人教版九年級數(shù)學上冊 第二十三章 旋轉（B卷·學霸加練卷難度★★★★★）（解析版）

班級姓名學號分數(shù)第二十三章旋轉（學霸加練卷）（時間：60分鐘，滿分：100分）一．選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）1．（3分）（2022?太原二模）問題：“如圖1，平面上，正方形內(nèi)有一長為12，寬為6的矩形紙片，它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉（即平移或旋轉）的方式，自由地從橫放移轉到豎放，求正方形邊長的最小整數(shù)．”甲、乙、丙三名同學分別作了自認為邊長最小的正方形，求出該正方形的邊長，再取最小整數(shù)．甲：如圖2，思路是當為矩形對角線長時就可以移轉過去；結果取．乙：如圖3，思路是當為矩形外接圓直徑長時就可以移轉過去；結果?。喝鐖D4，思路是當為矩形的長與寬之和時就可以移轉過去；結果?。畬住⒁?、丙評價正確的是A．甲的思路錯，值正確 B．乙的思路對，值正確 C．丙的思路對，值正確 D．甲、乙的思路都錯，丙的思路對【分析】根據(jù)矩形長為12寬為6，可得矩形的對角線長為：，由矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉的方式，自由地從橫放變換到豎放，可得該正方形的邊長不小于，進而可得正方形邊長的最小整數(shù)的值．【解答】解：矩形長為12寬為6，矩形的對角線長為：，矩形在該正方形的內(nèi)部及邊界通過平移或旋轉的方式，自由地從橫放變換到豎放，該正方形的邊長不小于，，該正方形邊長的最小正數(shù)為14．甲的思路正確，長方形對角線最長，只要對角線能通過就可以，但是計算錯誤，應為；乙的思路與計算都正確；丙的思路與計算都錯誤；故選：．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)與旋轉的性質(zhì)，熟練運用矩形的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（3分）（2022?益陽）如圖，已知中，，，將繞點逆時針旋轉得到△，以下結論：①，②，③，④，正確的有A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)旋轉角的度數(shù)為，通過推理證明對①②③④四個結論進行判斷即可．【解答】解：①繞點逆時針旋轉得到△，．故①正確；②繞點逆時針旋轉，．，．，．．故②正確；③在中，，，．．與不垂直．故③不正確；④在中，，，．．故④正確．①②④這三個結論正確．故選：．【點評】本題考查了旋轉性質(zhì)的應用，圖形的旋轉只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大?。?．（3分）（2022春?和平區(qū)期末）如圖，與都是等邊三角形，連接，，，，若將繞點順時針旋轉，當點、、在同一條直線上時，線段的長為A． B． C．或 D．或【分析】分兩種情況：①當在延長線上時，過作于，根據(jù)與都是等邊三角形，，，可得，，在中，可得，從而；②當在的延長線上時，過作于，在中，，，在中，．【解答】解：①當在延長線上時，過作于，如圖：與都是等邊三角形，，，，，，，在中，，，；②當在的延長線上時，過作于，如圖：在中，，，，在中，；綜上所述，線段的長為或，故選：．【點評】本題考查等邊三角形的旋轉變換，解題的關鍵是分類畫出圖形，應用含角的直角三角形三邊關系，結合勾股定理解決問題．4．（3分）（2022春?龍華區(qū)期末）如圖，在中，，將繞頂點逆時針旋轉至，此時點在上，連接、、、，線段分別交、于點、，則下列四個結論中：①；②是等邊三角形；③；④當時，；正確的是A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【分析】①由旋轉可知，所以，所以．由此可判斷①正確；②由平行可知，，所以，所以，所以是等邊三角形，由此可判斷②正確；③過點作交于點，連接，由是等邊三角形，得，所以是等邊三角形，易證，所以，則點為中點，易證，所以，所以，可得．由此可判斷③錯誤；④過點作交的延長線于點，由含的直角三角形可知，，，所以，可表達．，可得，由此可判斷④正確．【解答】解：①繞點逆時針旋轉至，，，，．故①正確；②，，，，，是等邊三角形，故②正確；③過點作交于點，連接，是等邊三角形，，是等邊三角形，，，，點為中點，，，，，，，．故③錯誤；④過點作交的延長線于點，，，，，，的高為，．的高為，，，故④正確．故選：．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積等知識；熟練掌握旋轉的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．5．（3分）（2022春?南京期末）如圖，在正方形中，，為邊上一點，點在邊上，且，將點繞著點順時針旋轉得到點，連接，則的長的最小值為A．2 B． C．3 D．