人教版八年級數(shù)學(xué)上冊（第十一章 三角形）11.1 與三角形有關(guān)的線段（學(xué)習(xí)、上課資料）

11.1與三角形有關(guān)的線段第十一章三角形11.1.1三角形的邊逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2三角形的相關(guān)元素三角形的分類三角形的三邊關(guān)系知識(shí)點(diǎn)三角形的相關(guān)元素知1－講11.三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.特別解讀●構(gòu)成三角形的“條件”：1.三條線段；2.不在同一條直線上；3.首尾順次相接.知1－講三角形的表示法：用符號“△”表示三角形.如圖11.1-1，頂點(diǎn)是A，B，C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”.字母的順序可以自由安排知1－講2.

三角形的“三元素”(1)頂點(diǎn)：三角形相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).(2)邊：組成三角形的線段叫做三角形的邊.(3)內(nèi)角：在三角形中，相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.●三角形的邊是線段，既可用兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示，也可用邊所對的頂點(diǎn)的小寫字母表示，如頂點(diǎn)A所對的邊BC

可用a表示.知1－練例1如圖11.1-2，在△ABC中，D，E分別是BC，AC上的點(diǎn)，連接BE，AD交于點(diǎn)F.知1－練解題秘方：緊扣“三角形及其元素的定義”及幾何圖形計(jì)數(shù)的常用方法進(jìn)行解答.知1－練(1)圖中共有多少個(gè)三角形？請把它們表示出來.(2)請寫出△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)、三條邊及三個(gè)內(nèi)角.解：圖中共有8個(gè)三角形，分別是△ABF，△AEF，△BDF，△ABE，△ABD，△ACD，△BCE，△ABC.△BDF的三個(gè)頂點(diǎn)是點(diǎn)B，D，F(xiàn)，三條邊是線段BD，DF，BF，三個(gè)內(nèi)角是∠FBD,∠FDB，∠BFD.(3)以AB為邊的三角形有哪些？(4)以∠C為內(nèi)角的三角形有哪些？知1－練解：以AB為邊的三角形有△ABF，△ABD，△ABE，△ABC.以∠C為內(nèi)角的三角形有△ACD，△BCE，△ACB.知1－練1-1.如圖所示，圖中共有_____個(gè)三角形.△ABE中，AE

所對的角是______，∠BAE所對的邊是______，AD在△ADE中是______所對的邊，在△ADC

中是_____所對的邊.6∠BBE∠AED∠C知2－講知識(shí)點(diǎn)三角形的分類21.等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.(如圖11.1-3)特別地：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，即底邊和腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形.知2－講2.

三角形的分類等腰三角形包括等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.按邊的相等關(guān)系分類：三角形三邊都不相等的三角形等腰三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等邊三角形分類示意圖如圖11.1-4所示.知2－講特別提醒●三角形按內(nèi)角的大小分類和按邊的相等關(guān)系分類是兩種不同的分類方法，各自獨(dú)立，但無論按哪種標(biāo)準(zhǔn)分類，原則都是不重不漏.●對于等腰直角三角形，按邊的相等關(guān)系分類屬于等腰三角形，按內(nèi)角的大小分類屬于直角三角形.知2－練根據(jù)下列所給條件，判斷△ABC的形狀(若已知的是角，則按角的分類標(biāo)準(zhǔn)去判斷；若已知的是邊，則按邊的分類標(biāo)準(zhǔn)去判斷)：(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.例2解題秘方：根據(jù)三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.知2－練(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；(2)∠C＝120°；解：∵∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°，∴∠A＜∠B＜∠C＜90°，∴△ABC是銳角三角形.通過最大內(nèi)角的度數(shù)去判斷∵∠C＝120°＞90°，∴△ABC是鈍角三角形.知2－練(3)∠C＝90°；(4)AB＝BC＝4，AC＝5.解：∵∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形.∵AB＝BC＝4，AC＝5，∴△ABC是等腰三角形.知2－練2-1.已知△ABC的三邊長分別是a，b，c，且(a－b)(b－c)(c－a)＝0，則△ABC是()A.

等腰三角形B.

等邊三角形C.

三邊都不相等的三角形D.底邊和腰不相等的等腰三角形A知3－講知識(shí)點(diǎn)三角形的三邊關(guān)系31.

