28.1 銳角三角函數(shù) 2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)人教版專項(xiàng)講練鞏固篇(含解析)

專題28.18銳角三角函數(shù)（中考?？伎键c(diǎn)專題）（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題【類型一】銳角三角函數(shù)【考點(diǎn)一】（正弦??余弦??正切）概念??辨析（2021·浙江杭州·一模）1．在△ABC中，∠C＝90°，，則（）A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝（2020·北京市第三十五中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）2．把三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則銳角的余弦值（）A．?dāng)U大為原來(lái)的倍 B．縮小為原來(lái)的 C．?dāng)U大為原來(lái)的倍 D．不變【考點(diǎn)二】角??（正弦??余弦??正切）函數(shù)值（2021·廣東廣州·中考真題）3．如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（

）A． B． C． D．（2022·四川宜賓·中考真題）4．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)三】（正弦??余弦??正切）函數(shù)值??求邊長(zhǎng)（2022·山東菏澤·中考真題）5．如圖，在菱形ABCD中，，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2（2022·四川樂(lè)山·中考真題）6．如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長(zhǎng)為（

）

A． B．3 C． D．2【類型二】特殊銳角三角函數(shù)【考點(diǎn)一】特殊銳角??函數(shù)值（2021·浙江寧波·中考真題）7．如圖，在中，于點(diǎn)D，．若E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．1 D．（2016·山東濰坊·中考真題）8．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角α等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考點(diǎn)二】函數(shù)值??特殊銳角（2019·湖南懷化·中考真題）9．已知為銳角，且，則（）A． B． C． D．（2019·湖北荊州·中考真題）10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以原點(diǎn)為中心，將點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)三】混合運(yùn)算??特殊銳角??二次根式（2013·湖北孝感·中考真題）11．式子的值是（）A． B．0 C． D．0（2016·浙江杭州·二模）12．在實(shí)數(shù)，，，中，是有理數(shù)的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)四】特殊銳角值??判斷三角形形狀（2022·安徽淮南·模擬預(yù)測(cè)）13．在ABC中，，則ABC一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形（2019·天津天津·中考模擬）14．如圖，等腰直角中，，，點(diǎn)在斜邊上，且滿足，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，則的大小為（

）A． B．C． D．【類型三】解直角三角形【考點(diǎn)一】解直角三角形??直接解直角三角形（2022·河北·順平縣腰山鎮(zhèn)第一初級(jí)中學(xué)一模）15．如圖，將邊長(zhǎng)6cm的正方形紙片沿虛線剪開(kāi)，剪成兩個(gè)全等梯形．已知裁剪線與正方形的一邊夾角為60°，則梯形紙片中較短的底邊長(zhǎng)為（）A．（3﹣）cm B．（3﹣2）cm C．（6﹣）cm D．（6﹣2）cm（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）16．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線上，連接，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C．2 D．【考點(diǎn)二】解非直角三角形??轉(zhuǎn)化為直角三角形并解之（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）17．如圖，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，則AC的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．2（2019·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）18．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為．若的面積等于2，則的值等于（

）．A．-4 B．4 C．-2 D．2【考點(diǎn)三】解不規(guī)則圖形??構(gòu)造直角三角形并解之（2020·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）19．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，把Rt△ABC沿直線BC向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到△A'B'C'，則四邊形ABC'A'的面積是（

）A．15 B．18 C．20 D．22（2019·四川達(dá)州·中考真題）20．如圖，邊長(zhǎng)都為4的正方形ABCD和正三角形EFG如圖放置，AB與EF在一條直線上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合．現(xiàn)將△EFG沿AB方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F與B重合時(shí)停止．在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，正方形ABCD和△EFG重疊部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)圖象大致是（