【分析】過點作，垂足為，可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得，，然后利用同角的余角相等可得，從而可證，進而可得，最后可得點在與平行且與的距離為1的直線上，從而可得當點在邊上時，的值最小，進行計算即可解答．【解答】解：過點作，垂足為，，四邊形是正方形，，，，由旋轉得：，，，，，，，點在與平行且與的距離為1的直線上，當點在邊上時，最小且，的最小值為3，故選：．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．6．（3分）（2022?河南三模）如圖，在平面直角坐標系中，，，將△繞點順時針旋轉并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點的對應點為；第二次變化后得到等腰三角形，點的對應點為，；第三次變化后得到等腰三角形，點的對應點為依此規(guī)律，則第2022個等腰三角形中，點的坐標是A． B． C． D．【分析】由題意，點，，在第三象限，，，，推出，可得結論．【解答】解：由題意，點，，在第三象限，，，，，，故選：．【點評】本題考查坐標與圖形變化旋轉，規(guī)律型問題等知識，解題的關鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．7．（3分）（2022?桐梓縣模擬）如圖，三角形，三角形均為邊長為4的等邊三角形，點是、的中點，直線、相交于點，三角形繞點旋轉時，線段長的最小值為．A． B． C． D．【分析】首先證明，判定出點在以為直徑的圓上運動，當運動到時，最短來解決問題．【解答】解：如圖，連接、、，，，，，，，、是等邊三角形，是、的中點，，，，，，，，，，，，，，，，，，，點在以為直徑的圓上運動，當時，且、在的同側時，最短，，，，的最小值為．故選：．【點評】本題考查了旋轉的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的有關知識等，解題的關鍵是證明，判定出在以為直徑的圓上運動．8．（3分）（2022?杭州）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，點．以點為旋轉中心，把點按逆時針方向旋轉，得點．在，，，，，四個點中，直線經(jīng)過的點是A． B． C． D．【分析】根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，利用待定系數(shù)法可得直線的解析式，依次將，，，四個點的一個坐標代入中可解答．【解答】解：點，點，軸，，由旋轉得：，，如圖，過點作軸于，，，，，設直線的解析式為：，則，，直線的解析式為：，當時，，，點，不在直線上，當時，，，在直線上，當時，，不在直線上，當時，，不在直線上．故選：．【點評】本題考查的是圖形旋轉變換，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，確定點的坐標是解本題的關鍵．9．（3分）（2022?無錫二模）如圖，在矩形中，，，點在線段上運動（含、兩點），將點為繞點逆時針旋轉到點，連接，則線段的最小值為A． B． C． D．3【分析】如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點，過點作于．利用全等三角形的性質(zhì)證明，推出，推出點在射線上運動，求出，可得結論．【解答】解：如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點，過點作于．四邊形是矩形，，，都是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，，，，點在射線上運動，，，，，，根據(jù)垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小，最小值為，故選：．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉變換，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點的在射線上運動，屬于中考選擇題中的壓軸題．10．（3分）（2022?鎮(zhèn)江二模）是邊長為4的等邊三角形，其中點為高上的一個動點，連接，將繞點順時針旋轉得到，連接、、，則周長的最小值是A． B． C． D．【分析】證明，得，可知點在外，邊下方，使的射線上，根據(jù)將軍飲馬求得的最小值便可求得本題結果．【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，，是等邊三角形，是高，，，過點作，交的延長線于點，延長到，使得，連接，，與交于點，連接，，則，，，為等邊三角形，，垂直平分，，，，，當與重合時，即、、三點共線時，的值最小為：，的周長的最小值為．故選：．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，將軍飲馬的應用，關鍵在于證明三角形全等確定點運動軌跡．11．（3分）（2022?