大學(xué)物理試題庫(kù)與答案詳解考試必備-分章節(jié)題庫(kù)

./第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1-1質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),在時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的位矢為r,速度為v,速率為v,t至<t＋Δt>時(shí)間內(nèi)的位移為Δr,路程為Δs,位矢大小的變化量為Δr<或稱Δ｜r｜>,平均速度為,平均速率為．<1>根據(jù)上述情況,則必有<><A>｜Δr｜=Δs=Δr<B>｜Δr｜≠Δs≠Δr,當(dāng)Δt→0時(shí)有｜dr｜=ds≠dr<C>｜Δr｜≠Δr≠Δs,當(dāng)Δt→0時(shí)有｜dr｜=dr≠ds<D>｜Δr｜≠Δs≠Δr,當(dāng)Δt→0時(shí)有｜dr｜=dr=ds<2>根據(jù)上述情況,則必有<><A>｜｜=,｜｜=<B>｜｜≠,｜｜≠<C>｜｜=,｜｜≠<D>｜｜≠,｜｜=分析與解<1>質(zhì)點(diǎn)在t至<t＋Δt>時(shí)間內(nèi)沿曲線從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示,其中路程Δs＝PP′,位移大?。｜＝PP′,而Δr＝｜r｜-｜r｜表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個(gè)量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等<注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能>．但當(dāng)Δt→0時(shí),點(diǎn)P′無(wú)限趨近P點(diǎn),則有｜dr｜＝ds,但卻不等于dr．故選<B>．<2>由于｜Δr｜≠Δs,故,即｜｜≠．但由于｜dr｜＝ds,故,即｜｜＝．由此可見,應(yīng)選<C>．1-2一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢r<x,y>的端點(diǎn)處,對(duì)其速度的大小有四種意見,即<1>；<2>；<3>；<4>．下述判斷正確的是<><A>只有<1><2>正確<B>只有<2>正確<C>只有<2><3>正確<D>只有<3><4>正確分析與解表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率,在極坐標(biāo)系中叫徑向速率．通常用符號(hào)vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量；表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中則可由公式求解．故選<D>．1-3質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng),r表示位置矢量,v表示速度,a表示加速度,s表示路程,aｔ表示切向加速度．對(duì)下列表達(dá)式,即<1>dv/dt＝a；<2>dr/dt＝v；<3>ds/dt＝v；<4>dv/dt｜＝aｔ．下述判斷正確的是<><A>只有<1>、<4>是對(duì)的<B>只有<2>、<4>是對(duì)的<C>只有<2>是對(duì)的<D>只有<3>是對(duì)的分析與解表示切向加速度aｔ,它表示速度大小隨時(shí)間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個(gè)分量,起改變速度大小的作用；在極坐標(biāo)系中表示徑向速率vr<如題1-2所述>；在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有<3>式表達(dá)是正確的．故選<D>．1-4一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),則有<><A>切向加速度一定改變,法向加速度也改變<B>切向加速度可能不變,法向加速度一定改變<C>切向加速度可能不變,法向加速度不變<D>切向加速度一定改變,法向加速度不變分析與解加速度的切向分量aｔ起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用．質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的．至于aｔ是否改變,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定．質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),aｔ恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),aｔ為一不為零的恒量,當(dāng)aｔ改變時(shí),質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng)．由此可見,應(yīng)選<B>．*1-5如圖所示,湖中有一小船,有人用繩繞過岸上一定高度處的定滑輪拉湖中的船向岸邊運(yùn)動(dòng)．設(shè)該人以勻速率v0收繩,繩不伸長(zhǎng)且湖水靜止,小船的速率為v,則小船作<><A>勻加速運(yùn)動(dòng),<B>勻減速運(yùn)動(dòng),<C>變加速運(yùn)動(dòng),<D>變減速運(yùn)動(dòng),<E>勻速直線運(yùn)動(dòng),分析與解本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達(dá)式,進(jìn)而判斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì)．為此建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)定滑輪距水面高度為h,t時(shí)刻定滑輪距小船的繩長(zhǎng)為l,則小船的運(yùn)動(dòng)方程為,其中繩長(zhǎng)l隨時(shí)間t而變化．小船速度,式中表示繩長(zhǎng)l隨時(shí)間的變化率,其大小即為v0,代入整理后為,方向沿x軸負(fù)向．由速度表達(dá)式,可判斷小船作變加速運(yùn)動(dòng)．故選<C>．討論有人會(huì)將繩子速率v0按x、y兩個(gè)方向分解,則小船速度,這樣做對(duì)嗎？1-6已知質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為,式中x的單位為m,t的單位為s．求：<1>質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)開始后4.0s內(nèi)的位移的大小；<2>質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)間內(nèi)所通過的路程；<3>t＝4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度．分析位移和路程是兩個(gè)完全不同的概念．只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不改變時(shí),位移的大小才會(huì)與路程相等．質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)的位移Δx的大小可直接由運(yùn)動(dòng)方程得到：,而在求路程時(shí),就必須注意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中可能改變運(yùn)動(dòng)方向,此時(shí),位移的大小和路程就不同了．為此,需根據(jù)來(lái)確定其運(yùn)動(dòng)方向改變的時(shí)刻tp,求出0～tp和tp～t內(nèi)的位移大小Δx1、Δx2,則t時(shí)間內(nèi)的路程,如圖所示,至于t＝4.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度可用和兩式計(jì)算．解<1>質(zhì)點(diǎn)在4.0s內(nèi)位移的大小<2>由得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為<t＝0不合題意>則所以,質(zhì)點(diǎn)在4.0s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為<3>t＝4.0s時(shí)1-7一質(zhì)點(diǎn)沿x軸方向作直線運(yùn)動(dòng),其速度與時(shí)間的關(guān)系如圖<a>所示．設(shè)t＝0時(shí),x＝0．試根據(jù)已知的v-t圖,畫出a-t圖以及x-t圖．分析根據(jù)加速度的定義可知,在直線運(yùn)動(dòng)中v-t曲線的斜率為加速度的大小<圖中AB、CD段斜率為定值,即勻變速直線運(yùn)動(dòng)；而線段BC的斜率為0,加速度為零,即勻速直線運(yùn)動(dòng)>．加速度為恒量,在a-t圖上是平行于t軸的直線,由v-t圖中求出各段的斜率,即可作出a-t圖線．又由速度的定義可知,x-t曲線的斜率為速度的大小．因此,勻速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x-t圖應(yīng)是一直線,而勻變速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x–t圖為t的二次曲線．根據(jù)各段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程x＝x<t>,求出不同時(shí)刻t的位置x,采用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法,可作出x-t圖．