三角形的三邊關(guān)系文字語言數(shù)學(xué)語言理論依據(jù)圖形三角形兩邊的和大于第三邊a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b兩點(diǎn)之間線段最短三角形兩邊的差小于第三邊a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b(a＞b＞c)2.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用(1)判斷三條線段能否組成三角形；(2)已知三角形的兩邊長，確定第三邊長(或周長)的取值范圍；(3)三角形的邊長用字母表示時(shí)，求字母的取值范圍；(4)證明線段的不等關(guān)系.知3－講知3－講特別提醒●三角形中的“兩邊”指任意兩邊，應(yīng)用時(shí)常選取兩條較小的邊的和與第三邊作比較，選取最大邊與最小邊的差與第三邊作比較.●已知三角形的兩邊長a，b(a＞b)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，第三邊長c的取值范圍是a－b＜c＜a＋b.知3－練下列長度的四組線段能組成三角形的是()A.1cm，2cm，3.5cmB.4cm，5cm，9cmC.5cm，8cm，15cmD.6cm，8cm，9cm例3知3－練解題秘方：緊扣“三角形的三邊關(guān)系”進(jìn)行判斷.解：∵1cm＋2cm＜3.5cm，∴不能組成三角形.∵4cm＋5cm＝9cm，∴不能組成三角形.∵5cm＋8cm＜15cm，∴不能組成三角形.∵6cm＋8cm＞9cm，∴能組成三角形.答案：D用較短的兩條線段的和與最長的線段作比較知3－練3-1.分別以下列長度的三條線段為邊，哪些能構(gòu)成三角形？哪些不能構(gòu)成三角形？(1)6cm，8cm，10cm；解：因?yàn)?cm＋8cm>10cm，所以6cm，8cm，10cm能構(gòu)成三角形．知3－練(2)3cm，8cm，11cm；(3)3cm，4cm，10cm；解：因?yàn)?cm＋8cm＝11cm，所以3cm，8cm，11cm不能構(gòu)成三角形．因?yàn)?cm＋4cm<10cm，所以3cm，4cm，10cm不能構(gòu)成三角形．知3－練(4)三條線段的長度之比為4∶6∶7.解：因?yàn)槿龡l線段的長度之比為4∶6∶7，所以設(shè)這三條線段的長度分別為4x，6x，7x(x>0)．因?yàn)?x＋6x>7x，所以三條線段的長度之比為4∶6∶7，能構(gòu)成三角形．知3－練用一根長18cm的鐵絲圍成一個(gè)三角形，其中三邊長分別為4cm，xcm，ycm且有兩邊相等.求x，y的值.例4解題秘方：緊扣兩邊相等進(jìn)行分類討論，利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)是解題關(guān)鍵.知3－練

知3－練4-1.如果一個(gè)三角形的兩邊長分別是6cm和8cm，周長是偶數(shù)，那么這樣的三角形有()A.3個(gè) B.4個(gè)C.5個(gè) D.6個(gè)C知3－練4-2.三角形的兩邊長分別為3和5，則此三角形的周長l

的取值范圍是()A.2<l<8 B.10<l<18C.10<l<16 D.

無法確定C三角形的邊三角形三邊關(guān)系分類按邊分類組成元素邊頂點(diǎn)角11.1與三角形有關(guān)的線段第十一章三角形11.1.2三角形的高、中線與角平分線11.1.3三角形的穩(wěn)定性逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2三角形的高三角形的中線三角形的角平分線三角形的穩(wěn)定性知識(shí)點(diǎn)三角形的高知1－講11.三角形的高的定義和性質(zhì)定義從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC

上的高圖形知1－講續(xù)表性質(zhì)∵AD是△ABC的邊BC上的高(已知)，∴AD⊥BC于點(diǎn)D(或∠ADB＝∠ADC＝90°)判定∵AD⊥BC于點(diǎn)D(或∠ADB＝∠ADC＝90°)(已知)，∴線段AD是△ABC的邊BC上的高(三角形的高的定義)知1－講2.三角形三條高的位置高的位置交點(diǎn)位置交點(diǎn)名稱銳角三角形三條高都在三角形內(nèi)部三角形內(nèi)一點(diǎn)垂心直角三角形其中兩條高恰好是直角邊直角頂點(diǎn)鈍角三角形其中兩條高在三角形外部三角形外一點(diǎn)知1－講示圖圖11.1-6知1－練例1如圖11.1-7，AE⊥EC于點(diǎn)E，CD⊥AD于點(diǎn)D，AD交EC于點(diǎn)B.知1－練(1)△ABC的邊BC上的高為______，邊AB上的高為______；解題秘方：緊扣“三角形高的定義”進(jìn)行判斷；解：△ABC是鈍角三角形，由三角形高的定義和鈍角三角形高的位置可知，組成鈍角的兩條邊上的高在三角形的外部，故邊BC上的高為AE，邊AB上的高為CD.AECD知1－練

解題秘方：分別以BC，AB

為底邊計(jì)算△ABC的面積，列式求解.

