2024屆上海市莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆上海市莘莊中學(xué)等四校聯(lián)考數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某市家庭煤氣的使用量和煤氣費(fèi)(元)滿足關(guān)系，已知某家庭今年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如下表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份元二月份元三月份元若四月份該家庭使用了的煤氣，則其煤氣費(fèi)為（）元A． B． C． D．2．一個(gè)正方體的體積是8，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積是（）A．8π B．6π C．4π D．π3．在中，，則等于（）A． B． C． D．4．一個(gè)不透明袋中裝有大小?質(zhì)地完成相同的四個(gè)球，四個(gè)球上分別標(biāo)有數(shù)字2，3，4，6，現(xiàn)從中隨機(jī)選取三個(gè)球，則所選三個(gè)球上的數(shù)字能構(gòu)成等差數(shù)列(如：??成等差數(shù)列，滿足)的概率是（）A． B． C． D．5．為了了解某同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，對(duì)他的6次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出的莖葉圖如圖所示，則下列關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的說(shuō)法正確的是()A．中位數(shù)為83 B．眾數(shù)為85 C．平均數(shù)為85 D．方差為196．等比數(shù)列中，，則等于()A．16 B．±4 C．-4 D．47．棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的體積為（）A． B． C． D．8．已知中，，則角（）A．60°或120° B．30°或90° C．30° D．90°9．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔20000m，速度為900km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過(guò)80s后又看到山頂?shù)母┙菫?5A．5000(3+1)C．5000(3-3)10．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為()A．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z) B．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z)C．(kπ﹣，kπ+]，(k∈Z) D．(kπ+，kπ+]，(k∈Z)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若是三角形的內(nèi)角，且，則等于_____________．12．若點(diǎn)到直線的距離是，則實(shí)數(shù)=______．13．_______________。14．在平行四邊形中，=，邊，的長(zhǎng)分別為2，1.若，分別是邊，上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是______．15．公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則的值為_(kāi)__________16．已知的三邊分別是，且面積，則角__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知對(duì)任意，恒成立（其中），求的最大值.18．如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．19．已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前項(xiàng)和．20．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1（1）分別求數(shù)列an（2）若對(duì)任意的n∈N*,21．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)增區(qū)間；（2）求的圖像的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】由題意得：C=4，將（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：∴A=5，B=，故x=20時(shí)：f（20）=4+（20﹣5）=11.5.故選：C．點(diǎn)睛：這是函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題型，根據(jù)題目中的條件和已知點(diǎn)得到分段函數(shù)的未知量的值，首先得到函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)題意讓求自變量為20時(shí)的函數(shù)值，求出即可。實(shí)際應(yīng)用題型，一般是先根據(jù)題意構(gòu)建模型，列出表達(dá)式，根據(jù)條件求解問(wèn)題即可。2、C【解題分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則＝8，∴a＝2.而此正方體的內(nèi)切球直徑為2，∴S表＝4π＝4π.選C.3、D【解題分析】

先根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算出的值，然后再根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解出的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查坐標(biāo)形式下向量的夾角計(jì)算，難度較易.注意：的夾角并不是，而應(yīng)是的補(bǔ)角.4、B【解題分析】

用列舉法寫出所有基本事件，確定成等差數(shù)列含有的基本事件，計(jì)數(shù)后可得概率．【題目詳解】任取3球，結(jié)果有234,236,246,346共4種，其中234，246是成等差數(shù)列的2個(gè)基本事件，∴所求概率為．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型，解題時(shí)可用列舉法列出所有的基本事件．5、C【解題分析】試題分析：A選項(xiàng)，中位數(shù)是84；B選項(xiàng)，眾數(shù)是出現(xiàn)最多的數(shù)，故是83；C選項(xiàng)，平均數(shù)是85，正確；D選項(xiàng)，方差是，錯(cuò)誤．考點(diǎn)：?莖葉圖的識(shí)別?相關(guān)量的定義6、D【解題分析】分析：利用等比中項(xiàng)求解．詳解：，因?yàn)闉檎?，解得．點(diǎn)睛：等比數(shù)列的性質(zhì)：若，則．7、C【解題分析】

根據(jù)正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)槔忾L(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等，所以直徑，內(nèi)切球的體積為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正方體的內(nèi)切球的體積，利用正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等求出半徑是解題的關(guān)鍵.8、B【解題分析】

由正弦定理求得，再求．【題目詳解】由正弦定理，∴，或，時(shí)，，時(shí)，．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理，在用正弦定理解三角形時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)兩解，一定要注意．9、C【解題分析】分析：先求AB的長(zhǎng)，在△ABC中，可求BC的長(zhǎng)，進(jìn)而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山頂?shù)暮０胃叨龋斀猓喝鐖D，∠A=30°，∠ACB=45°，

