山西省太原市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略-幾何分冊(cè)第16章-調(diào)和四邊形

第16章調(diào)和四邊形我們稱(chēng)對(duì)邊乘積相等的圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形．本章我們介紹調(diào)和四邊形的一些有趣性質(zhì)及應(yīng)用的例子．沈文選．論調(diào)和四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用[J]．中學(xué)教研〔數(shù)學(xué)〕，2023(10)：35沈文選．論調(diào)和四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用[J]．中學(xué)教研〔數(shù)學(xué)〕，2023(10)：35—39．沈文選．再談?wù){(diào)和四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用[J]．中學(xué)教研〔數(shù)學(xué)〕，2023(12)：31—34．性質(zhì)1圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是對(duì)頂點(diǎn)處的兩條切線與另一對(duì)頂點(diǎn)的對(duì)角線所在直線三線平行或三線共點(diǎn)．證明當(dāng)圓內(nèi)接四邊形為箏形時(shí)，如圖16-1(1)，，時(shí)，對(duì)角線必過(guò)圓心，此時(shí)，過(guò)、的兩條切線，對(duì)角線均與垂直，因而它們相互平行．當(dāng)圓內(nèi)接四邊形不為箏形時(shí)，如圖16-1(2)，設(shè)點(diǎn)是對(duì)頂點(diǎn)，處兩條切線的交點(diǎn)．充分性，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，那么由，，，有，故．必要性．當(dāng)時(shí)，由正弦定理，有．聯(lián)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，那么．此時(shí)，．對(duì)應(yīng)用塞瓦定理的逆定理，知，，三線共點(diǎn)．故過(guò)、處的兩切線，直線共點(diǎn)于．注：此性質(zhì)提供了作調(diào)和四邊形的方法：先作一個(gè)圓內(nèi)接三角形如，或，再得到交點(diǎn)，最后作切線或割線確定點(diǎn)或點(diǎn)．性質(zhì)2圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是過(guò)一頂點(diǎn)且與四邊形的對(duì)角線平行的直線交圓于一點(diǎn)，這交點(diǎn)、對(duì)角線的中點(diǎn)、該頂點(diǎn)的對(duì)頂點(diǎn)三點(diǎn)共線．證明如圖16-2，設(shè)為圓內(nèi)接四邊形，過(guò)作交圓于，為的中點(diǎn)．由知四邊形為等腰梯形，此時(shí)，，．注意到與互補(bǔ)，那么直線過(guò)的中點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．注：此性質(zhì)也提供了作調(diào)和四邊形的方法：先作一個(gè)圓內(nèi)接三角形，如，過(guò)作交圓于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、的中點(diǎn)的直線交圓于點(diǎn)，那么四邊形即為調(diào)和四邊形．性質(zhì)3圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是相對(duì)的角的平分線的交點(diǎn)在另一對(duì)頂點(diǎn)的對(duì)角線上．證明如圖16-3，設(shè)為圓內(nèi)接四邊形．充分性．設(shè)的平分線與的平分線的交點(diǎn)在對(duì)角線上，那么由角平分線的性質(zhì)知，，，以而，故．必要性．由，有．設(shè)的平分線交于，的平分線交于，那么，．于是，即有，從而，即與重合．這說(shuō)明的平分線與的平分線的交點(diǎn)在對(duì)角線上．性質(zhì)4圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是兩條對(duì)角線的中點(diǎn)是四邊形的等角共軛點(diǎn)．