組合與組合數(shù) 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊+

6.2.3-6.2.4

組合與組合數(shù)選擇性必修三

第六章計數(shù)原理問題一：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項活動,其中1名同學(xué)參加上午的活動,1名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲乙，甲丙，乙丙3個不同元素中取出2個元素,按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排列方法？從3個不同元素取出2個元素合成一組，一共有多少個不同的組？排列問題組合問題甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤

n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(combination).組合定義:

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n

個不同元素中取出m

個元素的一個排列.排列定義:組合

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙，乙甲

甲丙，丙甲

乙丙，丙乙排列

問題一和問題二中“排列”和“組合”的對應(yīng)關(guān)系：共同點:從n個不同元素中任取m個元素

不同點:排列“按照一定的順序排成一列”，

組合“與順序無關(guān)”.例如:ab與ba是兩個不同的排列，但卻是同一個組合.思考1：你能說一說排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號

表示.

例如，從3個不同元素中任取2個元素的組合數(shù)為從4個不同元素中任取3個元素的組合數(shù)為關(guān)鍵：改變順序結(jié)果是否改變3.校門口停放著9輛共享自行車，①從中選3輛，有多少種不同的方法?②從中選3輛給3位同學(xué),有多少種不同的方法?1.

平面內(nèi)有A、B、C、D共4個點.(1)以其中2個點為端點的線段共有多少條?(2)以其中2個點為端點的有向線段共有多少條?思考2：判斷下面問題是排列問題還是組合問題？計算結(jié)果，并得出排列數(shù)

與組合數(shù)

之間的關(guān)系

2.有A、B、C、D共4個人(1)從中選3人組成課外數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組.(2)從中選3人分別參加校運動會的3個運動項目.

分步求排列數(shù)第1步，取出m個元素，共有種取法；第2步，將m個元素作全排列，共有種排法.

n，m∈N*，且m≤n.組合數(shù)公式用于計算用于證明例1

計算：思考觀察（1）與（2），（3）與（4）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想？能否證明和解釋你的猜想？類型一

組合數(shù)的計算該性質(zhì)反映了組合數(shù)的對稱性.其組合意義是從n個不同的元素中任取m個元素的組合與從n個不同的元素中任取(n-m)個元素的組合是一一對應(yīng).

思考：觀察練習(xí)1的計算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想？能否證明和解釋你的猜想？類型一

組合數(shù)的計算（1）若沒有取元素甲，則只需從剩下的n個元素中取出m個元素，所以共有種取法；（2）若選了元素甲，則只需從剩下的n個元素中再取出(m-1)個元素，所以共有種取法.由分類加法計數(shù)原理，得.“(n+1)個不同元素中取m個元素作為一組”可以分為兩類：

類型二

組合數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用190466

例2在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?類型三

組合數(shù)的簡單應(yīng)用“至少/多”問題——直/間接法(正難則反)10.從含有3件次品的100件產(chǎn)品中，任意抽取5件進(jìn)行檢驗.（1）抽出的產(chǎn)品都是合格品的抽法有多少種？（2）抽出的產(chǎn)品中恰好有2件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的產(chǎn)品中至少有2件是次品的抽法有多少種？（4）抽出的產(chǎn)品中至多有2件是次品的抽法有多少種？類型三

組合數(shù)的簡單應(yīng)用課本27頁5.從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽.（1）如果4人中男生女生各選2人，那么有多少種選法？（2）如果男生中