AB=900×80×13600∴在△ABC中，BC=102∵CD⊥AD，=102sin30點(diǎn)睛：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查正弦定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是理解俯角的概念，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的減區(qū)間，即為的增區(qū)間，且，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的減區(qū)間，即的增區(qū)間，且，則，得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】∵是三角形的內(nèi)角，且，∴故答案為點(diǎn)睛：本題是一道易錯(cuò)題，在上，，分兩種情況：若，則；若，則有兩種情況銳角或鈍角.12、或1【解題分析】

由點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行解答，即可求出實(shí)數(shù)a的值．【題目詳解】點(diǎn)（1，a）到直線x﹣y+1＝0的距離是，∴；即|a﹣2|＝3，解得a＝﹣1，或a＝1，∴實(shí)數(shù)a的值為﹣1或1．故答案為：﹣1或1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

本題首先可根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)得出，然后根據(jù)兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)得出，最后根據(jù)二倍角公式以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式即可得出結(jié)果?！绢}目詳解】，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，考查到的公式有、、以及，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題。14、【解題分析】

以A為原點(diǎn)AB為軸建立直角坐標(biāo)系，表示出MN的坐標(biāo)，利用向量乘法公式得到表達(dá)式，最后計(jì)算取值范圍.【題目詳解】以A為原點(diǎn)AB為軸建立直角坐標(biāo)系平行四邊形中，=，邊，的長(zhǎng)分別為2，1設(shè)則當(dāng)時(shí)，有最大值5當(dāng)時(shí)，有最小值2故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量運(yùn)算和向量乘法的最大最小值，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系的方法簡(jiǎn)化了技巧，是解決向量復(fù)雜問(wèn)題的常用方法.15、2【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)與基本量法求解即可.【題目詳解】由題,因?yàn)?又等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),故.故.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的等積性與各項(xiàng)之間的關(guān)系.屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】試題分析：由，可得，整理得，即，所以.考點(diǎn)：余弦定理；三角形的面積公式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、的最大值為.【解題分析】試題分析：利用二倍角公式，利用換元法，將原不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在區(qū)間上恒成立，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布進(jìn)行討論，從而得出的最大值，但是在對(duì)時(shí)的情況下，主要對(duì)二次函數(shù)的對(duì)稱軸是否在區(qū)間進(jìn)行分類討論，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，試題解析：由題意知，令，，則當(dāng)，恒成立，開(kāi)口向上，①當(dāng)時(shí)，，不滿足，恒成立，②當(dāng)時(shí)，則必有（1）當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，即，也即時(shí)，有，則，，則，當(dāng)，時(shí)，.當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，即，也即時(shí)，則必有，即，又由（1）知，則由于，故只需成立即可，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的條件下，求的最大值，然后利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或從題干中的式子出發(fā)，分別利用三角換元法、導(dǎo)數(shù)法以及柯西不等式法來(lái)求的最大值.法一：（三角換元）把條件配方得：，，所以，；法二：（導(dǎo)數(shù)）令則即求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),橢圓的上半部分；法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：，當(dāng)且僅當(dāng),即及時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，最大值為2.綜上可知.考點(diǎn)：1.二倍角；2.換元法；3.二次不等式的恒成立問(wèn)題；4.導(dǎo)數(shù)；5.柯西不等式18、（1）24；（2）8【解題分析】

（1）利用已知條件，利用正弦定理求得AD的長(zhǎng)．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【題目詳解】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD?ACcos30°，解得CD=．所以A處與D處之間的距離為24nmile，燈塔C與D處之間的距離為nmile．【題目點(diǎn)撥】點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.19、（1），（2）【解題分析】

（1）先根據(jù)成等比數(shù)列,可求出公差，即得的通項(xiàng)公式；根據(jù)可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法計(jì)算它的前n項(xiàng)和，即得?！绢}目詳解】（1）由題得，，設(shè)數(shù)列的公差為，則有，解得，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，可得，整理得，數(shù)列是等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由題得，，前n項(xiàng)和，，兩式相減可得，整理化簡(jiǎn)得.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，對(duì)計(jì)算能力有一定要求。20、（1）an=3n-1【解題分析】

（1）設(shè)等差數(shù)列bn公差為d，則b解得d=3，bn當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn-1a2=2a1+1=3aan是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，則．；（2）由（1）知，Sn原不等式可化為k≥6(n-2)若對(duì)任意的n∈N*恒成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列6(n-2)3令cn=6(n-2)解得52≤n≤7即cn的