證明如圖16-4，設(shè)，分別為圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，的中點(diǎn)．充分性．假設(shè)，是四邊形的等角共軛點(diǎn)．即有，①．②由①，并注意到，那么知，即，亦即，從而．③由②，有，再注意到，那么知，即有，從而．④由③，④，即有．必要性．假設(shè)．注意到托勒密定理，有，那么，即有．又，于是，即有．同理，，，．故點(diǎn)，為四邊形的等角共軛點(diǎn)．性質(zhì)5圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是以每邊為弦且與相鄰的一邊相切于弦的端點(diǎn)的圓交過(guò)切點(diǎn)的一條對(duì)角線于中點(diǎn)．證明如圖16-5，設(shè)，分別是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，的中點(diǎn)．充分性．記過(guò)點(diǎn)與切于點(diǎn)的圓為，記過(guò)點(diǎn)與切于點(diǎn)的圓為，依次得，；記與切于點(diǎn)的圓為，過(guò)與切于點(diǎn)的圓記為，依次得，．當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，由弦切角定理，知，即．當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，由弦切角定理，知，即．同理，，．從而，點(diǎn)，為四邊形的等角共軛點(diǎn)．又，分別為，的中點(diǎn)，由性質(zhì)4知為調(diào)和四邊形．必要性．當(dāng)為調(diào)和四邊形時(shí)，由性質(zhì)4證明中，有．有，由弦切角定理的逆定理知，點(diǎn)在圓上．同理，點(diǎn)在圓，，上；點(diǎn)在圓，，，上．推論1在調(diào)和四邊形中，性質(zhì)5中的圓，，，共點(diǎn)于的中點(diǎn)，圓，，，共點(diǎn)于的中點(diǎn)．推論2在調(diào)和四邊形中，性質(zhì)5中的圓，，，共點(diǎn)于點(diǎn)，圓，，，共點(diǎn)于點(diǎn)．因而，，也是四邊形的等角共軛點(diǎn)．事實(shí)上，設(shè)圓與交于點(diǎn)，因，為等角共軛點(diǎn)，那么，即知，，，四點(diǎn)共圓，即圓過(guò)點(diǎn)．同理，圓也過(guò)點(diǎn)．放圓，，，共點(diǎn)于．同理，圓，，，共點(diǎn)于．性質(zhì)6圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是某一頂點(diǎn)(不妨設(shè)為點(diǎn))位于劣弧上，又在優(yōu)弧上取兩點(diǎn)，，使得，分別為弧，的中點(diǎn)，過(guò)作交圓于點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、的內(nèi)心、點(diǎn)的對(duì)頂點(diǎn)三點(diǎn)共線．證明如圖16-6，由題設(shè)知，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線．因?yàn)榈膬?nèi)心，由內(nèi)心的性質(zhì)并注意，有，，從而為平行四邊形．即過(guò)的中點(diǎn)．故由性質(zhì)2，有，，三點(diǎn)共線過(guò)的中點(diǎn)、、三點(diǎn)共線．性質(zhì)7圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充要條件是某一頂點(diǎn)〔不妨設(shè)為點(diǎn)〕位于劣弧上，又在優(yōu)弧上取兩點(diǎn)，，使得，分別為弧，的中點(diǎn)，在劣弧上任取點(diǎn)，記，分別為，的內(nèi)心，此時(shí)，，，四點(diǎn)共圓．證明如圖16-7，由題設(shè)知，，，及，，分別三點(diǎn)共線，聯(lián)結(jié)，，那么，．注意到內(nèi)心的性質(zhì)，有，．于是，，，，四點(diǎn)共圓．推論3題設(shè)同性質(zhì)7，設(shè)為的內(nèi)心，那么．事實(shí)上，如圖16-7，注意內(nèi)心所張的角與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)角的關(guān)系，知，即知，，，四點(diǎn)共圓．