4.2.1 等差數(shù)列的概念（八大題型）（原卷版）

4．2．1等差數(shù)列的概念【題型歸納目錄】題型一：等差數(shù)列的判斷題型二：等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用題型三：等差數(shù)列的證明題型四：等差中項及應(yīng)用題型五：等差數(shù)列的實際應(yīng)用題型六：的應(yīng)用題型七：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題型八：等差數(shù)列中對稱設(shè)項法的應(yīng)用【知識點梳理】知識點一、等差數(shù)列的定義文字語言形式一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示．知識點詮釋：⑴公差一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；⑵共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即公差）；符號語言形式對于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．知識點詮釋：定義中要求“同一個常數(shù)”，必須與無關(guān)．等差中項如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項，即．知識點詮釋：①兩個數(shù)的等差中項就是兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．任意兩實數(shù)，的等差中項存在且唯一．②三個數(shù)，，成等差數(shù)列的充要條件是．知識點二、等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式首相為，公差為的等差數(shù)列的通項公式為：，推導(dǎo)過程：（1）歸納法：根據(jù)等差數(shù)列定義可得：，所以，，，……當(dāng)n=1時，上式也成立所以歸納得出等差數(shù)列的通項公式為：（）．（2）疊加法：根據(jù)等差數(shù)列定義，有：，，，…把這個等式的左邊與右邊分別相加（疊加），并化簡得，所以．（3）迭代法：所以．知識點詮釋：①通項公式由首項和公差完全確定，一旦一個等差數(shù)列的首項和公差確定，該等差數(shù)列就唯一確定了．②通項公式中共涉及、、、四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量．等差數(shù)列通項公式的推廣已知等差數(shù)列中，第項為，公差為，則．證明：因為，所以所以由上可知，等差數(shù)列的通項公式可以用數(shù)列中的任一項與公差來表示，公式．可以看成是時的特殊情況．知識點三、等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列中，公差為，則①若，且，則，特別地，當(dāng)時．②下標(biāo)成公差為的等差數(shù)列的項，，，…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為．③若數(shù)列也為等差數(shù)列，則，，（k，b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．④仍是等差數(shù)列．⑤數(shù)列（為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列中對稱設(shè)項法的應(yīng)用1、某兩個數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個數(shù)為：，，公差為；2、三個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：，，，公差為；3、四個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成，，，，公差為．【典型例題】題型一：等差數(shù)列的判斷例1．（2023·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考期末）設(shè)是數(shù)列的前項積，則“”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例3．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列數(shù)列中等差數(shù)列的是（

）A． B． C．變式1．（2023·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，若（為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：①若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列；②不是等方差數(shù)列；③若是等方差數(shù)列，則（為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；④若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列.其中正確命題序號為（

）A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①④變式2．（2023·高二課時練習(xí)）給出下列四個命題：①公比的等比數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列；②數(shù)列可以看作是一個定義在正整數(shù)集上的函數(shù)；③在平面直角坐標(biāo)系中，表示數(shù)列的圖象是一些離散的點；④數(shù)列是等差數(shù)列.其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式3．（2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）若數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法中錯誤的是（

）A．?dāng)?shù)列，，，…，…為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列【方法技巧與總結(jié)】對于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．題型二：等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用例4．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列中，，則公差（

）A．4 B．3 C． D．例5．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列前n項和為．(1)試寫出數(shù)列的前5項；(2)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？(3)你能寫出數(shù)列的通項公式嗎？例6．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項；（2）是否為等差數(shù)列，，，…的項？如果是，是該數(shù)列的第幾項？如果不是，說明理由．變式4．（2023·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列8，5，2，…．(1)求該數(shù)列的第20項．(2)試問是不是該等差數(shù)列的項？如果是，指明是第幾項；如果不是，試說明理由．(3)該數(shù)列共有多少項位于區(qū)間內(nèi)？變式5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且，.求數(shù)列的通項公式.變式6．（2023·高二課時練習(xí)）等差數(shù)列中，(1)已知，，求首項與公差；(2)已知，，求通項．變式7．（2023·全國·高二課堂例題）已知等差數(shù)列10，7，4，…．(1)求這個數(shù)列的第10項；(2)是不是這個數(shù)列中的項？呢？如果是，求出是第幾項；如果不是，說明理由．變式8．（2023·高二課時練習(xí)）等差數(shù)列中，，公差為整數(shù)，若，．(1)求公差的值；(2)求通項．變式9．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則公差（

