小學(xué)數(shù)學(xué)計算與估算教學(xué)的思考(祿勸進(jìn)校)

小學(xué)數(shù)學(xué)“估算”與“計算”

教學(xué)的思考朱維宗云南師范大學(xué)

“祿勸縣小學(xué)校級骨干教師培訓(xùn)”

計算能力是所有數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。

——題記研修目標(biāo)：1.了解數(shù)感是義務(wù)教育階段學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是計算教學(xué)的起點(diǎn)。2.經(jīng)歷思考、討論、交流的研修過程，初步掌握數(shù)感對估算教學(xué)與計算教學(xué)的作用和方法。3.通過研修，對估算教學(xué)與計算教學(xué)有一個比以往更好的認(rèn)知。內(nèi)容：1.名詞界定（計算與運(yùn)算）2.關(guān)于計算教學(xué)的一些調(diào)查數(shù)據(jù)3.指導(dǎo)計算教學(xué)的幾個教學(xué)理論4.對小學(xué)計算教學(xué)的幾點(diǎn)思考一、名詞界定1.計算計

:①核算，如計時；②計量，如測量或核算度數(shù)、時間、溫度等。

算

:①核計，計數(shù)；②算計；③估計。計算可以理解為根據(jù)已知數(shù)通過數(shù)學(xué)方法求得未知數(shù)，例如計算人數(shù)。也可理解為：對于數(shù)集A上一個運(yùn)算，由已知的兩個數(shù)a,b求相應(yīng)的數(shù)（得數(shù)）的過程。2.運(yùn)算可以理解為：依照數(shù)學(xué)法則，求出一個算題或算式的結(jié)果。由此可以看出：“計算”是一個過程，而“運(yùn)算”則是一個結(jié)果。因此，在小學(xué)的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中,應(yīng)該更關(guān)注計算。3.運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，能夠?qū)で蠛侠砗啙嵉倪\(yùn)算途徑解決問題。4.所謂計算能力，就是指數(shù)學(xué)上的化歸和轉(zhuǎn)化的能力，即把抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式或數(shù)字通過數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)換為我們可以理解的數(shù)學(xué)式子。（百度辭典）《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》明確指出：在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)感和符號意識，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，初步形成模型思想。因此，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該更關(guān)注運(yùn)算能力的培養(yǎng)。二、關(guān)于計算教學(xué)的一些調(diào)查數(shù)據(jù)2007年-2011年，云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院課程與教學(xué)論碩士研究生在云南省開展小學(xué)計算教學(xué)的現(xiàn)狀調(diào)查，方法有“訪談法”、“調(diào)查法”、“測驗法”、“課堂觀察法”，下面是一些數(shù)據(jù)：在昆明市幾所示范小學(xué)與一線教師訪談的記錄表明大部分教師大部分教師認(rèn)為：現(xiàn)在的計算課，情境創(chuàng)設(shè)花的時間太多，學(xué)生練習(xí)的時間較少，學(xué)生的計算能力下降，正確率下降；課堂的計算鞏固率低等。在四則運(yùn)算的教學(xué)中，除法教學(xué)的難度是最大的。關(guān)于針對教師認(rèn)為新課程下的計算教學(xué)實(shí)用性不高，經(jīng)過分析有以下幾個方面的原因：

首先，對于小學(xué)數(shù)學(xué)新課程提出的一些概念理解不深刻，如對于計算教學(xué)中的數(shù)感、估算的理解。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中也沒有就這樣的概念做很好的解釋，教師在教學(xué)中不知道怎樣才算發(fā)展和培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)感和符號感。

其次，教師對教材編寫的處理方式感到有一定的困惑。計算教學(xué)在數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容中應(yīng)該怎么處理（尤其是對算法與算理的處理），教師心存疑慮，找不到一個合適的“度”。

最后，各種版本的教材編寫的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和編寫方式的不同，尤其是人教版和北師版的新教材在內(nèi)容結(jié)構(gòu)和內(nèi)容處理上有較大的不同，對教師進(jìn)行計算課教學(xué)設(shè)計有一定的影響。課題：探索與發(fā)現(xiàn)（三）乘法分配律

教材：北師大版實(shí)驗教材四年級上冊教材設(shè)計：1.情境：一共貼了多少塊瓷磚？課例2.解決問題：（1）估算：估計貼了100塊——無意義（2）觀察：方法一：6×9＋4×9＝54＋36＝90方法二：（6＋4）×9＝10×9＝90（隱藏了：（6＋4）×9＝6×9＋4×9）（3）體驗（40＋4）×2540×25＋4×2542×64＋42×3642×（64＋36）①結(jié)果相同②怎樣算簡便？③有何規(guī)律？（4）概括：（a+b）×c=a×c+b×c（隱藏了：ac+bc=(a+b)×c