）A． B． C． D．【類型四】解直角三角形的應(yīng)用【考點(diǎn)一】解直角三角形??仰角??俯角（2021·重慶·中考真題）21．如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點(diǎn)水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為，坡頂D到BC的垂直距離米（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)D處測(cè)得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：；；）A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米（2021·山東泰安·中考真題）22．如圖，為了測(cè)量某建筑物的高度，小穎采用了如下的方法：先從與建筑物底端B在同一水平線上的A點(diǎn)出發(fā)，沿斜坡行走130米至坡頂D處，再?gòu)腄處沿水平方向繼續(xù)前行若干米后至點(diǎn)E處，在E點(diǎn)測(cè)得該建筑物頂端C的仰角為60°，建筑物底端B的俯角為45°，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，斜坡的坡度．根據(jù)小穎的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算出建筑物的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米【考點(diǎn)二】解直角三角形??方位角（2022·河北石家莊·二模）23．如圖，某漁船正在海上P處捕魚，先向北偏東30°的方向航行10km到A處．然后右轉(zhuǎn)40°再航行到B處，在點(diǎn)A的正南方向，點(diǎn)P的正東方向的C處有一條船，也計(jì)劃駛往B處，那么它的航向是（

）A．北偏東20° B．北偏東30° C．北偏東35° D．北偏東40°（2022·廣東深圳·三模）24．如圖，在距離鐵軌200米的B處，觀察由深圳開(kāi)往廣州的“和諧號(hào)”動(dòng)車，當(dāng)動(dòng)車車頭在A處時(shí)，恰好位于B處的北偏東60°方向上；一段時(shí)間后，動(dòng)車車頭到達(dá)C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時(shí)段動(dòng)車的運(yùn)動(dòng)路程是（

）米（結(jié)果保留根號(hào)）A． B． C． D．【考點(diǎn)三】解直角三角形??坡度坡比（2022·廣東·廣州市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）25．如圖，某人在山坡坡腳C處測(cè)得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為，沿山坡向上走到P處再測(cè)得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為．已知BC=90米，且B、C、D在同一條直線上，山坡坡度i=5：12，求此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程（）米.（結(jié)果精確到0.1米）（測(cè)傾器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【考點(diǎn)四】解直角三角形??其他問(wèn)題（2021·四川樂(lè)山·二模）26．如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公樓頂端A測(cè)得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長(zhǎng)BC是12米，梯坎坡度i＝1：，則大樓AB的高度為(

)（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.4 B．36.4 C．39.4 D．45.4（2022·吉林·長(zhǎng)春市綠園區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校二模）27．如圖，一棵大樹被臺(tái)風(fēng)攔腰刮斷，樹根A到刮斷點(diǎn)的距離是4米，折斷部分與地面成的夾角，那么原來(lái)這棵樹的高度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米（2022·山東聊城·一模）28．如圖，豎直放置的桿AB，在某一時(shí)刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D處，而此時(shí)1米的桿影長(zhǎng)恰好為1米，現(xiàn)量得BC為10米，CD為8米，斜坡CD與地面成30°角，則桿AB的高度為（