清城區(qū)一模）如圖，已知等邊三角形繞點順時針旋轉得，點、分別為線段和線段上的點，且，則下列結論正確的有①；②為等邊三角形；③若把、、、四邊的中點相連，則得到的四邊形是矩形；④若，，則．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，易證，可判斷①選項；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得是等邊三角形，可判斷②選項；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得③選項；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，進一步可得．【解答】解：等邊三角形繞點順時針旋轉得，，在等邊三角形和等邊三角形中，，，，，故①選項符合題意；，，，，，是等邊三角形，故②選項符合題意；，四邊形是菱形，把、、、四邊的中點相連，得到的四邊形是矩形，故③選項符合題意；，，又，，，，，，，，，，，，故④選項符合題意，綜上，正確的選項有①②③④，故選：．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)，特殊的平行四邊形的性質(zhì)等，本題綜合性較強，難度較大．12．（3分）（2022春?大埔縣期中）如圖，在和中，，，．連接，，將繞點旋轉一周，在旋轉的過程中當最大時，A．6 B． C．9 D．【分析】作于，，交的延長線于，可知點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當時，最大，利用證明，得，可說明的面積的面積，從而得出答案．【解答】解：作于，，交的延長線于，，點在以為圓心，為半徑的圓上運動，當時，最大，由勾股定理得，，，，，，，的面積的面積，故選：．【點評】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）13．（3分）（2022?黔東南州二模）如圖，點是等邊三角形內(nèi)一點，且，，，則這個等邊三角形的邊長為．【分析】將旋轉得，過作交延長線于，可得是等邊三角形，有，，因，故，而，得，，可知，，，在中，得，，在中，．【解答】解：將旋轉得，過作交延長線于，如圖：，，，是等邊三角形，，，在中，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，等邊三角形的邊長為，故答案為：．【點評】本題考查等邊三角形中的旋轉，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形解決問題．14．（3分）（2022?游仙區(qū)模擬）正的邊長為4，是的中點，是內(nèi)一點，且，則的最小長度是．【分析】將繞點順時針旋轉得，以為邊在下方作等邊，連接，過作交延長線于，由將繞點順時針旋轉得，可得是等邊三角形，而，即知，，故，從而的軌跡是以為圓心，為半徑的上的，當，，共線時，最小，在中，，可得，，在中，，即可得的最小長度是．【解答】解：將繞點順時針旋轉得，以為邊在下方作等邊，連接，過作交延長線于，如圖：將繞點順時針旋轉得，，，，是等邊三角形，，，，，，，的軌跡是以為圓心，為半徑的上的，當，，共線時，最小，的最小值為，在中，，，，而，在中，，，即的最小長度是，故答案為：．【點評】本題考查等邊三角形中的旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉的旋轉，求出的軌跡．15．（3分）（2022?大名縣三模）如圖，在中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉得到．連接、，直線、交于點，連接．（1）與的等量關系是：；（2）在旋轉過程中，線段的最大值是．【分析】（1）由旋轉可知：，可證，即得，；（2）取的中點，連接，，設，交于點，由（1）知，得，可得，由是的中點，有，故當，，共線時，最大為．【解答】解：（1），理由如下：由旋轉可知：，，，，，，，，；故答案為：；（2）取的中點，連接，，設，交于點，如圖：由（1）知，，，，是的中點，，，當，，共線時，最大為，故答案為：．【點評】本題考查了旋轉的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握旋轉的性質(zhì)．16．（3分）（2022春?寬城縣期末）如圖，在菱形中，，，過菱形的對稱中心分別作邊，的垂線，交各邊于點，，，，則菱形的面積為，四邊形的周長為．【分析】如圖，連接，．利用是解三角形30度角的性質(zhì)求出．，，，，可得結論．【解答】解：如圖，連接，．四邊形是菱形，，，，，，，，，四邊形的面積，．，，，同法可證，，，四邊形是矩形，，，，，同法，，，是等邊三角形，，，，，，四邊形的面積．故答案為：，．【點評】本題考查中心對稱，菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握菱形的性質(zhì)，靈活運用所學知識解決問題．17．（3分）（2022?江漢區(qū)模擬）如圖，在矩形中，，，點在線段上運動（含、兩點），連接，以點為中心，將線段逆時針旋轉到，連接，則線段的長度的范圍為．