)內(nèi)既有極大值又有極小值的概率為()

A.B.C.D.

解析:由題意八x)=3?+2fcv+c.

在(-1,1)內(nèi)既有極大值又有極小值，

?'.f(x)=3x2+2bx+c=0的兩個(gè)根在(-1,1)內(nèi)，

對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為2=6,

:%,CG[-3,3],

對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積為36.

,：兀0在(-1,1)內(nèi)既有極大值又有極小值的概率為.

答案:D

■(2015遼寧葫蘆島二模，幾何概型在不同測(cè)度中的概率，選擇題，理8)如圖所示,一個(gè)圓形靶子的中心

是一個(gè)“心形”圖案，其中“心形”圖案是由上邊界G(虛線(xiàn)L上方部分)與下邊界CX虛線(xiàn)L下方部分)圍

成，曲線(xiàn)Ci是函數(shù)y=的圖象，曲線(xiàn)C2是函數(shù))，二的圖象，圓的方程為』+)?=8,某人向靶子射出一箭(假

設(shè)箭一定能射中單巴子且射中靶中任何一點(diǎn)是等可能的)，則此箭恰好命中“心形”圖案的概率為()

解析:由y==-得x=l.

當(dāng)x>0時(shí)軸右邊的面積S=-(-)]dx=(2)dr=2dx+)dr,

dr的幾何意義為單位圓的面積

)dx==-,

則S=,

故陰影部分的面積為2s=2,

大圓的面積5=兀乂8=8幾,故此箭恰好命中“心形”圖案的概率P=.

答案:B

12.4離散型隨機(jī)變量的均值與方差

|專(zhuān)題2|離散型隨機(jī)變量的均值與方差|

■(2015茂名一模，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理18)

女

91589

91612589

65017346

721801

119

第117屆中國(guó)進(jìn)出口商品交易會(huì)(簡(jiǎn)稱(chēng)2015年春季交廣會(huì))將于2015年4月15日在廣州市舉行，為

了搞好接待工作，組委會(huì)在廣州某大學(xué)分別招募8名男志愿者和12名女志愿者,現(xiàn)將這20名志愿者

的身高組成如圖所示的莖葉圖(單位:m),若身高在175cm以上(包括175cm)定義為“高個(gè)子”，身高在

175cm以下(不包括175cm)定義為“非高個(gè)子”.

(1)計(jì)算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位數(shù)(保留一位小數(shù))；

(2)若從所有“高個(gè)子”中選3名志愿者，用^表示所選志愿者中為女志愿者的人數(shù),試寫(xiě)出j的分布歹U,

并求。的數(shù)學(xué)期望.

解:(1)根據(jù)莖葉圖，得：

男志愿者的平均身高為：

-176.1(cm),

女志愿者身高的中位數(shù)為:=168.5(cm).

(2)由莖葉圖知“高個(gè)子”有8人，“非高個(gè)子”有12人，

而多志愿者的“高個(gè)子''有5人,女志愿者的高個(gè)子有3人，?泊的可能取值為0,1,2,3,

尸(右0)二,

P(。=1)=,

P(*2)二,

尸(勺3)二,

?的分布列為：

沙|2|3'

Z￡(f=0x+lx+2x+3x.

■(2015江西南昌三模，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理18)

某單位招收技術(shù)員工需參加筆試和面試兩部分,把參加筆試的40名應(yīng)聘人員的成績(jī)分組:第1組

［75,80),第2組［80,85),第3組［85,90),第4組［90,95),第5組［95,100),得到的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)分別求出成績(jī)?cè)诘?,4,5組的人數(shù)；

(2)現(xiàn)決定在筆試成績(jī)較高的第3,4,5組中用分層抽樣抽取6人進(jìn)行面試.

⑦已知甲和乙的成績(jī)均在第3組,求甲或乙進(jìn)入面試的概率；

鰥從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官D的面試，設(shè)第4組中有X名學(xué)生被考官D面試，求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解:⑴第3組的人數(shù)為0.06x5x40=12;第4組的人數(shù)為0.04x5x40=8;第5組的人數(shù)為0.02x5x40=4.

(2)按分層抽樣方法在第3,4,5組中分別抽取3人,2人,1人.

近設(shè)“甲或乙進(jìn)入面試”為事件A,則P(A)=1-,即甲或乙進(jìn)入面試的概率為.

②￥的可能取值為0,1,2,所以X的分布列為：

所以EX=0x+lx+2x.

■(2015河北保定二模改編，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理18)某學(xué)校就某島有關(guān)常識(shí)隨機(jī)

抽取了16名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試用T0分制”以莖葉圖方式記錄了他們對(duì)該島的了解程度,分?jǐn)?shù)以小數(shù)點(diǎn)

前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉.

