抽樣與抽樣分布

統(tǒng)計(jì)學(xué)

statistics李欣先

1/17/20241第九章抽樣與抽樣分布

第一節(jié)抽樣方法〔samplingmethods〕第二節(jié)抽樣誤差〔samplingerror〕第三節(jié)抽樣分布〔samplingdistribution〕第四節(jié)抽樣分布的應(yīng)用〔usingsamplingdistribution〕

1/17/20242主婦舀匙湯、夾口菜嘗嘗滋味，讀者在書店看幾眼書判斷內(nèi)容，戀人憑一見而鐘情，高考每門課的幾道題就決定了很多人的命運(yùn)，作家在美國(guó)住了一兩年就寫出一部《美國(guó)印象》……1/17/20243第一節(jié)抽樣方法〔samplingmethods〕一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣二、分層抽樣

三、系統(tǒng)抽樣

四、整群抽樣1/17/20244根據(jù)抽取的原那么不同，抽樣方法有概率抽樣〔randomsampling〕和非概率抽樣〔nonrandomsampling〕兩種。概率抽樣：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣，整群抽樣非概率抽樣：配額抽樣和判斷抽樣1/17/20245一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

〔simplerandomsampling〕simplerandomsamplingAsampleselectedsothateachitemorpersoninthepopulationhasthesamechanceofbeingincluded1/17/202461/17/20247Tableofrandomnumbers1/17/20248重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣1、重復(fù)抽樣〔samplingwithreplacement〕又稱為重置抽樣，是指從總體N個(gè)單位中抽取一個(gè)容量為n的樣本。每次抽出一個(gè)單位后，再將其放回總體中參加下一次抽取。這樣連續(xù)抽n次即得到一個(gè)樣本。該抽樣方法的樣本可能數(shù)目記作即通常所說(shuō)的可重復(fù)排列數(shù)。1/17/202492、不重復(fù)抽樣〔samplingwithoutreplacement〕又稱為不重置抽樣，是指抽中單位不再放回總體中，下一個(gè)樣本單位只能從余下的總體單位中抽取。采用不重復(fù)抽樣方法，同一總體單位不可能被重復(fù)抽中。該抽樣方法的樣本可能數(shù)目記作即通常所說(shuō)的不重復(fù)排列數(shù)。1/17/202410簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣可根據(jù)總體的有限性或無(wú)限性分為有限總體隨機(jī)抽樣與無(wú)限總體隨機(jī)抽樣。有限總體簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：每個(gè)樣本點(diǎn)〔個(gè)體〕能以相同的概率被抽出。無(wú)限總體簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：1、每一個(gè)體來(lái)自同一總體；2、每一個(gè)體是獨(dú)立抽取的。1/17/202411二、系統(tǒng)抽樣〔systematicsampling〕1/17/202412二、系統(tǒng)抽樣〔systematicsampling〕也稱機(jī)械抽樣或等距抽樣。它是先將總體單位按某一個(gè)抽樣起點(diǎn)，再按固定的順序和間隔來(lái)抽取樣本單位。某些情況下，系統(tǒng)樣本可能帶來(lái)偏差。1/17/2024131/17/202414三、分層抽樣〔stratifiedsampling〕又稱分類抽樣或類型抽樣。它是按與調(diào)查目的有關(guān)的某個(gè)主要標(biāo)志將總體單位劃分為假設(shè)干層〔也稱類、組或子總體〕，然后從多層中按隨機(jī)原那么分別抽取一定數(shù)目的單位構(gòu)成樣本。在某些情況下，相對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和系統(tǒng)抽樣，分層抽樣更能準(zhǔn)確地反映總體特征。例如調(diào)查員工對(duì)公司制度的看法，男女或者主管或者非主管看法不同1/17/202415四、整群抽樣〔clustersampling〕也稱集團(tuán)抽樣。它是將總體全部單位分為假設(shè)干局部〔每一局部稱為一個(gè)群體，簡(jiǎn)稱群〕，然后按隨機(jī)原那么從中抽取一局部群體，抽中群體的所有單位構(gòu)成樣本。整群抽樣對(duì)抽中群體內(nèi)的所有單位進(jìn)行全面調(diào)查，而未抽中群體的單位一概不調(diào)查。例如調(diào)查中學(xué)教師對(duì)九年義務(wù)教育的看法，可能需要以學(xué)校為群，而不是以省為群。1/17/2024161/17/202417一次失敗的統(tǒng)計(jì)調(diào)查在1936年的美國(guó)總統(tǒng)選舉前，一份名為L(zhǎng)iteraryDigest雜志進(jìn)行了一次民意調(diào)查。