【自考復習資料】27054工程數(shù)學復習題集含答案

本試卷滿分100分;考試時間150分鐘?？偡诸}號一二三四核分人題分復查人得分得分評卷人復查人一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1．設z=1+2i，則Imz3=（）A．-2 B．1C．8 D．142．z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲線為（）A．直線 B．雙曲線C．拋物線 D．圓3．ln(-1)為（）A．無定義的 B．0C．πi D．(2k+1)πi(k為整數(shù))4．設z=x+iy,則（1+i）z2的實部為（）A．x2-y2+2xy B．x2-y2-2xyC．x2+y2+2xy D．x2+y2-2xy5．設z=x+iy，解析函數(shù)f(z)的虛部為v=y3-3x2y，則f(z)的實部u可取為（）A．x2-3xy2 B．3xy2-x3C．3x2y-y3 D．3y3-3x36．設C為正向圓周|z|=1，則（）A．0 B．1C．πi D．2πi7．設C為從-i到i的直線段，則（）A．i B．2iC．-i D．-2i8．設C為正向圓周|z|=1，則（）A．2πi·sin1 B．-2πiC．0 D．2πi9．復數(shù)列的極限為（）A．-1 B．0C．1 D．不存在10．以z=0為本性奇點的函數(shù)是（）A． B．C． D．11．在z=πi處的泰勒級數(shù)的收斂半徑為（）A．πi B．2πiC．π D．2π12．設，則f(10)(0)為（）A．0 B．C．1 D．10！13．設函數(shù)，則Res[f(z),-i]=（）A．0 B．C． D．14．把點z=1，i,-1分別映射為點w=∞,-1,0的分式線性映射為（）A． B．C． D．15．w=ez把帶形區(qū)域0<Imz<2π映射成W平面上的（）A．上半復平面 B．整個復平面C．割去負實軸及原點的復平面 D．割去正實軸及原點的復平面得分評卷人復查人二、填空題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。16．a(chǎn)rg(3-i)=___________．17．對數(shù)函數(shù)w=lnz的解析區(qū)域為___________．18．設C為正向圓周|z|=1，則積分___________．19．設，則冪級數(shù)的收斂半徑為___________．20．設C為正向圓周___________．得分評卷人復查人三、計算題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）21．求方程z3+8=0的所有復根．22．設u=x2-y2+xy是解析函數(shù)f(z)的實部，其中z=x+iy．求f′(z)并將它表示成z的函數(shù)形式．23．設v=eaxsiny，求常數(shù)a使v成為調(diào)和函數(shù)．24．設C為正向圓周|z|=1，計算積分25．計算積分，其中C為正向圓周|z|=1，|a|≠1．26．(1)求在圓環(huán)域1<|z-1|<+∞內(nèi)的羅朗級數(shù)展開式；(2)求在圓環(huán)域1<|z-1|<+∞內(nèi)的羅朗級數(shù)展開式．27．求f(z)=lnz在點z=2的泰勒級數(shù)展開式，并求其收斂半徑．28．計算積分，其中C為正向圓周|z|=2．得分評卷人復查人四、綜合題（下列3個小題中，29題必做，30、31題中選做一題。每小題10分，共20分）29．（1）求在上半平面的所有孤立奇點；（2）求f(z)在以上各孤立奇點的留數(shù)；（3）利用以上結(jié)果計算積分．30．設D是上半單位圓：Imz>0,|z|<1，求下列保角映射：（1）w1=f(z)把D映射為第Ⅱ象限D(zhuǎn)1，且f(1)=0；（2）w2=g(w1)把D1映射為第Ⅰ象限D(zhuǎn)2；（3）w=h(w2)把D2映射為上半平面D3；（4）求把D映射為D3的保角映射w=F(z)．31．求函數(shù)的傅氏變換，其中一、單項選擇題(本大題共15小題，每小題2分，共30分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的。請將其代碼填寫在題后的

