2022-2023學(xué)年山東省臨沂市沂水一中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年山東省臨沂市沂水一中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．（5分）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的個數(shù)是（）A．9 B．8 C．7 D．62．（5分）條件p：，條件q：（x+2）（x+2a）＜0，若p是q的充分而不必要條件，則a的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．[﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）3．（5分）函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．4．（5分）若正實數(shù)a，b，c滿足c＜cb＜ca＜1，則（）A．a(chǎn)a＜ab＜ba B．a(chǎn)a＜ba＜ab C．a(chǎn)b＜aa＜ba D．a(chǎn)b＜ba＜aa5．（5分）若a＞0且a≠1，函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）6．（5分）形如的函數(shù)因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動地稱為“囧函數(shù)”．若函數(shù)（a＞0，a≠1）有最小值，則“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝loga|x|的圖象交點個數(shù)為（）A．1 B．2 C．4 D．67．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，且x＝時，函數(shù)f（x）取最小值，若函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，則a的最大值是（）A． B． C． D．8．（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（x+2），當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）＝2﹣|x﹣4|，則（）A． B．f（sin1）＜f（cos1） C． D．f（cos2）＜f（sin2）二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．（5分）已知正實數(shù)a，b滿足ba＝2，且a+2log2b＝3，則a+b2的值可以為（）A．2 B．3 C．4 D．5（多選）10．（5分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A．f（x）為奇函數(shù) B．方程f（x）＝的實數(shù)解為x＝ln3 C．f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱 D．?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有（多選）11．（5分）設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是（）A．|a|＞|b| B．a(chǎn)2+a＜b2+b C． D．（多選）12．（5分）已知函數(shù)（A＞0，），，函數(shù)f（x）的圖像過點（0，1），且關(guān)于直線對稱，若對任意的x1∈[﹣1，2]，存在，使得g（x1）＞f（x2），則實數(shù)m的可能取值是（）A． B． C．﹣2 D．﹣5三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若函數(shù)f（x）＝，若f（f（））＝4，則b＝．14．（5分）函數(shù)（x∈[﹣2，8]）的所有零點之和為．15．（5分）設(shè)函數(shù)，的最大值為M，最小值為N，那么M+N＝．16．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝﹣4x+2x+1﹣1，g（x）＝lg（ax2﹣4x+1），若對任意x1∈R都存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實數(shù)a的最大值為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）（1）已知＝﹣5，求sin2θ+的值；（2）已知0＜x＜π，且sinx+cosx＝，求sin（π﹣x）+cos（π﹣x）的值．18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lg（x﹣1）+的定義域為A，g（x）＝3x+1（x∈[0，2]）的值域為B．（1）求A和B；（2）若[a，a+1]?A∩B，求a的最大值．19．（12分）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，且a2+b2≠0），滿足f（2）＝1，方程f（x）＝x有唯一解．（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）如果f（x）是R上的奇函數(shù)，求f[f（﹣3）]的值；（3）如果f（x）不是奇偶函數(shù)，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣2，+∞）上是增函數(shù)．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝logax，g（x）＝2loga（2x+t﹣2）（a＞0，a≠1，t∈R）．（1）當(dāng)t＝2，x∈[1，2]，且F（x）＝g（x）﹣f（x）有最小值2時，求a的值；（2）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．21．（12分）已知定理：“若a，b為常數(shù)，g（x）滿足g（a+x）+g（a﹣x）＝2b，則函數(shù)y＝g（x）的圖像關(guān)于點（a，b）中心對稱”．設(shè)函數(shù)，g（x）＝mx+5﹣2m．（1）試判斷y＝f（x）的圖像是否關(guān)于點（a，﹣1）成中心對稱？說明理由；（2）當(dāng)x∈[a+1，a+2]時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的最大值與最小值；（3）若對任意的x1∈[a﹣2，a﹣1]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求實數(shù)m的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為（0，+∞），且滿足f（xy）＝f（x）+f（y），當(dāng)x∈（1，+∞）時，有f（x）＞0，且f（2）＝1．（1）判斷并證明函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)性；（2）求不等式f（4t）﹣f（1﹣t）＜2的解集；（3）對任意，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