）A．米 B．米 C．8米 D．10米二、填空題【類型一】銳角三角函數(shù)【考點(diǎn)一】（正弦??余弦??正切）概念??辨析（2019·陜西師大附中二模）29．如圖，已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例數(shù)的圖象上且，.則k的值為.（2021·江蘇·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）30．如圖，點(diǎn)在的正半軸上，且于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則．【考點(diǎn)二】角??（正弦??余弦??正切）函數(shù)值（2020·山東菏澤·中考真題）31．如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，若，，則的值為．（2020·江蘇常州·中考真題）32．如圖，點(diǎn)C在線段上，且，分別以、為邊在線段的同側(cè)作正方形、，連接、，則．【考點(diǎn)三】（正弦??余弦??正切）函數(shù)值??求邊長(zhǎng)（2019·四川廣元·中考真題）33．如圖，中，，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD，則的值是．（2021·甘肅武威·中考真題）34．如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，，則．【類型二】特殊銳角三角函數(shù)【考點(diǎn)一】特殊銳角??函數(shù)值（2020·上?！ぶ锌颊骖}）35．如圖，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，點(diǎn)D在邊BC上，CD=3，聯(lián)結(jié)AD．如果將△ACD沿直線AD翻折后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么點(diǎn)E到直線BD的距離為．（2020·貴州遵義·中考真題）36．如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD使AD與BC重合，得到折痕MN，再把紙片展平．E是AD上一點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在MN上．若CD＝5，則BE的長(zhǎng)是．【考點(diǎn)二】函數(shù)值??特殊銳角（2018·四川巴中·中考真題）37．已知|sinA﹣|+=0，那么∠A+∠B=．（2012·山東濟(jì)寧·中考真題）38．在中，若∠A、∠B滿足|cosA－|＋(sinB－)2＝0，則∠C＝．【考點(diǎn)三】混合運(yùn)算??特殊銳角??二次根式（2022·廣西·藤縣教學(xué)研究室一模）39．+sin30°﹣（2022·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室一模）40．計(jì)算的結(jié)果是．【考點(diǎn)四】特殊銳角值??判斷三角形形狀（2021·貴州黔東南·二模）41．在中，，則為三角形．（2021·廣東深圳·一模）42．若，那么的形狀是．【類型三】解直角三角形【考點(diǎn)一】解直角三角形??直接解直角三角形（2022·遼寧大連·中考真題）43．如圖，對(duì)折矩形紙片，使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到折痕．連接，若，，則的長(zhǎng)是．（2022·浙江嘉興·中考真題）44．如圖，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．點(diǎn)B，C，D，E處的讀數(shù)分別為15，12，0，1，則直尺寬BD的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)二】解非直角三角形??轉(zhuǎn)化為直角三角形并解之（2018·江蘇無(wú)錫·中考真題）45．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，則△ABC的面積等于．（2017·四川綿陽(yáng)·中考真題）46．如圖，過(guò)銳角△ABC的頂點(diǎn)A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．在AF上取點(diǎn)M，使得AM=AF，連接CM并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)H．若AC=2，△AMH的面積是，則的值是．【考點(diǎn)三】解不規(guī)則圖形??構(gòu)造直角三角形并解之（2010·云南紅河·中考真題）47．如圖，在中，，，，則的面積用含ａ的式子表示是．（2012·黑龍江黑河·中考真題）48．Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一個(gè)內(nèi)角為60°，點(diǎn)P是直線AB上不同于A、B的一點(diǎn)，且∠ACP=30°，則PB的長(zhǎng)為．【類型四】解直角三角形的應(yīng)用【考點(diǎn)一】解直角三角形??仰角??俯角（2022·湖北黃石·中考真題）49．某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿的活動(dòng)：已知無(wú)人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測(cè)得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為m．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果按四舍五八保留一位小數(shù)）（2022·江蘇南通·中考真題）50．如圖，B為地面上一點(diǎn)，測(cè)得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測(cè)角儀，測(cè)得樹頂A的仰角為，則樹高為m（結(jié)果保留根號(hào)）．【考點(diǎn)二】解直角三角形??方位角（2022·貴州黔西·中考真題）51．如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計(jì)劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛．測(cè)得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向．A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的最短距離是nmile．（參考數(shù)據(jù)：，）（2022·四川綿陽(yáng)·中考真題）52．如圖，測(cè)量船以20海里每小時(shí)的速度沿正東方向航行并對(duì)某海島進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量船在A處測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)D位于北偏東15°方向上，觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏東45°方向上，航行半個(gè)小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏西45°方向上，若CD與AB平行，則CD＝海里（計(jì)算結(jié)果不取近似值）．【考點(diǎn)三】解直角三角形??坡度坡比（2022·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）53．如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點(diǎn)處前行到達(dá)斜坡的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡前行到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，且點(diǎn)A，B，C，D，在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古塔的高度是．（2022·山東煙臺(tái)·一模）54．一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著斜坡滑行，他在點(diǎn)D處相對(duì)大樹頂端A的仰角為，從D點(diǎn)再滑行米到達(dá)坡底的C點(diǎn)，在點(diǎn)C處相對(duì)樹頂端A的仰角為，若斜坡的坡比為（點(diǎn)E，C，B在同一水平線上），則大樹的高度米（結(jié)果保留根號(hào)）．【考點(diǎn)四】解直角三角形??其他問(wèn)題（2022·山西太原·二模）55．如圖1是勞動(dòng)課上同學(xué)們組裝的一個(gè)智能機(jī)器臂．水平操作臺(tái)為l，底座AB固定，，AB長(zhǎng)度為24cm，連桿BC長(zhǎng)度為30cm，手臂CD長(zhǎng)度為28cm，點(diǎn)B，C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，且AB，BC與CD始終在同一平面內(nèi)．如圖2，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿BC和手臂CD，當(dāng)，時(shí)，端點(diǎn)D離操作臺(tái)l的高度DE為cm．（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)二模）56．操作：如圖，將四邊形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)Q處，折痕為AP；再將，分別沿PQ，AQ折疊，此時(shí)點(diǎn)C，D落在AP上的同一點(diǎn)R處．請(qǐng)完成下列探究：（1）的大小為°；（2）當(dāng)四邊形APCD是平行四邊形時(shí)的值為．參考答案：1．D【分析】設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義逐項(xiàng)排查即可．【詳解】解：設(shè)AB=5a，BC=3a，則AC=4a，則cosA＝＝，故A錯(cuò)誤；sinB＝＝，故B錯(cuò)誤；tanA＝，故C錯(cuò)誤；tanB＝＝，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和勾股定理，掌握并靈活運(yùn)用三角函數(shù)的定義成為解答本題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．【詳解】三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則所得的三角形與原三角形相似，∴銳角A的大小不變，∴銳角A的余弦值不變，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】由勾股定理求出，并利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，，，則可求得，再根據(jù)勾股定理求出，最后由三角形函數(shù)的定義即可求得結(jié)果．【詳解】解：在中，，，，由勾股定理得：．∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，．∴．∴在中，由勾股定理得．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求角的三角形函數(shù)值，掌握三角形函數(shù)的概念并利用勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根據(jù)折疊可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問(wèn)題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】連接AF，則AF的長(zhǎng)就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：連接AF，則AF的長(zhǎng)就是AM+FM的最小值．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵∴F是BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．則AF＝AB?sin60°＝2．即的最小值是．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形以及三角函數(shù)，確定AF的長(zhǎng)就是的最小值是關(guān)鍵．6．C【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．【詳解】解：在中，，，∴∴由勾股定理得,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，如圖，

∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長(zhǎng)，正確作輔助線求出DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，則BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC長(zhǎng)，再根據(jù)中位線定理可知EF=?！驹斀狻拷猓阂?yàn)锳D垂直BC，則△ABD和△ACD都是直角三角形，又因?yàn)樗訟D=，因?yàn)閟in∠C=，所以AC=2，因?yàn)镋F為△ABC的中位線，所以EF==1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識(shí)，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ=，從而可求出α的正弦值，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值確定α的度數(shù)．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=，解得：sinα=，∵α為銳角，∴α=30°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．9．A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】∵為銳角，且，∴．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，屬較簡(jiǎn)單題目．10．A【分析】作軸于，軸于，再證明即可求解.【詳解】解：如圖，作軸于，軸于．在Rt△AOE中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴OE=,AE=1,∵tan∠AOE=，∴∠AOE=30°，又∵∠AOA’=30°，∴∠A’OF=90°－30°－30°=30°.，，，，，．故選．【點(diǎn)睛】本題考查的是正切的應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)和全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11．B【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入后，化簡(jiǎn)即可得出答案：.故選B.【詳解】請(qǐng)?jiān)诖溯斎朐斀猓?2．C【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念和無(wú)理數(shù)的概念對(duì)各項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：A．，是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．是有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；D．是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．13．D【分析】結(jié)合題意，根據(jù)乘方和絕對(duì)值的性質(zhì)，得，，從而得，，根據(jù)特殊角度三角函數(shù)的性質(zhì)，得，；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵∴，∴，∴，∴，∴，∴ABC一定是等腰直角三角形故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對(duì)值、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．14．B【分析】連接OQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，△BCO△ACQ,則有BO=AQ,,所以,則有,得到,又因?yàn)镺C=CQ,可求出,即可求的大小.【詳解】解：連接OQ，∵，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，△BCO△ACQ,∴，OC=CQ,BO=AQ,,∴,,且，∵,∴，∴.故選B.【點(diǎn)睛】主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意輔助線的連接是關(guān)鍵.15．A【分析】過(guò)M點(diǎn)作ME⊥AD于E點(diǎn)，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，有AD=CD=6，∠C=∠D=90°，由裁剪的兩個(gè)梯形全等，可得AN=MC；再證明四邊形MCDE是矩形，即有MC=ED，ME=CD=6，進(jìn)而有AN=ED，在Rt△MNE中，解直角三角形可得，則可得，問(wèn)題得解．【詳解】如圖，過(guò)M點(diǎn)作ME⊥AD于E點(diǎn)，∵四邊形ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為6，∴AD=CD=6，∠C=∠D=90°，∵裁剪的兩個(gè)梯形全等，∴AN=MC，∵M(jìn)E⊥AD，∴四邊形MCDE是矩形，∴MC=ED，ME=CD=6，∴AN=ED，根據(jù)題意有∠MNE=60°，∴在Rt△MNE中，，∴，∴，即梯形中較短的底為（cm），故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的、矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)梯形全等得出AN=MC是解答本題的關(guān)鍵．16．B【分析】先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，可求得OA、OB，進(jìn)而可求得∠OAB=60°，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)證明和為等邊三角形得到即可求解.【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得：，則A（1，0），B（0，），∴，，∴，則∠OAB=60°，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：，，，∴是等邊三角形，∴，又∴是等邊三角形，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，證得是等邊三角形是解答的關(guān)鍵．17．B【分析】過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，先由sin∠B及AB=3算出AH的長(zhǎng)，再由tan∠C算出CH的長(zhǎng)，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H點(diǎn)，如下圖所示：

