27.4 正多邊形和圓 華師版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)學(xué)案

27.4正多邊形和圓學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念.2.理解并掌握正多邊形半徑、中心角、邊心距、邊長(zhǎng)之間的關(guān)系.(重點(diǎn))3.會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題.（難點(diǎn)）自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1.正多邊形是指_______相等,_________也相等的多邊形.

2.n邊形的內(nèi)角和為______________,正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為_________.3.用尺規(guī)作圖，畫出已知線段的垂直平分線，及已知角的平分線.二、新知預(yù)習(xí)（預(yù)習(xí)課本P65-67）填空并完成練習(xí)：任何正多邊形都有一個(gè)________圓和一個(gè)________圓；正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，這個(gè)圓心為正多邊形的________.外接圓的半徑叫做正多邊形的___________,內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的_________.正多邊形的每一條邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的___________.把圓分成（n＞2）等份，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的一個(gè)_______________.練習(xí)：1.如圖，在正六邊形ABCDEF中，中心為點(diǎn)O，OM⊥BC，則該正六邊形的半徑為____________,邊心距為___________,中心角為_________.第1題圖第2題圖2.如圖，正五邊形的中心角∠AOB的度數(shù)為__________°.3.已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則其半徑為_______,邊心距為_______.合作探究要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：正多邊形的對(duì)稱性畫一畫：畫出下列各正多邊形的對(duì)稱軸：?jiǎn)栴}正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形都是軸對(duì)稱圖形嗎？都是中心對(duì)稱圖形嗎？【要點(diǎn)歸納】正n邊形都是軸對(duì)稱圖形，都有n條對(duì)稱軸，只有邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形才是中心對(duì)稱圖形.探究點(diǎn)2：正多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)觀察與思考問題觀察正五邊形的各條對(duì)稱軸，它們有哪些性質(zhì)？（1）這些對(duì)稱軸交于一點(diǎn)O，它們是正五邊形各邊的_____________,則點(diǎn)O到正五邊形___________的距離相等，記作R，那么以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓經(jīng)過正五邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，則它是正五邊形的__________.（2）這些對(duì)稱軸還是正五邊形各內(nèi)角的________________,則點(diǎn)O到正五邊形___________的距離相等,記作r.那么以點(diǎn)O為圓心，以r為半徑的圓與正五邊形的各邊_________，則它是正五邊形的__________.想一想其他的正多邊形，是否也能得出同樣的(1)(2)中的結(jié)論？【要點(diǎn)歸納】1.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓.2.正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，這個(gè)圓心為正多邊形的中心.外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑,內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.正多邊形的每一條邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.填一填：完成下面表格正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角外角346n【典例精析】例1若一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形的中心角是36°，則這個(gè)多邊形是（）A．正五邊形 B．正八邊形 C．正十邊形 D．正十八邊形【針對(duì)訓(xùn)練】若正多邊形的一個(gè)外角為40°，則這個(gè)正多邊形的中心角的度數(shù)是．想一想1.怎樣把一個(gè)圓進(jìn)行四等分？2.依次連結(jié)各等分點(diǎn)，得到一個(gè)什么圖形？探究歸納把⊙O進(jìn)行5等分，依次連結(jié)各等分點(diǎn)得到五邊形ABCDE.(1)填空：①=______;②_______=______;③∠A_____∠E.(2)這個(gè)五邊形ABCDE是正五邊形嗎？簡(jiǎn)單說說理由.【要點(diǎn)歸納】把圓分成（n＞2）等份，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的一個(gè)內(nèi)接正多邊形.【典例精析】例2用尺規(guī)作圖，作出圓內(nèi)接正三邊形、正八邊形.探究點(diǎn)3：正多邊形的有關(guān)計(jì)算探究歸納如圖，已知半徑為4的圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF：①它的中心角等于度；②OCBC(填＞、＜或＝）；③△OBC是三角形；④圓內(nèi)接正六邊形的面積是△OBC面積的倍.【典例精析】例3如圖①，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠ADE的度數(shù)是()A．60°B．45°C．36°D．30°圖①圖②【針對(duì)訓(xùn)練】如圖②，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AD和CE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是（）A．36°B．60°C．72°D．108°例4有一個(gè)亭子，它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長(zhǎng)和面積(精確到0.1m2).【針對(duì)訓(xùn)練】如圖，已知正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于半徑為R的⊙O，求這個(gè)正八邊形的面積．【方法歸納】圓內(nèi)接正多邊形的輔助線的作法：1.連半徑，得中心角；2.作邊心距，構(gòu)造直角三角形.二、課堂小結(jié)正多邊形和圓正多邊形的對(duì)稱性正n邊形都是軸對(duì)稱圖形，都有n條對(duì)稱軸，只有邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形才是中心對(duì)稱圖形.正多邊形的有關(guān)概念正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的公共圓心，叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距，正多邊形每一條邊所對(duì)的圓心角，叫做正多邊形的中心角.正多邊形的有關(guān)計(jì)算添加輔助線的方法：連半徑；作邊心距.當(dāng)堂檢測(cè)對(duì)于一個(gè)正多邊形，下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的是