從而同理，，從而．于是，．所以，．故．推論4題設(shè)同性質(zhì)7，又設(shè)為的中點(diǎn)，那么．事實(shí)上，如圖16-7，注意到，，共線及內(nèi)心的性質(zhì)，有，，從而．由推論1知，即有．注意到公用，那么，從而．同理，．又，那么，即．故．性質(zhì)8圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充分必要條件是該四邊形四頂點(diǎn)與不在其圓上一點(diǎn)的連線交圓于四點(diǎn)為一正方形四頂點(diǎn)．證明如圖16-8，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)不在圓周上，直線，，，分別交于、、、．由割線或相交弦定理，有，即知，亦即有．令點(diǎn)對(duì)的冪為，那么〔或〕．同理，．從而．同理，．于是．充分性．當(dāng)、、、為正方形四頂點(diǎn)時(shí)，顯然有．必要性．當(dāng)時(shí)，由，可視點(diǎn)、、、的反演點(diǎn)為、、、．由反演變換的性質(zhì)，可知、、、在的條件下為一正方形四頂點(diǎn)．注：由性質(zhì)8也給出了作調(diào)和四邊形的又一種方法．在《近代歐氏幾何》中有如下定義：如果一個(gè)四邊形的頂點(diǎn)是一個(gè)正方形頂點(diǎn)的反形，那它稱(chēng)為調(diào)和四邊形．性質(zhì)9圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充分必要條件是其一頂點(diǎn)對(duì)其余三頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的西姆松線段被截成相等的兩段．證明如圖16-9，設(shè)為圓內(nèi)接四邊形，不失一般性，設(shè)點(diǎn)在的三邊，，上的射影分別為，，，那么為西姆松線段．此時(shí)，，，及，，，分別四點(diǎn)共圓，且，分別為其直徑．設(shè)的半徑為，那么由正弦定理，有，．于是，四邊形為調(diào)和四邊形．性質(zhì)10圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充分必要條件是一條對(duì)角線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)〔或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)〕，兩對(duì)角線的交點(diǎn)調(diào)和分割另一條對(duì)角線．證明當(dāng)圓內(nèi)接四邊形為箏形時(shí)，易證得結(jié)論，這留給讀者自證．下證非箏形時(shí)情形．設(shè)圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，在，處的兩條切線相交于點(diǎn)，那么由，，有，．從而①充分性．如圖16-10，當(dāng)，調(diào)和分割時(shí)，即有．②此時(shí)，，，共線，且由，有．從而．③由①，②，③，得，即，亦即四邊形為調(diào)和四邊形．必要性．如圖16-10，當(dāng)為調(diào)和四邊形時(shí)，由性質(zhì)4，知，，，共線，且有③式成立．由，有．再注意到①式與③式那么有，即，亦即知點(diǎn)，調(diào)和分割．注：必要性也可這樣證：由，有，從而．又注意到性質(zhì)11有．于是，有，故、調(diào)和分割．性質(zhì)11圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形的充分必要條件是兩鄰邊之比等于此兩鄰邊所夾對(duì)角線分另一條對(duì)角線為兩段對(duì)應(yīng)之比開(kāi)平方．證明如圖16-11，設(shè)圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線與交于點(diǎn)．當(dāng)圓內(nèi)接四邊形為箏形時(shí)，易證得結(jié)論，這也留給讀者自證．下證非箏形時(shí)情形．充分性，不失一般性，設(shè)有成立時(shí)，那么，即有，故，所以為調(diào)和四邊形．必要性．當(dāng)為調(diào)和四邊形時(shí)，那么由性質(zhì)4，知點(diǎn)、處的切線與直線共點(diǎn)于，如圖16-11．于是，注意到面積關(guān)系與正弦定理，有．