）3.試一試，練一練36×3＝（30＋6）×3

＝30×3＋6×3

＝90＋18

＝108……教學(xué)任務(wù)分析：

由于本節(jié)課的算法、算理都隱藏在情境中，要挖掘算法、算理不能靠講授（因為教材的設(shè)計是“發(fā)現(xiàn)式”和“活動式”），一靠復(fù)習(xí)，二靠活動與體驗，活動的出發(fā)點(diǎn)是觀察：

64＋36＝100，4×25＝100，

8×125＝1000……，體驗是建立在簡算上的。備課時，教師應(yīng)該深入領(lǐng)會教材的意圖。過去對這樣內(nèi)容的教學(xué)：觀察、歸納——運(yùn)算律——應(yīng)用（簡算）今日對這樣內(nèi)容的教學(xué)：回到人類的學(xué)習(xí)，回到數(shù)學(xué)史發(fā)展的歷程：怎樣算簡便？——找方法，找規(guī)律——交換律、結(jié)合律、分配律——形成算法體系

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容不難，但教學(xué)組織和實(shí)施很難，難在如何引導(dǎo)學(xué)生在情境中、在活動中把分配律發(fā)現(xiàn)出來，并體會到分配律是一種可以指導(dǎo)運(yùn)算的規(guī)律，而這種規(guī)律既可以簡算，又揭示了數(shù)與數(shù)的運(yùn)算規(guī)律。

其次，在活動中要讓學(xué)生學(xué)會（領(lǐng)悟）順向思維和逆向思維。在問卷調(diào)查中，絕大部分教師認(rèn)為在小學(xué)計算教學(xué)中，除法的教學(xué)是四則運(yùn)算中最難的；教師大部分認(rèn)為，除法和乘法的聯(lián)系最緊密，占調(diào)查總數(shù)的97.2％；除法的本質(zhì)是乘法的逆運(yùn)算，占調(diào)查總數(shù)的74.3％；除法教學(xué)中學(xué)生最大的困難是試商，占調(diào)查總數(shù)的48.6％；除法教學(xué)中最重要的目的是學(xué)生會用除法解決實(shí)際問題，占調(diào)查總數(shù)的74.3％；學(xué)生掌握除法最重要的方式是明白算理，占調(diào)查總數(shù)的84.4％。大部分教師認(rèn)為，在除法的初步認(rèn)識這部分內(nèi)容上讓學(xué)生明白什么是除法最重要，占調(diào)查總數(shù)的61.5％；在試商這部分內(nèi)容的教學(xué)中，教師的看法不完全一致，51.4％的教師認(rèn)為熟練掌握乘法公式是試商的關(guān)鍵，另有41.3％的教師認(rèn)為良好的數(shù)感才是試商的關(guān)鍵；對于和余數(shù)有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，大部分教師認(rèn)為，讓學(xué)生明白余數(shù)是“分一分”活動中分不完的那部分，占總數(shù)的89％。對于余數(shù)的引入，絕大部分教師認(rèn)為通過“分一分”活動可以較好的認(rèn)識余數(shù)，占了調(diào)查總數(shù)89.0％。在對云南省（昆明市、保山市）部分六年級學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算能力檢測的分析結(jié)論是：口算基礎(chǔ)比較扎實(shí)；直接計算的技能尚好；綜合運(yùn)算能力與對運(yùn)算順序的掌握較強(qiáng)；文字列式子計算的能力一般；估算能力最弱；算理不是很明確，概念不準(zhǔn)確；綜合解決問題的計算能力較差。2007年11月19日，在昆明市一次教學(xué)研討課上，一個教學(xué)片斷為：2.小練習(xí)：計算下列各題：教師：以上的比有整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的比，請同學(xué)們用“商的不變性”，或“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”化簡。教師讓同學(xué)任選兩題解答。教師講評同學(xué)的練習(xí)，從練習(xí)的結(jié)果看，同學(xué)的錯誤產(chǎn)生于小數(shù)除法，如和分?jǐn)?shù)除法，如

有感于學(xué)生練習(xí)中出現(xiàn)的問題，教師讓同學(xué)思考：比的化簡中，最大的問題是什么？教師概括，最大的問題是：什么是化簡？某生回答：化簡是找“最簡比”