解將曲線分為AB、BC、CD三個(gè)過程,它們對(duì)應(yīng)的加速度值分別為<勻加速直線運(yùn)動(dòng)><勻速直線運(yùn)動(dòng)><勻減速直線運(yùn)動(dòng)>根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的a-t圖［圖<B>］．在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中,有由此,可計(jì)算在0～2ｓ和4～6ｓ時(shí)間間隔內(nèi)各時(shí)刻的位置分別為用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作0～2ｓ和4～6ｓ時(shí)間內(nèi)的x-t圖．在2～4ｓ時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)是作的勻速直線運(yùn)動(dòng),其x-t圖是斜率k＝20的一段直線［圖<c>］．1-8已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為,式中r的單位為m,t的單位為ｓ．求：<1>質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；<2>t＝0及t＝2ｓ時(shí),質(zhì)點(diǎn)的位矢；<3>由t＝0到t＝2ｓ內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移Δr和徑向增量Δr；*<4>2ｓ內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所走過的路程s．分析質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為y＝f<x>,可由運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)分量式x<t>和y<t>中消去t即可得到．對(duì)于r、Δr、Δr、Δs來(lái)說,物理含義不同,可根據(jù)其定義計(jì)算．其中對(duì)s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微元ds,則,最后用積分求ｓ．解<1>由x<t>和y<t>中消去t后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為這是一個(gè)拋物線方程,軌跡如圖<a>所示．<2>將t＝0ｓ和t＝2ｓ分別代入運(yùn)動(dòng)方程,可得相應(yīng)位矢分別為,圖<a>中的P、Q兩點(diǎn),即為t＝0ｓ和t＝2ｓ時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置．<3>由位移表達(dá)式,得其中位移大小而徑向增量*<4>如圖<B>所示,所求Δs即為圖中PQ段長(zhǎng)度,先在其間任意處取AB微元ds,則,由軌道方程可得,代入ds,則2ｓ內(nèi)路程為1-9質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為式中x,y的單位為m,t的單位為ｓ．試求：<1>初速度的大小和方向；<2>加速度的大小和方向．分析由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向．解<1>速度的分量式為當(dāng)t＝0時(shí),vox＝-10m·ｓ-1,voy＝15m·ｓ-1,則初速度大小為設(shè)vo與x軸的夾角為α,則α＝123°41′<2>加速度的分量式為,則加速度的大小為設(shè)a與x軸的夾角為β,則β＝-33°41′<或326°19′>1-10一升降機(jī)以加速度1.22m·ｓ-2上升,當(dāng)上升速度為2.44m·ｓ-1時(shí),有一螺絲自升降機(jī)的天花板上松脫,天花板與升降機(jī)的底面相距2.74m．計(jì)算：<1>螺絲從天花板落到底面所需要的時(shí)間；<2>螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子的下降距離．分析在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng),列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1＝y(tǒng)1<t>和y2＝y(tǒng)2<t>,并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問題即可解；另一種方法是取升降機(jī)<或螺絲>為參考系,這時(shí),螺絲<或升降機(jī)>相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度．升降機(jī)廂的高度就是螺絲<或升降機(jī)>運(yùn)動(dòng)的路程．解1<1>以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1＝y(tǒng)2,即<2>螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為解2<1>以升降機(jī)為參考系,此時(shí),螺絲相對(duì)它的加速度大小a′＝g＋a,螺絲落至底面時(shí),有<2>由于升降機(jī)在t時(shí)間內(nèi)上升的高度為則1-11一質(zhì)點(diǎn)P沿半徑R＝3.0m的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)一周所需時(shí)間為20.0ｓ,設(shè)t＝0時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于O點(diǎn)．按<a>圖中所示Oxy坐標(biāo)系,求<1>質(zhì)點(diǎn)P在任意時(shí)刻的位矢；<2>5ｓ時(shí)的速度和加速度．分析該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題,即已知運(yùn)動(dòng)方程r＝r<t>求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息<如位置矢量、位移、速度、加速度>．在確定運(yùn)動(dòng)方程時(shí),若取以點(diǎn)<0,3>為原點(diǎn)的O′x′y′坐標(biāo)系,并采用參數(shù)方程x′＝x′<t>和y′＝y(tǒng)′<t>來(lái)表示圓周運(yùn)動(dòng)是比較方便的．然后,運(yùn)用坐標(biāo)變換x＝x0＋x′和y＝y(tǒng)0＋y′,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy坐標(biāo)系中,即得Oxy坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P在任意時(shí)刻的位矢．采用對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度．解<1>如圖<B>所示,在O′x′y′坐標(biāo)系中,因,則質(zhì)點(diǎn)P的參數(shù)方程為,坐標(biāo)變換后,在Oxy坐標(biāo)系中有,則質(zhì)點(diǎn)P的位矢方程為<2>5ｓ時(shí)的速度和加速度分別為1-12地面上垂直豎立一高20.0m的旗桿,已知正午時(shí)分太陽(yáng)在旗桿的正上方,求在下午2∶00時(shí),桿頂在地面上的影子的速度的大?。诤螘r(shí)刻桿影伸展至20.0m？分析為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,即影子端點(diǎn)的位矢方程．根據(jù)幾何關(guān)系,影長(zhǎng)可通過太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得．由于運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度．這樣,影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得．解設(shè)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω,從正午時(shí)分開始計(jì)時(shí),則桿的影長(zhǎng)為s＝htgωt,下午2∶00時(shí),桿頂在地面上影子的速度大小為當(dāng)桿長(zhǎng)等于影長(zhǎng)時(shí),即s＝h,則即為下午3∶00時(shí)．1-13質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),加速度a＝4-t2,式中a的單位為m·ｓ-2,t的單位為ｓ．如果當(dāng)t＝3ｓ時(shí),x＝9m,v＝2m·ｓ-1,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程．分析本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必須在給定條件下用積分方法解決．由和可得和．如a＝a<t>或v＝v<t>,則可兩邊直接積分．如果a或v不是時(shí)間t的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分．解由分析知,應(yīng)有得<1>由得<2>將t＝3ｓ時(shí),x＝9m,v＝2m·ｓ-1代入<1><2>得v0＝-1m·ｓ-1,x0＝0.75m．