調(diào)查的焦點(diǎn)是誰(shuí)將成為下一屆總統(tǒng)—是挑戰(zhàn)者，堪薩斯州州長(zhǎng)AlfLandon，還是現(xiàn)任總統(tǒng)FranklinDelanoRoosevelt。為了解選民意向，民意調(diào)查專家們根據(jù)簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了簡(jiǎn)單的調(diào)查表〔和汽車在1936年并不像現(xiàn)在那樣普及，但是這些名單比較容易得到〕。盡管發(fā)出的調(diào)查表大約有一千萬(wàn)張，但收回的比例并不高。在收回的調(diào)查表中，AlfLandon非常受歡送。于是該雜志預(yù)測(cè)Landon將贏得選舉。但事實(shí)上是FranklinRoosevelt贏得了這次選舉在經(jīng)濟(jì)大蕭條時(shí)期調(diào)查有和汽車的人們，并不能夠反映全體選民的觀點(diǎn)。此外，只有少數(shù)的問(wèn)卷被收回。這些都是值得疑心的1/17/202418第二節(jié)抽樣誤差〔samplingerror〕一、概念在抽樣調(diào)查中，誤差是指調(diào)查所得結(jié)果與總體真實(shí)數(shù)值之間的差異。二、誤差的來(lái)源1、登記性誤差在調(diào)查和匯總過(guò)程中由于觀察、測(cè)量、登記、計(jì)算等方面的差異或被調(diào)查者提供虛假資料而造成的誤差。2、代表性誤差用樣本指標(biāo)推斷總體指標(biāo)時(shí)，由于樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)不一致。樣本缺乏代表總體而產(chǎn)生的誤差。代表性誤差又分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩種。1/17/202419系統(tǒng)誤差是指由于非隨機(jī)因素引起的樣本代表性缺乏而產(chǎn)生的誤差，表現(xiàn)為樣本估計(jì)量的值系統(tǒng)性偏高或偏低，故也稱偏差。隨機(jī)誤差又稱為偶然性誤差，是指遵循原那么抽樣，由于隨機(jī)因素〔偶然性因素〕引起的代表性誤差。抽樣估計(jì)的抽樣誤差就是指這種隨機(jī)誤差。在抽樣調(diào)查中，登記性誤差和系統(tǒng)性誤差都可以盡量防止，而抽樣誤差那么是不可防止的，但可以計(jì)算并加以控制。1/17/2024201/17/2024經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院21精確度高準(zhǔn)確度差，精密度高。準(zhǔn)確度高，精密度差。精確度差1/17/202421第三節(jié)抽樣分布〔samplingdistribution〕一、抽樣分布的概念二、樣本平均數(shù)的抽樣分布三、樣本比例的抽樣分布四、不重復(fù)抽樣的修正系數(shù)五、兩個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布1/17/202422在進(jìn)行抽樣調(diào)查時(shí)，我們關(guān)心的焦點(diǎn)通常不在樣本上，樣本背后所代表的總體才是關(guān)心的重點(diǎn)。例如想知道一般家庭每月的支出的平均數(shù)和方差是多少，抽取100個(gè)家庭，進(jìn)行研究。又如關(guān)心群眾對(duì)總統(tǒng)候選人的支持率，抽樣1000位成年人，進(jìn)行民意調(diào)查。我們希望以樣本的統(tǒng)計(jì)量，如樣本平均數(shù)、樣本方差等，來(lái)推論總體參數(shù)，如總體平均數(shù)、總體方差等，要到達(dá)此目的，必須知道樣本的統(tǒng)計(jì)量的概率分布。1/17/202423這里必須說(shuō)明：如無(wú)特別聲明，我們下面只討論可重復(fù)的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，所有變量為n的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，它滿足兩個(gè)條件：〔1〕相互獨(dú)立；〔2〕每個(gè)〔=1，2，…，n〕都與總體同分布。1/17/202424總體計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差樣本1/17/202425〔一〕抽樣分布〔samplingdistribution〕的概念樣本指標(biāo)即樣本統(tǒng)計(jì)量是一種隨機(jī)變量，它有假設(shè)干可能取值〔即可能樣本指標(biāo)數(shù)值〕，每個(gè)可能取值有一定的可能性〔即概率〕從而形成它的概率分布，統(tǒng)計(jì)上稱為抽樣分布。簡(jiǎn)言之，抽樣分布就是指樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。

一、抽樣分布的根本問(wèn)題1/17/202426〔二〕尋求抽樣分布的方法主要有精確方法、大樣本方法和隨機(jī)模擬法。1、精確方法當(dāng)總體的分布類型時(shí)，如果對(duì)任意自然數(shù)n都能導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量的分布的明顯的表達(dá)式，這種方法稱為精確方法，所得分布稱為精確抽樣分布。它對(duì)樣本變量n較小的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題特別有用，故又稱小樣本方法。精確抽樣分布大多是在正態(tài)總體條件下得到的。