由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識(shí)，如果圖形中無(wú)直角三角形時(shí)，可以通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形進(jìn)而求解．18．A【分析】根據(jù)三角形的面積公式推出k的值即可.【詳解】解：∵的面積等于2，∴，而，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形，熟練掌握三角形的面積公式是解題關(guān)鍵.19．A【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC邊的長(zhǎng)度，四邊形ABC’A’的面積為平行四邊形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面積之和，分別求出平行四邊形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面積，即可得出答案．【詳解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，由勾股定理可得：，∵A’C’B’是由ACB平移得來(lái)，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，∴，又∵BB’=3，A’C’=3，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、平移的概念、平行四邊形與直角三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于判斷出所求面積為平行四邊形與直角三角形的面積之和，且掌握平行四邊形的面積為底高．20．C【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象可以寫出各段對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，從而可以判斷哪個(gè)選項(xiàng)中的圖象符合題意，本題得以解決．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即S與t是二次函數(shù)關(guān)系，有最小值，開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，，即S與t是二次函數(shù)關(guān)系，開(kāi)口向下，由上可得，選項(xiàng)C符合題意，故選C．【點(diǎn)睛】考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)過(guò)圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．21．D【分析】作DF⊥AB于F點(diǎn)，得到四邊形DEBF為矩形，首先根據(jù)坡度的定義以及DE的長(zhǎng)度，求出CE，BE的長(zhǎng)度，從而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函數(shù)求解即可得出結(jié)論．【詳解】如圖所示，作DF⊥AB于F點(diǎn)，則四邊形DEBF為矩形，∴,∵斜坡CD的坡度（或坡比）為，∴在Rt△CED中，，∵，∴，∴，∴，在Rt△ADF中，∠ADF=50°，∴，將代入解得：，∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解坡度的定義，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．22．A【分析】作DF⊥AB于F點(diǎn)，EG⊥BC于G點(diǎn)，根據(jù)坡度求出DF=50，AF=120，從而分別在△BEG和△CEG中求解即可．【詳解】如圖，作DF⊥AB于F點(diǎn)，EG⊥BC于G點(diǎn)，則四邊形DFBG為矩形，DF=BG，∵斜坡的坡度，∴，∵AD=130，∴DF=50，AF=120，∴BG=DF=50，由題意，∠CEG=60°，∠BEG=45°，∴△BEG為等腰直角三角形，BG=EG=50，在Rt△CEG中，CG=EG=50，∴米，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解坡度的定義，準(zhǔn)確構(gòu)建合適的直角三角形是解題關(guān)鍵．23．C【分析】連接BC，由銳角三角函數(shù)定義得AC=PA=km，則AC=AB，再由等腰三角形的性質(zhì)得∠ACB=∠ABC=35°，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接BC，由題意得：∠ACP=∠ACD=90°，∠PAC=30°，PA=10km，∠BAE=40°，AB=km，∴∠BAC=180°—∠PAC—∠BAE=180°—30°—40°=110°，∵cos∠PAC==cos30°=，∴AC=PA=×10=km，∴AC=AB，∴∠ACB=∠ABC=×（180°—∠BAC）=×（180°—110°）=35°，即B處在C處的北偏東35°方向，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，由銳角三角函數(shù)定義求出AC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．24．B【分析】作BC⊥AC于點(diǎn)D，在中利用三角函數(shù)求得AD的長(zhǎng)，在中，利用三角函數(shù)求得CD的長(zhǎng)，則AC即可求得．【詳解】解：如圖，作BD⊥AC于點(diǎn)D，∵在中，，∴，(米)，∵在中，，∴（米），則(米)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形以及勾股定理的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是方向角，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角．定理：直角三角形中所對(duì)直角邊是斜邊的一半．25．