）A．2 B．4 C．3 D．5變式10．（2023·福建龍巖·高二?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則首項與公差分別為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列通項公式的求法與應(yīng)用技巧（1）等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可．（2）等差數(shù)列的通項公式中共含有四個參數(shù)，即，，，，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．（3）通項公式可變形為，可把看作自變量為的一次函數(shù)．題型三：等差數(shù)列的證明例7．（2023·全國·高二課堂例題）已知數(shù)列中，在時恒成立，求證：是等差數(shù)列．例8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；例9．（2023·高二課時練習(xí)）已知，若，且（為正整數(shù)）.(1)寫出數(shù)列的前5項；(2)證明是等差數(shù)列，并求.變式11．（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，．(1)設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．變式12．（2023·高二課時練習(xí)）數(shù)列滿足，，設(shè).(1)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？試證明；(2)求數(shù)列的通項公式．變式13．（2023·江蘇揚州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且.(1)求；(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列.變式14．（2023·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且．(1)求證：是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)是否存在正整數(shù)m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．變式15．（2023·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{}滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{}的通項公式．【方法技巧與總結(jié)】證明等差數(shù)列的方法（1）定義法或數(shù)列是等差數(shù)列．（2）等差中項法數(shù)列為等差數(shù)列．（3）通項公式法數(shù)列{an}的通項公式形如（，為常數(shù)）數(shù)列為等差數(shù)列．題型四：等差中項及應(yīng)用例10．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，已知，則．例11．（2023·高二課時練習(xí)）與的等差中項是．例12．（2023·甘肅白銀·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，則.變式16．（2023·山西大同·高二山西省渾源中學(xué)校考期末）有窮等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，若，則的最小值是.變式17．（2023·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，若，則.變式18．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，且，，則．【方法技巧與總結(jié)】若a，A，b成等差數(shù)列，則；反之，由也可得到a，A，b成等差數(shù)列，所以A是a，b的等差中項．題型五：等差數(shù)列的實際應(yīng)用例13．（2023·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，若立春當(dāng)日日影長為尺，立夏當(dāng)日日影長為尺，則春分當(dāng)日日影長為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺例14．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考三模）在2022年北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達(dá)給了全世界．我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復(fù)始．已知雨水的晷長為尺，立冬的晷長為尺，則冬至所對的晷長為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺例15．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”"起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，以此類推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推.今年是辛丑年，也是重慶一中建校90周年，則重慶一中建校的那一年是（

）A．壬酉年 B．壬戊年 C．辛酉年 D．辛未年變式19．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一中學(xué)校?？既＃┝?xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元變式20．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）單分?jǐn)?shù)（分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示為一些單分?jǐn)?shù)的和．例如，，……，現(xiàn)已知可以表示成4個單分?jǐn)?shù)的和，記，其中，，是以101為首項的等差數(shù)列，則的值為（

）A．505 B．404 C．303 D．202變式21．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）“孫子定理”是中國古代求解整除問題的方法，是數(shù)論中一個重要定理，又稱“中國剩余定理”．現(xiàn)有如下一個整除問題：將1至2021這2021個數(shù)中，能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列共有（

）A．133項 B．134項 C．135項 D．136項【方法技巧與總結(jié)】（1）解決實際應(yīng)用問題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時，則這組數(shù)成等差數(shù)列．合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關(guān)鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵的問題．（2）能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系，抽象出數(shù)列的模型，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．題型六：的應(yīng)用例16．（2023·全國·高二單元測試）（1）在等差數(shù)列中，已知，，求首項與公差d；（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，求．例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知求及．例18．（2023·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為．（1）若，，求的值；（2）若，，求公差．變式22．（2023·全國·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中：（1）已知，求首項與公差d；（2）已知，求．【方法技巧與總結(jié)】靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運算．令，即變?yōu)?，可以減少記憶負(fù)擔(dān)．題型七：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例19．（2023·安徽馬鞍山·高二統(tǒng)考期中）等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．36 B．24 C．18 D．9例20．（2023·西藏拉薩·高二校考期中）已知是等差數(shù)列，，則等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72例21．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）若方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則（

）A．1 B．C． D．變式23．（2023·北京·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式24．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）首項為﹣21的等差數(shù)列從第8項起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d變式25．（2023·上海虹口·高二?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的嚴(yán)格增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值（

）A．恒為正數(shù) B．恒為負(fù)數(shù) C．恒為 D．可正可負(fù)變式26．（2023·遼寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．變式27．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)為正項等差數(shù)列的公差，若，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列運算的兩種常用思路（1）基本量法：根據(jù)已知條件，列出關(guān)于，的方程（組），確定，，然后求其他量．（2）巧用性質(zhì)法：觀察等差數(shù)列中項的序號，若，且，則．題型八：等差數(shù)列中對稱設(shè)項法的應(yīng)用例22．（2023·全國·高二單元測試）（1）三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為，前兩項之積為后一項的倍，求這三個數(shù)．（2）四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為，首末兩項的積為，求這四個數(shù)．例23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知四個數(shù)成等差數(shù)列，中間兩項之和為2，首末兩項之積為，求這四個數(shù)．例24．（2023·寧夏·平羅中學(xué)高二階段練習(xí)）四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，四個數(shù)之和等于，中間兩個數(shù)之積為，求這四個數(shù)．變式28．（2023·全國·高二課時練習(xí)）（1）已知四個數(shù)成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列，這四個數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此等差數(shù)列；（2）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且其前三項之和為21，前三項之積為231，求數(shù)列的通項公式．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列中對稱設(shè)項法的應(yīng)用1、某兩個數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個數(shù)為：，，公差為；2、三個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：，，，公差為；3、四個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成，，，，公差為．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．12 B．18 C．6 D．92．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，，，則（

）A．39 B．76 C．78 D．1173．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則（

）A．0 B．2 C．4 D．64．（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A．9 B． C．11 D．5．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）若方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則（

）A．1 B．C． D．6．（2023·河北保定·高三河北易縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有一張正方形剪紙，沿只過其一個頂點的一條直線將其剪開，得到2張紙片，再從中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，得到3張紙片，……，以此類推，每次從紙片中任選一張，沿只過其一個頂點的一條直線剪開，若經(jīng)過10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數(shù)總和為（

）A．33 B．34 C．36 D．377．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)校考期中）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．8．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式分別為，將各項并在一起，相等的項即為一項，從小到大排列成一個新的數(shù)列，則（

）A．14155 B．6073 C．4047 D．4045二、多選題9．（2023·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差，則下列四個命題中真命題為（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列10．（2023·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列