教師給予表揚(yáng)，并解釋最簡比、最簡分式、質(zhì)因數(shù)。讓同學(xué)們重新審視自己的計算。在點(diǎn)評學(xué)生解題的過程中，教師很注意解題的思維簡潔性和解題表述?？傊瑢?shí)施數(shù)學(xué)新課程以來，廣大一線教師對計算教學(xué)的認(rèn)識和實(shí)際課堂教學(xué)是比較好的。但是，從教師問卷和學(xué)生檢測對比看出，教師對于數(shù)學(xué)新課程的計算教學(xué)感到難教，學(xué)生感到難學(xué)。同時，教師的教學(xué)手段比較單調(diào)，難以突破以往計算教學(xué)的模式，還是以大量的課堂訓(xùn)練為主，學(xué)生學(xué)習(xí)方式比較落后，以練代學(xué)，不明算理，算法單一。學(xué)生的計算能力下降要引起認(rèn)真的重視。三、指導(dǎo)計算教學(xué)的幾個教學(xué)理論（一）皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論皮亞杰認(rèn)為智力發(fā)展分為以下幾個階段：感知運(yùn)動期（0～2歲）；前運(yùn)算期（約2～7歲）；具體運(yùn)算期（7～11歲）；形式運(yùn)算期（11歲、12歲以后）。1.小學(xué)階段主要處于具體運(yùn)算期與形式運(yùn)算期。具體運(yùn)算期（7～11歲）。在具體運(yùn)算期，兒童獲得了諸如抽象化、模型化和可逆性這樣的認(rèn)知操作能力，這使得他們能夠有邏輯、系統(tǒng)性地思考具體問題。他們的思維變得可操作化。不過，學(xué)生往往還不能進(jìn)行抽象推理，他們只能將邏輯性運(yùn)用到真實(shí)的或可觸及的事物上。（因此小學(xué)的計算教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗。）形式運(yùn)算期（11、12歲以后）。形式運(yùn)算推理是邏輯抽象的，很像科學(xué)家的假設(shè)演繹推理。2.皮亞杰認(rèn)知發(fā)展理論對計算課程與計算教學(xué)的啟示①教材內(nèi)容的選取要符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性特點(diǎn)；重視準(zhǔn)備課程的開發(fā)；用“學(xué)生的語言”編寫教材。②計算教學(xué)要符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性特點(diǎn)。在小學(xué)階段的大部分時期,兒童處于具體運(yùn)算期；小學(xué)階段后期，兒童處于形式運(yùn)算階段。計算教學(xué)要結(jié)合兒童的思維發(fā)展特點(diǎn)，循序漸進(jìn)，避免脫離兒童心理發(fā)展規(guī)律的教學(xué)。③計算教學(xué)要注意發(fā)揮學(xué)生的主體作用，避免機(jī)械的反復(fù)訓(xùn)練(易使學(xué)生感到枯燥)；計算教學(xué)要重視學(xué)生的活動體驗和兒童之間的合作學(xué)習(xí)；④計算教學(xué)中要特別重視學(xué)生的基礎(chǔ)性知識的教學(xué)。課題：用數(shù)學(xué)

(一年級下學(xué)期復(fù)習(xí)課)班級：綠春大興小學(xué)一年級（5）班時間：2009年6月15日上午第二節(jié)課教師：大興小學(xué)白秋者老師案例片段教學(xué)過程實(shí)錄1.導(dǎo)課白老師：生活中有許多地方用到數(shù)學(xué)，例如家里有幾人？他們的年齡是多少？今天早上我有10元，吃早點(diǎn)用了3元，還剩幾元？（某同學(xué)回答：因為10－3＝7（元），所以白老師還剩7元。）白老師：今天我們來學(xué)習(xí)怎么用數(shù)學(xué)！（板書課題：用數(shù)學(xué)）2.創(chuàng)設(shè)情境，解決問題（1）白老師：一年級（5）班第四學(xué)習(xí)小組有14名同學(xué)，其中9名女同學(xué)，5名男同學(xué)，你們能提出什么問題？（教師板書：4名男同學(xué)，9名女同學(xué)）生1：我的問題是：女生比男生多幾人？（列式：9－5＝4（人）回答：女生比男生多4人。）生2：我的問題是：男生比女生少幾人？（列式：9－5＝4（人）回答：男生比女生少4人。）生3：第四小組男生和女生一共有幾人？（列式：9＋5＝14（人）回答：男生和女生一共14人。）生4：第四小組再增加幾個男生，男女生人數(shù)一樣多？（列式：9－5＝4（人）回答：再增加4個男生，男女生人數(shù)一樣多。）生5：我還能再提一個問題：第四小組再減少幾個女生，男女生人數(shù)一樣多？（列式：9－5＝4（人）回答：再減少4個女生，男女生人數(shù)一樣多。）白老師表揚(yáng)了生5，并請同學(xué)為生5鼓掌！思考：這里所列的式子，除了生3所列的為9＋5＝14，其他都是9－5＝4.但是對文字題來說，其涵義是不一樣的。教師是否應(yīng)該再處理一下？（2）模擬超市購物：白老師在課桌上擺放了一些日用品，如文具盒、水杯、牛奶等。白老師請一個學(xué)生到臺上購物，條件是有50元錢，問這個同學(xué)想買什么？這個男同學(xué)挑了一個文具盒，價值12元。白老師：我退了40元，對嗎？退多了還誰是退少了？請同學(xué)幫我算算。學(xué)生：應(yīng)該退38元。白老師又問：誰虧了？是老師虧了還是同學(xué)虧了？學(xué)生：老師虧了。白老師再請另一個同學(xué)上臺來購物，這次同學(xué)用于購物的錢是20元，不能再買文具盒。這個同學(xué)挑選了一杯牛奶，價值3元。白老師：老師找她15元，找對了嗎？如果沒找對，誰虧了？學(xué)生：應(yīng)該找這個同學(xué)17元，你找她15元，她虧了。白老師：超市購物到此為止。思考：（1）白老師在這里提了一個很有意思的問題：“誰虧了？”從生活上講這樣想是很自然的，但從數(shù)學(xué)上講卻可以由此引入”負(fù)數(shù)“的概念，老師在這里是否錯過一個向?qū)W生滲透負(fù)數(shù)的機(jī)會？（2）超市購物這個情境創(chuàng)設(shè)得很有特點(diǎn)，但是只用了兩次，是否有點(diǎn)浪費(fèi)教學(xué)資源？（3）白老師在黑板上寫下了25、40、65三個數(shù)字，讓同學(xué)試著寫算式。學(xué)生寫了如下的三個算式：

