十四章推理與證明

第十四章推理與證明高考理數(shù)

(課標(biāo)Ⅱ?qū)Ｓ?考點(diǎn)合情推理與演繹推理五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組1.(2019課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分)古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是

≈0.618,稱為黃金分割比例

,著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是

.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

()A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm答案

B本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力,以及方程思

想;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算.由人體特征可知,頭頂至咽喉的長度應(yīng)小于頭頂至脖子下端的長度,故咽喉至肚臍的長度應(yīng)小

于

≈42cm,可得到此人的身高應(yīng)小于26+42+

≈178cm;同理,肚臍至足底的長度應(yīng)大于腿長105cm,故此人的身高應(yīng)大于105+105×0.618≈170cm,結(jié)合選項(xiàng)可知,只有B選項(xiàng)符合

題意,故選B.一題多解用線段代替人,如圖.

已知

=

=

≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,設(shè)此人身高為hcm,則a+b=h,由

?a>64.89,由

?d<42.07,所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,由

?b<110.15,整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,即169.89<h<178.22(單位:cm).故選B.2.(2017課標(biāo)全國Ⅱ,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師

說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的

成績.看后甲對(duì)大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則

()A.乙可以知道四人的成績

B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績

D.乙、丁可以知道自己的成績答案

D本題主要考查邏輯推理能力.由題意可知,“甲看乙、丙的成績,不知道自己的成績”說明乙、丙兩人是一個(gè)優(yōu)秀一個(gè)良好,

則乙看了丙的成績,可以知道自己的成績;丁看了甲的成績,也可以知道自己的成績.故選D.考點(diǎn)一合情推理與演繹推理B組

自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2017北京,14,5分)三名工人加工同一種零件,他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示,其中點(diǎn)Ai的

橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名

工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),i=1,2,3.①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是

;②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù),則p1,p2,p3中最大的是

.

答案①Q(mào)1②p2

解析本題考查推理的基礎(chǔ)知識(shí)和直線的斜率,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及分析問題和解決問題

的能力.設(shè)線段AiBi的中點(diǎn)為Ci(xi,yi).①由題意知Qi=2yi,i=1,2,3,由題圖知y1最大,所以Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.②由題意知pi=

=

,i=1,2,3.

的幾何意義為點(diǎn)Ci(xi,yi)與原點(diǎn)O連線的斜率.比較OC1,OC2,OC3的斜率,由題圖可知OC2的斜率最大,即p2最大.2.(2015山東,11,5分)觀察下列各式:

=40;

+

=41;

+

+

=42;

+

+

+

=43;……照此規(guī)律,當(dāng)n∈N*時(shí),

+

+

+…+

=

.答案4n-1

解析由題知

+

+

+…+

=4n-1.3.(2015福建,15,4分)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)稱為

第k位碼元.二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?,

或者由1變?yōu)?).已知某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組:

其中運(yùn)算⊕定義為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上

述校驗(yàn)方程組可判定k等于

.答案5解析設(shè)a,b,c,d∈{0,1},在規(guī)定運(yùn)算法則下滿足:a⊕b⊕c⊕d=0,可分為下列三類情形:①4個(gè)1:1

⊕1⊕1⊕1=0,②2個(gè)1:1⊕1⊕0⊕0=0,③0個(gè)1:0⊕0⊕0⊕0=0,因此,錯(cuò)碼1101101通過校驗(yàn)方程組

可得:由x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,∴1⊕1⊕0⊕1≠0;由x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,∴1⊕0⊕0⊕1=0;由x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,∴1⊕0⊕1⊕1≠0,∴錯(cuò)碼可能出現(xiàn)在x5,x7上,若x5=0,則檢驗(yàn)方程組各式都成立,故k=5.若x7=0,此時(shí)x2⊕x3⊕x6⊕x7≠0,故k≠7.綜上分析,x5為錯(cuò)碼,故k=5.4.(2018北京,20,14分)設(shè)n為正整數(shù),集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.對(duì)于集合A中

的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),記M(α,β)=

[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)].(1)當(dāng)n=3時(shí),若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;(2)當(dāng)n=4時(shí),設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意元素α,β,當(dāng)α,β相同時(shí),M(α,β)是奇數(shù);當(dāng)α,β不