于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為1-14一石子從空中由靜止下落,由于空氣阻力,石子并非作自由落體運(yùn)動(dòng),現(xiàn)測(cè)得其加速度a＝A-Bv,式中A、B為正恒量,求石子下落的速度和運(yùn)動(dòng)方程．分析本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv＝a<v>dt分離變量為后再兩邊積分．解選取石子下落方向?yàn)閥軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．<1>由題意知<1>用分離變量法把式<1>改寫為<2>將式<2>兩邊積分并考慮初始條件,有得石子速度由此可知當(dāng),t→∞時(shí),為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度．<2>再由并考慮初始條件有得石子運(yùn)動(dòng)方程1-15一質(zhì)點(diǎn)具有恒定加速度a＝6i＋4j,式中a的單位為m·ｓ-2．在t＝0時(shí),其速度為零,位置矢量r0＝10mi．求：<1>在任意時(shí)刻的速度和位置矢量；<2>質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面上的軌跡方程,并畫出軌跡的示意圖．分析與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),根據(jù)疊加原理,求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)分量ax和ay分別積分,從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)分量式x<t>和y<t>．由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式,即和,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)．讀者不妨自己驗(yàn)證一下．解由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0＝0時(shí)v0＝0,積分可得又由及初始條件t＝0時(shí),r0＝<10m>i,積分可得由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式,即x＝10＋3t2y＝2t2消去參數(shù)t,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程3y＝2x-20m這是一個(gè)直線方程．直線斜率,α＝33°41′．軌跡如圖所示．1-16一質(zhì)點(diǎn)在半徑為R的圓周上以恒定的速率運(yùn)動(dòng),質(zhì)點(diǎn)由位置A運(yùn)動(dòng)到位置B,OA和OB所對(duì)的圓心角為Δθ．<1>試證位置A和B之間的平均加速度為；<2>當(dāng)Δθ分別等于90°、30°、10°和1°時(shí),平均加速度各為多少？并對(duì)結(jié)果加以討論．分析瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同,它們分別表示為和．在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中,它們的大小分別為,,式中｜Δv｜可由圖<B>中的幾何關(guān)系得到,而Δt可由轉(zhuǎn)過的角度Δθ求出．由計(jì)算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時(shí)加速度是平均加速度在Δt→0時(shí)的極限值．解<1>由圖<b>可看到Δv＝v2-v1,故而所以<2>將Δθ＝90°,30°,10°,1°分別代入上式,得,,以上結(jié)果表明,當(dāng)Δθ→0時(shí),勻速率圓周運(yùn)動(dòng)的平均加速度趨近于一極限值,該值即為法向加速度．1-17質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為r＝2.0ti＋<19.0-2.0t2>j,式中r的單位為m,t的單位為s．求：<1>質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；<2>在t1＝1.0s到t2＝2.0s時(shí)間內(nèi)的平均速度；<3>t1＝1.0ｓ時(shí)的速度及切向和法向加速度；<4>t＝1.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在處軌道的曲率半徑ρ．分析根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程可直接寫出其分量式x＝x<t>和y＝y(tǒng)<t>,從中消去參數(shù)t,即得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程．平均速度是反映質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間內(nèi)位置的變化率,即,它與時(shí)間間隔Δt的大小有關(guān),當(dāng)Δt→0時(shí),平均速度的極限即瞬時(shí)速度．切向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量aｔ和an,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變化,它可由總加速度a和aｔ得到．在求得t1時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加速度的大小后,可由公式求ρ．解<1>由參數(shù)方程x＝2.0t,yt2消去t得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：y＝19.0-0.50x2<2>在t1＝1.00ｓ到t2＝2.0ｓ時(shí)間內(nèi)的平均速度<3>質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度分別為則t1＝1.00ｓ時(shí)的速度v<t>｜t＝1ｓ＝2.0i-4.0j切向和法向加速度分別為<4>t＝1.0ｓ質(zhì)點(diǎn)的速度大小為則1-18飛機(jī)以100m·ｓ-1的速度沿水平直線飛行,在離地面高為100m時(shí),駕駛員要把物品空投到前方某一地面目標(biāo)處,問：<1>此時(shí)目標(biāo)在飛機(jī)正下方位置的前面多遠(yuǎn)？<2>投放物品時(shí),駕駛員看目標(biāo)的視線和水平線成何角度？<3>物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各為多少？分析物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)．忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)．到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的．因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件,即可求解．此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過程中只存在豎直向下的重力加速度．為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角α或β．由圖可知,在特定時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角α,可由此時(shí)刻的兩速度分量vx、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g的切向和法向分量求得．解<1>取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為x＝vt,y＝1/2gt2飛機(jī)水平飛行速度v＝100m·s-1,飛機(jī)離地面的高度y＝100m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離<2>視線和水平線的夾角為<3>在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標(biāo),物品在拋出2s時(shí),重力加速度的切向分量與法向分量分別為1-19如圖<a>所示,一小型迫擊炮架設(shè)在一斜坡的底端O處,已知斜坡傾角為α,炮身與斜坡的夾角為β,炮彈的出口速度為v0,忽略空氣阻力．求：<1>炮彈落地點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離OP；<2>欲使炮彈能垂直擊中坡面．證明α和β必須滿足并與v0無(wú)關(guān)．分析這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng),看似簡(jiǎn)單,但針對(duì)題目所問,如不能靈活運(yùn)用疊加原理,建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將運(yùn)動(dòng)分解的話,求解起來(lái)并不容易．現(xiàn)建立如圖<a>所示坐標(biāo)系,則炮彈在x和y兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng),其初速度分別為v0cosβ和v0sinβ,其加速度分別為gsinα和gcosα．在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí),應(yīng)有y＝0,則x＝OP．