(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

(2)若所得分?jǐn)?shù)不低于9.5分，則稱(chēng)該學(xué)生對(duì)該島“非常了解”.求從這16人中隨機(jī)選取3人，求至多有1

人“非常了解”的概率；

(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該所學(xué)校學(xué)生的總體數(shù)據(jù),若從該所學(xué)校(人數(shù)可視為很多)任選3人,

記。表示抽到“非常了解”的人數(shù)，求^的分布列及數(shù)學(xué)期望.

得分

730

86666778899

97655

解:⑴眾數(shù):8.6;中位數(shù):=8.75.

(2)設(shè)4,表示所取3人中有i個(gè)人對(duì)該島“非常了解''，至多有1人對(duì)該島“非常了解”記為事件A,

則P(A)=P(Ao)+P(A)=.

(3片的可能取值為0,1,2,3.

尸(=0)=;尸(。=1)=;

戶(hù)(占2)=;尸(43)=.

所以。的分布列為：___________

0123

E<f=0x+lx+2x+3x=0.27.

另解力的可能取值為0,1,2,3,則白氏

P《=k)=.

所以咳=3x=0.75.

■(2015河里邯鄲二模，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理18)某市教育局邀請(qǐng)教育專(zhuān)家深入該

市多所中小學(xué)，開(kāi)展聽(tīng)課、訪(fǎng)談及隨堂檢測(cè)等活動(dòng).他們把收集到的180節(jié)課分為三類(lèi)課堂教學(xué)模式:

教師主講的為A模式，少數(shù)學(xué)生參與的為8模式，多數(shù)學(xué)生參與的為C模式4,B,C三類(lèi)課的節(jié)數(shù)比例

為3：2

(1)為便于研究分析，教育專(zhuān)家將4模式稱(chēng)為傳統(tǒng)課堂模式,8,C統(tǒng)稱(chēng)為新課堂模式,根據(jù)隨堂檢測(cè)結(jié)果,

把課堂教學(xué)效率分為高效和非高效，根據(jù)檢些逑統(tǒng)計(jì)得到如上2x2列聯(lián)表(單位:節(jié))

高效1非高效統(tǒng)計(jì)

新課堂模式603090

傳統(tǒng)課堂模式405090

統(tǒng)計(jì)100|80180

請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)回答:有沒(méi)有99%的把握認(rèn)為課堂教學(xué)效率與教學(xué)模式有關(guān)?并說(shuō)明理由.

(2)教育專(zhuān)家采用分層抽樣的方法從收集到的180節(jié)課中選出18節(jié)課作為樣本進(jìn)行研究，并從樣本的

8模式和C模式課堂中隨機(jī)抽取3節(jié)課.

圖至少有一節(jié)為C模式課堂的概率；

②設(shè)隨機(jī)抽取的3節(jié)課中含有C模式課堂的節(jié)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考臨界值表：_

■&冰).101.05卜.025|().010|().005|0.0011

[2.706|3.8415.024|6.6357.897|10網(wǎng)

參考公式:K：=，其中n=a+h+c+d.

解:(1)由列聯(lián)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算隨機(jī)變量K的觀(guān)測(cè)值為:％==9>6.635.

由臨界值表尸(片26.635戶(hù)0.010.

故有99%的把握認(rèn)為課堂效率與教學(xué)模式有關(guān).

(2)。從樣本中的B,C模式課堂中隨機(jī)抽取3節(jié)課，故該實(shí)臉為古典概型.

事件M表示“抽取的3節(jié)課中至少有一節(jié)課為C模式課堂

則P(M)=.

②￥的所有取值為0,l,2,3.P(X=0)=,P(X=l)=,P(X=2)=,P(X=3)=.

所以隨機(jī)變量X的分布列為

\0123

?：EX=0x+lx+2x+3x=l.

■(2015河北衡水中學(xué)高三一調(diào)，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理18)為了參加2015年市級(jí)

高中籃球比賽，該市的某區(qū)決定從四所高中學(xué)校選出12人組成男子籃球隊(duì)代表所在區(qū)參賽，隊(duì)員來(lái)源

人數(shù)如下表：

學(xué)校學(xué)校甲學(xué)校乙學(xué)校丙學(xué)校丁

人數(shù)4422

該區(qū)籃球隊(duì)經(jīng)過(guò)奮力拼搏獲得冠軍，現(xiàn)要從中選出兩名隊(duì)員代表冠軍隊(duì)發(fā)言.