40＋25＝65，65－40＝25，65－25＝40.白老師再讓同學(xué)從上述三個式子中任選一個式子編成一道文字題。某女生：小明有65支鉛筆，她借給小華40支鉛筆，小明還剩幾支鉛筆？

……思考：這是一個很有創(chuàng)意的教學(xué)設(shè)計，一個數(shù)學(xué)式子，添上文字就成為文字題，再加上生活情景就成應(yīng)用題。一個數(shù)學(xué)學(xué)優(yōu)生會認(rèn)為這三個問題是一個問題，只要去掉生活情景、去掉文字就回到了數(shù)學(xué)式子。但是一個數(shù)學(xué)學(xué)困生會認(rèn)為這是三種不同的題目。過去學(xué)生怕做應(yīng)用題，就是因為不知道如何去掉生活情景，去掉文字去列一個數(shù)學(xué)式子。白老師用逆向思維訓(xùn)練的方式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的能力，實(shí)踐證明是非常有效的。（4）現(xiàn)在白老師不再給數(shù)字，讓學(xué)生自由編題。某學(xué)生出了這樣的一道題：我和姐姐有50元錢，上街看到有冰淇淋，我們花5角錢買了一個冰淇淋，我們還剩多少錢？生甲：我算的是：還剩49元5角。生乙：我算的是：還剩45元。

……思考：50元減去5角等于49元5角，這涉及到小數(shù)的減法，聯(lián)系生活去計算，對學(xué)生來說沒有多少困難。可到三年級遇到列豎式計算小數(shù)四則運(yùn)算時，同學(xué)們會感到很吃力。白老師的設(shè)計是否給我們一個啟示：如何教學(xué)生學(xué)會小數(shù)的四則運(yùn)算。小數(shù)的計算應(yīng)該盡量聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗，比如利用“錢幣的運(yùn)算”去建構(gòu)小數(shù)四則運(yùn)算的算法和算理。（1）任課教師本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計很精心，緊密地聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)造性地設(shè)計情境，在情境中讓學(xué)生一方面感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，另一方面系統(tǒng)地復(fù)習(xí)50以內(nèi)的加減法。（2）從內(nèi)容設(shè)計看，無論是情境創(chuàng)設(shè)還是知識建構(gòu)都放在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)里，因此這節(jié)課的教學(xué)效果很好。評析（3）整節(jié)課的教學(xué)思路清晰，邏輯嚴(yán)密，五個情境螺旋上升，層層遞進(jìn)，在50以內(nèi)加減法計算復(fù)習(xí)中，學(xué)習(xí)從根據(jù)式子編題到自由想象編題，學(xué)生的思維得到很好的拓展。（4）教師教態(tài)親切自然，尊重學(xué)生的觀點(diǎn)，耐心引導(dǎo)。而學(xué)生積極思考、主動發(fā)言。整節(jié)課較好地體現(xiàn)了新課程的理念。（二）布魯納的認(rèn)知發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論1.布魯納的認(rèn)知發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論的基本觀點(diǎn)①布魯納認(rèn)為學(xué)習(xí)是一個積極主動的認(rèn)識過程。學(xué)習(xí)者不是被動地接受知識,而是主動地獲取知識,并通過把新獲得的知識和已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來,積極地建構(gòu)其知識體系。②學(xué)習(xí)包括獲得、轉(zhuǎn)化和評價三個過程，新知識的獲得是與已有知識經(jīng)驗、認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生聯(lián)系的過程,是主動認(rèn)識、理解的過程。③認(rèn)知發(fā)展分三階段。布魯納認(rèn)為兒童的認(rèn)知發(fā)展經(jīng)歷了具體運(yùn)算、半具體半抽象運(yùn)算和形式運(yùn)算三個階段。2.布魯納認(rèn)知發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論對計算教學(xué)的啟示①四則運(yùn)算的教材編寫呈現(xiàn)為螺旋式上升。計算教學(xué)亦采用螺旋上升的方式。第一學(xué)段讓兒童接觸加、減、乘、除四則運(yùn)算，建立一定的認(rèn)知；第二學(xué)段逐步加強(qiáng)四則運(yùn)算，使兒童在原有的認(rèn)知的基礎(chǔ)上繼續(xù)建構(gòu)四則運(yùn)算。②重視內(nèi)在的學(xué)習(xí)動機(jī)，在學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)方面,布魯納重視的是形成學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)部動機(jī),或把外部動機(jī)轉(zhuǎn)化為內(nèi)部動機(jī)。基于此認(rèn)識，計算教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生的小組學(xué)習(xí)，通過動手、合作、競賽等方式激發(fā)兒童內(nèi)在動力。課題：9、8、7、6加幾