如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx＝0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程,即可求解．由于本題中加速度g為恒矢量．故第一問也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算,即,做出炮彈落地時(shí)的矢量圖［如圖<B>所示］,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得<即圖中的r矢量>．<1>解1由分析知,炮彈在圖<a>所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方程為<1><2>令y＝0求得時(shí)間t后再代入式<1>得解2做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖,如圖<b>所示,并利用正弦定理,有從中消去t后也可得到同樣結(jié)果．<2>由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y＝0和vx＝0,則<3>由<2><3>兩式消去t后得由此可知．只要角α和β滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0的大小無(wú)關(guān)．討論如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解,求解本題將會(huì)比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗(yàn)一下．1-20一直立的雨傘,張開后其邊緣圓周的半徑為R,離地面的高度為h,<1>當(dāng)傘繞傘柄以勻角速ω旋轉(zhuǎn)時(shí),求證水滴沿邊緣飛出后落在地面上半徑為的圓周上；<2>讀者能否由此定性構(gòu)想一種草坪上或農(nóng)田灌溉用的旋轉(zhuǎn)式灑水器的方案？分析選定傘邊緣O處的雨滴為研究對(duì)象,當(dāng)傘以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí),雨滴將以速度v沿切線方向飛出,并作平拋運(yùn)動(dòng)．建立如圖<a>所示坐標(biāo)系,列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證．由此可以想像如果讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布還要給予精心的考慮．解<1>如圖<a>所示坐標(biāo)系中,雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為<1><2>由式<1><2>可得由圖<a>所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為<2>常用草坪噴水器采用如圖<b>所示的球面噴頭<θ0＝45°>其上有大量小孔．噴頭旋轉(zhuǎn)時(shí),水滴以初速度v0從各個(gè)小孔中噴出,并作斜上拋運(yùn)動(dòng),通常噴頭表面基本上與草坪處在同一水平面上．則以φ角噴射的水柱射程為為使噴頭周圍的草坪能被均勻噴灑,噴頭上的小孔數(shù)不但很多,而且還不能均勻分布,這是噴頭設(shè)計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問題．1-21一足球運(yùn)動(dòng)員在正對(duì)球門前25.0m處以20.0m·ｓ-1的初速率罰任意球,已知球門高為3.44m．若要在垂直于球門的豎直平面內(nèi)將足球直接踢進(jìn)球門,問他應(yīng)在與地面成什么角度的范圍內(nèi)踢出足球？<足球可視為質(zhì)點(diǎn)>分析被踢出后的足球,在空中作斜拋運(yùn)動(dòng),其軌跡方程可由質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程得到．由于水平距離x已知,球門高度又限定了在y方向的范圍,故只需將x、y值代入即可求出．解取圖示坐標(biāo)系Oxy,由運(yùn)動(dòng)方程,消去t得軌跡方程以x＝25.0m,v＝20.0m·ｓ-1及3.44m≥y≥0代入后,可解得71．11°≥θ1≥69．92°27．92°≥θ2≥18．89°如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對(duì)應(yīng)有兩個(gè)不同的投射傾角<如圖所示>．如果以θ＞71．11°或θ＜18.89°踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制,θ角也并非能取71.11°與18.89°之間的任何值．當(dāng)傾角取值為27.92°＜θ＜69．92°時(shí),踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,這時(shí)球也不能射入球門．因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果．1-22一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周按規(guī)律運(yùn)動(dòng),v0、b都是常量．<1>求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的總加速度；<2>t為何值時(shí)總加速度在數(shù)值上等于b？<3>當(dāng)加速度達(dá)到b時(shí),質(zhì)點(diǎn)已沿圓周運(yùn)行了多少圈？分析在自然坐標(biāo)中,s表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)．由給定的運(yùn)動(dòng)方程s＝s<t>,對(duì)時(shí)間t求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量為an＝v2/R．這樣,總加速度為a＝aｔeｔ＋anen．至于質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量Δs＝st-s0．因圓周長(zhǎng)為2πR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得．解<1>質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為,故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為<2>要使｜a｜＝b,由可得<3>從t＝0開始到t＝v0/b時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為1-23一半徑為0.50m的飛輪在啟動(dòng)時(shí)的短時(shí)間內(nèi),其角速度與時(shí)間的平方成正比．在t＝2.0ｓ時(shí)測(cè)得輪緣一點(diǎn)的速度值為4.0m·ｓ-1．求：<1>該輪在t′＝0.5ｓ的角速度,輪緣一點(diǎn)的切向加速度和總加速度；<2>該點(diǎn)在2.0ｓ內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度．分析首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系ω＝kt2．依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k,ω＝ω<t>確定后,注意到運(yùn)動(dòng)的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問題求解的方法<微分法和積分法>,即可得到特定時(shí)刻的角加速度、切向加速度和角位移．解因ωR＝v,由題意ω∝t2得比例系數(shù)所以則t′＝0.5ｓ時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別為總加速度在2.0ｓ內(nèi)該點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的角度1-24一質(zhì)點(diǎn)在半徑為0.10m的圓周上運(yùn)動(dòng),其角位置為,式中θ的單位為rad,t的單位為ｓ．<1>求在t＝2.0ｓ時(shí)質(zhì)點(diǎn)的法向加速度和切向加速度．<2>當(dāng)切向加速度的大小恰等于總加速度大小的一半時(shí),θ值為多少？<3>t為多少時(shí),法向加速度和切向加速度的值相等？分析掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法即可得到．解<1>由于,則角速度．在t＝2ｓ時(shí),法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為<2>當(dāng)時(shí),有,即得此時(shí)刻的角位置為<3>要使,則有t＝0.55ｓ1-25一無(wú)風(fēng)的下雨天,一列火車以v1＝20.0m·ｓ-1的速度勻速前進(jìn),在車內(nèi)的旅客看見玻璃窗外的雨滴和垂線成75°角下降．求雨滴下落的速度v2．<設(shè)下降的雨滴作勻速運(yùn)動(dòng)>分析這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題．設(shè)雨滴為研究對(duì)象,地面為靜止參考系Ｓ,火車為動(dòng)參考系Ｓ′．v1為Ｓ′相對(duì)Ｓ的速度,v2為雨滴相對(duì)Ｓ的速度,利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解．