數(shù)學與統(tǒng)計學基礎(chǔ)線性代數(shù)演示

1線性代數(shù)1.向量2物理有方向的量統(tǒng)計學空間中的點計算機數(shù)表數(shù)學里，我們可以將以上三種向量的概念合并到一起。只要我們默認向量的起點在原點。如下頁所示。1.向量數(shù)表中，第一個數(shù)（標量）告訴我們從原點沿X軸的方向如何移動。第二個數(shù)告訴我們從原點沿Y軸如何移動。此為2維空間的向量，本PPT之后都主要以2維向量舉例。1.向量4向量運算向量的加法：2維空間內(nèi)，就是求給定2個向量所圍成的平行四邊形的對角線。向量的數(shù)乘：將給定向量按比例縮放（拉伸），負數(shù)表示反向拉伸。所有給定向量的集合，叫向量空間。

2.線性組合5

6在線性空間中，所有其他向量都是以上兩種向量的線性組合?；蛘哒f，用單位向量和零向量，可以通過加法和數(shù)乘組合出任意一個其他向量。例：N個向量的標量乘法之和被稱為這幾個向量的線性組合。線性：對加法和數(shù)乘封閉。

因此向量空間是線性的。

7張量與長成空間以二維空間為例：在線性組合中，給定兩個非零向量。一個向量固定，另一個向量自由變化，其線性組合可得到一條直線。但是，令兩個向量都自由變化，可以得到一個平面嗎？大多數(shù)情況下確實如此，除非兩向量共線。8張成空間：所有可以表示為給定向量線性組合和向量集合，被稱為給定向量張成(span)的空間。若給定多個向量，移除其中一部分而不減小張成空間，是為線性相關(guān)。如果所有向量都給張成空間增加了維度，是為線性無關(guān)?；M的定義：向量空間的一個基組是張成該空間的一個線性無關(guān)的向量集。3.線性變換與矩陣9變換即躍遷。線性變換后，直線依舊是直線，且原點不變。變換一個向量有兩種方式：將該向量旋轉(zhuǎn)拉伸。改變整個坐標系，這是操縱空間的手段。線性空間中，改變空間只需改變基組，也就是改變基向量的方向和長度。

變換的是基組。因此變換后，可通過新的基組求出新的向量。換句話說，只要知道基組的新落腳點，我們就可以推斷出任意向量的新落腳點。12

因此，矩陣代表一次變換。用一個向量左乘一個矩陣，就表示將這個向量按此矩陣所定義的變換映射到新的向量。思考題1：哪個矩陣可以將空間逆時針旋轉(zhuǎn)90度？思考題2：逆向思維。給定一個矩陣，如何知道它代表什么線性變換？還是找基組。注意這道題的變換涉及到了空間的翻轉(zhuǎn)。思考題3：如果矩陣的某些列向量線性相關(guān)，空間會如何變換？降維4.矩陣乘法思考一種“復(fù)合變換”先旋轉(zhuǎn)（逆時針90度）后剪切（斜置）矩陣乘法就是復(fù)合變換：兩個變換先后作用。矩陣乘法的計算：行和列分別相乘。例：思考：矩陣乘法滿足交換律嗎？

5.行列式21既然矩陣可以將空間做伸縮，我們不禁要問：一次線性變換中，究竟空間被拉伸/壓縮了多少？以2維空間為例：既然線性變換是改變基組，那么我們只需要找到一個指標來度量2個基向量圍成的矩形面積

增大或縮小的比例。該指標就是行列式的值。記作det()，或||.

若行列式的值為負，表示空間發(fā)生了翻轉(zhuǎn)，交換了坐標軸的順/逆時針順序。25若行列式的值為0，則是將平面壓縮維數(shù)變成直線，矩形面積當然就為0.因此檢查矩陣行列式的值是否等于零，可以檢驗該矩陣的變換是否將空間降維。det(MN)=det(M)det(N)兩個矩陣M,N，積的行列式=行列式的積行列式行數(shù)必須等于列數(shù)。也就是說必須是方陣才有行列式。6.逆矩陣和矩陣的秩

變換與逆變換此例中出現(xiàn)的2個變換的矩陣即互為逆矩陣。思考：這兩個矩陣的復(fù)合變換是什么？28

秩30

31核（Kernel):在變換后落在原點的向量的集合，稱為該矩陣的“核”，也叫零空間.7.非方陣32

8.點乘，內(nèi)積34

同側(cè)投影內(nèi)積為正，否則為負。

9.叉乘，外積10.特征值與特征向量38

請注意綠色和黃色向量分別被拉伸了多少倍？

需要掌握的計算42向量運算矩陣的加法、數(shù)乘。矩陣乘法。矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的初等變換（高斯消元）求矩陣的逆求矩陣的秩（行階梯型與行最簡型）求矩陣的特征值和特征向量補充：奇異值分解43奇異值分解實際上把矩陣的變換分為了三部分：旋轉(zhuǎn)拉伸投影（方陣沒有投影）或者說奇異值分解，就是把矩陣分成多個“分力”奇異值的大小，就是各個“分力”的大小奇異值