不等式的解集 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

2.2.2不等式的解集新授課2.2

不等式1.掌握不等式組解集的表示方法2.掌握絕對(duì)值不等式的解法

思考：什么叫不等式的解？如何解不等式？知識(shí)點(diǎn)1：不等式組的解集

一般地,不等式的所有解組成的集合稱為不等式的解集.對(duì)于由若干個(gè)不等式聯(lián)立得到的不等式組來說,這些不等式的解集的交集稱為不等式組的解集.

能夠使不等式成立的未知數(shù)的值稱為不等式的解．解不等式的過程中要不斷地使用不等式的性質(zhì)．例1

求不等式組的解集.①②解：①式兩邊同時(shí)加上一1，得2x≥－10，因此①的解集為[－5，＋∞)．類似地，可得②的解集為(－∞，－3)．又因?yàn)閇－5，＋∞)∩(－∞，－3)＝[－5，－3)，以原不等式組的解集為[－5，－3)．這個(gè)不等式兩邊同時(shí)乘以

，得x≥－5，歸納總結(jié)(1)解不等式時(shí)一定要注意同解變形；(2)去分母時(shí)，不等式兩端每一項(xiàng)均乘以最簡公分母；(3)系數(shù)化成1時(shí)，如果兩端乘以(或除以)一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變；(4)在求不等式組的解集即求幾個(gè)不等式的交集時(shí)，可以借助數(shù)軸來求解；(5)寫解集時(shí)要特別注意端點(diǎn)是否能取到．

數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離稱為數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|.一般地，含有絕對(duì)值的不等式稱為絕對(duì)值不等式．例如，|x|＞3，|x－1|≤2都是絕對(duì)值不等式．知識(shí)點(diǎn)2：絕對(duì)值不等式

思考：什么叫絕對(duì)值？絕對(duì)值的意義是什么？根據(jù)絕對(duì)值的定義可知，|x|＞3等價(jià)于

或

，即x＞3或x＜－3，因此|x|＞3的解集為(－∞，－3)∪(3，＋∞)．

也可由絕對(duì)值的幾何意義得到：數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離大于3的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)組成的集合就是|x|＞3的解集，12345-1-2-3-4Ox從而可知所求解集為(－∞，－3)∪(3，＋∞)．思考：試總結(jié)出m＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式|x|＞m和|x|≤m的解集．

當(dāng)m＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式|x|＞m的解為x＞m或x＜－m，因此解集為(－∞，－m)∪(m，＋∞)；關(guān)于x的不等式|x|≤m的解為－m≤x≤m，因此解集為[－m，m]．絕對(duì)值不等式的解的規(guī)律

一般地，如果m＞0，則:

（1）|x|＞m的解集是(－∞，－m)∪(m，＋∞)；

（2）|x|≤m的解集是(－∞，－m]∪[m，＋∞)；

（3）|x|＜m的解集是(－m，m)；

（4）|x|≤m的解集是[－m，m]．思考：如何利用|a－1|的幾何意義，得出不等式|a－1|≤2的解集？當(dāng)a＝－2時(shí)，表示－2的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離是3；12345-1-2-3-40x因此可知|a－1|≤2的解集為[－1，3]．d=3d=2d=2d=2當(dāng)a＝3時(shí)，表示3的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)的距離是2．與表示1的點(diǎn)的距離小于或等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的所有數(shù)組成的集合就是|a－1|≤2的解集，

一般地，如果實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，即A(a)，B(b)，則線段AB的長為所以

，當(dāng)a≥b時(shí)，類似可得上式仍成立．這就是數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．

如果線段AB的中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則由AM＝MB可知|a－x|＝|x－b|，因此：當(dāng)a＜b時(shí)，有a＜x＜b，從而x－a＝b－x，這就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式．AB＝|a－b|,例2

設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)A與數(shù)3對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與數(shù)x對(duì)應(yīng)，已知線段AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不大于5，求x的取值范圍．解：因?yàn)锳B的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為

，即|3＋x|≤10，因此－10≤3＋x≤10，所以－13≤x≤7，因此x的取值范圍是[－13，7]．所以由題意可知

≤5歸納總結(jié)一般地，當(dāng)c＞0時(shí)，（1）|ax＋b|＞c?ax＋b＞c或ax＋b＜－c；（2）|ax＋b|＜c?－c＜ax＋b＜c．思考：若去掉c＞0，結(jié)論是否仍成立？不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）練一練CA.B.1230