解以地面為參考系,火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為v1,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為v2,旅客看到雨滴下落的速度v2′為相對(duì)速度,它們之間的關(guān)系為<如圖所示>,于是可得1-26如圖<a>所示,一汽車在雨中沿直線行駛,其速率為v1,下落雨滴的速度方向偏于豎直方向之前θ角,速率為v2′,若車后有一長(zhǎng)方形物體,問車速v1為多大時(shí),此物體正好不會(huì)被雨水淋濕？分析這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題．可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象,地面為靜參考系Ｓ,汽車為動(dòng)參考系Ｓ′．如圖<a>所示,要使物體不被淋濕,在車上觀察雨點(diǎn)下落的方向<即雨點(diǎn)相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)速度v2′的方向>應(yīng)滿足．再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系,即可求出所需車速v1．解由［圖<b>］,有而要使,則1-27一人能在靜水中以1.10m·ｓ-1的速度劃船前進(jìn)．今欲橫渡一寬為1.00×103m、水流速度為0.55m·ｓ-1的大河．<1>他若要從出發(fā)點(diǎn)橫渡該河而到達(dá)正對(duì)岸的一點(diǎn),那么應(yīng)如何確定劃行方向？到達(dá)正對(duì)岸需多少時(shí)間？<2>如果希望用最短的時(shí)間過河,應(yīng)如何確定劃行方向？船到達(dá)對(duì)岸的位置在什么地方？分析船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間是由船相對(duì)于岸的速度v決定的．由于水流速度u的存在,v與船在靜水中劃行的速度v′之間有v＝u＋v′<如圖所示>．若要使船到達(dá)正對(duì)岸,則必須使v沿正對(duì)岸方向；在劃速一定的條件下,若要用最短時(shí)間過河,則必須使v有極大值．解<1>由v＝u＋v′可知,則船到達(dá)正對(duì)岸所需時(shí)間為<2>由于,在劃速v′一定的條件下,只有當(dāng)α＝0時(shí),v最大<即v＝v′>,此時(shí),船過河時(shí)間t′＝d/v′,船到達(dá)距正對(duì)岸為l的下游處,且有1-28一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)觀察者O運(yùn)動(dòng),在任意時(shí)刻t,其位置為x＝vt,y＝gt2/2,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為拋物線．若另一觀察者O′以速率v沿x軸正向相對(duì)于O運(yùn)動(dòng)．試問質(zhì)點(diǎn)相對(duì)O′的軌跡和加速度如何？分析該問題涉及到運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性．如何將已知質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于觀察者O的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換到相對(duì)于觀察者O′的運(yùn)動(dòng)中去,其實(shí)質(zhì)就是進(jìn)行坐標(biāo)變換,將系O中一動(dòng)點(diǎn)<x,y>變換至系O′中的點(diǎn)<x′,y′>．由于觀察者O′相對(duì)于觀察者O作勻速運(yùn)動(dòng),因此,該坐標(biāo)變換是線性的．解取Oxy和O′x′y′分別為觀察者O和觀察者O′所在的坐標(biāo)系,且使Ox和O′x′兩軸平行．在t＝0時(shí),兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合．由坐標(biāo)變換得x′＝x-vt＝vt-vt＝0y′＝y(tǒng)＝1/2gt2加速度由此可見,動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于系O′是在y方向作勻變速直線運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)在兩坐標(biāo)系中加速度相同,這也正是伽利略變換的必然結(jié)果．第二章牛頓定律2-1如圖<a>所示,質(zhì)量為m的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)物體剛脫離斜面時(shí),它的加速度的大小為<><A>gsinθ<B>gcosθ<C>gtanθ<D>gcotθ分析與解當(dāng)物體離開斜面瞬間,斜面對(duì)物體的支持力消失為零,物體在繩子拉力FＴ<其方向仍可認(rèn)為平行于斜面>和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖<b>所示,由其可解得合外力為mgcotθ,故選<D>．求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征．2-2用水平力FN把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止．當(dāng)FN逐漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力Ff的大小<><A>不為零,但保持不變<B>隨FN成正比地增大<C>開始隨FN增大,達(dá)到某一最大值后,就保持不變<D>無(wú)法確定分析與解與滑動(dòng)摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值μFN范圍內(nèi)取值．當(dāng)FN增加時(shí),靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,故選<A>．2-3一段路面水平的公路,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為μ,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率<><A>不得小于<B>必須等于<C>不得大于<D>還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m決定分析與解由題意知,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng),為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為μFN．由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為v＝μRg．因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑．應(yīng)選<C>．2-4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過程中,則<><A>它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心,其速率保持不變<B>它受到的軌道的作用力的大小不斷增加<C>它受到的合外力大小變化,方向永遠(yuǎn)指向圓心<D>它受到的合外力大小不變,其速率不斷增加分析與解由圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)．重力的切向分量<mgcosθ>使物體的速率將會(huì)不斷增加<由機(jī)械能守恒亦可判斷>,則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力<又稱法向力>將不斷增大,由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程可判斷,隨θ角的不斷增大過程,軌道支持力FN也將不斷增大,由此可見應(yīng)選<B>．2-5圖<a>示系統(tǒng)置于以a＝1/4g的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B兩物體質(zhì)量相同均為m,A所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì),若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不計(jì)空氣阻力,則繩中張力為<><A>58mg<B>12mg<C>mg<D>2mg分析與解本題可考慮對(duì)A、B兩物體加上慣性力后,以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解．此時(shí)A、B兩物體受力情況如圖<b>所示,圖中a′為A、B兩物體相對(duì)電梯的加速度,ma′為慣性力．對(duì)A、B兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得FＴ＝5/8mg．故選<A>．討論對(duì)于習(xí)題2-5這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系<本題為電梯>觀察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時(shí),必須對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的慣性力．如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aA和aB均應(yīng)對(duì)地而言,本題中aA和aB的大小與方向均不相同．