一、抽樣分布的根本問(wèn)題1/17/2024272、大樣本方法精確抽樣分布在很多場(chǎng)合下不易求出或其表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜而難于應(yīng)用。這時(shí)，我們借助于極限定理，尋求在樣本變量n無(wú)限增大時(shí)統(tǒng)計(jì)量的極限分布。假設(shè)此種分布能求得，那么當(dāng)n較大時(shí)，可用此極限分布當(dāng)作所求的抽樣分布的一種近似，這種方法稱為大樣本方法，這種極限分布常常稱為漸進(jìn)分布。一、抽樣分布的根本問(wèn)題1/17/202428一、抽樣分布的根本問(wèn)題〔三〕幾種常用分布在抽樣推斷中，許多場(chǎng)合下統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布或以正態(tài)分布為漸進(jìn)分布，所以正態(tài)分布是最常用的。此外，分布，分布，分布等精確抽樣分布也起著重要的作用。這里僅介紹分布、t分布和F分布的根本特征。1/17/202429一、抽樣分布的根本問(wèn)題1、卡方(c2)分布〔1〕概念設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布即～，那么隨機(jī)變量的分布稱作自由度為n的2分布，記為c2〔n〕。其分布密度為：1/17/202430一、抽樣分布的根本問(wèn)題〔2〕分位數(shù)〔或臨界值〕假設(shè)或 那么稱k為c2〔n〕的分位數(shù)，記為k?1/17/202431一、抽樣分布的根本問(wèn)題〔3〕性質(zhì)假設(shè)X服從2〔n〕，那么均值E〔X〕=n，方差D〔X〕=2n。2分布具有可加性。假設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，X1～2〔n1〕，X2～２〔n2〕那么〔X1＋X2〕～２〔ｎ１＋n２〕當(dāng)ｎ→∞時(shí)，２分布漸進(jìn)于正態(tài)分布，即２〔ｎ〕～Ｎ〔ｎ，２n〕1/17/202432一、抽樣分布的根本問(wèn)題

選擇容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本計(jì)算樣本方差S2計(jì)算卡方值

2=(n-1)S2/σ2計(jì)算出所有的

2值不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20ms總體〔4〕2分布的圖形1/17/202433一、抽樣分布的根本問(wèn)題2、t分布〔1〕概念設(shè)隨機(jī)變量x與Y相互獨(dú)立，而且X~N〔0，1〕，Y~2〔n〕，那么稱隨機(jī)變量服從自由度為n的t分布，記作t〔n〕。其分布密度為：1/17/202434一、抽樣分布的根本問(wèn)題〔2〕分位數(shù)〔臨界值〕假設(shè)P(t〔n〕＞k)=α那么稱k為t分布的α分位數(shù)。記為K?tα〔n〕

1/17/202435一、抽樣分布的根本問(wèn)題〔3〕t分布的圖形Xt

分布與正態(tài)分布的比較正態(tài)分布t分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)Z1/17/202436一、抽樣分布的根本問(wèn)題(4)性質(zhì)。①t分布的均值E〔t〕=0，方差V〔t〕=n/n－2〔n＞2〕。②t分布密度是關(guān)于t=0對(duì)稱的，故有t1-α〔n〕=－tα〔n〕。③當(dāng)n∞時(shí)，t分布漸進(jìn)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

1/17/202437一、抽樣分布的根本問(wèn)題3、F分布〔1〕概念設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且分別服從自由度為n1，n2的2分布，那么服從第一自由度為n1，第二自由度為n2的F分布，記作F～Ｆ〔n1，n2〕。其分布密度為：1/17/202438不同自由度的F分布F(1,10)(5,10)(10,10)1/17/202439一、抽樣分布的根本問(wèn)題〔2〕分位數(shù)〔臨界值〕假設(shè)P[F〔n1，n2〕＞K]=α那么稱K為F分布的α分位數(shù)記為：K?Fα〔n1，n2〕1/17/202440一、抽樣分布的根本問(wèn)題〔3〕F分布的性質(zhì)①統(tǒng)計(jì)量F是大于零的正數(shù)。②F分布曲線為正偏態(tài)，其尾端以橫軸為漸進(jìn)線趨于無(wú)窮。③F分布是一種連續(xù)的概率分布，不同的自由度組合有不同的F分布曲線1/17/202441二、樣本均值的抽樣分布

【例】設(shè)一個(gè)總體，含有4個(gè)元素(個(gè)體)，即總體單位數(shù)N=4。4個(gè)個(gè)體分別為x1=1、x2=2、x3=3、x4=4?？傮w的均值、方差及分布如下總體分布14230.1.2.3均值和方差1/17/202442

現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個(gè)樣本。所有樣本的結(jié)果為3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個(gè)）1/17/202443

