用三線擺法測(cè)定物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量自然科學(xué)

1/1用三線擺法測(cè)定物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量-自然科學(xué)

三線擺法測(cè)試物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

引言

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度，是表征剛體特性的一個(gè)物理量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小除與物體質(zhì)量有關(guān)外，還與轉(zhuǎn)軸的位置和質(zhì)量分布（即外形、大小和密度）有關(guān)。假如剛體外形簡(jiǎn)潔，且質(zhì)量分布勻稱，可直接計(jì)算出它繞特定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。但在工程實(shí)踐中，我們常遇到大量外形簡(jiǎn)單，且質(zhì)量分布不勻稱剛體，理論計(jì)算將極為簡(jiǎn)單，通常采納試驗(yàn)方法來(lái)測(cè)定。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量，一般都是使剛體以肯定的形式運(yùn)動(dòng)。通過(guò)表征這種運(yùn)動(dòng)特征的物理量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)換測(cè)量。測(cè)量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法有多種，三線擺法是具有較好物理思想的試驗(yàn)方法，它具有設(shè)備簡(jiǎn)潔、直觀、測(cè)試便利等優(yōu)點(diǎn)。

【一】試驗(yàn)?zāi)康?/p>

1．學(xué)會(huì)用三線擺測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2．學(xué)會(huì)用累積放大法測(cè)量周期運(yùn)動(dòng)的周期。3．驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。

【二】試驗(yàn)儀器及使用方法

三線擺、水準(zhǔn)儀、停表、米尺、游標(biāo)卡尺、物理天平以及待測(cè)物體等。1．DH4601轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試儀1臺(tái)2．試驗(yàn)機(jī)架1套3．圓環(huán)1塊4．圓柱體2個(gè)

儀器操作

1．打開(kāi)電源，程序預(yù)置周期為T(mén)=30（數(shù)顯），即：小球來(lái)回經(jīng)過(guò)光電門(mén)的次數(shù)為T(mén)=2n+1

次。

2．據(jù)詳細(xì)要求，若要設(shè)置50次，先按“置數(shù)”開(kāi)鎖，再按上調(diào)（或下調(diào)）轉(zhuǎn)變周期T，

再按“置數(shù)”鎖定，此時(shí)，即可按執(zhí)行鍵開(kāi)頭計(jì)時(shí)，信號(hào)燈不停閃耀，即為計(jì)時(shí)狀態(tài)，當(dāng)物體經(jīng)過(guò)光電門(mén)的周期次數(shù)達(dá)到設(shè)定值，數(shù)顯將顯示詳細(xì)時(shí)間，單位“秒”。須再執(zhí)行“50”周期時(shí)，無(wú)須重設(shè)置，只要按“返回”即可回到上次剛執(zhí)行的周期數(shù)“50”，再按“執(zhí)行”鍵，便可以其次次計(jì)時(shí)。

（當(dāng)斷電再開(kāi)機(jī)時(shí)，程序從頭預(yù)置30次周期，須重復(fù)上述步驟）

【三】試驗(yàn)原理

圖1是三線擺試驗(yàn)裝置的示意圖。上、下圓盤(pán)均處于水平，懸掛在橫梁上。三個(gè)對(duì)稱分布的等長(zhǎng)懸線將兩圓盤(pán)相連。上圓盤(pán)固定，下圓盤(pán)可繞中心軸OO?作扭擺運(yùn)動(dòng)。當(dāng)下盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)角度很小，且略去空氣阻力時(shí)，扭擺的運(yùn)動(dòng)可近似看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。依據(jù)能量守恒定律和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律均可以導(dǎo)出物體繞中心軸OO?的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)本試驗(yàn)附錄)。

m0gRr2TI0?（4-1）024?H0式中各物理量的意義如下：m0為下盤(pán)的質(zhì)量；r、R分別為上下懸點(diǎn)離各自圓盤(pán)中心的距離；H0為平衡時(shí)上

rO'HRO圖1三線擺試驗(yàn)裝置圖下盤(pán)間的垂直距離；T0為下盤(pán)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，g為重力加速度（在杭州地區(qū)