D【分析】首先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，由題意可知i=PH：CH=5：12，然后設(shè)PH=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，則可得，利用正切函數(shù)的知識(shí)可求AB，在Rt△AEP中，，利用正切函數(shù)可得關(guān)于x的方程，從而得出PH，在Rt△PHC中，利用勾股定理可求CP的長(zhǎng)度，進(jìn)一步可求此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，設(shè)PH=BE=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，則，即，∴AB=180(米)，在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，且符合題意，∴(米)，在Rt△PHC中，(米)，故此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程是：(米)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了仰角的定義，以及解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．26．C【分析】延長(zhǎng)AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH=DE=15米，EG=DH，設(shè)BH=x米，則CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的長(zhǎng)度，證明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=（6+20）（米），即可得出大樓AB的高度．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交DC于H，作EG⊥AB于G，則GH＝DE＝15米，EG＝DH，∵梯坎坡度i＝1：，∴BH：CH＝1：，設(shè)BH＝x米，則CH＝x米，在Rt△BCH中，BC＝12米，由勾股定理得：x2+（x）2＝122，解得：x＝6，∴BH＝6米，CH＝6米，∴BG＝GH﹣BH＝15﹣6＝9（米），EG＝DH＝CH+CD＝（6+20）（米），∵∠α＝45°，∴∠EAG＝90°﹣45°＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG＝EG＝（6+20）（米），∴AB＝AG+BG＝6+20+9≈39.4（米）；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度、俯角問(wèn)題；通過(guò)作輔助線運(yùn)用勾股定理求出BH，得出EG是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．27．B【分析】通過(guò)解直角三角形即可求得．【詳解】解：在中，，故原來(lái)這棵樹的高度為：(米)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握和運(yùn)用解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵．28．A【分析】如圖，延長(zhǎng)AB交DT的延長(zhǎng)線于E．首先證明AE=DE，然后在Rt△CDT中，求出DT和CT，再根據(jù)AB＝AE﹣BE，即可得出結(jié)論，【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交DT的延長(zhǎng)線于E．∵1米的桿影長(zhǎng)恰好為1米，∴AE＝DE，易得四邊形BCTE是矩形，∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，∴DT＝CD?cos30°＝8×＝4（米），CT＝CD＝4（米），∴AE＝DE＝ET+DT＝（米），BE＝CT＝4（米），∴AB＝AE﹣BE＝﹣4＝（米），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，平行投影等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．29．【分析】作AN⊥x軸于N，BM⊥x軸于M，證明△ANO∽△OMB，可得，然后由求出，進(jìn)而可得，利用反比例函數(shù)k的幾何意義可得出k的值．【詳解】解：如圖，作AN⊥x軸于N，BM⊥x軸于M，∵OA⊥OB，∴∠AON＝90°?∠BOM＝∠OBM，∠ANO＝∠OMB＝90°，∴△ANO∽△OMB，∴，∵，∴設(shè)OA=，AB=3a，由勾股定理得：OB=，∴，∴，∴，∴，∵反比例數(shù)的圖象過(guò)第二象限，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)k的幾何意義、相似三角形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，求出△OMB的面積．30．【分析】過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥x軸于點(diǎn)D，根據(jù)BA⊥OB于點(diǎn)B及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠B′BD的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)得出BD及BB′的長(zhǎng)，故可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′D⊥x軸于點(diǎn)D，∵BA⊥OB于點(diǎn)B，∴∠ABD＝90°．∵線段BA繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°?60°＝30°．∵點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，1），∴OD＝B′D＝1，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝∴，AB＝BB′＝2，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義得出A點(diǎn)坐標(biāo)是解答此題的關(guān)鍵．31．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∴DC=DB，∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，掌握直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半和三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．32．【分析】設(shè)BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長(zhǎng)、∠GCD=ECD=45°，進(jìn)而說(shuō)明△ECG為直角三角形，最后運(yùn)用正切的定義即可解答．【詳解】解：設(shè)BC=a，則AC=2a∵正方形∴EC=，∠ECD=同理：CG=,∠GCD=

∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說(shuō)明△ECG是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．33．【分析】連接AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CA=CD，∠ACD=60°，得到△ACD為等邊三角形，由AB=BC，CD=AD，得出BD垂直平分AC，于是求出BO=AC=，OD=CD?sin60°=，可得BD=BO+OD，即可求解．【詳解】如圖，連接AD，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，由題意得：，∴為等邊三角形，∴，；∵，，∴，∵，，∴BD垂直平分AC，∴，，∴∴，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．6【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解再利用銳角三角函數(shù)依次求解即可得到答案．【詳解】解：是邊的中點(diǎn)，，矩形，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．35．．【分析】過(guò)E點(diǎn)作EH⊥BC于H，證明△ABD是等邊三角形，進(jìn)而求得∠ADC=120°，再由折疊得到∠ADE=∠ADC=120°，進(jìn)而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函數(shù)即可求出HE的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，∴EH=DE×sin∠HDE=3×=，∴E到直線BD的距離為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，解直角三角形，點(diǎn)到直線的距離，本題的關(guān)鍵點(diǎn)是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重點(diǎn)掌握折疊問(wèn)題的特點(diǎn)：折疊前后對(duì)應(yīng)的邊相等，對(duì)應(yīng)的角相等．36．【分析】在Rt△A'BM中，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)與銳角三角函數(shù)求出∠BA′M=30°，再證明∠ABE=30°即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵將矩形紙片ABCD對(duì)折一次，使邊AD與BC重合，得到折痕MN，∴AB=2BM，∠A′MB=90°，MN∥BC．∵將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在MN上．∴A′B=AB=2BM．在Rt△A′MB中，∵∠A′MB=90°，∴sin∠MA′B=＝，∴∠MA′B=30°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠CBA′=∠MA′B=30°，∵∠ABC=90°，∴∠ABA′=60°，∴∠ABE=∠EBA′=30°，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，銳角三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，熟練掌握并靈活運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．37．90°【分析】根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)值即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：sinA=，tanB=，∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠A+∠B=90°故答案為90°【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的銳角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用特殊角的銳角三角函數(shù)值，本題屬于基礎(chǔ)題型．38．90°##90度【分析】根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性與偶次冪即可cosA=，sinB=，利用特殊角的三角函數(shù)可得∠A=60°，∠B=45°，從而即可得解．【詳解】解：∵|cosA－|＋(sinB－)2＝0，∴cosA=，sinB=∴∠A=60°，∠B=30°∴∠C＝180°-60°-30°=90°，故答案為90°．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性與偶次冪、特殊角的三角函數(shù)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．39．-【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及零指數(shù)冪的概念，正確計(jì)算即可．【詳解】解：原式.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及零指數(shù)冪的概念，正確理解相關(guān)概念，按照正確的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．40．1【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．【詳解】解：原式===1【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．41．直角【分析】根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則它們都為0，可得，，因而可求得∠A、∠B的度數(shù)，由此可判斷△ABC的形狀．【詳解】∵，，且∴，∴，∴∠A=60゜，∠B=30゜∵∠A+∠B=90゜∴△ABC是直角三角形故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題考查了幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0則它們都為0的性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角，直角三角形的判定等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)和為0的性質(zhì)求得∠A、∠B的三角函數(shù)值．42．銳角三角形【分析】根據(jù)二次根式和絕對(duì)值的非負(fù)數(shù)性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值可求出∠A和∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠C的度數(shù)，即可得到答案．【詳解】∵，∴cos2A-=0，tan-=0，∴cosA=（負(fù)值舍去），tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°-45°-60°=75°，∴△ABC是銳角三角形，故答案為：銳角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．43．【分析】根據(jù)直角三角形的中線定理，先證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，分別根據(jù)直角三角形中的三角函數(shù)求出AM和DM，從而得到答案．