此時(shí)，亦有．故．由． 〔*〕注意到性質(zhì)10，當(dāng)為調(diào)和四邊形時(shí)，，調(diào)和分割，即有．將其代入(*)式，故．注(1)必要性也可這樣證，由，有．(2)由性質(zhì)2，知在調(diào)和四邊形中，對(duì)角線的中點(diǎn)是其等角共軛點(diǎn)，在圖16-4中，設(shè)為的中點(diǎn)，那么，即知為的等角共軛線，亦即為的共軛中線〔即中線以該角角平分線為對(duì)稱(chēng)軸翻折后的直線〕．三角形的三條共軛中線的交點(diǎn)稱(chēng)為共軛重心，顯然過(guò)的共軛重心，因此，對(duì)于過(guò)三角形共軛重心的線段，有．性質(zhì)12在調(diào)和四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，記、、分別為四邊形，，的外接圓圓心，那么直線平分線段．證法1如圖16-12，聯(lián)合，，，．設(shè)為的中點(diǎn)，那么由調(diào)和四邊形的性質(zhì)4，知，即有．設(shè)直線交于點(diǎn)，此時(shí)，，，注意到一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)垂直時(shí)，那么這兩個(gè)角相等或相補(bǔ)，即知，．于是，由正弦定理有，．從而．故．證法2如圖16-12，設(shè)為的中點(diǎn)，那么由性質(zhì)4，知，亦即．又，即有．從而．①作，的外接圓，過(guò)點(diǎn)作的切線分別交，于點(diǎn)，．聯(lián)結(jié)所在，那么由，有．②由①、②有，亦即．同理，．而．于是，知．作于，作于，由垂徑定理，知，分別為，的中點(diǎn)．在直角梯形中，即為其中位線所在直線，故它一定平分．下面給出上述性質(zhì)應(yīng)用的一些例子．例1〔2003年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)訓(xùn)練題〕點(diǎn)為的外接圓上劣弧內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，分別為、的內(nèi)心．求證：(1)的外接圓過(guò)定點(diǎn)；(2)以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)；(3)的中點(diǎn)在定圓上．事實(shí)上，參見(jiàn)圖16-7對(duì)于(1)，視圖16-7中的為，由性質(zhì)7知，的外接圓過(guò)定點(diǎn)即圖16-7中的點(diǎn)；對(duì)于(2)，由性質(zhì)7后的推論3，知以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)；對(duì)于(3)，由性質(zhì)7后的推論4，知的中點(diǎn)在圖16-7中的以為直徑的定圓上．例2〔2023年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題〕，分別是銳角的外接圓的劣弧，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是劣弧上的一點(diǎn)．設(shè)，的內(nèi)心分別為，．假設(shè)的外接圓與圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，的內(nèi)心為．證明：，，三點(diǎn)共線．事實(shí)上，參見(jiàn)圖17-7與利用性質(zhì)7與性質(zhì)6，即證得結(jié)論．例3〔IMO45預(yù)選題〕直線上的三個(gè)定點(diǎn)依次為，，，為過(guò)，且圓心不在上的圓，分別過(guò)，兩點(diǎn)且圓相切的直線交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)．證明：的平分線與的交點(diǎn)不依賴(lài)于圓的選?。C法1如圖16-13，點(diǎn)可在劣弧上，也可在優(yōu)弧上．由性質(zhì)3知，不管在何處，為調(diào)和四邊形的相對(duì)的角，其角平分線與的交點(diǎn)是同一點(diǎn)．為方便，設(shè)點(diǎn)在劣弧上．設(shè)直線交圓于另一點(diǎn)，那么為優(yōu)弧的中點(diǎn)．由于，均為等腰三角形，那么由面積比有，．在中，視為塞瓦點(diǎn)，由角元形式的塞瓦定理，有．注意到，．那么，即．亦即．