計(jì)算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個(gè)觀察值第一個(gè)觀察值16個(gè)樣本的均值（x）X樣本均值的抽樣分布1.00.1.2.3P(X)1.53.04.03.52.02.51/17/202444

=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3抽樣分布P(X)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5X1/17/202445

x的分布趨于正態(tài)分布的過(guò)程1/17/202446二、樣本平均數(shù)的抽樣分布〔一〕總體方差2時(shí)定理1：設(shè)總體Ｘ～N〔μ，2〕，〔x1，x2，…，xn〕是其一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，那么樣本平均數(shù)~N(μ，2/n)，E()=μ，V()=2/n。定理2：假設(shè)總體平均數(shù)μ和方差2有限，當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，無(wú)論總體分布形式如何，樣本平均數(shù)近似服從正態(tài)分布N(μ,2/n)。由上面兩個(gè)定理，根據(jù)抽樣平均誤差的定義，便可知平均數(shù)的抽樣平均誤差的計(jì)算公式為：()=1/17/202447例一個(gè)汽車電池的制造商聲稱其最好的電池壽命的分布均值為54個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差為6個(gè)月。假設(shè)某一消費(fèi)組織決定購(gòu)置50個(gè)這種電池作為樣本來(lái)檢驗(yàn)電池的壽命，以核實(shí)這一聲明?！?〕假設(shè)這個(gè)制造商之所言是真實(shí)的，試描述這50個(gè)電池樣本的平均壽命的抽樣分布?！?〕假設(shè)這個(gè)制造商之所言是真實(shí)的，那么消費(fèi)組織的樣本壽命均值小于或等于52個(gè)月的概率是多少。1/17/202448例某酒店電梯中質(zhì)量標(biāo)志注明最大載重為18人，1350kg。假定該酒店游客及其攜帶行李的平均重量為70kg，標(biāo)準(zhǔn)差為6kg。試問(wèn)隨機(jī)進(jìn)入電梯18人，總重量超重的概率是多少？1/17/202449定理3：設(shè)總體X~N〔μ,2〕，〔x1，x2，…，xn〕是其一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為，樣本方差為S2，那么有1/17/202450二、樣本平均數(shù)的抽樣分布〔二〕總體方差2未知當(dāng)總體方差未知時(shí)，用樣本方差S2代替總體方差2，或用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替總體標(biāo)準(zhǔn)差，那么有：定理4：設(shè)總體X~N〔μ,2〕，〔x1，x2，…，xn〕是其一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S，那么統(tǒng)計(jì)量結(jié)論：當(dāng)總體方差未知時(shí)，如果抽取的樣本為大樣本，那么樣本平均數(shù)服從正態(tài)分布；如果抽取的樣本為小樣本，那么樣本平均數(shù)服從t〔n-1〕分布1/17/202451三、樣本比例的抽樣分布

當(dāng)從總體中抽出一個(gè)變量n的樣本時(shí)，樣本中具有某種特征的單位數(shù)X，服從二項(xiàng)分布，即有X~B〔n，P〕。且有E(X)=n，V(X)=nP(1－P)因而樣本比例p=X/n也服從二項(xiàng)分布，且有：E〔P〕=E〔X／n〕=1／n×E〔X〕=PV〔p〕=V〔X／n〕=1／n2×V〔X〕=1／n×p〔1－p〕根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n→∞，二次分布趨近于正態(tài)分布。所以在大樣本下，np和n〔1－p〕皆大于5，樣本比例近似服正態(tài)分布：p～N[p，1／n×p(1－p)]

1/17/202452三、樣本比例的抽樣分布由平均抽樣誤差的定義和V〔p〕=1／n×p(1－p)可知，比例的抽樣平均誤差為：

1/17/202453TheFoodMarketingInstituteshowsthat17%ofhouseholdsspendmorethan$100perweekongroceries.AssumethepopulationproportionisP=0.17andasimplerandomsampleof800householdswillbeselectedfromthepopulation.a.Showthesamplingdistributionofp,thesampleproportionofhouseholdsspendingmorethan$100perweekongroceries.b.Whatistheprobabilitythatthesampleproportionwillbewithin.02ofthepopulationproportion?1/17/202454四、不重復(fù)抽樣的修正系數(shù)

(correctionfactor)前所講的抽樣分布和抽樣平均誤差的計(jì)算公式，都是就重復(fù)抽樣而言的?？梢宰C明，采用不重復(fù)抽樣時(shí)，平均數(shù)和比例的抽樣平均誤差應(yīng)為：

1/17/202455四、不重復(fù)抽樣的修正系數(shù)可見，不重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差公式比重復(fù)抽樣的相應(yīng)公式多一個(gè)系數(shù)這個(gè)系數(shù)稱為不重復(fù)抽樣修正系數(shù)。當(dāng)N很大時(shí)，〔其中：n/N為抽樣比例〕。實(shí)際中，當(dāng)