括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1．設z=3+4i,則Rez=【】A.-7B．9C．16D．252．下列復數(shù)中，使等式=-z成立的是【】A．z=eB．z=eC．z=eD．z=e3．設0<t≤2。則下列方程中表示圓周的是【】A．z=(1+i)tB．z=e+2ic．z=t+D．z=2cost+i3sint4．下列區(qū)域為有界單連通區(qū)域的是【】A．0<|z—i|<1B．0<Imz<C.|z-3|+|z+3|<12D．0<argz<5．若f(z)=u+iv是復平面上的解析函數(shù)，則f’(z)=【】6．設f(z)=在整個復平面上解析，則常數(shù)A=【】A.0B.eC.1D.e7．設f（z）=ax+y+i（bx+y)是解析函數(shù)，則實常數(shù)a，b為【】A．a(chǎn)=-1，b=lB．a(chǎn)=l，b=1C．a(chǎn)=-1，b=-lD．a(chǎn)=l，b=-18．設z為復數(shù)，則e=【】A．cosz+isinzB．sinz+icoszC．cosz-isinzD．sinz-icosz9．設f（z）和g(z)在有向光滑曲線C上連續(xù)，則下列式子錯誤的是【】10．設C為從-i到i的左半單位圓周，則上=【】A．iB．2iC．-iD．-2i11．設C為正向圓周|z|=2，則下列積分值不為0的是【】12．設D是單連通區(qū)域，C是D內(nèi)的正向簡單閉曲線，則對D內(nèi)的任意解析函數(shù)F（z）恒有【】A．1+iB．∞C．1D．014．z=i是f(z)=的【】A．一階極點B．二階極點C．本性奇點D．解析點15．映射w=2z+z在點=l+i處的伸縮率為【】A．2B．3C．2D．5二、填空題(本大題共5小題，每小題2分,共10分)不寫解答過程。將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。16．a(chǎn)rg(1+i)=。17．設z=x+iy，則曲線|z-1|=1的直角坐標方程為。18．設f（z）=ze，則，f＇（z）=。19．設函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，且F(z)=，其中z，0∈D，則F＇（z）=。20．Res[e，0]=。三、計算題(本大題共8小題。每小題5分。共40分)21．求方程cosz=5在復平面上的全部解．22．討論函數(shù)w=xy-x+iy的可導性，并在可導點處求其導數(shù)。23．設C為正向圓周|z-2|=1，計算I=。24．設C為從0到1+2i的直線段，計算積分I=。25．(1)將函數(shù)在點z=-l處展開為泰勒級數(shù)；(2)利用以上結(jié)果，將函數(shù)f(z)=在點z=-l處展開為泰勒級數(shù)．26．求函數(shù)f(z)=的全部孤立奇點．若為極點，則指出其階數(shù)．27．將函數(shù)f(z)=在圓環(huán)域1<|z|<2內(nèi)展開為羅朗級數(shù)．28．設以f（z）=(1)計算Res[f（z），0](2)利用以上結(jié)果，計算積分I=出，其中C為正向圓周|z|=1．四、綜合題(下列3個小題中，29題必做。30、3l題中只選做一題。每小題l0分，共20分)(1)求以f（z）=在上半平面內(nèi)所有的孤立奇點，并說明它們的類型；(2)計算f（z）在上半平面內(nèi)各個孤立奇點的留數(shù)；(3)利用以上結(jié)果計算廣義積分I=．30．設D為z平面上的帶形域0<Imz<1．試求以下保角映射：(1)=f(z)把D映射成W平面上的帶形域0<Im<；(2)=f（）把帶形域0<Im<映射成平面的上半平面；(3)=f（）把平面的上半平面映射成單位圓盤||<l；(4)綜合以上三步，求保角映射=f（z）把D映射成單位圓盤||<1．31．(1)求cost的拉氏變換[cost]．(2)設F(p)=[y(t)]，其中函數(shù)，y（t）可導，而且y(0)=0．求[y＇(t)]．(3)利用拉氏變換解常微分方程的初值問題一、單項選擇題(本大題共15小題，每小題2分，共30分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的。請將其代碼填寫在題后的

括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1．設z=3+4i,則Rez=【】A.-7B．9C．16D．252．下列復數(shù)中，使等式=-z成立的是【】A．z=eB．z=eC．z=eD．z=e3．設0<t≤2。則下列方程中表示圓周的是【】A．z=(1+i)tB．z=e+2ic．z=t+D．z=2cost+i3sint4．下列區(qū)域為有界單連通區(qū)域的是【】A．0<|z—i|<1B．0<Imz<C.|z-3|+|z+3|<12D．0<argz<5．若f(z)=u+iv是復平面上的解析函數(shù)，則f’(z)=【】6．設f(z)=在整個復平面上解析，則常數(shù)A=【】A.0B.eC.1D.e7．設f（z）=ax+y+i（bx+y)是解析函數(shù)，則實常數(shù)a，b為【】A．a(chǎn)=-1，b=lB．a(chǎn)=l，b=1C．a(chǎn)=-1，b=-lD．a(chǎn)=l，b=-18．