其中aA應(yīng)斜向上．對(duì)aA、aB、a和a′之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求解過程較繁．有興趣的讀者不妨自己嘗試一下．2-6圖示一斜面,傾角為α,底邊AB長(zhǎng)為l＝2.1m,質(zhì)量為m的物體從題2-6圖斜面頂端由靜止開始向下滑動(dòng),斜面的摩擦因數(shù)為μ＝0.14．試問,當(dāng)α為何值時(shí),物體在斜面上下滑的時(shí)間最短？其數(shù)值為多少？分析動(dòng)力學(xué)問題一般分為兩類：<1>已知物體受力求其運(yùn)動(dòng)情況；<2>已知物體的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)分析其所受的力．當(dāng)然,在一個(gè)具體題目中,這兩類問題并無(wú)截然的界限,且都是以加速度作為中介,把動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來(lái)．本題關(guān)鍵在列出動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程后,解出傾角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系α＝f<t>,然后運(yùn)用對(duì)t求極值的方法即可得出數(shù)值來(lái)．解取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn)O位于斜面頂點(diǎn),則由牛頓第二定律有<1>又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動(dòng),故有則<2>為使下滑的時(shí)間最短,可令,由式<2>有則可得,此時(shí)2-7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空．甲塊質(zhì)量為m1＝2.00×102kg,乙塊質(zhì)量為m2＝1.00×102kg．設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì)．試求下述兩種情況下,鋼絲繩所受的張力以及乙塊對(duì)甲塊的作用力：<1>兩物塊以10.0m·ｓ-2的加速度上升；<2>兩物塊以1.0m·ｓ-2的加速度上升．從本題的結(jié)果,你能體會(huì)到起吊重物時(shí)必須緩慢加速的道理嗎？分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體．處理動(dòng)力學(xué)問題通常采用"隔離體"的方法,分析物體所受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動(dòng)力學(xué)方程．根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式．結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系,可解決物體的運(yùn)動(dòng)或相互作用力．解按題意,可分別取吊車<含甲、乙>和乙作為隔離體,畫示力圖,并取豎直向上為Oy軸正方向<如圖所示>．當(dāng)框架以加速度a上升時(shí),有FＴ-<m1＋m2>g＝<m1＋m2>a<1>FN2-m2g＝m2a<2>解上述方程,得FＴ＝<m1＋m2><g＋a><3>FN2＝m2<g＋a><4><1>當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a＝10m·ｓ-2上升時(shí),由式<3>可得繩所受張力的值為FＴ＝5.94×103N乙對(duì)甲的作用力為F′N2＝-FN2＝-m2<g＋a>＝-1.98×103N<2>當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a＝1m·ｓ-2上升時(shí),得繩張力的值為FＴ＝3.24×103N此時(shí),乙對(duì)甲的作用力則為F′N2＝-1.08×103N由上述計(jì)算可見,在起吊相同重量的物體時(shí),由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同,加速度大,繩中張力也大．因此,起吊重物時(shí)必須緩慢加速,以確保起吊過程的安全．2-8如圖<a>所示,已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m＝3.0kg物體A以加速度a＝1.0m·ｓ-2運(yùn)動(dòng),求物體B與桌面間的摩擦力．<滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì)>分析該題為連接體問題,同樣可用隔離體法求解．分析時(shí)應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的,即必須在繩的質(zhì)量和伸長(zhǎng)可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成立．同時(shí)也要注意到張力方向是不同的．解分別對(duì)物體和滑輪作受力分析［圖<b>］．由牛頓定律分別對(duì)物體A、B及滑輪列動(dòng)力學(xué)方程,有mAg-FＴ＝mAa<1>F′Ｔ1-Fｆ＝mBa′<2>F′Ｔ-2FＴ1＝0<3>考慮到mA＝mB＝m,FＴ＝F′Ｔ,FＴ1＝F′Ｔ1,a′＝2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力討論動(dòng)力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：<1>分析題意,確定研究對(duì)象,分析受力,選定坐標(biāo)；<2>根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；<3>解方程組,得出文字結(jié)果；<4>核對(duì)量綱,再代入數(shù)據(jù),計(jì)算出結(jié)果來(lái)．2-9質(zhì)量為m′的長(zhǎng)平板A以速度v′在光滑平面上作直線運(yùn)動(dòng),現(xiàn)將質(zhì)量為m的木塊B輕輕平穩(wěn)地放在長(zhǎng)平板上,板與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,求木塊在長(zhǎng)平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？分析當(dāng)木塊B平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動(dòng)著的平板A上時(shí),木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動(dòng)摩擦力,該力將改變它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對(duì)地面的加速度．換以平板為參考系來(lái)分析,此時(shí),木塊以初速度-v′<與平板運(yùn)動(dòng)速率大小相等、方向相反>作勻減速運(yùn)動(dòng),其加速度為相對(duì)加速度,按運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可解得．該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動(dòng)能定理來(lái)解．將平板與木塊作為系統(tǒng),該系統(tǒng)的動(dòng)能由平板原有的動(dòng)能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,而它們的共同速度可根據(jù)動(dòng)量定理求得．又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理,摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量．木塊相對(duì)平板移動(dòng)的距離即可求出．解1以地面為參考系,在摩擦力Fｆ＝μmg的作用下,根據(jù)牛頓定律分別對(duì)木塊、平板列出動(dòng)力學(xué)方程Fｆ＝μmg＝ma1F′ｆ＝-Fｆ＝m′a2a1和a2分別是木塊和木板相對(duì)地面參考系的加速度．若以木板為參考系,木塊相對(duì)平板的加速度a＝a1＋a2,木塊相對(duì)平板以初速度-v′作勻減速運(yùn)動(dòng)直至最終停止．由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有-v′2＝2as由上述各式可得木塊相對(duì)于平板所移動(dòng)的距離為解2以木塊和平板為系統(tǒng),它們之間一對(duì)摩擦力作的總功為W＝Fｆ<s＋l>-Fｆl＝μmgs式中l(wèi)為平板相對(duì)地面移動(dòng)的距離．由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力,當(dāng)木塊放至平板上時(shí),根據(jù)動(dòng)量守恒定律,有m′v′＝<m′＋m>v″由系統(tǒng)的動(dòng)能定理,有由上述各式可得2-10如圖<a>所示,在一只半徑為R的半球形碗內(nèi),有一粒質(zhì)量為m的小鋼球,當(dāng)小球以角速度ω在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),它距碗底有多高？分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),必須使鋼球受到一與向心加速度相對(duì)應(yīng)的力<向心力>,而該力是由碗內(nèi)壁對(duì)球的支持力FN的分力來(lái)提供的,由于支持力FN始終垂直于碗內(nèi)壁,所以支持力的大小和方向是隨ω而變的．