離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)(第1部分離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng))

第一章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)(第I局部：離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)〕1.1~1.3節(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義，掌握序列的根本運(yùn)算，并會(huì)判斷序列的周期性。掌握線性/移不變/因果/穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)的概念并會(huì)判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性/穩(wěn)定性判斷的充要條件。理解常系數(shù)線性差分方程及其用迭代法求解單位抽樣響應(yīng)。了解對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的時(shí)域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復(fù)過程。x(n)代表第n個(gè)序列值，在數(shù)值上等于信號(hào)的采樣值x(n)只在n為整數(shù)時(shí)才有意義一、離散時(shí)間信號(hào)—序列序列：對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到

n取整數(shù)。對(duì)于不同的n值，是一個(gè)有序的數(shù)字序列：該數(shù)字序列就是離散時(shí)間信號(hào)。實(shí)際信號(hào)處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存貯器中，此時(shí)nT代表的是前后順序。為簡化，不寫采樣間隔，形成x(n)信號(hào)，稱為序列。1、序列的運(yùn)算移位翻褶和積累加差分時(shí)間尺度變換卷積和1〕移位序列x(n)，當(dāng)m>0時(shí)x(n-m)：延時(shí)/右移m位x(n+m)：超前/左移m位2〕翻褶

x(-n)是以n=0的縱軸為 對(duì)稱軸將序列x(n)

加以翻褶3〕和

同序列號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加4〕積同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘5〕累加6〕差分前向差分：后向差分：7〕時(shí)間尺度變換抽取

插值8〕卷積和設(shè)兩序列x(n)、h(n)，那么其卷積和定義為：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：舉例說明卷積過程

n=-2時(shí)y(n)卷積和與兩序列的前后次序無關(guān)2、幾種典型序列1〕單位抽樣序列(單位脈沖序列〕2〕單位階躍序列與單位抽樣序列的關(guān)系3〕矩形序列與其他序列的關(guān)系4〕實(shí)指數(shù)序列為實(shí)數(shù)5〕復(fù)指數(shù)序列為數(shù)字域頻率例：6〕正弦序列模擬正弦信號(hào)：數(shù)字域頻率是模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化頻率7〕任意序列 x(n)可以表示成單位取樣序列的移位加權(quán)和，也可表示成與單位取樣序列的卷積和。例：3、序列的周期性假設(shè)對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，滿足那么稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。例：因此，x(n)是周期為8的周期序列討論一般正弦序列的周期性分情況討論1〕當(dāng)為整數(shù)時(shí)2〕當(dāng)為有理數(shù)時(shí)3〕當(dāng)為無理數(shù)時(shí)例：判斷是否是周期序列討論：假設(shè)一個(gè)正弦信號(hào)是由連續(xù)信號(hào)抽樣得到，那么抽樣時(shí)間間隔T和連續(xù)正弦信號(hào)的周期T0之間應(yīng)是什么關(guān)系才能使所得到的抽樣序列仍然是周期序列？設(shè)連續(xù)正弦信號(hào)：抽樣序列：當(dāng)為整數(shù)或有理數(shù)時(shí)，x(n)為周期序列令：例：N，k為互為素?cái)?shù)的正整數(shù)即N個(gè)抽樣間隔應(yīng)等于k個(gè)連續(xù)正弦信號(hào)周期4、序列的能量序列的能量為序列各抽樣值的平方和二、線性移不變系統(tǒng)一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算。離散時(shí)間系統(tǒng)T[·]x(n)y(n)1、線性系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)滿足疊加原理：或同時(shí)滿足： 可加性： 比例性/齊次性：其中：那么此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)滿足疊加原理的直接結(jié)果：零輸入產(chǎn)生零輸出。例：證明由線性方程表示的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)滿足疊加原理的直接結(jié)果：零輸入產(chǎn)生零輸出。

增量線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)x(n)y0(n)y(n)零輸入響應(yīng)2、移不變系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)與鼓勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)，那么稱為移不變系統(tǒng)〔或時(shí)不變系統(tǒng)〕例：試判斷是否是移不變系統(tǒng)