（）A.正多邊形是軸對(duì)稱圖形，每條邊的垂直平分線是它的對(duì)稱軸B.正多邊形是中心對(duì)稱圖形，正多邊形的中心是它的對(duì)稱中心C.正多邊形每一個(gè)外角都等于正多邊形的中心角D.正多邊形每一個(gè)內(nèi)角都與正多邊形的中心角互補(bǔ)2.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連結(jié)BD，則∠CDB的度數(shù)是（）A．90° B．60° C．45° D．30°3.若正多邊形的一個(gè)外角為60°，則這個(gè)正多邊形的中心角的度數(shù)是．4.求半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長(zhǎng)、邊心距、中心角和面積．將結(jié)果填寫在下表中：圓的內(nèi)接正多邊形邊長(zhǎng)邊心距中心角面積正三角形正方形正六邊形5.用尺規(guī)作圖，作出圓的內(nèi)接正十二邊形.6.如圖，已知正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，且邊長(zhǎng)為4．（1）求該正六邊形的半徑、邊心距；（2）求該正六邊形的外接圓的周長(zhǎng)和面積．參考答案自主學(xué)習(xí)知識(shí)鏈接各條邊各個(gè)內(nèi)角180°?（n-2）畫圖略.新知預(yù)習(xí)1.外接內(nèi)切2.中心半徑邊心距中心角3.內(nèi)接正多邊形練習(xí)：1.OB或OCOM∠BOC2.723.2合作探究一、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：正多邊形的對(duì)稱性畫一畫：如圖所示.問題正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形都是軸對(duì)稱圖形；正四邊形、正六邊形是中心對(duì)稱圖形，正三角形、正五邊形不是中心對(duì)稱圖形.探究點(diǎn)2：正多邊形的有關(guān)概念及性質(zhì)觀察與思考問題垂直平分線各個(gè)頂點(diǎn)外接圓（2）平分線各邊相切內(nèi)切圓填一填：填表如下：正多邊形邊數(shù)內(nèi)角中心角外角360°120°120°490°90°90°6120°60°60°n【典例精析】例1C【針對(duì)訓(xùn)練】40°想一想1.解：如圖①，過圓心作兩條互相垂直的直徑，分別與圓交于點(diǎn)A、B、C、D，則點(diǎn)A、B、C、D將圓四等分.2.解：得到一個(gè)正方形.探究歸納（1）①3②3③=（2）五邊形ABCDE是正五邊形.理由如下：由（1）可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.由題意得即AB=BC=CD=DE=EA.∴五邊形ABCDE是正五邊形.【典例精析】例2解：如圖所示：探究點(diǎn)3：正多邊形的有關(guān)計(jì)算探究歸納①60②=③等邊④6【典例精析】例3C【針對(duì)訓(xùn)練】C例4解：如圖，易知△OCB為等邊三角形，故BC=OB=4m.過點(diǎn)O作OP⊥BC于點(diǎn)P.在Rt△OPB中,OB＝4m,PB＝利用勾股定理,可得邊心距故亭子地基的面積【針對(duì)訓(xùn)練】解：如圖，連結(jié)AO、BO、CO、AC.∵正八邊形ABCDEFGH的半徑為R，∴AO＝BO＝CO＝R，∠AOB＝∠BOC＝＝45°.∴∠AOC＝90°.∴AC＝R，此時(shí)AC與BO垂直.∴S四邊形AOCB＝BO×AC＝×R×R＝R2.∴正八邊形的面積為R2×4＝2R2．當(dāng)堂檢測(cè)1.B2.D3.60°4.填表如下：圓的內(nèi)接正多邊形邊長(zhǎng)邊心距中心角面積正三角形21120°3正方形290°8正六邊形260°65.解：圖略.（提示：在圓內(nèi)接正六邊形的基礎(chǔ)上作每條邊的垂直平分線并延長(zhǎng)，與圓交于6個(gè)點(diǎn)，再順次連結(jié)12個(gè)點(diǎn)，即為所求內(nèi)接正十二邊形.）6.解：（1）如圖，