2022-2023學(xué)年山東省臨沂市沂水一中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．（5分）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的個數(shù)是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】根據(jù)條件，讓x從0開始取值，求出對應(yīng)的y值：x＝0，y＝6；x＝1，y＝5；x＝2，y＝2；x＝3，y＝﹣3，顯然x往后取值對應(yīng)的y值都小于0，所以集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}，這樣求出該集合的所有真子集即得到真子集的個數(shù)．【解答】解：x＝0時，y＝6；x＝1時，y＝5；x＝2時，y＝2；x＝3時，y＝﹣3；∵函數(shù)y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是減函數(shù)；∴x≥3時，y＜0；∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；∴該集合的所有真子集為：?，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；∴該集合的真子集個數(shù)為7．故選：C．【點評】考查描述法表示集合，自然數(shù)集N，以及真子集的概念．2．（5分）條件p：，條件q：（x+2）（x+2a）＜0，若p是q的充分而不必要條件，則a的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．[﹣2，2） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）【分析】設(shè)滿足條件p與q的元素組成集合A與B，根據(jù)充分與必要條件和集合的關(guān)系可得A∪B，再根據(jù)對數(shù)不等式的求解與不等式區(qū)間端點滿足的關(guān)系列式求解即可．【解答】解：設(shè)滿足條件p與q的元素組成集合A與B，∵p是q的充分而不必要條件，∴A?B，易得＝{x|﹣2＜x＜4且x≠1}，當(dāng)﹣2a＝﹣2，即a＝1時，B＝?，與A?B矛盾，當(dāng)﹣2a＞﹣2，即a＜1時，B＝{x|﹣2＜x＜﹣2a}，由A?B得﹣2a≥4，即a≤﹣2，當(dāng)﹣2a＜﹣2，即a＞1時，B＝{x|﹣2a＜x＜﹣2}，與A?B矛盾，綜合上述，得a≤﹣2．故選：C．【點評】本題主要考查了充分必要條件與集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊點，判斷選項即可．【解答】解：∵函數(shù)的定義域為R，且對于任意x∈R，有，∴函數(shù)為奇函數(shù)，故排除C，D，又，∴排除B．故選：A．【點評】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，利用函數(shù)的奇偶性以及特殊點判斷圖象，是常用方法，是基礎(chǔ)題．4．（5分）若正實數(shù)a，b，c滿足c＜cb＜ca＜1，則（）A．a(chǎn)a＜ab＜ba B．a(chǎn)a＜ba＜ab C．a(chǎn)b＜aa＜ba D．a(chǎn)b＜ba＜aa【分析】利用作商法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。窘獯稹拷猓骸遚是正實數(shù)，且c＜1，∴0＜c＜1，由c＜cb＜ca＜1，即c1＜cb＜ca＜c0，得0＜a＜b＜1，∵，∴ab＜aa，∵，，a＞0，∴，即aa＜ba．綜上可知ab＜aa＜ba．故選：C．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）若a＞0且a≠1，函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【分析】由已知可得函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，即可求得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵x1f（x1）+x2f（x2）＞x2f（x1）+x1f（x2），∴對任意的實數(shù)x1≠x2都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0成立，可知函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，∴，解得a∈[4，8）．故選：D．【點評】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查計算能力，屬于中檔題．6．（5分）形如的函數(shù)因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動地稱為“囧函數(shù)”．若函數(shù)（a＞0，a≠1）有最小值，則“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝loga|x|的圖象交點個數(shù)為（）A．1 B．2 C．4 D．6【分析】利用函數(shù)的最大值，判斷a的范圍，然后利用核對圖象求解即可．【解答】解：函數(shù)（a＞0，a≠1）有最小值，可得a＞1，在同一個坐標(biāo)系中畫出與函數(shù)y＝loga|x|的圖象，可知則“冏函數(shù)”與函數(shù)y＝loga|x|的圖象交點個數(shù)為4個．