2。g?9.793m/s）

將質(zhì)量為m的待測(cè)物體放在下盤(pán)上，并使待測(cè)剛體的轉(zhuǎn)軸與OO?軸重合。測(cè)出此時(shí)

擺運(yùn)動(dòng)周期T1和上下圓盤(pán)間的垂直距離H。同理可求得待測(cè)剛體和下圓盤(pán)對(duì)中心轉(zhuǎn)軸

OO?軸的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：

4?H如不計(jì)因重量變化而引起懸線伸長(zhǎng)，則有H?H0。那么，待測(cè)物體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

I1?(m0?m)gRr2T1（4-2）

2為:

I?I1?I0?gRr4?H2[(m?m0)T1?m0T0](4-3)

22因此，通過(guò)長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間的測(cè)量，便可求出剛體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

用三線擺法還可以驗(yàn)證平行軸定理。若質(zhì)量為m的物體繞通過(guò)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

，則此物體對(duì)新軸OO?的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic，當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移動(dòng)距離x時(shí)（如圖2所示）

Ioo?Ic?mx。這一結(jié)論稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。

2試驗(yàn)時(shí)將質(zhì)量均為m'，外形和質(zhì)量分布完全相同的兩個(gè)圓柱

體對(duì)稱地放置在下圓盤(pán)上（下盤(pán)有對(duì)稱的兩個(gè)小孔）。按同樣的方法，測(cè)出兩小圓柱體和下盤(pán)繞中心軸OO?的轉(zhuǎn)動(dòng)周期Tx，則可求出每個(gè)柱體對(duì)中心轉(zhuǎn)軸OO?的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:Ix?(m0?2m')gRr4?H2O'xTx?I0(4-4)

2Cm假如測(cè)出小圓柱中心與下圓盤(pán)中心之間的距離x以及小圓柱體的半徑Rx，則由平行軸定理可求得I'x?m'x?'212Om'Rx(4-5)

2比較Ix與Ix的大小,可驗(yàn)證平行軸定理.

圖2平行軸定理【四】試驗(yàn)內(nèi)容及步驟

1．用三線擺測(cè)定圓環(huán)對(duì)通過(guò)其質(zhì)心且垂直于環(huán)面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2．用三線擺驗(yàn)證平行軸定理。試驗(yàn)步驟要點(diǎn)如下：

(1)調(diào)整下盤(pán)水平：將水準(zhǔn)儀置于下盤(pán)任意兩懸線之間，調(diào)整小圓盤(pán)上的三個(gè)旋扭，轉(zhuǎn)變?nèi)龖揖€的長(zhǎng)度，直至下盤(pán)水平。

(2)測(cè)量空盤(pán)繞中心軸OO?轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)周期T0：輕輕轉(zhuǎn)動(dòng)上盤(pán)，帶動(dòng)下盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣可以避開(kāi)三線擺在作扭擺運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)生晃動(dòng)。留意扭擺的轉(zhuǎn)角掌握在5?以內(nèi)。用累積放大法測(cè)出扭擺運(yùn)動(dòng)的周期（用秒表測(cè)量累積30至50次的時(shí)間，然后求出其運(yùn)動(dòng)周期，為什么不直接測(cè)量一個(gè)周期？）。測(cè)量時(shí)間時(shí)，應(yīng)在下盤(pán)通過(guò)平衡位置時(shí)開(kāi)頭計(jì)數(shù)，并默讀5、4、3、2、1、0，當(dāng)數(shù)到“0”時(shí)啟動(dòng)停表，這樣既有一個(gè)計(jì)數(shù)的預(yù)備過(guò)程，又不致于少數(shù)一個(gè)周期。