同時(shí),M(α,β)是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值;(3)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素α,β,M(α,β)=0.寫出

一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多,并說明理由.解析(1)∵α=(1,1,0),β=(0,1,1),∴M(α,α)=

[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=

×(2+2+0)=2,M(α,β)=

[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=

×(0+2+0)=1.(2)∵xi,yi∈{0,1},∴xi+yi-|xi-yi|=

當(dāng)n=4時(shí),因?yàn)镸(α,α)為奇數(shù),所以α有1項(xiàng)或3項(xiàng)為1,其余項(xiàng)為0,所以元素個(gè)數(shù)最多有

+

=8個(gè).因?yàn)镸(α,β)為偶數(shù)(α,β不同),所以兩者同一位置同為1的項(xiàng)數(shù)為0或者2(若為4,則α與β相同).綜上,當(dāng)B中元素個(gè)數(shù)為4時(shí),集合B={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}或者B={(1,1,1,0),(1,1,

0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}.對(duì)于以上兩種情況,易知當(dāng)一種情況集合中的所有元素與另一種情況集合中的元素結(jié)合時(shí),不

滿足題意,故最大個(gè)數(shù)為4.(3)由(2)知,任意兩個(gè)不同的元素α與β滿足M(α,β)=0,則α與β無同一位置同為1,∴元素個(gè)數(shù)最大為n+1,B={(0,0,…,0),(1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1)}.考點(diǎn)二直接證明與間接證明1.(2017北京,20,13分)設(shè){an}和{bn}是兩個(gè)等差數(shù)列,記cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}(n=1,2,3,

…),其中max{x1,x2,…,xs}表示x1,x2,…,xs這s個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(1)若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并證明{cn}是等差數(shù)列;(2)證明:或者對(duì)任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)n≥m時(shí),

>M;或者存在正整數(shù)m,使得cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列.解析本題考查等差數(shù)列,不等式,合情推理等知識(shí),考查綜合分析,歸納抽象,推理論證能力.(1)c1=b1-a1=1-1=0,c2=max{b1-2a1,b2-2a2}=max{1-2×1,3-2×2}=-1,c3=max{b1-3a1,b2-3a2,b3-3a3}=max{1-3×1,3-3×2,5-3×3}=-2.當(dāng)n≥3時(shí),(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n<0,所以bk-nak關(guān)于k∈N*單調(diào)遞減.所以cn=max{b1-a1n,b2-a2n,…,bn-ann}=b1-a1n=1-n.所以對(duì)任意n≥1,cn=1-n,于是cn+1-cn=-1,所以{cn}是等差數(shù)列.(2)證明:設(shè)數(shù)列{an}和{bn}的公差分別為d1,d2,則bk-nak=b1+(k-1)d2-[a1+(k-1)d1]n=b1-a1n+(d2-nd1)(k-

1).所以cn=

①當(dāng)d1>0時(shí),取正整數(shù)m>

,則當(dāng)n≥m時(shí),nd1>d2,因此cn=b1-a1n.此時(shí),cm,cm+1,cm+2,…是等差數(shù)列.②當(dāng)d1=0時(shí),對(duì)任意n≥1,cn=b1-a1n+(n-1)max{d2,0}=b1-a1+(n-1)(max{d2,0}-a1).此時(shí),c1,c2,c3,…,cn,…是等差數(shù)列.③當(dāng)d1<0時(shí),當(dāng)n>

時(shí),有nd1<d2.所以

=

=n(-d1)+d1-a1+d2+

≥n(-d1)+d1-a1+d2-|b1-d2|.對(duì)任意正數(shù)M,取正整數(shù)m>max

,故當(dāng)n≥m時(shí),

>M.解后反思解決數(shù)列的相關(guān)題時(shí),可通過對(duì)某些項(xiàng)的觀察,分析和比較,發(fā)現(xiàn)它們的相同性質(zhì)或

變化規(guī)律,再利用綜合法進(jìn)行推理論證.2.(2017浙江,22,15分)已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).證明:當(dāng)n∈N*時(shí),(1)0<xn+1<xn;(2)2xn+1-xn≤

;(3)

≤xn≤

.證明本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性基礎(chǔ)知識(shí),不等式及其應(yīng)用,同時(shí)考查推