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的最值的判斷，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期為π，且x＝時，函數(shù)f（x）取最小值，若函數(shù)f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，則a的最大值是（）A． B． C． D．【分析】由最小正周期可得ω的值，再由最小值時的x的值，可得φ的值，再由函數(shù)在[0，a]上單調(diào)遞減，可得a的最大值．【解答】解：由題意，，，又|φ|，∴，，x∈[0，a]時，，又f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，所以，，即，a的最大值是．故選：D．【點評】本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（x+2），當(dāng)x∈[3，5]時，f（x）＝2﹣|x﹣4|，則（）A． B．f（sin1）＜f（cos1） C． D．f（cos2）＜f（sin2）【分析】由x∈[﹣1，1]時，則x+4∈[3，5]，得到f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝2﹣|x|，從而函數(shù)f（x）在[﹣1，0]上是增函數(shù)，在[0，1]上是減函數(shù)，且f（x）（x∈[﹣1，1]）為偶函數(shù)逐項判斷．【解答】解：當(dāng)x∈[﹣1，1]時，則x+4∈[3，5]，于是f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝2﹣|x|，函數(shù)f（x）在[﹣1，0]上是增函數(shù)，在[0，1]上是減函數(shù)，且f（x）（x∈[﹣1，1]）為偶函數(shù)，∵，∴，故A錯誤；∵0＜cos1＜sin1＜1，∴f（cos1）＞f（sin1），故B正確．∵，∴，故C錯誤；∵|cos2|＜|sin2|，∴f（|cos2|）＞f（|sin2|），∴f（cos2）＞f（sin2），故D錯誤．故選：B．【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．（5分）已知正實數(shù)a，b滿足ba＝2，且a+2log2b＝3，則a+b2的值可以為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】指數(shù)式化為對數(shù)式得到a＝logb2，利用對數(shù)運算法則和換底公式得到log2b，從而求出b，a可得答案．【解答】解：由ba＝2得到a＝logb2，則logb2+2log2b＝3，即，整理得，解得或log2b＝1，當(dāng)時，，a＝2，則a2+b2＝6，當(dāng)log2b＝1時，b＝2，a＝1，則a2+b2＝5．故選：D．【點評】本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則（）A．f（x）為奇函數(shù) B．方程f（x）＝的實數(shù)解為x＝ln3 C．f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱 D．?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有【分析】根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，函數(shù)，其定義域為R，有f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，A正確，對于B，若＝，變形可得ex＝3，解可得x＝ln3，即方程f（x）＝的實數(shù)解為x＝ln3，B正確，對于C，f（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，不關(guān)于y軸對稱，C錯誤，對于D，＝＝1﹣，函數(shù)y＝ex為R上的增函數(shù)，則f（x）為R上的增函數(shù)，?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有，D正確，故選：ABD．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）設(shè)a，b是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是（）A．|a|＞|b| B．a(chǎn)2+a＜b2+b C． D．【分析】對A，C選項，舉反例說明即可判斷它們的真假；對B，作差分析可得解，判斷它的真假；對D，用分析法結(jié)合分子有理化轉(zhuǎn)化可判斷它的真假．【解答】解：對于A，顯然a＝1，b＝2時不等式不成立，∴A不正確；對于B，∵a2+a﹣（b2+b）＝a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b+1）＞0，只有當(dāng)a＞b時上式才成立，∴B不正確；對于C，顯然a＝1，b＝2時不等式不成立，∴C不正確；對于D，要證，只需證，即證，顯然成立，∴原不等式恒成立，∴D正確．故選：ABC．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）已知函數(shù)（A＞0，），，函數(shù)f（x）的圖像過點（0，1），且關(guān)于直線對稱，若對任意的x1∈[﹣1，2]，存在，使得g（x1）＞f（x2），則實數(shù)m的可能取值是（）A． B． C．﹣2 D．﹣5【分析】根據(jù)已知列方程可求出f（x）的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間g（x）＞[f（x）]min恒成立，求出函數(shù)f（x）最小值，然后把問題轉(zhuǎn)化成，再求出m的取值范圍．【解答】解：∵f（x）的圖像關(guān)于直線對稱，∴，即，∵，∴，又函數(shù)f（x）的圖像過點（0，1），∴，解得，∴．又“對任意x1∈[﹣1，2]，存在，使得g（x1）＞f（x2）”等價于“g（x）＞[f（x）]min”，當(dāng)時，，即，即f（x）≥1．于是，即，又x∈[﹣1，2]，∴，∴即．∴m的取值范圍是．故選：CD．【點評】本題考查了不等式恒成立與能成立問題，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）若函數(shù)f（x）＝，若f（f（））＝4，則b＝．