2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（精講）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第一冊(cè)）（學(xué)生版）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考點(diǎn)一解無(wú)參數(shù)一元二次不等式【例1】(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))解下列不等式：(1)；(2)；(3).解不含參數(shù)的一元二次不等式有以下3種方法：解不含參數(shù)的一元二次不等式有以下3種方法：方法一：若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個(gè)代數(shù)式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號(hào)方向得到不等式的解集．方法二：若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，不等式的解集易得．方法三：則采用求一元二次不等式解集的通法——判別式法【舉一反三】1(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))解下列一元二次不等式：(1)；(2)2．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))解不等式：．3．(2020·荊州市北門(mén)中學(xué)高一期末)不等式的解集是________.考點(diǎn)二解含有參數(shù)的一元二次不等式【例2】(2020·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一期末(理))解關(guān)于的不等式:解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)（1）關(guān)于不等式類(lèi)型的討論：二次項(xiàng)的系數(shù)a＞0，a＝0，a＜0；（2）關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程的根的討論：兩根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，無(wú)根(Δ＜0)；（3）關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．【舉一反三】1．(2019·山東濟(jì)寧.高一月考)求關(guān)于的一元二次不等式的解集．2．(2020·安徽金安.六安一中高一期中(文))解關(guān)于x的不等式．3．(2019·陜西秦都咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考(理))解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.考點(diǎn)三三個(gè)一元二次的關(guān)聯(lián)【例3】(1(2020·江西上高二中高一期末(文))設(shè)一元二次不等式的解集為則的值為()A．1 B． C．4 D．(2)(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知方程的兩根都大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．1．一元二次不等式1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．【舉一反三】1．(2020·農(nóng)安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末)已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是()A． B．11 C． D．12．(2020·上海高一開(kāi)學(xué)考試)一元二次不等式的解集是，則的值是()A．10 B．-10 C．14 D．-143．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))關(guān)于的不等式的解集為，則_____________.4．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))已知關(guān)于的不等式的解集是，則_____. 考點(diǎn)四一元二次的恒成立【例4】(1)(2020·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一期末(理))已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．(2)(2020·安徽金安。六安一中高一期中(理))若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．一、求不等式恒成立問(wèn)題中參數(shù)范圍的常見(jiàn)方法：一、求不等式恒成立問(wèn)題中參數(shù)范圍的常見(jiàn)方法：1.利用一元二次方程根的判別式解一元二次不等式在R上的恒成立問(wèn)題，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f(x)＞0恒成立a＞0且Δ＜0；f(x)≥0恒成立a＞0且Δ≤0；f(x)＜0恒成立a＜0且Δ＜0；f(x)≤0恒成立a＜0且Δ≤0．注：當(dāng)未說(shuō)明不等式是否為一元二次不等式時(shí)，先討論a＝0的情況．2,。將參數(shù)分離出來(lái)，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題（轉(zhuǎn)化為f(x)＞a或f(x)≥a或f(x)＜a或f(x)≤a恒成立的問(wèn)題）即：存在成立若f(x)在定義域內(nèi)存在最大值m，則f(x)＜a恒成立a＞m；若f(x)在定義域內(nèi)存在最大值m，則f(x)≤a恒成立a≥m；若f(x)在定義域內(nèi)存在最小值m，則f(x)＞a恒成立a＜m；若f(x)在定義域內(nèi)存在最小值m，則f(x)≥a恒成立a≤m．（2）恒成立在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時(shí)要注意是求最最小【舉一反三】1．(2020·安徽省六安中學(xué)高二期末(文))若命題“存在，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____2．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))不等式x2＋ax＋4＜0的解集不為空集，則a的取值范圍是()A．［－4，4］B．(－4，4)C．(－∞，－4］∪［4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)3．(2019·山東濟(jì)寧.高一月考)(1)若不等式的解集是，求不等式的解集；(2)若不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立，求的范圍．考點(diǎn)五實(shí)際運(yùn)用題【例5】(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))某企業(yè)生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本(即固定投入)為0.5萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1百臺(tái)時(shí)又需可變成本(即需另增加投入)0.25萬(wàn)元，市場(chǎng)對(duì)此商品的需求量為5百臺(tái)，銷(xiāo)售收入(單位：萬(wàn)元)的函數(shù)為，其中x是產(chǎn)品生產(chǎn)并售出的數(shù)量(單位：百臺(tái))．(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)．(2)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)所得利潤(rùn)最大？(3)年產(chǎn)量為多少時(shí)，企業(yè)才不虧本(不賠錢(qián))？【舉一反三】1．(2020·全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí))國(guó)家原計(jì)劃以2400元/t的價(jià)格收購(gòu)某種農(nóng)產(chǎn)品按規(guī)定,農(nóng)戶(hù)向國(guó)家納稅為:每收入100元的稅為8元(稱(chēng)作稅率為8個(gè)百分點(diǎn),即8%).為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān),制定積極的收購(gòu)政策,根據(jù)市場(chǎng)規(guī)律稅率降低x個(gè)百分點(diǎn),收購(gòu)量能增