(3)測(cè)出待測(cè)圓環(huán)與下盤(pán)共同轉(zhuǎn)動(dòng)的周期T1：將待測(cè)圓環(huán)置于下盤(pán)上，留意使兩者中心重合，按同樣的方法測(cè)出它們一起運(yùn)動(dòng)的周期T1。

2

(4)測(cè)出二小圓柱體（對(duì)稱放置）與下盤(pán)共同轉(zhuǎn)動(dòng)的周期Tx。

(5)測(cè)出上下圓盤(pán)三懸點(diǎn)之間的距離a和b，然后算出懸點(diǎn)到中心的距離r和R（等邊三角形外接圓半徑）

(6)其它物理量的測(cè)量：用米尺測(cè)出兩圓盤(pán)之間的垂直距離H0和放置兩小圓柱體小孔間距2x；用游標(biāo)卡尺測(cè)出待測(cè)圓環(huán)的內(nèi)、外直徑2R1、2R2和小圓柱體的直徑2Rx。

(7)記錄各剛體的質(zhì)量。

【五】試驗(yàn)數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)處理結(jié)果

1．試驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄

b?H0?

3下盤(pán)質(zhì)量m0?待測(cè)圓環(huán)質(zhì)量m?圓柱體質(zhì)量m'?r?33a?R?3

表4-1：累積法測(cè)周期數(shù)據(jù)記錄參考表格下盤(pán)搖擺50次所需時(shí)間單位（秒）周期12345平均T0?S下盤(pán)加圓環(huán)12345平均T1?S下盤(pán)加兩圓柱12345平均Tx?S表4-2：有關(guān)長(zhǎng)度多次測(cè)量數(shù)據(jù)記錄參考表項(xiàng)目上盤(pán)懸孔間距a(cm)次數(shù)12345平均上盤(pán)懸孔間距b(cm)待測(cè)圓環(huán)外直徑內(nèi)直徑2R1(cm)2R2(cm)放置小圓柱小圓柱體直體兩小孔間徑2Rx(cm)距2x(cm)

2．待測(cè)圓環(huán)測(cè)量結(jié)果的計(jì)算，并與理論值計(jì)算值比較，求相對(duì)誤差并進(jìn)行爭(zhēng)論。已知抱負(fù)圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式為I理論?m23

(R1?R2)。

22

3．求出圓柱體繞自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并與理論計(jì)算值{I理?理。

m'2R'x}比較，驗(yàn)證平行軸定

2【六】思索題

1．用三線擺測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，為什么必需保持下盤(pán)水平？

2．在測(cè)量過(guò)程中，如下盤(pán)消失晃動(dòng)，對(duì)周期有測(cè)量有影響嗎？如有影響，應(yīng)如何避開(kāi)之？3．三線擺放上待測(cè)物后，其搖擺周期是否肯定比空盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期大？為什么？

4．測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，若圓環(huán)的轉(zhuǎn)軸與下盤(pán)轉(zhuǎn)軸不重合，對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有何影響？5．如何利用三線擺測(cè)定任意外形的物體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？

6．三線擺在搖擺中受空氣阻尼，振幅越來(lái)越小，它的周期是否會(huì)變化？對(duì)測(cè)量結(jié)果影響大嗎？為什么？

【七】附錄

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量式的推導(dǎo)

當(dāng)下盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，其轉(zhuǎn)角?很小時(shí)，其扭動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：

2????0sint（4-6）

T0當(dāng)擺離開(kāi)平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，其重心上升h，依據(jù)機(jī)械能守恒定律有：

12I?0?mgh（4-7）

2mgh2即I?而???0d?2（4-8）

0?0?dt2???02??T2?cost（4-9）

TT02（4-10）

將（4-10）式代入（4-7）式得I?（4-11）

從圖3中的幾何關(guān)系中可得

(H?h)?R22mghT2??022r?2Rrcos?0?l2?H2?