【分析】由函數(shù)f（x）＝，f（f（））＝4，構(gòu)造關(guān)于b的方程，解得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝，∴f（）＝，若＜1，即b＞，則f（f（））＝f（）＝＝4，解得：b＝（舍去），若≥1，即b≤，則f（f（））＝f（）＝＝4，解得：b＝，綜上所述：b＝，故答案為：【點評】本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）函數(shù)（x∈[﹣2，8]）的所有零點之和為36．【分析】根據(jù)題意，f（x）的零點就是方程2sinπx＝在區(qū)間[﹣2，8]上的根，因此利用函數(shù)圖象的對稱性與三角函數(shù)的周期性，作出g（x）與h（x）的圖象，觀察兩圖象交點的分布，結(jié)合圖象的對稱性算出交點橫坐標(biāo)的和，即可得到本題的答案．【解答】解：根據(jù)題意，可得，f（x）在x∈[﹣2，8]時的零點，就是方程2sinπx＝在區(qū)間[﹣2，8]上的根，記g（x）＝2sinπx，h（x）＝．因為g（3+x）+g（3﹣x）＝2sin（3π+πx）+2sin（3π﹣πx）＝﹣2sinπx+2sinπx＝0，所以g（x）的圖象關(guān)于（3，0）對稱，因為h（x+3）＝為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以h（x）＝也關(guān)于（3，0）對稱，且g（x）＝2sinπx的周期，區(qū)間[﹣2，8]恰好等于5個周期，作出g（x）與h（x）的圖象，如圖所示，由g（2.5）＝＝h（2.5），且當(dāng)x＜3時，h（x）＞0且單調(diào)遞增，可知g（x）與h（x）在（﹣2，﹣1），（0，1），（2，3）上分別有兩個交點，共6個交點．根據(jù)g（x）與h（x）的圖象都關(guān)于（3，0）對稱，可知g（x）與h（x）在（7，8），（5，6），（3，4）上也分別有兩個交點，共6個交點．根據(jù)圖象的對稱性，可知g（x）與h（x）的圖象在（﹣2，3）上的6個交點，與（3，8）上的6個交點構(gòu)成6對關(guān)于（3，0）對稱的點，且每一對對稱點的橫坐標(biāo)之和等于6，因此，這12個交點的橫坐標(biāo)之和等于6×6＝36．綜上所述，函數(shù)（x∈[﹣2，8]）的所有零點之和為36．故答案為：36．【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的對稱性、三角函數(shù)的周期性、函數(shù)的零點與方程的根及其應(yīng)用，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．15．（5分）設(shè)函數(shù)，的最大值為M，最小值為N，那么M+N＝2023．【分析】利用函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增可得最大值為，最小值為，然后求可得答案．【解答】解：∵，∵在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴f（x）的最大值為，最小值為，∴＝．故答案為：2023．【點評】本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．16．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）＝﹣4x+2x+1﹣1，g（x）＝lg（ax2﹣4x+1），若對任意x1∈R都存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實數(shù)a的最大值為4．【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的值域，由題意可得f（x）的值域為g（x）的值域的子集，lg（ax2﹣4x+1）的函數(shù)值取到一切的非正數(shù)，對a討論，分a＝0，a＞0，a＜0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求最大值．【解答】解：函數(shù)f（x）＝﹣4x+2x+1﹣1＝﹣（2x﹣1）2≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，f（x）取得最大值0；對任意x1∈R都存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），可得f（x）的值域為g（x）的值域的子集，即有l(wèi)g（ax2﹣4x+1）的函數(shù)值取到一切的非正數(shù)，顯然a＝0時，g（x）的值域為R，成立；當(dāng)a＞0，≤0，可得0＜a≤4；當(dāng)a＜0時，Δ＝16﹣4a＞0，y＝ax2﹣4x+1與x軸有兩個交點，開口向下，成立．可得a≤4，即a的最大值為4．故答案為：4．【點評】本題考查函數(shù)的最值求法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）（1）已知＝﹣5，求sin2θ+的值；（2）已知0＜x＜π，且sinx+cosx＝，求sin（π﹣x）+cos（π﹣x）的值．【分析】（1）由已知求得tanθ，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解；（2）由已知可得2sinxcosx，再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解．【解答】解：（1）由＝﹣5，得，解得tanθ＝2，∴sin2θ+＝＝＝＝；（2）∵sinx+cosx＝，∴，即2sinxcosx＝，又0＜x＜π，∴＜x＜π，可得sin（π﹣x）+cos（π﹣x）＝sinx﹣cosx＝＝＝．【點評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．18．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lg（x﹣1）+的定義域為A，g（x）＝3x+1（x∈[0，2]）的值域為B．（1）求A和B；（2）若[a，a+1]?A∩B，求a的最大值．【分析】（1）根據(jù)對數(shù)以及根式的性質(zhì)建立不等式組由此即可求出函數(shù)f（x）的定義域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由此即可求出函數(shù)g（x）的值域；（2）由（1）求出A，B的交集，然后根據(jù)子集的定義建立不等式組，進而可以求解．【解答】解：（1）要使函數(shù)f（x）有意義，只需，解得1＜x≤4，所以函數(shù)f（x）的定義域為A＝（1，4]；因為函數(shù)g（x）＝3x+1在[0，2]上單調(diào)遞增，則g（x），g（x），所以函數(shù)g（x）的值域為B＝[2，10]；（2）由（1）可得A∩B＝[2，4]，則[a，a+1]?