同一個(gè)三角形面積的兩種表示知1－練1-1.如圖，在△ABC中，∠C＝90°.(1)指出圖中BC，AC邊上的高.(2)畫出AB邊上的高CD.解：BC邊上的高是AC，AC邊上的高是BC.略．知1－練(3)在(2)的條件下，圖中有幾個(gè)直角三角形？分別表示出來.(4)若BC＝3，AC＝4，AB＝5，求AB

邊上的高CD的長.解：圖中有3個(gè)直角三角形，分別是直角三角形ABC，直角三角形ACD，直角三角形BCD.知2－講知識(shí)點(diǎn)三角形的中線2

知2－講2.

三角形的重心三角形的三條中線相交于一點(diǎn).三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心(如圖11.1-9中的點(diǎn)O)，重心在三角形內(nèi)部.知2－講特別解讀三角形的中線把三角形分成的兩個(gè)三角形的面積和周長的關(guān)系：1.兩個(gè)三角形的面積相等；2.兩個(gè)三角形的周長的差等于這兩個(gè)三角形另兩邊的差.知2－練如圖11.1-10，在△ABC中，AD，BE分別是△ABC，△ABD的中線.例2解題秘方：利用中線將三角形分成的兩個(gè)三角形的周長之間的關(guān)系和面積之間的關(guān)系解題.知2－練(1)若△ABD與△ADC的周長之差為3，AB＝8，求AC的長；解：∵AD為BC邊上的中線，∴BD＝CD.∴△ABD與△ADC的周長之差為(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC.∵△ABD與△ADC的周長之差為3，AB＝8，∴8－AC＝3，解得AC＝5.知2－練(2)若S△ABC＝8，求S△ABE.

知2－練2-1.如圖，AD是△ABC的中線，已知△ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，則△ACD的周長為()A.19cmB.22cmC.25cmD.31cmA知3－講知識(shí)點(diǎn)三角形的角平分線3

知3－講特別提醒●角的平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段.●三角形的角平分線是其內(nèi)角的平分線的一部分，故角的平分線的性質(zhì)三角形的角平分線都具有.知3－講2.

三角形三種重要線段的區(qū)別三角形的高三角形的中線三角形的角平分線用途舉例(1)證線段垂直；(2)證角相等(1)證線段相等；(2)證面積相等證角相等知3－講續(xù)表三角形的高三角形的中線三角形的角平分線在圖中的位置銳角三角形三條高全在三角形內(nèi)三條中線全在三角形內(nèi)三條角平分線全在三角形內(nèi)直角三角形一條高位于三角形內(nèi)，另兩條高與兩直角邊重合鈍角三角形一條高位于三角形內(nèi)，另兩條高位于三角形外知3－講續(xù)表三角形的高三角形的中線三角形的角平分線條數(shù)三條三條三條交點(diǎn)位置銳角三角形在三角形內(nèi)在三角形內(nèi)在三角形內(nèi)直角三角形在直角頂點(diǎn)處鈍角三角形在三角形外知3－講視野拓展三角形中三個(gè)重要的點(diǎn)：三條高所在直線的交點(diǎn)叫垂心,三條中線的交點(diǎn)叫重心,三條角平分線的交點(diǎn)叫內(nèi)心.知3－練如圖11.1-12，AD是△ABC的角平分線，DE∥AB交AC于點(diǎn)E，DF∥AC交AB于點(diǎn)F，EF交AD于點(diǎn)O.試問：DO是否為△DEF的角平分線？并說明理由.例3知3－練解題秘方：根據(jù)三角形角平分線的定義進(jìn)行說明.解：DO是△DEF的角平分線.理由如下：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1＝∠2.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠3＝∠2，∠4＝∠1.∴∠3＝∠4.∴

DO是△DEF的角平分線.知3－練3-1.如圖，AD是△ABC的角平分線，AE是△ABD的角平分線，若∠BAC＝80°，則∠EAD的度數(shù)是()A.20°B.30°C.45°D.60°A知4－講知識(shí)點(diǎn)三角形的穩(wěn)定性41.三角形的穩(wěn)定性(1)如果三角形的三邊長確定，這個(gè)三角形的形狀、大小就確定了，這就是三角形的穩(wěn)定性.(2)四邊