理論證能力、分析問題和解決問題的能力.(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明:xn>0.當(dāng)n=1時(shí),x1=1>0.假設(shè)n=k時(shí),xk>0,那么n=k+1時(shí),若xk+1≤0,則0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0,矛盾,故xk+1>0.因此xn>0(n∈N*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.因此0<xn+1<xn(n∈N*).(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,xnxn+1-4xn+1+2xn=

-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).記函數(shù)f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),f'(x)=

+ln(1+x)>0(x>0).函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)≥f(0)=0,因此

-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,故2xn+1-xn≤

(n∈N*).(3)因?yàn)閤n=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn≥

.由

≥2xn+1-xn得

-

≥2

>0,所以

-

≥2

≥…≥2n-1

=2n-2,故xn≤

.綜上,

≤xn≤

(n∈N*).方法總結(jié)1.證明數(shù)列單調(diào)性的方法.①差比法:作差an+1-an,然后分解因式,判斷符號(hào),或構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域,從而判斷

其符號(hào).②商比法:作商

,判斷

與1的大小,同時(shí)注意an的正負(fù).③數(shù)學(xué)歸納法.④反證法:例如求證:n∈N*,an+1<an,可反設(shè)存在k∈N*,有ak+1≥ak,從而導(dǎo)出矛盾.3.數(shù)列放縮的方法.①裂項(xiàng)法:利用不等式性質(zhì),把數(shù)列的第k項(xiàng)分裂成某數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)差的形式,再求和,達(dá)到放

縮的目的.②累加法:先把a(bǔ)n+1-an進(jìn)行放縮.例:an+1-an≤qn,則有n≥2時(shí),an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)≤a1+q+q2+…+qn-1.③累乘法:先把

進(jìn)行放縮.例:

≤q(q>0),則有n≥2時(shí),an=a1·

·

·…·

≤a1qn-1(其中a1>0).④放縮為等比數(shù)列:利用不等式性質(zhì),把非等比數(shù)列{an}放縮成等比數(shù)列{bn},求和后,再進(jìn)行適

當(dāng)放縮.2.證明數(shù)列的有界性的方法.①構(gòu)造法:構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的值域,得數(shù)列有界.②反證法.③數(shù)學(xué)歸納法.3.(2017江蘇,19,16分)對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2

kan對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列.證明本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及

綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力.(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則an=a1+(n-1)d,從而,當(dāng)n≥4時(shí),an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”.(2)數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,因此,當(dāng)n≥3時(shí),an-2+an-1+an+1+an+2=4an,

①當(dāng)n≥4時(shí),an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.

②由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),

③an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).

④將③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d'.在①中,取n=4,則a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,則a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.方法總結(jié)數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路:1.閱讀審清“新定義”;2.結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí),化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識(shí);3.利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識(shí),求解證明相關(guān)結(jié)論.考點(diǎn)一合情推理與演繹推理(2016北京,8,5分)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個(gè)空盒.每次

從袋中任意取出兩個(gè)球,將其中一個(gè)球放入甲盒,如果這個(gè)球是紅球,就將另一個(gè)球放入乙盒,

否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則

()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球

D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多C組

教師專用題組答案

B解法一:假設(shè)袋中只有一紅一黑兩個(gè)球,第一次取出后,若將紅球放入了甲盒,則乙盒

中有一個(gè)黑球,丙盒中無球,A錯(cuò)誤;若將黑球放入了甲盒,則乙盒中無球,丙盒中有一個(gè)紅球,D

錯(cuò)誤;同樣,假設(shè)袋中有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球,第一次取出兩個(gè)紅球,則乙盒中有一個(gè)紅球,第二

次必然拿出兩個(gè)黑球,則丙盒中有一個(gè)黑球,此時(shí)乙盒中紅球多于丙盒中的紅球,C錯(cuò)誤.故選B.解法二:設(shè)袋中共有2n個(gè)球,最終放入甲盒中k個(gè)紅球,放入乙盒中s個(gè)紅球.依題意知,甲盒中有

(n-k)個(gè)黑球,乙盒中共有k個(gè)球,其中紅球有s個(gè),黑球有(k-s)個(gè),丙盒中共有(n-k)個(gè)球,其中紅球有

(n-k-s)個(gè),黑球有(n-k)-(n-k-s)=s個(gè).所以乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多.故選B.考點(diǎn)一合情推理與演繹推理三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2018遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)4月模擬,7)二維空間中,圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2,