故不依賴(lài)于圓的選?。C法2如圖16-13，點(diǎn)可在劣弧上，也可在優(yōu)弧上．不失一般性，設(shè)點(diǎn)在劣弧上，直線與圓的另一交點(diǎn)為，由調(diào)和四邊形的性質(zhì)1，知為調(diào)和四邊形．設(shè)的平分線交于，那么由角平分線的性質(zhì)，知．又由性質(zhì)11，在調(diào)和四邊形中，有．從而．故知不依賴(lài)于圓的選?。?〔2003年IMO44試題〕設(shè)是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，點(diǎn)，和分別是到直線，和的射影．證明：的充要條件是和的角平分線的交點(diǎn)在線段上．證明如圖16-14，由性質(zhì)9，知的充要條件是為調(diào)和四邊形．又由調(diào)和四邊形的性質(zhì)3，知和的角平分線的交點(diǎn)在線段上的充要條件是為調(diào)和四邊形．故的充要條件是和的角平分的交點(diǎn)在線段上．例5設(shè)的內(nèi)切圓分別切、、于點(diǎn)，，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，且，分別交圓于點(diǎn)，．證明：，，三線共點(diǎn)．證明如圖16-15，聯(lián)結(jié)有關(guān)點(diǎn)得圓內(nèi)接六邊形，由塞瓦定理的推論〔即對(duì)角元形式的塞瓦定理應(yīng)用正弦定理推得〕有，，三線共點(diǎn)．由性質(zhì)1，在四邊形，四邊形中，分別有，．從而．故結(jié)論獲證．例6〔2007年湖南省數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題〕設(shè)的內(nèi)切圓分別切、、于，，，與圓交于，，分別交圓于，，證明：的充要條件是點(diǎn)為的中點(diǎn)．證明如圖16-16，聯(lián)結(jié)，，由性質(zhì)1，知在四邊形中，有．又，當(dāng)時(shí)，有，那么，即有，故．同理，．充分性獲證．反之，由，有，又，那么，即有．注意到性質(zhì)1，有．從而．必要性獲證．例7〔2003年全國(guó)高中聯(lián)賽加試題〕內(nèi)有一內(nèi)切圓與邊切于，兩點(diǎn)，是任一割線交圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．證明：．證明如圖16-17，由弦切角定理，有，，又，那么．(*)聯(lián)結(jié)，那么，，即知，從而．由性質(zhì)1，知四邊形中，有．于是．再注意到(*)式，那么．故．例8〔2023年全國(guó)高中聯(lián)賽加試題〕如圖16-18，，分別為銳角〔〕的外接圓上弧、的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交圓于點(diǎn)，為的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交圓于．〔Ⅰ〕求證：；(Ⅱ)在弧〔不含點(diǎn)〕上任取一點(diǎn)(，，)．記、的內(nèi)心分別為、．求證：，，，四點(diǎn)共圓．證明〔Ⅰ〕證法1因，，三點(diǎn)共線，由性質(zhì)6，知為調(diào)和四邊形，即有．又由知為等腰梯形，有，，故有．證法2分別過(guò)，作圓的切線相交于，下證點(diǎn)在直線上，如圖16-18．事實(shí)上，可知，，；，，分別三點(diǎn)共線，又由內(nèi)心性質(zhì)，知，，從而．又，那么，即．于是，，從而知點(diǎn)為的外心，即有，亦即在的中垂線上，故，，三點(diǎn)共線．注意到性質(zhì)1，即知為調(diào)和四邊形，下同證法1．(Ⅱ)由性質(zhì)7即證得結(jié)論成立．例9〔2023年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)選拔賽題〕在銳角中，，是邊的中點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，使得．設(shè)，，的外心分別為，，．證明：直線平分線段．證明如圖16-19，由是的中點(diǎn)，(時(shí))，知為的共軛中線．設(shè)直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，那么由性質(zhì)11后中的注，知．于是，有，即有，亦即．上式說(shuō)明，圓內(nèi)接四邊形為調(diào)和四邊形．