【分析】①當與重合時，最大，連接，可證是等邊三角形，從而可得最大值是5；②以為邊向右作等邊，作射線交于點，過點作于，證明，有，可得，故點在射線上運動，由，，可得，根據(jù)垂線段最短可知，的最小值為，即可得到答案．【解答】解：①當與重合時，最大，連接，如圖：，，，，，將線段逆時針旋轉到，，是等邊三角形，，，即最大值是5；②以為邊向右作等邊，作射線交于點，過點作于，如圖：四邊形是矩形，，是等邊三角形，將線段逆時針旋轉到，，，，，在和中，，，，，，，，點在射線上運動，，，，，，根據(jù)垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小，最小值為，綜上所述，，故答案為：．【點評】本題考查矩形中的旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉的性質(zhì)，能求出點的軌跡．18．（3分）（2022春?道里區(qū)期末）如圖，在中，，于點，把線段繞點旋轉得到線段，點恰好落在的延長線上，，的面積是8，則的長為．【分析】過點作于點，通過證明，得到，；設，則，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理得到，利用三角形的面積公式求得值，再利用勾股定理即可得出結論．【解答】解：過點作于點，如圖，，．在和中，，，，．，．設，則，．，，，，．．．的面積是8，．，，．，，．故答案為．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，過點作于點，構造全等三角形是解題的關鍵．三．解答題（共6小題，滿分46分）19．（6分）（2022?晉江市模擬）如圖，在中，，將繞點逆時針旋轉得到，點、的對應點分別為、．（1）求證：、、三點共線；（2）若，求點到的距離．【分析】（1）連接，根據(jù)將繞點逆時針旋轉得到，得，，，知是等邊三角形，可得，故，、、三點共線；（2）過作于，過作于，由是等邊三角形，可得，，根據(jù)，可得，，由等面積法即得．【解答】（1）證明：連接，如圖：將繞點逆時針旋轉得到，，，，是等邊三角形，，，、、三點共線；（2）過作于，過作于，如圖：由（1）知是等邊三角形，，，，，，，，，點到的距離是．【點評】本題考查三角形中的旋轉變換，解題的關鍵是掌握旋轉的性質(zhì)，利用等面積法列方程解決問題．20．（8分）（2022?東?？h二模）如圖1．在一平面內(nèi)，從左到右，點、、、、均在同一直線上．線段，線段，分別是、的中點．如圖2，固定點以及線段，讓線段繞點順時針旋轉．連接、、、．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）當時，求四邊形的周長．【分析】（1）根據(jù)對角線互相平分證四邊形為平行四邊形即可；（2）當時，則四邊形為菱形，根據(jù)勾股定理求出邊長即可解答．【解答】（1）證明：如圖2，是，的中點，，，故四邊形為平行四邊形；（2）解：當時，如下圖：，，，即四邊形為菱形，，，，，，四邊形的周長為．【點評】本題考查了旋轉的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定，勾股定理是解題的關鍵．21．（8分）（2022春?富平縣期末）如圖，點、、都在網(wǎng)格格點上，三個頂點的坐標分別為，，．（1）經(jīng)過平移得到△，點、、的對應點分別為、、，中任意一點，平移后的對應點為，．請在圖中作出△；（2）請在圖中作出關于原點對稱的△，點、、的對應點分別為、、．【分析】（1）由點，平移后的對應點為，得出平移的方式為向右平移4個單位、向上平移3個單位，據(jù)此作出三個頂點平移后的對應點，再首尾順次連接即可；（2）分別作出三個頂點關于原點的對應點，再首尾順次連接即可．【解答】解：（1）如圖所示，△即為所求．（2）如圖所示，△即為所求．【點評】本題主要考查作圖—平移變換和旋轉變換，解題的關鍵是掌握平移變換和旋轉變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應點．22．（8分）（2022春?洛陽期末）（1）如圖①，將一副直角三角板按照如圖方式放置，其中點、、、在同一條直線上，兩條直角邊所在的直線分別為、，，．與相交于點，則的度數(shù)是；（2）將圖①中的三角板和三角板分別繞點、按各自的方向旋轉至如圖②所示位置，其中平分，求的度數(shù)；（3）將如圖①位置的三角板繞點順時針旋轉一周，速度為每秒，在此過程中，經(jīng)過秒邊與邊互相平行．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和是得出，再根據(jù)對頂角相等求出的度數(shù)即可；（2）過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)，再根據(jù)求出即可；（3）設經(jīng)過秒邊與邊互相平行，分兩種情況列方程求出時間即可．【解答】解：（1），，，，故答案為：；（2）平分，，，過點作，，，，，，，；（3）設經(jīng)過秒邊與邊互相平行，①時，，即，解得；②時，，即，解得；綜