三維空間中,球的二維測度(表面積)S=4πr2,三維測度(體積)V=

πr3,應(yīng)用合情推理,若四維空間中,“超球”的三維測度V=8πr3,則其四維測度W=

()A.2πr4

B.3πr4

C.4πr4

D.6πr4

答案

A對(duì)于二維空間中,圓的一維測度(周長)l=2πr,二維測度(面積)S=πr2,S'=2πr=l,三維空

間中,球的二維測度(表面積)S=4πr2,三維測度(體積)V=

πr3,V'=4πr2=S,四維空間中,“超球”的三維測度V=8πr3,∵(2πr4)'=8πr3,∴“超球”的四維測度W=2πr4,故選A.2.(2018內(nèi)蒙古呼倫貝爾二模,6)甲、乙、丙三名同學(xué)中只有一人考了滿分,當(dāng)他們被問到誰考

了滿分時(shí),有以下回答.甲說:是我考滿分;乙說:丙不是滿分;丙說:乙說的是真話.事實(shí)證明:在這

三名同學(xué)中,只有一人說的是假話,那么滿分的同學(xué)是

()A.甲

B.乙

C.丙

D.不確定答案

B如果甲說的是真話,則乙丙說的都是真話,與在這三名同學(xué)中,只有一人說的是假話

矛盾;如果甲說的是假話,乙丙說的都是真話,那乙就是滿分.故選B.3.(2019海南國興中學(xué)月考,6)箱子里有16張撲克牌:紅桃A、Q、4,黑桃J、8、7、4、3、2,草花

K、Q、6、5、4,方塊A、5,老師從這16張牌中挑出一張牌來,并把這張牌的點(diǎn)數(shù)告訴了學(xué)生

甲,把這張牌的花色告訴了學(xué)生乙,這時(shí),老師問學(xué)生甲和學(xué)生乙:你們能從已知的點(diǎn)數(shù)或花色

中推知這張牌是什么嗎?于是,老師聽到了如下的對(duì)話.學(xué)生甲:我不知道這張牌;學(xué)生乙:我知道

你不知道這張牌;學(xué)生甲,現(xiàn)在我知道這張牌了;學(xué)生乙:我也知道了.則這張牌是

()A.草花5

B.紅桃QC.紅桃4

D.方塊5答案

D學(xué)生乙確信他知道學(xué)生甲不知道,說明通過數(shù)字不能判斷出這張牌,因此排除有單

一數(shù)字J,K等的花色黑桃和草花.學(xué)生甲知道這張牌不是黑桃也不是草花就猜出來了,說明這

張牌在黑桃和草花之外有且只有一張,那就是紅桃4,Q和方塊5,學(xué)生乙知道學(xué)生甲知道后就知

道了,說明這張牌只有一種選擇,所以老師告訴他的是方塊,所以答案是方塊5.故選D.考點(diǎn)二直接證明與間接證明1.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特二中期中,6)要證:a2+b2-1-a2b2≥0,只要證明

()A.2ab-1-a2b2≤0

B.(a2-1)(b2-1)≤0C.

-1-a2b2≤0

D.a2+b2-1-

≤0答案

B要證:a2+b2-1-a2b2≥0,只要證明(a2-1)(1-b2)≥0,只要證明(a2-1)(b2-1)≤0.故選B.2.(2018寧夏石嘴山三中4月月考,7)設(shè)x,y,z>0,則三個(gè)數(shù)

+

,

+

,

+

()A.都大于2

B.至少有一個(gè)大于2C.至少有一個(gè)不小于2

D.至少有一個(gè)不大于2答案

C假設(shè)三個(gè)數(shù)都小于2,則三數(shù)之和小于6.由于

+

+

+

+

+

=

+

+

≥2+2+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)取等號(hào),矛盾.∴

+

,

+

,

+

中至少有一個(gè)不小于2,故選C.3.(2019青海西寧四中月考,11)數(shù)列{Fn}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,稱為斐波那契數(shù)列,是由十三世

紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例而引入,故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從

第三項(xiàng)開始,每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和.記該數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列結(jié)論正確的是