(一年級下學(xué)期復(fù)習(xí)課)班級：馬街小學(xué)一年級（3）班時間：2005年12月26日上午第二節(jié)課教師：馬街小學(xué)施新星老師案例教學(xué)過程實(shí)錄：活動一：《找朋友》1.教師:今天施老師請了9位小客人來參加我們的學(xué)習(xí)，請大家歡迎他們！

(施老師預(yù)先準(zhǔn)備了9頂帶有數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9的蜜蜂頭飾，挑選了九名小朋友扮演小蜜蜂。)

在同學(xué)們熱情的掌聲中，“小蜜蜂”們“飛”到了講臺上。2.施老師：請大家觀察一下他們頭飾上的序號，你想說點(diǎn)什么呢？同學(xué)A：我想讓小蜜蜂們按頭飾上的序號從大到小排列。施老師：請這位同學(xué)說明是“從左向右”排列，還是“從右向左”排列？小蜜蜂們按照這位同學(xué)的要求，重新排列了順序。同學(xué)B：我想讓頭飾上序號是③的小朋友對大家做個鬼臉。頭飾上序號為③的小朋友，對大家做了一個鬼臉。3.施老師：現(xiàn)在，施老師也請這9只小蜜蜂做個游戲。施老師提出要求：小蜜蜂們兩個兩個的找朋友，如果他們頭飾上序號的和等于10，他們就能摘到老師手上的花。小蜜蜂們找朋友的時候，其他同學(xué)拍著手幫他們唱《找朋友》的歌。小蜜蜂們在同學(xué)們《找朋友》的歌聲下，尋找自己的朋友。這時，頭飾上序號為⑤的小蜜蜂顯得很孤單。除了頭飾上序號為⑤的小蜜蜂外，其余小蜜蜂很快找到了自己的朋友，摘到了老師手中的花。在課后的評課中，有老師建議施老師再做一個序號為⑤的頭飾，在找朋友時，讓這只小蜜蜂悄悄飛到臺上，去找另一只頭飾上序號為⑤的小蜜蜂。4.施老師編了一首兒歌：

1和9好朋友

2和8手拉手

3和7好兄弟

4和6結(jié)友誼

5和5形影不分離

讓同學(xué)們跟老師一起復(fù)述這首兒歌。5.師生共玩湊10的游戲：（例如：我出3，我出7，3和7組成10）…

活動二：《用小棒擺算式》1.施老師：剛才臺上有9只小蜜蜂，現(xiàn)在又飛來了4只小蜜蜂，誰來提出一個數(shù)學(xué)問題？現(xiàn)在飛到臺上的小蜜蜂頭飾上的序號為：⑥、⑦、⑧、⑨