[2，4]，所以，解得2≤a≤3，所以實數(shù)a的最大值為3．【點評】本題考查了求出函數(shù)定義域，值域的問題，涉及到集合的包含關(guān)系，考查了學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，且a2+b2≠0），滿足f（2）＝1，方程f（x）＝x有唯一解．（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；（2）如果f（x）是R上的奇函數(shù)，求f[f（﹣3）]的值；（3）如果f（x）不是奇偶函數(shù)，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣2，+∞）上是增函數(shù)．【分析】（1）根據(jù)已知條件，分類討論進行求解函數(shù)解析式；（2）由已知，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得出f（x）解析式，進而求解；（3）由已知，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可得出f（x）解析式，然后利用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性．【解答】解：（1）由f（x）＝x，得到，①a＝0，b≠0，則，由f（2）＝1得b＝2，即；②若a≠0，b＝0，則，由f（2）＝1得a＝1，即f（x）＝1（x≠0）；③a≠0，b≠0，由得ax2+（b﹣1）x＝0，由Δ＝0得b＝1，又由f（2）＝1得，即．∴函數(shù)的解析式為或f（x）＝1（x≠0）或．（2）若f（x）是R上的奇函數(shù)，由（1）知，于是，．（3）若f（x）不是奇、偶函數(shù)，由（1）知，任取x1，x2∈（﹣2，+∞），且x1＜x2，，因為﹣2＜x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1+2＞0，x2+2＞0，所以，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在區(qū)間（﹣2，+∞）是增函數(shù)．【點評】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，屬于中檔題．20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝logax，g（x）＝2loga（2x+t﹣2）（a＞0，a≠1，t∈R）．（1）當(dāng)t＝2，x∈[1，2]，且F（x）＝g（x）﹣f（x）有最小值2時，求a的值；（2）當(dāng)0＜a＜1，x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)t＝2得到F（x）＝loga（4x），然后分0＜a＜1和a＞1兩種情況列方程，解方程求a即可；（2）將f（x）≥g（x）在[1，2]上恒成立轉(zhuǎn)化為，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到φ（x）≥φ（1）＝﹣1，列不等式求t的范圍即可．【解答】解：（1）當(dāng)t＝2時，．若0＜a＜1，則F（x）min＝F（2）＝loga8＝2，解得，不成立；若a＞1，則F（x）min＝F（1）＝loga4＝2，解得a＝2，綜合上述，所求a＝2．（2）由f（x）≥g（x），得logax≥2loga（2x+t﹣2），即，，令，，y＝2t2﹣t﹣2，函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝2t2﹣t﹣2在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在[1，2]上是增函數(shù)，所以φ（x）≥φ（1）＝﹣1，所以﹣t≤﹣1，即t≥1，所以實數(shù)t的取值范圍為[1，+∞）．【點評】本題考查了對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．21．（12分）已知定理：“若a，b為常數(shù)，g（x）滿足g（a+x）+g（a﹣x）＝2b，則函數(shù)y＝g（x）的圖像關(guān)于點（a，b）中心對稱”．設(shè)函數(shù)，g（x）＝mx+5﹣2m．（1）試判斷y＝f（x）的圖像是否關(guān)于點（a，﹣1）成中心對稱？說明理由；（2）當(dāng)x∈[a+1，a+2]時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的最大值與最小值；（3）若對任意的x1∈[a﹣2，a﹣1]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求實數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)f（a﹣x）＝﹣f（b+x）+c關(guān)于點對稱，即可求出對稱中心；（2）由函數(shù)單調(diào)性的定義，即可判斷函數(shù)f（x）在的單調(diào)性，進而求出最值；（3）對任意的x1∈[a﹣2，a﹣1]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，需函數(shù)y＝f（x）的值域為函數(shù)y＝g（x）的值域的子集，分類討論m求出值域，根據(jù)集合間的包含關(guān)系求解即可．【解答】解：（1）∵，∴，由定理可知，y＝f（x）的圖像關(guān)于點（a，﹣1）成中心對稱．（2）任取，且x1＜x2，則，∵，且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，且﹣2＜a﹣x1＜﹣1，﹣2＜a﹣x2＜﹣1，則，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在上是增函數(shù)，則，∴f（x）的最大值為，最小值為﹣2．（3）若對任意的，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函數(shù)y＝f（x）的值域為函數(shù)y＝g（x）的值域的子集．∵函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點（a，﹣1）對稱，∴函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，易求出函數(shù)f（x）的值域