取圖示Oxy坐標(biāo),列出動(dòng)力學(xué)方程,即可求解鋼球距碗底的高度．解取鋼球?yàn)楦綦x體,其受力分析如圖<b>所示．在圖示坐標(biāo)中列動(dòng)力學(xué)方程<1><2>且有<3>由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為可見,h隨ω的變化而變化．2-11火車轉(zhuǎn)彎時(shí)需要較大的向心力,如果兩條鐵軌都在同一水平面內(nèi)<內(nèi)軌、外軌等高>,這個(gè)向心力只能由外軌提供,也就是說外軌會(huì)受到車輪對(duì)它很大的向外側(cè)壓力,這是很危險(xiǎn)的．因此,對(duì)應(yīng)于火車的速率及轉(zhuǎn)彎處的曲率半徑,必須使外軌適當(dāng)?shù)馗叱鰞?nèi)軌,稱為外軌超高．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的火車,以速率v沿半徑為R的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎,已知路面傾角為θ,試求：<1>在此條件下,火車速率v0為多大時(shí),才能使車輪對(duì)鐵軌內(nèi)外軌的側(cè)壓力均為零？<2>如果火車的速率v≠v0,則車輪對(duì)鐵軌的側(cè)壓力為多少？分析如題所述,外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsinθ提供<式中θ角為路面傾角>．從而不會(huì)對(duì)內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓．與其對(duì)應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時(shí)必須以規(guī)定的速率v0行駛．當(dāng)火車行駛速率v≠v0時(shí),則會(huì)產(chǎn)生兩種情況：如圖所示,如v＞v0時(shí),外軌將會(huì)對(duì)車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力F1,以補(bǔ)償原向心力的不足,如v＜v0時(shí),則內(nèi)軌對(duì)車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力F2,以抵消多余的向心力,無(wú)論哪種情況火車都將對(duì)外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓．由此可知,鐵路部門為什么會(huì)在每個(gè)鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時(shí)速,從而確保行車安全．解<1>以火車為研究對(duì)象,建立如圖所示坐標(biāo)系．據(jù)分析,由牛頓定律有<1><2>解<1><2>兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時(shí)規(guī)定速率為<2>當(dāng)v＞v0時(shí),根據(jù)分析有<3><4>解<3><4>兩式,可得外軌側(cè)壓力為當(dāng)v＜v0時(shí),根據(jù)分析有<5><6>解<5><6>兩式,可得內(nèi)軌側(cè)壓力為2-12一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁．設(shè)演員和摩托車的總質(zhì)量為m,圓筒半徑為R,演員騎摩托車在直壁上以速率v作勻速圓周螺旋運(yùn)動(dòng),每繞一周上升距離為h,如圖所示．求壁對(duì)演員和摩托車的作用力．分析雜技演員<連同摩托車>的運(yùn)動(dòng)可以看成一個(gè)水平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)豎直向上勻速直線運(yùn)動(dòng)的疊加．其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后,相當(dāng)于如圖<b>所示的斜面．把演員的運(yùn)動(dòng)速度分解為圖示的v1和v2兩個(gè)分量,顯然v1是豎直向上作勻速直線運(yùn)動(dòng)的分速度,而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運(yùn)動(dòng)的分速度,其中向心力由筒壁對(duì)演員的支持力FN的水平分量FN2提供,而豎直分量FN1則與重力相平衡．如圖<c>所示,其中φ角為摩托車與筒壁所夾角．運(yùn)用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向解設(shè)雜技演員連同摩托車整體為研究對(duì)象,據(jù)<b><c>兩圖應(yīng)有<1><2><3><4>以式<3>代入式<2>,得<5>將式<1>和式<5>代入式<4>,可求出圓筒壁對(duì)雜技演員的作用力<即支承力>大小為與壁的夾角φ為討論表演飛車走壁時(shí),演員必須控制好運(yùn)動(dòng)速度,行車路線以及摩托車的方位,以確保三者之間滿足解題用到的各個(gè)力學(xué)規(guī)律．2-13一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),其受力如圖所示,設(shè)t＝0時(shí),v0＝5m·ｓ-1,x0＝2m,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m＝1kg,試求該質(zhì)點(diǎn)7ｓ末的速度和位置坐標(biāo)．分析首先應(yīng)由題圖求得兩個(gè)時(shí)間段的F<t>函數(shù),進(jìn)而求得相應(yīng)的加速度函數(shù),運(yùn)用積分方法求解題目所問,積分時(shí)應(yīng)注意積分上下限的取值應(yīng)與兩時(shí)間段相應(yīng)的時(shí)刻相對(duì)應(yīng)．解由題圖得由牛頓定律可得兩時(shí)間段質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為對(duì)0＜t＜5ｓ時(shí)間段,由得積分后得再由得積分后得將t＝5ｓ代入,得v5＝30m·ｓ-1和x5＝68.7m對(duì)5ｓ＜t＜7ｓ時(shí)間段,用同樣方法有得再由得x＝17.5t2-0.83t3-82.5t＋147.87將t＝7ｓ代入分別得v7＝40m·ｓ-1和x7＝142m2-14一質(zhì)量為10kg的質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下沿x軸作直線運(yùn)動(dòng),已知F＝120t＋40,式中F的單位為N,t的單位的ｓ．在t＝0時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于x＝5.0m處,其速度v0＝6.0m·ｓ-1．求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位置．分析這是在變力作用下的動(dòng)力學(xué)問題．由于力是時(shí)間的函數(shù),而加速度a＝dv/dt,這時(shí),動(dòng)力學(xué)方程就成為速度對(duì)時(shí)間的一階微分方程,解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度v<t>；由速度的定義v＝dx/dt,用積分的方法可求出質(zhì)點(diǎn)的位置．解因加速度a＝dv/dt,在直線運(yùn)動(dòng)中,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件,即t0＝0時(shí)v0＝6.0m·ｓ-1,運(yùn)用分離變量法對(duì)上式積分,得v＝6.0+4.0t+6.0t2又因v＝dx/dt,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0＝0時(shí)x0＝5.0m,對(duì)上式分離變量后積分,有x＝5.0+6.0t+2.0t2+2.0t32-15輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為1.0×103kg．飛機(jī)以55.0m·ｓ-1的速率在水平跑道上著陸后,駕駛員開始制動(dòng),若阻力與時(shí)間成正比,比例系數(shù)α＝5.0×102N·ｓ-1,空氣對(duì)飛機(jī)升力不計(jì),求：<1>10ｓ后飛機(jī)的速率；<2>飛機(jī)著陸后10ｓ內(nèi)滑行的距離．分析飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動(dòng)可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)．其水平方向所受制動(dòng)力F為變力,且是時(shí)間的函數(shù)．在求速率和距離時(shí),可根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,采用分離變量法求解．解以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及初始條件,有得因此,飛機(jī)著陸10ｓ后的速率為v＝30m·ｓ-1又故飛機(jī)著陸后10ｓ內(nèi)所滑行的距離2-16質(zhì)量為m的跳水運(yùn)動(dòng)員,從10.0m高臺(tái)上由靜止跳下落入水中．高臺(tái)距水面距離為h．把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn),并略去空氣阻力．