【詳解】解：如下圖所示，設(shè)交BM于點(diǎn)O，連接AO，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴在和中，,∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴四邊形是平行四邊形，∴∴,∴是等邊三角形，∴∴∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊、直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形以及熟練掌握直角三角形中的三角函數(shù)．44．【分析】先求解再利用線段的和差可得答案．【詳解】解：由題意可得：同理：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角的正切的應(yīng)用，二次根式的減法運(yùn)算，掌握“利用銳角的正切求解三角形的邊長(zhǎng)”是解本題的關(guān)鍵．45．15或10【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D，分AB、AC位于AD異側(cè)和同側(cè)兩種情況，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的長(zhǎng)，繼而就兩種情況分別求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式求解可得．【詳解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D，①如圖1，當(dāng)AB、AC位于AD異側(cè)時(shí)，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD=，則BC=BD+CD=6，∴S△ABC=?BC?AD=×6×5=15；②如圖2，當(dāng)AB、AC在AD的同側(cè)時(shí)，由①知，BD=5，CD=，則BC=BD-CD=4，∴S△ABC=?BC?AD=×4×5=10．綜上，△ABC的面積是15或10，故答案為15或10．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的運(yùn)用、分類討論思想的運(yùn)算及勾股定理．46．##【詳解】解：過(guò)點(diǎn)H作HG⊥AC于點(diǎn)G，∵AF平分∠CAE，DE∥BF，∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，∴AC=CF=2，∵，∴，∵DE∥CF，∴△AHM∽△FCM，∴，∴AH=1，設(shè)△AHM中，AH邊上的高為m，△FCM中CF邊上的高為n，∴，∵△AMH的面積為：，∴∴，∴，設(shè)△AHC的面積為S，∴=3，∴，∴，∴，∴由勾股定理可知：AG=，∴CG=AC﹣AG=2﹣，∴故答案為:．47．【分析】過(guò)A作的垂線，在構(gòu)建的兩個(gè)直角三角形中，通過(guò)解直角三角形求出BC的長(zhǎng)以及邊上的高，從而根據(jù)三角形的面積公式求出的面積表達(dá)式．【詳解】解：過(guò)A作于D．在中，，∴，．在中，，，∴．∴．故．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，當(dāng)兩個(gè)直角三角形擁有公共邊時(shí)，先求出這條公共邊是解答此類題的一般思路．48．4或或．【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，如圖所示，由∠ABC=60°，利用直角三角形的兩銳角互余求出∠CAB=30°，又∠PCA=30°，由∠PCA+∠ACB求出∠PCB為60°，可得出三角形PCB為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊相等，由BC的長(zhǎng)即可求出PB的長(zhǎng)；當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，再分兩種情況進(jìn)行求解即可.【詳解】分兩種情況考慮：當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，如圖所示：∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°．又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°．又∵∠ABC=60°，∴△PCB為等邊三角形．又∵BC=4，∴PB=4．當(dāng)∠ABC=30°時(shí)，（i）當(dāng)P在A的右邊時(shí)，如圖所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°．又∠B=30°，BC=4，∴，即．（ii）當(dāng)P在A的左邊時(shí)，如圖所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°．又∠B=30°，∴∠BCP=∠B．∴CP=BP．在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2．根據(jù)勾股定理得：，∴AP=AB－PB=－PB．在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（－PB）2=BP2，解得：BP=．綜上所述，BP的長(zhǎng)為4或或．【點(diǎn)睛】此題考查了含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．49．12.7【分析】設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C，頂部為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交直線AB于點(diǎn)E．設(shè)DE=xm，在Rt△BDE中，，進(jìn)而求得，在Rt△ADE中，，求得，根據(jù)CD=CE-DE可得出答案．【詳解】解：設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C，頂部為點(diǎn)D，延長(zhǎng)CD交直線AB于點(diǎn)E，依題意則DE⊥AB，則CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，設(shè)DE=xm，在Rt△BDE中，解得則m，在Rt△ADE中，，解得m，∴CD=CE-DE．故答案為：12.7．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．50．##【分析】在中，利用，求出，再加上1m即為AC的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，如圖：則四邊形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由題意可知：，，在中，，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．51．34【分析】作與點(diǎn)F，則CF為C島到航線AB的最短距離，設(shè)，表示出，，利用，解得：．【詳解】解：作與點(diǎn)F，則CF為C島到航線AB的最短距離，由圖可知：，，∵，，∴，∵，∴，設(shè)，則，，∵，解得：．∴C島到航線AB的最短距離是34nmile．故答案為：34【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解CF為C島到航線AB的最短距離，求出，利用求解．52．##【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE上AB，垂足為E，根據(jù)題意求得，進(jìn)而求得90°，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，設(shè)DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，在Rt△DEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC，DC的長(zhǎng)，最后根據(jù)AC=52海里，列