同時(shí)具有線性和移不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性移不變系統(tǒng)LSI：LinearShiftInvariant3、單位抽樣響應(yīng)與系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系〔卷積和的關(guān)系〕單位抽樣響應(yīng)h(n)是指輸入為單位抽樣序列 時(shí)的系統(tǒng)輸出：T[·]對(duì)LSI系統(tǒng)，討論對(duì)任意輸入的系統(tǒng)輸出是什么？T[·]x(n)y(n)重要結(jié)論：一個(gè)LSI系統(tǒng)可以用單位抽樣響應(yīng)h(n)來表征，任意輸入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該單位抽樣響應(yīng)h(n)的卷積和。LSIh(n)x(n)y(n)例：思考:當(dāng)x(n)的非零區(qū)間為[N1,N2]，h(n)的非零區(qū)間為[M1,M2]時(shí)，求解系統(tǒng)的輸出y(n)又如何分段？結(jié)論：假設(shè)有限長序列x(n)的長度為N，h(n)的長度為M，那么其卷積和的長度L為：L=N+M-14、LSI系統(tǒng)的性質(zhì)交換律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)結(jié)合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)5、因果系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)(指任意離散時(shí)間系統(tǒng))n時(shí)刻的輸出，只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列，而與n時(shí)刻以后的輸入無關(guān)，那么稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。LSI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：6、穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)(指任意離散時(shí)間系統(tǒng))是有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)假設(shè)LSI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：則例：某LSI系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的。結(jié)論：因果穩(wěn)定的LSI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)是因果的，且是絕對(duì)可和的，即：三、常系數(shù)線性差分方程用差分方程來描述時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。一個(gè)N階常系數(shù)線性差分方程表示為：其中：它們決定系統(tǒng)的特征1-3常系數(shù)線性差分方程離散變量n的函數(shù)x(n)及其位移函數(shù)x(n-m)線性疊加而構(gòu)成的方程.一.表示法與解法1.表示法

離散時(shí)間線性移不變系統(tǒng)(n)y(n)*常系數(shù)：a0,a1,…,aN;b0,b1,…,bM均是常數(shù)〔不含n〕.*階數(shù)：y(n)變量n的最大序號(hào)與最小序號(hào)之差，如N=N-0.*線性：y(n-k),x(n-m)各項(xiàng)只有一次冪,不含它們的乘積項(xiàng)。2.解法時(shí)域：迭代法，卷積和法;變換域：Z變換法.二.用迭代法求解差分方程——求單位抽樣響應(yīng)1.“松弛〞系統(tǒng)的輸出起始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，這種系統(tǒng)用的較多，其輸出就是因此，h(n)就可求出y(n)，所以必須知道h(n)的求法。差分方程在給定輸入和給定邊界〔起始〕條件下，可用迭代法求系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)。例1：常系數(shù)線性差分方程 假設(shè)邊界條件 求其單位抽樣響應(yīng)。例2：常系數(shù)線性差分方程同上例 假設(shè)邊界條件 求其單位抽樣響應(yīng)。例3：常系數(shù)線性差分方程同上例 假設(shè)邊界條件 討論系統(tǒng)的線性性和移不變性。一些關(guān)于差分方程的結(jié)論：一個(gè)差分方程不能唯一確定一個(gè)系統(tǒng)常系數(shù)線性差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性移不變的不一定是因果的不一定是穩(wěn)定的差分方程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，例如上例：Z-1ax(n)y(n)1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣討論：采樣前后信號(hào)頻譜的變化什么條件下，可以從采樣信號(hào)不失真地恢復(fù)出原信號(hào)1、理想抽樣沖激函數(shù)序列：理想抽樣輸出：現(xiàn)考察抽樣后信號(hào)頻譜發(fā)生什么變化那么應(yīng)該滿足：現(xiàn)求S(jΩ)=F［s(t)］。由于s(t)是以采樣頻率重復(fù)的沖激脈沖，故為一個(gè)以T為周期的周期函數(shù)，可表示為傅里葉級(jí)數(shù)，即

根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)的知識(shí)，系數(shù)ak可通過如下求得以上結(jié)果的得出是考慮到在|t|≤T/2的積分區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)沖激脈沖δ(t)，其他沖激δ(t-nT)，n≠0都在積分區(qū)間之外，且利用了以下關(guān)系:故由此得出可記住此傅氏變換所以s(t)的頻譜為因此抽樣信號(hào)的頻譜是模擬信號(hào)頻譜以抽樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓而成每個(gè)延拓分量和原信號(hào)的譜分量相同，只是頻譜幅度是原信號(hào)頻譜幅度的1/T倍假設(shè)信號(hào)最高頻率那么延拓分量產(chǎn)生頻譜混疊奈奎斯特抽樣定理 要想抽樣后能夠不失真地復(fù)原出原信號(hào)，那么抽樣頻率必須大于兩倍信號(hào)譜的最高頻率但現(xiàn)實(shí)信號(hào)其最高頻率一般都不是銳截止的，故一般在采樣前要加一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器，并且還要適當(dāng)提高采樣頻率。前置預(yù)濾波器A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A轉(zhuǎn)換器模擬濾波器y(n)y(t)因此，DSP系統(tǒng)的根本框圖為：2、抽樣的恢復(fù)利用低通濾波器復(fù)原滿足奈奎斯特抽樣定理的抽樣信號(hào)。ΩΩs