不等式及其性質(zhì)+第1課時(shí) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第一冊(cè)

2.2.1不等式及其性質(zhì)新授課2.2

不等式第1課時(shí)1.掌握不等式5個(gè)性質(zhì)與2個(gè)推論2.掌握作差法、綜合法證明不等式情境與問(wèn)題：

某品牌酸奶的質(zhì)量規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不小于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%，這可以用不等式表示為_(kāi)_____________________.若f≥2.5%且p≥2.3%在不等式符號(hào)中，要特別注意“≥”“≤”．事實(shí)上，住意給定兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，那么a≥b?a＞b或a＝b；知識(shí)點(diǎn)1：不等式的性質(zhì)思考：5≥3，2≥2，2≤2這三個(gè)命題都是真命題嗎？

不等式是刻畫(huà)不等關(guān)系的工具，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“＞”“＜”

“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，稱(chēng)為不等式．a(chǎn)≤b?a＜b或a=b.

怎樣理解兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的大小呢？設(shè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為x,則稱(chēng)x為點(diǎn)P的坐標(biāo)，并記作P(x).

由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)規(guī)定實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.

如圖，A(a)在B(b)的左邊時(shí)，a＜b；A(a)在B(b)的右邊時(shí)，a＞b．

要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)關(guān)a，b的大小，只要考察a-b與0的相對(duì)大小就可以了，即性質(zhì)1如果a>b，那么a+c>b+c.性質(zhì)2如果a>b，c>0，那么ac>bc.性質(zhì)3如果a>b，c<0，那么ac<bc.思考：初中學(xué)過(guò)的不等式有哪些性質(zhì)？利用前面的知識(shí)，給出性質(zhì)1的直觀理解以及這三個(gè)性質(zhì)的證明.性質(zhì)1：因?yàn)?/p>

(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b，且a＞b，點(diǎn)A和B'的相對(duì)位置保持不變因此

a+c>b+c.所以a-b＞0，從而

(a+c)-(b+c)＞0；性質(zhì)2：因?yàn)閍c－bc＝（a－b）c，又因?yàn)閍＞b，所以a－b＞0，而c＞0，因此（a－b）c＞0，因此ac－bc＞0，即ac＞bc．性質(zhì)3：因?yàn)閍c－bc＝（a－b）c，又因?yàn)閍＞b，所以a－b＞0，而c＜0，因此（a－b）c＜0，因此ac－bc＜0，即ac＜bc．（1）a＞b是a＋c＞b＋c的_______條件；思考：你會(huì)用充分條件、必要條件來(lái)描述不等式的性質(zhì)嗎？試用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：（2）如果c＞0，則a＞b是ac＞bc的_______條件；（3）如果c＜0，則a＞b是ac＜bc的_______條件．充要充要充要性質(zhì)4如果a＞b,b＞c,那么a＞c(傳遞性)在不等式的證明與求解中，還經(jīng)常用到以下不等式的性質(zhì)：證明：因?yàn)閍－c＝(a－b)+(b－c)，又因?yàn)閍＞b，所以a－b＞0；且b＞c，所以b－c＞0，因此(a－b)+(b－c)＞0，從而a－c＞0，即a＞c．性質(zhì)5如果a＞b?b＜a

(對(duì)稱(chēng)性)

不等式性質(zhì)對(duì)任意滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)都成立，因此我們可以用任意滿(mǎn)足條件的式子去代替其中的字母．推論1

如果a＋b＞c，那么a＞c－b．利用不等式的性質(zhì)，還可以得到關(guān)于不等式的推論.知識(shí)點(diǎn)2：不等式的推論證明

a＋b＞c?a＋b＋（－b）＞c＋（－b）?a＞c－b．推論1表明，不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊．推論1通常稱(chēng)為不等式的移項(xiàng)法則．推論2

如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d．證明根據(jù)性質(zhì)1有a＞b?a＋c＞b＋c，c＞d

?b＋c＞b＋d，再根據(jù)性質(zhì)4可知a＋c＞b＋d．有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向.例1

比較x2－x和x－2的大小.解：因?yàn)椋▁2－x）－（x－2）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，又因?yàn)椋▁－1）2≥0，所以（x－1）2＋1≥1＞0，從而（x2－x）－（x－2）＞0，因此x2－x＞x－2．歸納總結(jié)通過(guò)比較兩式之差的符號(hào)來(lái)判斷兩式的大小，這種方法通常稱(chēng)為作差法．（1）作差：對(duì)要比較大小的兩個(gè)代數(shù)式作差．（2）變形：對(duì)差進(jìn)行變形（因式分解或者配方等）．（3）判斷差的符號(hào)：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號(hào)．（4）作出結(jié)論．作差法的步驟：已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大?。氁痪毥猓海╝3＋b3）－（a2b＋ab2）＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）．∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴（a－b）2＞0，a＋b＞0．∴（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＞0，即a3＋b3＞a2b＋ab2．例2

（1）已知a＞b，c＜d，求證：a－c＞b－d；（2）已知a＞b，ab＞0，求證：證明：（1）因?yàn)閍＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d，根據(jù)推論2，得a－c＞b－d．（2）因?yàn)閍b＞0，所以

＞0，又因?yàn)閍＞b，所以a·

＞b·

，即

，因此

．不等式兩側(cè)同號(hào)取倒數(shù)，不等式方向改變.歸納總結(jié)

從已知條件出發(fā)，綜