()A.S2019=F2021+2

B.S2019=F2021-1C.S2019=F2020+2

D.S2019=F2020-1答案

B數(shù)列為1,1,2,3,5,8…,即從該數(shù)列的第三項(xiàng)開始,每一項(xiàng)等于前相鄰兩項(xiàng)之和.則Fn+2=Fn+Fn+1=Fn+Fn-1+Fn=Fn+Fn-1+Fn-2+Fn-1=Fn+Fn-1+Fn-2+

+Fn-2……=Fn+Fn-1+Fn-2+

+…+F2+F1+1,∴S2019=F2021-1,故選B.4.(2019新疆實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考,8)已知數(shù)列:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,…,依照它的前10項(xiàng)的規(guī)律,這個(gè)數(shù)列的第2019項(xiàng)a2019滿足

()A.1≤a2019≤10

B.a2019>10C.0<a2019<

D.

≤a2019<1答案

B將此數(shù)列分組為

,

,

,

,…,第n組有n個(gè)數(shù),設(shè)數(shù)列的第2019項(xiàng)a2019在第n組中,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得

<2019≤

(n∈N*),解得n=64,則前63組共

=2016個(gè)數(shù),即a2019為第64組的第3個(gè)數(shù),即a2019=

>10,故選B.一、選擇題(每小題5分,共5分)B組2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時(shí)間:20分鐘分值:40分1.(2019內(nèi)蒙古包頭二中期中,9)已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表,第一行為1,

二行為3,5,第三行為11,9,7,第四行為13,15,17,19,如圖所示.在寶塔形數(shù)表位于第i行,第j列的數(shù)

記為ai,j,例如a3,2=9,a4,2=15,a5,4=23,若ai,j=2019,i+j=

()

A.64

B.65

C.71

D.72答案

C由圖可知:第1組有1個(gè)奇數(shù),第2組有2個(gè)奇數(shù),…,第n組有n個(gè)奇數(shù),則前n組共有

個(gè)奇數(shù),設(shè)2019在第n組中,又2019是從1開始的連續(xù)奇數(shù)的第1010個(gè)奇數(shù),則有

解得n=45,即2019在第45組中,則前44組共990個(gè)數(shù),又第45組中的奇數(shù)從右到左,從小到大排列,則2019為第45組從右到左的第1010-990=20個(gè)數(shù),即2019為第45組從左到右的第45-20+1=26個(gè)數(shù),即i=45,j=26,故i+j=45+26=71,故選C.2.(2019甘肅酒泉中學(xué)4月模擬,15)古代埃及數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)有一個(gè)獨(dú)特現(xiàn)象:除

用一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)表示以外,其他分?jǐn)?shù)都可以寫成若干個(gè)單分?jǐn)?shù)和的形式.例如

=

+

,可以這樣理解:假定有兩個(gè)面包,要平均分給5個(gè)人,如果每人得

,不夠,每人得

,余

,再將這

分成5份,每人得

,這樣每人分得

+

.形如

(n=2,3,4,…)的分?jǐn)?shù)的分解如下:

=

+

,

=

+

,

=

+

,按此規(guī)律

=

(n=2,3,4,…).二、填空題(每小題5分,共20分)答案

+

解析由

=

=

+

=

+

,

=

=

+

=

+

,

=

=

+

=

+

,故

=

+

.3.(2019寧夏唐徠回民中學(xué)5月模擬,15)已知三個(gè)月球探測器α,β,γ共發(fā)回三張?jiān)虑蛘掌珹,B,C,每

個(gè)探測器僅發(fā)回一張照片.甲說:照片A是α發(fā)回的;乙說:β發(fā)回的照片不是A就是B;丙說:照片C不是γ發(fā)回的.若甲、乙、丙三人中有且僅有一人說法正確,則照片B是探測器

發(fā)回的.答案

α解析如果僅甲對(duì),則由乙錯(cuò)誤,知β發(fā)回的照片是C,此時(shí)丙也對(duì),不符合條件,故甲錯(cuò)誤;如果僅

乙對(duì),則丙錯(cuò)誤,故照片C是γ發(fā)回的,結(jié)合甲錯(cuò)得到照片A是β發(fā)回的,照片B由α發(fā)回,符合邏輯;