(1)求這兩名隊(duì)員來(lái)自同一學(xué)校的概率；

(2)設(shè)選出的兩名隊(duì)員中來(lái)自學(xué)校甲的人數(shù)為媒求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望E。

解:(1)“從這12名隊(duì)員中隨機(jī)選出兩名,兩人來(lái)自于同一學(xué)?！庇涀魇录嗀,

則P(A)=.

(2片的所有可能取值為0,1,2.

則P《=0)=,

產(chǎn)(右1)=,

尸《=2)=.

.：。的分布列為：_________

一012

P

.:或=0x+lx+2x.

■(2015遼寧丹東二模，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理18)為了參加一項(xiàng)數(shù)學(xué)能力測(cè)試團(tuán)體

賽，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班級(jí)進(jìn)行了一段時(shí)間的“限時(shí)搶分”強(qiáng)化訓(xùn)練,現(xiàn)分別從強(qiáng)化訓(xùn)練期間兩班

的若干次平均成績(jī)中隨機(jī)抽取6次(滿(mǎn)分100分),記錄如下表：

甲平均成績(jī)839180799285

乙平均成績(jī)929380848279

根據(jù)這6次的數(shù)據(jù)回答：

(1)現(xiàn)要選派一個(gè)實(shí)驗(yàn)班參加測(cè)試團(tuán)體賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度，你認(rèn)為選派哪個(gè)實(shí)驗(yàn)班合理?說(shuō)明理由；

(2)對(duì)選派的實(shí)驗(yàn)班在團(tuán)體賽的三次比賽成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè),記這三次平均成績(jī)中不低于85分的次數(shù)為X,

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX

解:⑴=8.5,

又U25戶(hù)30.67”

相對(duì)來(lái)講甲的成績(jī)更加穩(wěn)定，所以選派甲合適.

(2)依題意得甲不低于8的頻率為，的可能取值為0,1,2,3,則X-B.

所以P(X=k)=,Z=0,l,2,3.

所以X的分布列為

ffl

所以EX=0x+lx+2x+3x.

■(2015遼寧丹東一模，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理19)某校理科實(shí)驗(yàn)班的100名學(xué)生期

中考試的語(yǔ)文數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于100分，其中語(yǔ)文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,成績(jī)分組區(qū)間

是:[100,110),[110,120)口20,130),[130,140),[140,150].這100名學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)x與數(shù)

學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)y之比如下表所示:_______________________

分組區(qū)間[100,110)[110,120)[120J30)[130,140)

1：223；41：\

(1)估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；

⑵從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱130,150]的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱140,150]的人數(shù)為X,求X的

數(shù)學(xué)期望EX.

解:⑴：Q05x2+0.4x+0.3x=0.7>0.5,0.7-0.5=02

.:這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是130-10x=125.

(2)：?數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,140)之內(nèi)的人數(shù)為x100=90,

.：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱140,150]的人數(shù)為100-90=10人，

而教學(xué)成績(jī)?cè)赱130,140)的人數(shù)為0.2x100=20人,X可取(),1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,X的分

布列為：_______

P-

.：EX=0x+lx+2x.

■(2015遼寧葫蘆島二模，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理19)某電視臺(tái)推出一檔游戲類(lèi)綜藝

節(jié)目，選手面對(duì)1-5號(hào)五扇大門(mén),依次按響門(mén)上的門(mén)鈴，門(mén)鈴會(huì)播放一段音樂(lè)，選手需正確回答這首歌的

名字，回答正確，大門(mén)打開(kāi),并獲得相應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金，回答每一扇門(mén)后,選手可自由選擇帶著目前的

獎(jiǎng)金離開(kāi)，還是繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門(mén)以獲得更多的夢(mèng)想基金，但是一旦回答錯(cuò)誤，游戲結(jié)束并將之前獲得

的所有夢(mèng)想基金清零;整個(gè)游戲過(guò)程中,選手有一次求助機(jī)會(huì)，選手可以詢(xún)問(wèn)親友團(tuán)成員以獲得正確答

案.

1-5號(hào)門(mén)對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金依次為3000元、6000元、8000元、12000元、24000元(以上基金

金額為打開(kāi)大門(mén)后的累積金額，如第三扇大門(mén)打開(kāi)，選手可獲基金總金額為8000元);設(shè)某選手正確回

答每一扇門(mén)的歌曲名字的概率為仍(i=l,2,…,5),且p,=(i=l,2,…,5),親友團(tuán)正確回答每一扇門(mén)的歌曲名

字的概率均為，該選手正確回答每一扇門(mén)的歌名后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門(mén)的概率均為.