學(xué)生C：我來提一個問題：9＋4＝132.施老師：你是怎么知道9＋4＝13的，能告訴大家嗎？學(xué)生C：我是數(shù)出來的。施老師：還有其它的算法嗎？學(xué)生D：我是這么想的，把右邊的1個加到左邊的9上，湊成10，10＋3＝13.3.施老師表揚(yáng)了同學(xué)C和D，施老師接著說：“我們再來玩一個游戲。同桌的兩個小朋友選一個算式，用小棒擺一擺，計算出答案，再跟同學(xué)們交流?！蓖赖膬蓚€同學(xué)之間選一個算式，進(jìn)行游戲：例如：算式是8+7，甲說：“我有8根小棒?！币艺f：“我有7根小棒，給你兩根小棒?！奔渍f：“謝謝！我有10根小棒?！币艺f：“我有5根小棒。”甲乙合說：“10加5等于15.”施老師請同學(xué)自己報名到臺上表演,請其他同學(xué)評價，如果同學(xué)們認(rèn)可，就給予熱烈的掌聲。（從課堂現(xiàn)場觀察，上臺的同學(xué)都能很好的進(jìn)行表演，但是同學(xué)的評價標(biāo)準(zhǔn)一是說話大不大聲，表情豐不豐富，說話是否清楚；評價標(biāo)準(zhǔn)二與上臺表演同學(xué)的“群眾關(guān)系”有關(guān)。）課后評課中，景海蓮老師給施老師提建議：同學(xué)們兩人一組上臺交流時，例如7+5=？甲說：我有7根小棒，乙說：我有5根小棒，給你3根，我有2根小棒，甲說：謝謝！我有10根小棒，甲乙合說：10+2=12.現(xiàn)在兩人再說。乙說：我有5根小棒，甲說：我有7根小棒，給你5根小棒，我還有2根小棒。乙說：謝謝！我有10根小棒。甲乙合說：10加2等于12.這樣做的目的是讓同學(xué)體驗“湊十”時，是多的給少的好，還是少的給多的好?；顒尤骸锻阑ゾ殹肥├蠋煟何覀冊賮硗嬉粋€游戲。請同桌的同學(xué)一個出題，另一個同學(xué)回答，讓后交換。同桌的兩個小朋友玩這個游戲。課堂小結(jié)：施老師：同學(xué)們本節(jié)課，你有什么收獲呢？共有三位同學(xué)進(jìn)行了交流。課后的評課中，景海蓮老師建議施老師加強(qiáng)對小結(jié)的處理，這節(jié)課應(yīng)該用多媒體總結(jié)：20以內(nèi)的加法包含下面的步驟：①分解；②湊十；③相加。

評析（1）特級教師景海蓮老師對這節(jié)課設(shè)計的理念是：低年級數(shù)學(xué)課，由于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)（或認(rèn)知風(fēng)格）各異，教學(xué)方式和手段應(yīng)該是多元的。學(xué)生對知識的理解、記憶和建構(gòu)多在活動中完成。一節(jié)好的數(shù)學(xué)課，大的活動應(yīng)該有一至二次，小的活動應(yīng)該有四至五次。（2）本節(jié)課數(shù)學(xué)活動的目的是什么？活動的層次又是什么？①第一組活動“找朋友”，是一個教學(xué)的先行組織。通過活動一方面體會數(shù)的順序，另一方面通過活動讓同學(xué)明白10以內(nèi)的數(shù)，有5對數(shù)兩兩之和為10，并由此初步感受加法交換律。這個活動的內(nèi)涵與“數(shù)感”有關(guān)。②第二組活動“用小棒擺算式”有兩個內(nèi)涵：

20以內(nèi)的數(shù)：10＋X＝1X，X+O=10+△=1△

例如8＋5＝（8＋2）＋3＝10＋3＝139＋6＝5＋（4＋6）＝5＋10＝15

由此可以初步感受加法結(jié)合律。③第二組活動學(xué)生還可以感悟加法的運(yùn)算法則：數(shù)位對齊，從個位加起，滿十進(jìn)一。不過在小結(jié)時，應(yīng)該把這些隱藏在活動中的知識、算理、算法歸納出來，以幫助同學(xué)更好地建構(gòu)“20以內(nèi)的加法”。（3）布魯納的理論具體地說就是：兒童學(xué)習(xí)計算需要經(jīng)歷三個步驟：

具體運(yùn)算——表象運(yùn)算——符號運(yùn)算(動手操作)—(半具體、半抽象)---(抽象運(yùn)算)

其中，表象運(yùn)算是關(guān)鍵的一步（這也是布魯納的觀點(diǎn)）。例如，過去二年級的教學(xué)案例：退位減法：23－8＝？同學(xué)有多種思維方式：

23—815第一種：第二種：第三種：從第一種到第二種是關(guān)鍵的一步，通過半具體半抽象操作，越過這一步，才能達(dá)到計算自動化，或靈活運(yùn)用多種方法并說出算理。例如：

