3.5 轉動慣量課件

3.5轉動慣量3.5轉動慣量3.5轉動慣量角速度描述剛體的整體轉動，我們希望把剛體的動量矩與動能，和角速度聯(lián)系起來。這將引出轉動慣量的概念。23.5轉動慣量3.5.1剛體的動量矩定點轉動剛體的動量矩從質點組的角度來寫：(1)(2)(3)(2)(3)代入(1)可得靜止系或活動系都可以33.5轉動慣量3.5.1剛體的動量矩定點轉動剛體的動量矩其中43.5轉動慣量3.5.2剛體的轉動動能(1)(2)(2)代入(1)可得53.5轉動慣量3.5.3轉動慣量的概念由轉動動能引入轉動慣量記稱為剛體對轉軸的轉動慣量63.5轉動慣量3.5.3轉動慣量的概念平行軸定理已知剛體對通過其質心的某軸線lC的轉動慣量為IC,則對與lC平行的軸線l的轉動慣量為。其中是剛體的總質量；是兩軸線的垂直距離。73.5轉動慣量回轉半徑3.5.3轉動慣量的概念有時為了方便，將剛體對某軸線的轉動慣量等效地寫為其中，m是剛體的質量；k叫做剛體對該軸線的回轉半徑.相當于將剛體簡化為一個集中了所有質量的點，此點到轉軸的距離就是k.83.5轉動慣量3.5.4慣量張量和慣量橢球轉動慣量的一般計算式某時刻，設轉軸l的方向余弦分別是，則轉動動能建立直角坐標系O-xyz靜止系或活動系都可以93.5轉動慣量轉動慣量的一般計算式3.5.4慣量張量和慣量橢球前面已知兩式比較可得剛體對轉軸l的轉動慣量為103.5轉動慣量轉動慣量的一般計算式3.5.4慣量張量和慣量橢球即剛體對三個坐標軸的轉動慣量。即剛體對三個坐標軸的慣量積。113.5轉動慣量3.5.4慣量張量和慣量橢球慣量張量矩陣元統(tǒng)稱慣量系數(shù)則對轉軸的轉動慣量可寫成矩陣形式123.5轉動慣量3.5.4慣量張量和慣量橢球慣量張量轉動動能的矩陣形式動量矩的矩陣形式133.5轉動慣量3.5.4慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念以剛體自身作為參考系，則瞬軸隨時間變化繞O點轉動，不同時刻有不同的瞬軸。記所有這些瞬軸為ln,n=1,2,…在ln上取一點Qn,要求滿足：剛體對ln的轉動慣量為In則點集{Q1,Q2,…,Qn,…}在空間密布成一個橢球面，此橢球稱為此剛體的慣量橢球。做定點轉動的剛體143.5轉動慣量3.5.4慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念求證：定點轉動剛體上滿足所有點Q構成一個橢球面。證明：

在剛體上建立活動系O-xyz,并設瞬軸l的方向余弦為。令設Q點的坐標為(x,y,z)，則(2)(1)做定點轉動的剛體153.5轉動慣量3.5.4慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念證明已知(3)(2)代入(3),并利用(1)消去I和R可得因為是活動系，或上式中慣量系數(shù)均為常數(shù)。上式即點Q的坐標必須滿足的方程，這是一個橢球面方程。得證。163.5轉動慣量3.5.4慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球方程做定點轉動的剛體綜上所述，任何做定點轉動的剛體都“背著一個隱形的包袱”——即慣量橢球。在轉動定點O上架設一個活動系O-xyz。其中，Ixx,Iyy,Izz分別是剛體對三個坐標軸的轉動慣量，Ixy,Iyz,Izx分別是慣量積，它們都是常數(shù)。則此橢球面方程為173.5轉動慣量3.5.4慣量張量和慣量橢球慣量橢球的概念慣量橢球的意義做定點轉動的剛體慣量橢球的矢徑與剛體對軸的轉動慣量有如下關系：因此如果知道了慣量橢球，可以利用上式計算剛體對任意瞬軸的轉動慣量。183.5轉動慣量3.5.5慣量主軸慣量主軸慣量橢球是在活動系下描述的結果。所以，慣量橢球也是固連在剛體上的。于是我們可以選擇一個特殊的活動系：以慣量橢球的三條互相垂直的對稱軸作為活動系的三條坐標軸。這樣的活動系稱為主軸坐標系。三條坐標軸稱為慣量主軸。主軸坐標系和慣量主軸的概念193.5轉動慣量3.5.5慣量主軸主軸系的特點——慣量積均為零證明：在橢球面上任取一點Q(x,y,z)根據(jù)對稱性，Q'(－x,－y,z)也必在橢球面上.將這兩點分別代入橢球面方程，可得(1)(2)兩式相減可得Iyzy+Izxx=0.因為x,y是任意的，故必須Iyz=Izx=0同理可證203.5轉動慣量3.5.5慣量主軸主軸系的優(yōu)點——簡潔在主軸系下，慣量張量對角化為其中對瞬軸的轉動慣量：慣量橢球方程簡化為對轉動定點的動量矩簡化為轉動動能簡化為213.5轉動慣量3.5.5慣量主軸判斷剛體慣量主軸的方法(1)若均勻剛體有對稱軸，且通過轉動定點，則此對稱軸必是其慣量主軸。證明：設此對稱軸為z軸。則點(xi,yi,zi)與點(－xi,－yi,zi)必同在剛體上。于是與z軸相關的兩個慣量積：所以，z軸必是慣量主軸。223.5轉動慣量3.5.5慣量主軸判斷剛體慣量主軸的方法(2)若均勻剛體有對稱面，且轉動定點在此對稱面上，則與該面垂直且通過轉動定點的軸必是其慣量主軸。證明：以轉動定點O為原點，以此對稱面為xy平面建立活動坐標系O-xyz。則點(xi,yi,zi)與點(xi,yi,－zi)必同在此剛體上。因此慣量積：，故，z軸必是慣量主軸。233.5轉動慣量3.5轉動慣量例題均勻長方形薄片的邊長為a和b,質量為m，求此長方形薄片繞其對角線轉動時的轉動慣量。解：如圖建立主軸坐標系。薄板對對角線l的轉動慣量，在主軸坐標系下的計算式為(1)其中I1,I2,I3分別是薄板對三個坐標軸的轉動慣量，是對角線l的三個方向余弦。243.5轉動慣量3.5轉動慣量例題(2)對角線l的三個方向余弦分別為設薄板質量密度為，厚度為t,則圖中與x軸平行的長條狀體積元的質量為