(1)求選手在第三扇門(mén)使用求助且最終獲得12000元家庭夢(mèng)想基金的概率；

(2)若選手在整個(gè)游戲過(guò)程中不使用求助，且獲得的家庭夢(mèng)想基金數(shù)額為X(元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

解:設(shè)事件“該選手回答正確第i扇門(mén)的歌曲名稱(chēng)''為事件A',“使用求助回答正確歌曲名稱(chēng)”為事件B,

事件“每一扇門(mén)回答正確后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)下一扇門(mén)”為事件C;則

P(A)=,P(A2)=,P(A3)=,P(4)=,P(4)=,尸(8)=1(C=.

(1)設(shè)事件“選手在第三扇門(mén)使用求助且最終獲得12000元家庭夢(mèng)想基金”為事件A,則

4=4CA2cBe4小故P(4)=.

.:出手在第三扇門(mén)使用求助且最終獲得12000元家庭夢(mèng)想基金的概率為.

(2)X的所有可能取值為:0,3000,6000,8000,12000,24000;

尸(X=3000)=P(A|)=;

尸(X=6000)=P(AIG42)=；

尸(X=8000)=P(4CA2cA3)=;

P(X=12000)=P(4C42cA3cA4)=；

P(X=24000)=P(A?C42cA3cA4c4s)=;

3cAc)=；

尸(X=0)=P()+P(4O+P(AIC42O+P(4CA2c43O+P(AIC42。i

(或P(X=0)=l-(P(X=3000)+P(X=6000)+P(X=8000)+P(X=12000)+P(X=24000))=l-=l-.

.：X的分布列為：

\03000600080001200024000

/)

.：EX=0x+3000x+6000x+8000x+12000x+24000x=1250+1000+500+250+250=3250(元).

.：選手獲得的家庭夢(mèng)想基金數(shù)額為X的數(shù)學(xué)期望為3250元.

■(2015遼寧錦州二模，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理19)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能

力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興艘小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)

(男30女20),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解析.選題情況如

下表：(單位:人)_____________________

幾何題代數(shù)題總計(jì)

男同學(xué)22830

女同學(xué)81220

總計(jì)302050

(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)？

(2)經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，甲每次解析一道幾何題所用的時(shí)間在5~7分鐘，乙每次解析一道幾何題所用的時(shí)

間在6~8分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解析完的概率.

(3)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生

被抽到的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.

附表及公式：

P(K，)0.150.100.050.0250.01()0.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

片=.

解:⑴由表中數(shù)據(jù)得片的觀(guān)測(cè)值g=5.556>5.024,

所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān).

(2)設(shè)甲、乙解析一道幾何題的時(shí)間分別為X,)，分鐘，則基本事件滿(mǎn)足的區(qū)域?yàn)?如圖所示).

設(shè)事件A為“乙比甲先做完此道題''，則滿(mǎn)足的區(qū)域?yàn)閤>y,

.：由幾何概型尸(A)=,即乙比甲先解析完的概率為.

(3)由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有=28種，其中甲、乙兩人沒(méi)

有一個(gè)人被抽到有=15種少合有一人被抽到有=12種;兩人都被抽到有=1種，.:X可能取值為0,1,2,

P(X=O)=,P(X=1)=,P(X=2)=.

X的分布列為：

14)|||2I

E

ZEX=0x+lx+2x.

■(2015遼寧錦州一模，離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解答題，理19)某市一所高中隨機(jī)抽取部分高一

學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間(單位:分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路

上所需時(shí)間的范圍是[0,100],樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

(1)求頻率分布直方圖中x的值；

(2)如果上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿,若招生1200名，請(qǐng)估計(jì)新生中有

多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；

(3)從學(xué)校的高一學(xué)生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)路上所需時(shí)間少于20分鐘的人數(shù)記為X,求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)

解:⑴由直方圖可得:20XX+0.025X20+0.0065X20+0.003X2X20=1.

所以x=0.0125.

(2)新生上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為：

0.003x2x20=0.12,

因?yàn)?200x0.12=144,

所以1200名新生中有144名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.

(3)X的可能取值為0,1,2,34

由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為，

尸(X=o)=,

P(x=l)=,

P(X=2)=,

尸(X=3)=,

尸(X=4)=.

所以X的分布列為：

\01234

r

EX=0x+lx+2x+3x+4x=L

所以X的數(shù)學(xué)期望為1.

12.5二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

I專(zhuān)題i|條件概罩"I

■(2015江西南昌三模，條件概率,選擇題，理7)從1,2,3,4,5,6,7,89中不放回地依次取2個(gè)數(shù)，事件

4="第一次取到的是奇數(shù)”,8="第二次取到的是奇數(shù)”，則P(8|A)=()

A.B