23－8＝10＋（13－8）＝1523－8＝（20－8）＋3＝1523－8＝（20－10）＋5＝15（三）運(yùn)算技能的形成階段論形成運(yùn)算技能是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要部分。運(yùn)算技能的形成分為三個階段，第一階段是認(rèn)知階段，這一階段通常是“引導(dǎo)式”的嘗試錯誤的歷程。這時，概念性知識和過程性知識交錯在一起，學(xué)生初步明了運(yùn)算法則。這些法則則以敘述性知識的形式呈現(xiàn)，在學(xué)生頭腦中初步形成運(yùn)算方法的表征。教師講一個計算例題，或者學(xué)生自學(xué)課本上的法則，往往就是起到了這種作用。第二階段是聯(lián)結(jié)階段。在這一階段，學(xué)生開始把敘述性知識轉(zhuǎn)化為操作行為，并緩慢地建構(gòu)過程性知識。在操作的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了一個條件—行動的過程，逐步形成操作技能。聯(lián)結(jié)階段又可以分為兩個子階段：一是法則階段，學(xué)生使用運(yùn)算規(guī)則解決面對的問題，他們清楚地知道，自己正在一步一步地應(yīng)用程序。二是程序化階段，一旦程序化歷程發(fā)生，則學(xué)生解決這些問題會比較快速準(zhǔn)確。第三階段是自動化的階段。第三個階段是第二個階段的延伸，第二階段中的程序被更加清楚地辨識和更熟練地應(yīng)用，達(dá)到一定程度的自動化。心理學(xué)研究指出，當(dāng)個體獲得運(yùn)算技能自動化時，他們獲得了運(yùn)算的速度和較高的正確率。（四）數(shù)感與計算教學(xué)的關(guān)系研究發(fā)現(xiàn)，中國的孩子更容易理解“十進(jìn)制”數(shù)的計數(shù)規(guī)則，這同各自國家使用的語言有關(guān)系。比如數(shù)字“12”，中文讀作“（一）十二”，意義就是十加二，即一個十與兩個一之和；而英文讀作“twelve”,兒童不容易將它和ten與two聯(lián)系起來?！熬啪疟怼备菨h語言特殊功能培養(yǎng)數(shù)感的工具以及便捷運(yùn)算的工具。第一、重視數(shù)感對計算教學(xué)的作用理解數(shù)的含義,也即建立數(shù)的概念,是形成數(shù)感最基礎(chǔ)的一步,包括幾個方面的內(nèi)容：●建立數(shù)字與實(shí)際生活的聯(lián)系。使抽象的數(shù)字具體化，這就是利用具體事物和自己的經(jīng)歷賦予數(shù)字具體的含義，用自己獨(dú)特的方式理解和表征數(shù)；●

用多種方式表征數(shù)。能判斷兩個數(shù)的相對大小，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡單的推理;●

對數(shù)的個性化、多樣化理解與表征。用自己的語言來表述數(shù)，用數(shù)來描述現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系。全國第七屆小學(xué)數(shù)學(xué)改革觀摩會一等獎第一名案例

生活中的負(fù)數(shù)聽清信息，選擇自己喜歡的方式，把信息準(zhǔn)確、簡潔的表示出來。關(guān)鍵是讓別人一眼就能看明白。利用生成資源，體驗負(fù)數(shù)產(chǎn)生過程。在表中表示出來足球比賽轉(zhuǎn)學(xué)情況帳目結(jié)算上半場四年級三月份下半場五年級四月份學(xué)生記錄相反意義的量（1）足球比賽，上半場進(jìn)了2個球，下半場丟了2個球。（2）轉(zhuǎn)學(xué)情況,四年級轉(zhuǎn)來25名同學(xué)，五年級轉(zhuǎn)走10名同學(xué)。（3）帳目結(jié)算，張阿姨三月份賺了

6000元，四月份虧了2000元。1.單純的數(shù)據(jù)：足球比賽轉(zhuǎn)學(xué)情況帳目結(jié)算上半場

2個四年級25名三月份6000元下半場

2個五年級10名四月份2000元2.文字加數(shù)據(jù)：足球比賽轉(zhuǎn)學(xué)情況帳目結(jié)算上半場進(jìn)了2個四年級轉(zhuǎn)來25名三月份

賺

了6000元下半場丟了2個五年級轉(zhuǎn)走10名四月份

虧

了2000元4.符號加數(shù)據(jù)：3.圖標(biāo)加數(shù)據(jù)：足球比賽轉(zhuǎn)學(xué)情況帳目結(jié)算上半場

√

2個四年級

√

25名三月份

√6000元下半場

×2個五年級

×10名四月份

×2000元足球比賽轉(zhuǎn)學(xué)情況帳目結(jié)算上半場

2個四年級

25名三月份

6000元下半場

2個五年級

10名四月份

2000元師:可你用的符號你明白，他用的符號他明白。怎樣才能讓大家都明白呢？生1:需要一種大家能看懂的符號。生2:需要找到一種統(tǒng)一的形式。足球比賽轉(zhuǎn)學(xué)情況帳目結(jié)算上半場

＋2個四年級

＋25名三月份

＋

6000元下半場

－2個五年級－10名四月份

－

2000元

教師巧妙利用有序反饋，兩種數(shù)量的相反意義凸顯在學(xué)生面前，促使學(xué)生進(jìn)行有意義的數(shù)學(xué)思考，產(chǎn)生“需要找到統(tǒng)一形式”的內(nèi)需。這時，負(fù)數(shù)的概念呼之欲出。在認(rèn)知沖突中，學(xué)生感悟正、負(fù)數(shù)的意義，體驗具體到抽象的符號化、數(shù)學(xué)化過程。