由性質(zhì)12，即知直線平分線段．注：由性質(zhì)12，知例9中的條件“是內(nèi)一點(diǎn)〞，可改為“是的外接圓內(nèi)一點(diǎn)〞，即圖16-19中的線段上的點(diǎn)〔異于端點(diǎn)〕均可．例10〔2023年蒙古國(guó)家隊(duì)選拔考試題〕梯形內(nèi)接于圓，兩底，滿足，過(guò)點(diǎn)的切線與交于點(diǎn)，過(guò)的切線切圓于異于的另一點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，過(guò)作的平行線，分別與，交于點(diǎn)，．證明：為的中點(diǎn)．證明如圖16-20，聯(lián)結(jié)，，，那么由性質(zhì)1知為調(diào)和四邊形．聯(lián)結(jié)，取的中點(diǎn)，那么由性質(zhì)4知．又，那么．由，有，即知，，，四點(diǎn)共圓．因此，，于是．故為的中點(diǎn)．注：題設(shè)中的梯形可改為圓內(nèi)接四邊形，上述證明未用到這個(gè)條件．例11〔2005年國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)測(cè)試題〕設(shè)銳角的外接圓為，過(guò)點(diǎn)、作的兩條切線，相交于點(diǎn)．聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，使得，．(1)求證：，，，四點(diǎn)共圓；(2)假設(shè)記過(guò)，，，的圓的圓心為，類(lèi)似地定義，，那么直線，，共點(diǎn)．證明(1)如圖16-21，欲證，，，四點(diǎn)共圓，只需證有．①由于，．于是，欲證①式，只需證．②設(shè)交圓于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，，那么由調(diào)和四邊形性質(zhì)1，知為調(diào)和四邊形．由性質(zhì)11，知在調(diào)和四邊形中，有②式，故，，，四點(diǎn)共圓．(2)由題設(shè)并注意到性質(zhì)11后中的注，，，均與共軛中線有關(guān)，設(shè)為的共軛重心，如圖16-22〔直線交于，直線交于，直線交于，那么，，〕．過(guò)分別作，，，交點(diǎn)如圖16-22所示．下面，我們證明，，，，，六點(diǎn)共圓．由與位似，有．從而，由(1)知，，，四點(diǎn)共圓．同理，，，，及，，，分別四點(diǎn)共圓．于是，，即知，，，，五點(diǎn)共圓．由對(duì)稱(chēng)性，知點(diǎn)也在此圓上．即證得六點(diǎn)共圓．設(shè)此六點(diǎn)圓的圓心為，由于與的位似中心是，故直線過(guò)點(diǎn)．同理，直線，也過(guò)點(diǎn)．證畢．練習(xí)十六1．在調(diào)和四邊形中，的平分線交于，為的中心．設(shè)四邊形的外接圓圓心為，那么，．2．在調(diào)和四邊形中，，分別為對(duì)角線，的中點(diǎn)，那么，，且．3．(2001年第50屆保加利亞奧林匹克題)非等腰的內(nèi)切圓圓心為，其與，和分別相切于點(diǎn)，和．，交圓于，．的和的平分線分別交和于點(diǎn)，，證明：(1)是的平分線；(2)如果和是和的兩外接圓交點(diǎn)，那么點(diǎn)在直線上．4．〔2005年福建省競(jìng)賽題〕在直角三角形中，，它的內(nèi)切圓分別與邊，，相切于點(diǎn)，，．聯(lián)結(jié)，與內(nèi)切圓相交于另一點(diǎn)．聯(lián)結(jié)，，，．．求證：(1)；(2)．5．〔2023年蒙古國(guó)家隊(duì)選拔考試題〕梯形內(nèi)接于圓，兩底，滿足，過(guò)點(diǎn)的切線與交于點(diǎn)，過(guò)的切線切圓于異于的另一點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，過(guò)作的平行線，分別與，交于點(diǎn)，．證明：為的中點(diǎn)．6．〔2006年羅馬尼亞國(guó)家隊(duì)集訓(xùn)測(cè)試題〕在凸四邊形中，記為與的交點(diǎn)，如果為的陪位中線，為的陪位中線．證明：為的陪位中線．7．〔2023年中國(guó)國(guó)家隊(duì)集訓(xùn)測(cè)試題〕設(shè)是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，是銳角，且．過(guò)，兩點(diǎn)的圓與直線相切，是圓在四邊