組合與組合數(shù)+第2課時 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）選擇性必修第二冊

3.1.3組合與組合數(shù)第2課時新授課回顧組合數(shù)的性質(zhì)組合數(shù)公式：1.能應(yīng)用組合知識解決有關(guān)組合的簡單實(shí)際問題.2.能解決有限制條件的組合問題.思考：下列問題是排列問題，還是組合問題？（1）a，b，c，d四支足球隊(duì)爭奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？（2）a，b，c，d四支足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？4支球隊(duì)中有2支球隊(duì)，一個是冠軍，另一個是亞軍.（對2支球隊(duì)有順序要求）“排列”問題，有種結(jié)果單循環(huán)比賽要求每兩支球隊(duì)之間只打一場比賽.

(與選取的順序無關(guān))

“組合”問題，需打場.

例1

現(xiàn)有30件分別標(biāo)有不同編號的產(chǎn)品，且除了2件次品外，其余都是合格品，從中取出3件.

（1）一共有多少種不同的取法？分析：只是取出3件，它們之間無需考慮順序解：從30件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)：

等同于“從30個不同對象中任取3個并成一組”，是“組合”問題.（2）若3件產(chǎn)品中恰有1件次品，則不同的取法共有多少種？第一步，取出1件次品，有

種取法；3件產(chǎn)品中：1件次品，2件合格品取出兩類不同對象，可分成兩步完成：第二步，取出2件合格品，無需考慮順序，有

種取法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有

種.（3）若3件產(chǎn)品中至少要有1件次品，則不同的取法共有多少種？3件產(chǎn)品中：有1件次品，2件合格品；或者：有2件次品，1件合格品；方法1：

按取出次品的件數(shù)分成兩類進(jìn)行：第一類，取出3件產(chǎn)品中有1件次品，有

種取法；第二類，取出3件產(chǎn)品中有2件次品：

第一步，取出2件次品，無順序要求，有

種取法；

第二步，再取出1件合格品，有

種取法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有

種取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有

種.（3）若3件產(chǎn)品中至少要有1件次品，則不同的取法共有多少種？方法2：排除法，反面：沒有次品.即：3件全是合格品.

“任取3件”-“3件都是合格品”=“3件中至少有1件次品”

即：

種取法.取出的3件產(chǎn)品中至少要有1件次品，所以分成兩步完成：第一步，先取出1件次品，有

種方法；第二步，再從剩余29件產(chǎn)品中隨意取出2件，有

種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有

種取法.思考：第（3）問按照下列做法是否可行？為什么？不妨設(shè)2件次品為a1和a2，28件合格品為b1、b2、…、b28.若3件產(chǎn)品中，有2件次品和1件合格品，可能會出現(xiàn)下面的情況：研究有關(guān)“至多”或“至少”這樣的計(jì)數(shù)問題時:①直接分類研究，②運(yùn)用“排除法”計(jì)數(shù).選取產(chǎn)品應(yīng)是無序，這里選2個次品a1、a2時考慮了先后順序.應(yīng)將有序取出2件次品產(chǎn)生的重復(fù)次數(shù)去掉.因此上述方法不可行.

解此類問題時，先要判斷它是不是組合問題，只有當(dāng)它是組合問題或能轉(zhuǎn)化為組合問題時，才能運(yùn)用組合數(shù)公式求出其結(jié)果；

其次要注意分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，在運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時，一定要注意有無重夏和遺漏.歸納總結(jié)一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球.(1)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？練一練

解：(1)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是

(2)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是例2要把9本不同的課外書分給甲、乙、丙3名同學(xué)：（1）如果甲得4本，乙得3本，丙得2本，則共有多少種不同的分法？完成分配任務(wù)，可以分成三步完成：第一步，先選4本書給甲，無順序要求，有

種方法；第二步，再選3本書給乙，有

種方法；第三步，最后2本書都給丙，有

種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有：

種方法.“定向分配問題”分析：每本書是不同的，每人分配到多少本是確定的（2）如果要求一人得4本，一人得3本，一人得2本，則共有多少種不同的分法？可以先分組，后分配，分兩步完成：第一步，將9本書按照4本、3本、2本分為三組：第二步，將三組書分配給3個人，即三組書全排列：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共

種方法.分析：每人分配多少本不確定“不定向分配問題”（3）如果每個人都得3本，則共有多少種不同的分法？分析：每人都得3本，等同于“甲3本，乙3本，丙3本”.每個人分配到多少本書是確定的，屬于“定向分配問題”，第一步，先選3本書給甲，有

種方法；第二步，再選3本書給乙，有

種方法；第三步，最后3本書都給丙，有

種方法.共有：

種方法.（無需3組書全排列）歸納總結(jié)不同元素的分配問題分為兩類：(1)若將元素分配時，直接分配到具體的對象，則運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理、組合數(shù)公式求解即可.(2)若將元素分配時，不指定某個對象得到多少個元素，則應(yīng)先分組，再分配，即用分步乘法計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)公式以及組合數(shù)公式計(jì)算求解.

例3

現(xiàn)要從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6人中選出4人安排在甲、乙、丙、丁4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，那么一共有多少種不同的安排方法？限制條件：A不能

安排在甲崗位上特殊元素特殊位置排除法方法1：

從特殊元素“A”入手，可按照4個崗位中是否含A，分成兩類：甲乙丙丁第一類，4個崗位中含A，分成兩步完成：第一步：A的位置：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，含A的方法共有第二步：再確定其他崗位人選，共

種方法.第二類，4個崗位中不含A：綜上，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有

種方法.從剩余5人中選4人排到4個崗位中，有

種方法.甲乙丙丁方法2：從特殊位置“甲”入手，分成兩步完成：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有：

種方法.甲乙丙丁非A：方法3：排除法.共

種方法.先忽略題目中的限制要求：先“從6人中任意選4人安排到這4個崗位”，再從中去掉“A在甲崗位上”，剩余的就是“A不在甲崗位上”.練一練男運(yùn)動員6名,女運(yùn)動員4名,其中男女隊(duì)長各1名,選派5人外出比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運(yùn)動員3名,女運(yùn)動員2名.(2)至少有1名女運(yùn)動員.解：(1)第一步:選3名男運(yùn)動員,有種選法;第二步:選2名女運(yùn)動員,有種選法,故共有種選法.方法二(間接法):不考慮條件,從10人中任選5人,有種選法,其中全是男運(yùn)動員的選法有種,故“至少有1名女運(yùn)動員”的選法有