評析

第二，重視對運(yùn)算意義的理解

●

在理解數(shù)含義的基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)字運(yùn)算既有利于鞏固對數(shù)的含義的理解，也有利于進(jìn)行數(shù)學(xué)的推理和思維。對運(yùn)算含義的理解，既包括對加減乘除等運(yùn)算的含義和運(yùn)算法則的理解，也包含對它們的相互關(guān)系及相互轉(zhuǎn)化的方法的理解。下面以“循環(huán)小數(shù)”的教學(xué)案例片段，看看一線教師，怎樣讓小學(xué)生建立對數(shù)運(yùn)算意義的理解。策略一以故事突破難點(diǎn)

從前有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說：“從前有座山，山上有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說：從前有座山，山上……”

你們能接著講下去嗎？能講完嗎？不斷重復(fù)——無數(shù)次——無限的依次重復(fù)——循環(huán)——循環(huán)小數(shù)策略二學(xué)生自己體驗沖突男生①21?305÷5＝4?261②10÷3＝3?

3333333333333……女生①21?45÷15＝1?43②70?7÷33＝2?

1424242424242……心求通而未得，口欲言而不能觀察商中出現(xiàn)的奇怪現(xiàn)象，思考繼續(xù)除的情形，依靠學(xué)生的努力發(fā)現(xiàn)循環(huán)小數(shù)的特征策略三感而有悟分層推進(jìn)拍掌：×

×

××

×

××

×

××

×

×……

觀察：●●▲

●●▲

●●▲

●●▲

……感悟：無限、依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)、循環(huán)。計算：10÷3＝3?

3333333333……。

58?6÷11＝5?

32727272727……。擊鼓：按一定節(jié)奏擊鼓，讓學(xué)生親身體驗。建模：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，逐步建立模型●在發(fā)展精確計算能力的同時，還要發(fā)展學(xué)生的估算能力。估算能幫助學(xué)生快速判斷結(jié)果的合理性，并能有效預(yù)測相應(yīng)的結(jié)果。它與精確計算相互依存、協(xié)同發(fā)展。門票每張10元40張以上享受八折優(yōu)惠。

同學(xué)們秋游,全

班35人,怎樣買票才比較劃算？題例(1)10×35=350（元），(2)8×40=320（元），通過比較可以判斷買40張票劃算，可以多得5張票,又少用30元。下面三個問題的列式和答案都一樣

，對嗎?(1)150支鉛筆，平均分給60個學(xué)生，每人分得幾支？(2)有150個同學(xué)，每只船可乘60個需要幾只船？(3)一部電影放映150分鐘，要放映多少小時？（答：2支)（答：3只）(答：2.5小時）題例

列式:“150÷60”列式:“150÷60”列式:“150÷60”

第三，重視用自己的語言解釋數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)語言去解釋現(xiàn)實(shí)問題

●

數(shù)學(xué)語言表達(dá)是影響數(shù)感形成的一種重要因素。因語言與思維的密切關(guān)系，使得我們不能忽略了語言解釋在數(shù)感建立中的作用。●教師在教學(xué)過程中，在注意自身的數(shù)學(xué)表達(dá)時，還應(yīng)給學(xué)生提供更多表述數(shù)學(xué)的機(jī)會?！駭?shù)感的形成和表現(xiàn)擁有豐富的渠道，可以讓學(xué)生用自己的語言揭示數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)描述現(xiàn)實(shí)問題，也可以幫助學(xué)生澄清思路、發(fā)展更深刻的數(shù)學(xué)理解。

第四，重視問題解決活動

●

解決問題(包括解決數(shù)學(xué)問題或從數(shù)學(xué)角度解決生活中的問題)是一種重要的數(shù)學(xué)活動，它既有利于學(xué)生理解、運(yùn)用和鞏固已學(xué)的數(shù)學(xué)知識，又有利于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和方法，是形成和發(fā)展學(xué)生計算能力的一種重要手段。

解決問題要在真實(shí)生活的背景中去思考去判斷。在解決問題的過程中完善認(rèn)知。案例題例

商店運(yùn)進(jìn)5箱熱水瓶，每箱12個，每個賣11元。如果你是商店經(jīng)理，你可以怎樣賣？一共可以賣得多少錢？學(xué)生一：我可以零賣——12×5=60（個）11×60=660（元）學(xué)生二：我可以批發(fā)——11×12=132（元）132×5=660（元）學(xué)生三：我可以套賣——11×5=55（元）55×12=660（元）學(xué)生三：我可以配成套賣——11×5=55（元）55×12=660（元）

我進(jìn)5箱圖案和顏色各不相同的熱水瓶，從每箱里拿出一個，

5個熱水瓶組成一套，每套55元，

12套就是660元。教學(xué)案例