正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（第2課時） 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第2課時正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（二）理解正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性、最大值與最小值的概念；會求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會求三角函數(shù)的最值；經(jīng)歷過程探究、從直觀到抽象、從特殊到一般、類比研究的過程，形成理性數(shù)學(xué)思維，體會事物互相聯(lián)系、互相影響的辯證主義唯物觀.學(xué)習(xí)目標(biāo)一、自主探究（1）觀察正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，正、余弦函數(shù)的定義域、值域各是什么？正、余弦函數(shù)的定義域為R，值域為[－1，1]．

y＝cosx在[-π，0]上，曲線逐漸上升，是增函數(shù)，函數(shù)值由－1增大到1；在[0，π]上，曲線逐漸下降，是減函數(shù)，函數(shù)值由1減小到－1.

二、歸納對比正、余弦函數(shù)的性質(zhì)：

y＝sinxy＝cosx圖象定義域值域單調(diào)性最值

x＝2kπ，k∈Z時，ymax＝1；x＝2kπ＋π，k∈Z時，ymin＝－1

在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上遞增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上遞減[－1，1]RR[－1，1]

三、典例精講

求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，若ω為負(fù)數(shù)，則要先把ω化為正數(shù)．當(dāng)A＞0時，把ωx＋φ整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，求得的x的范圍即函數(shù)的增區(qū)間；整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，可求得函數(shù)的減區(qū)間．當(dāng)A＜0時，上述方法求出的區(qū)間是其單調(diào)性相反的區(qū)間．【方法講解】【隨堂訓(xùn)練】

(2)令t＝cosx，則－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，∴t＝－1時，y取得最大值10，t＝1時，y取得最小值2.所以y＝cos2x－4cosx＋5的值域為[2，10]．求三角函數(shù)值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函數(shù)的最值或值域問題時，利用正、余弦函數(shù)的有界性(－1≤sinx，cosx≤1)求解.求三角函數(shù)取最值時相應(yīng)自變量x的集合時，要注意考慮三角函數(shù)的周期性．(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時，通過換元，令t＝sinx(或cosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可，求解過程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．【方法講解】【隨堂訓(xùn)練】

A

四、歸納總結(jié)1.理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì)，要重點關(guān)注以下三點：(1)正弦函數(shù)(余弦函數(shù))不是定義域上的單調(diào)函數(shù)．另外，說“正弦函數(shù)(余弦函數(shù))在第一象限內(nèi)是增(減)函數(shù)”也是錯誤的.(2)正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點或最低點，即此時的正弦值(余弦值)為最大值或最小值．(3)正弦曲線(余弦曲線)的對稱中心一定是正弦曲線(余弦曲線)與x軸的交點，即此時的正弦值(余弦值)為0.2.要重點掌握函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：(1)求正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求正、余弦函數(shù)的值域.3.本節(jié)課的易錯點有以下兩處：(1)求形如函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時，如果ω＜0，