設z為復數(shù)，則e=【】A．cosz+isinzB．sinz+icoszC．cosz-isinzD．sinz-icosz9．設f（z）和g(z)在有向光滑曲線C上連續(xù)，則下列式子錯誤的是【】10．設C為從-i到i的左半單位圓周，則上=【】A．iB．2iC．-iD．-2i11．設C為正向圓周|z|=2，則下列積分值不為0的是【】12．設D是單連通區(qū)域，C是D內(nèi)的正向簡單閉曲線，則對D內(nèi)的任意解析函數(shù)F（z）恒有【】A．1+iB．∞C．1D．014．z=i是f(z)=的【】A．一階極點B．二階極點C．本性奇點D．解析點15．映射w=2z+z在點=l+i處的伸縮率為【】A．2B．3C．2D．5二、填空題(本大題共5小題，每小題2分,共10分)不寫解答過程。將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。16．a(chǎn)rg(1+i)=。17．設z=x+iy，則曲線|z-1|=1的直角坐標方程為。18．設f（z）=ze，則，f＇（z）=。19．設函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，且F(z)=，其中z，0∈D，則F＇（z）=。20．Res[e，0]=。三、計算題(本大題共8小題。每小題5分。共40分)21．求方程cosz=5在復平面上的全部解．22．討論函數(shù)w=xy-x+iy的可導性，并在可導點處求其導數(shù)。23．設C為正向圓周|z-2|=1，計算I=。24．設C為從0到1+2i的直線段，計算積分I=。25．(1)將函數(shù)在點z=-l處展開為泰勒級數(shù)；(2)利用以上結(jié)果，將函數(shù)f(z)=在點z=-l處展開為泰勒級數(shù)．26．求函數(shù)f(z)=的全部孤立奇點．若為極點，則指出其階數(shù)．27．將函數(shù)f(z)=在圓環(huán)域1<|z|<2內(nèi)展開為羅朗級數(shù)．28．設以f（z）=(1)計算Res[f（z），0](2)利用以上結(jié)果，計算積分I=出，其中C為正向圓周|z|=1．四、綜合題(下列3個小題中，29題必做。30、3l題中只選做一題。每小題l0分，共20分)(1)求以f（z）=在上半平面內(nèi)所有的孤立奇點，并說明它們的類型；(2)計算f（z）在上半平面內(nèi)各個孤立奇點的留數(shù)；(3)利用以上結(jié)果計算廣義積分I=．30．設D為z平面上的帶形域0<Imz<1．試求以下保角映射：(1)=f(z)把D映射成W平面上的帶形域0<Im<；(2)=f（）把帶形域0<Im<映射成平面的上半平面；(3)=f（）把平面的上半平面映射成單位圓盤||<l；(4)綜合以上三步，求保角映射=f（z）把D映射成單位圓盤||<1．31．(1)求cost的拉氏變換[cost]．(2)設F(p)=[y(t)]，其中函數(shù)，y（t）可導，而且y(0)=0．求[y＇(t)]．(3)利用拉氏變換解常微分方程的初值問題一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1．復數(shù)方程z=2+(為實參數(shù)，0≤<2)所表示的曲線為（）A．直線 B．圓周C．橢圓 D．拋物線2．已知，則argz=（）A． B．C． D．3．Re(cosi)=（）A． B．C． D．4．設f(z)=(1-z)e-z，則=（）A．(1-z)e-z B．(z-1)e-zC．(2-z)e-z D．(z-2)e-z5．設ez=，則Imz為（）A．ln2 B．C．2k,k=… D．+2k,k=0,…6．設C為正向圓周|z|=1，則（）A． B．2C．0 D．17．設C為正向圓周|z-1|=1，則積分等于（）A．5 B．7C．10 D．208．設C為正向圓周||=1.則當|z|>1時，f(z)=（）A．0 B．1C． D．9．設f(z)=的羅朗級數(shù)展開式為，則它的收斂圓環(huán)域為（）A．0<|z|<2或2<|z|<+ B．0<|z-2|<2或2<|z-2|<+C．0<|z-2|<+ D．0<|z-2|<210．冪級數(shù)在點z=處（）A．發(fā)散 B．條件收斂C．絕對收斂 D．不絕對收斂11．z=0是的（）A．解析點 B．本性奇點C．一階極點 D．二階極點12．設z=x+iy，則w=將圓周x2+y2=2映射為（）A．通過w=0的直線 B．圓周|w|=C．圓周|w-2|=2 D．圓周|w|=213．Res[]=（）A．2i B．-2iC．-1 D．114．z2sin在z=0點的留數(shù)為（）A．-1 B．C． D．015．w=iz將z平面上的第一象限保角映射為（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限第二部分非選