運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉,水對(duì)其阻力為bv2,其中b為一常量．若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為Oy軸,求：<1>運(yùn)動(dòng)員在水中的速率v與y的函數(shù)關(guān)系；<2>如b/m＝0.40m-1,跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v0的1/10？<假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等>分析該題可以分為兩個(gè)過程,入水前是自由落體運(yùn)動(dòng),入水后,物體受重力P、浮力F和水的阻力Fｆ的作用,其合力是一變力,因此,物體作變加速運(yùn)動(dòng)．雖然物體的受力分析比較簡(jiǎn)單,但是,由于變力是速度的函數(shù)<在有些問題中變力是時(shí)間、位置的函數(shù)>,對(duì)這類問題列出動(dòng)力學(xué)方程并不復(fù)雜,但要從它計(jì)算出物體運(yùn)動(dòng)的位置和速度就比較困難了．通常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程．這也成了解題過程中的難點(diǎn)．在解方程的過程中,特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定．解<1>運(yùn)動(dòng)員入水前可視為自由落體運(yùn)動(dòng),故入水時(shí)的速度為運(yùn)動(dòng)員入水后,由牛頓定律得P-Fｆ-F＝ma由題意P＝F、Fｆ＝bv2,而a＝dv/dt＝v<dv/dy>,代入上式后得-bv2＝mv<dv/dy>考慮到初始條件y0＝0時(shí),,對(duì)上式積分,有<2>將已知條件b/m＝0.4m-1,v＝0.1v0代入上式,則得*2-17直升飛機(jī)的螺旋槳由兩個(gè)對(duì)稱的葉片組成．每一葉片的質(zhì)量m＝136kg,長(zhǎng)l＝3.66m．求當(dāng)它的轉(zhuǎn)速n＝320r/min時(shí),兩個(gè)葉片根部的張力．<設(shè)葉片是寬度一定、厚度均勻的薄片>分析螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí),葉片上各點(diǎn)的加速度不同,在其各部分兩側(cè)的張力也不同；由于葉片的質(zhì)量是連續(xù)分布的,在求葉片根部的張力時(shí),可選取葉片上一小段,分析其受力,列出動(dòng)力學(xué)方程,然后采用積分的方法求解．解設(shè)葉片根部為原點(diǎn)O,沿葉片背離原點(diǎn)O的方向?yàn)檎?距原點(diǎn)O為r處的長(zhǎng)為dr一小段葉片,其兩側(cè)對(duì)它的拉力分別為FＴ<r>與FＴ<r＋dr>．葉片轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),該小段葉片作圓周運(yùn)動(dòng),由牛頓定律有由于r＝l時(shí)外側(cè)FＴ＝0,所以有上式中取r＝0,即得葉片根部的張力FＴ0＝-2.79×105N負(fù)號(hào)表示張力方向與坐標(biāo)方向相反．2-18一質(zhì)量為m的小球最初位于如圖<a>所示的A點(diǎn),然后沿半徑為r的光滑圓軌道ADCB下滑．試求小球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的角速度和對(duì)圓軌道的作用力．分析該題可由牛頓第二定律求解．在取自然坐標(biāo)的情況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度aｔ,與其相對(duì)應(yīng)的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而與法向加速度an相對(duì)應(yīng)的外力是支持力FN和重力的法向分量mgcosα．由此,可分別列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man．由于小球在滑動(dòng)過程中加速度不是恒定的,因此,需應(yīng)用積分求解,為使運(yùn)算簡(jiǎn)便,可轉(zhuǎn)換積分變量．倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比較簡(jiǎn)便．但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力．解小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到重力P和圓軌道對(duì)它的支持力FN．取圖<b>所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得<1><2>由,得,代入式<1>,并根據(jù)小球從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的始末條件,進(jìn)行積分,有得則小球在點(diǎn)C的角速度為由式<2>得由此可得小球?qū)A軌道的作用力為負(fù)號(hào)表示F′N與en反向．2-19光滑的水平桌面上放置一半徑為R的固定圓環(huán),物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng),其摩擦因數(shù)為μ,開始時(shí)物體的速率為v0,求：<1>t時(shí)刻物體的速率；<2>當(dāng)物體速率從v0減少到12v0時(shí),物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過的路程．分析運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的,因而,可先分析動(dòng)力學(xué)問題．物體在作圓周運(yùn)動(dòng)的過程中,促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對(duì)物體的支持力FN和環(huán)與物體之間的摩擦力Fｆ,而摩擦力大小與正壓力FN′成正比,且FN與FN′又是作用力與反作用力,這樣,就可通過它們把切向和法向兩個(gè)加速度聯(lián)系起來(lái)了,從而可用運(yùn)動(dòng)學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程．解<1>設(shè)物體質(zhì)量為m,取圖中所示的自然坐標(biāo),按牛頓定律,有由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN,由上述各式可得取初始條件t＝0時(shí)v＝v0,并對(duì)上式進(jìn)行積分,有<2>當(dāng)物體的速率從v0減少到1/2v0時(shí),由上式可得所需的時(shí)間為物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程2-20質(zhì)量為45.0kg的物體,由地面以初速60.0m·ｓ-1豎直向上發(fā)射,物體受到空氣的阻力為Fr＝kv,且k＝0.03N/<m·ｓ-1>．<1>求物體發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間．<2>最大高度為多少？分析物體在發(fā)射過程中,同時(shí)受到重力和空氣阻力的作用,其合力是速率v的一次函數(shù),動(dòng)力學(xué)方程是速率的一階微分方程,求解時(shí),只需采用分離變量的數(shù)學(xué)方法即可．但是,在求解高度時(shí),則必須將時(shí)間變量通過速度定義式轉(zhuǎn)換為位置變量后求解,并注意到物體上升至最大高度時(shí),速率應(yīng)為零．解<1>物體在空中受重力mg和空氣阻力Fr＝kv作用而減速．由牛頓定律得<1>根據(jù)始末條件對(duì)上式積分,有<2>利用的關(guān)系代入式<1>,可得分離變量后積分故討論如不考慮空氣阻力,則物體向上作勻減速運(yùn)動(dòng)．由公式和分別算得t≈6.12ｓ和y≈184m,均比實(shí)際值略大一些．2-21一物體自地球表面以速率v0豎直上拋．假定空氣對(duì)物體阻力的值為Fr＝kmv2,其中m為物體的質(zhì)量,k為常量．試求：<1>該物體能上升的高度；<2>物體返回地面時(shí)速度的值．<設(shè)重力加速度為常量．>分析由于空氣對(duì)物體的阻力始終與物體運(yùn)動(dòng)的方向相反,因此,物體在上拋過程中所受重力P和阻力Fr的方向相同；而下落過程中,所受重力P和阻力Fr的方向則相反．又因阻力是變力,在解動(dòng)力學(xué)方程時(shí),需用積分的方法．解分別對(duì)物體上拋、下落時(shí)作受力分析,以地面為原點(diǎn),豎直向上為y軸<如圖所示>．<1>物體在上拋過程中,根據(jù)牛頓定律有依據(jù)初始條件對(duì)上式積分,有物體到達(dá)最高處時(shí),v＝0,故有<2>物體下落過程中,有對(duì)上式積分,有則2-22質(zhì)量為m的摩托車,在恒定的牽引力F的作用下工作,它所受的阻力與其速率的平方成正比,它能達(dá)到的最大速率是vm．試計(jì)算從靜止加速到vm/2所需的時(shí)間以及所走過的路程．分析該題依然是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方程求解變力作用下的速度和位置的問題,求解方法與前兩題相似,只是在解題過程中必須設(shè)法求出阻力系數(shù)k．由于阻力Fr＝kv2,且Fr又與恒力F的方向相反；故當(dāng)阻力隨速度增加至與恒力大小相等時(shí),加速度為零,此時(shí)速度達(dá)到最大．因此,根據(jù)速度最大值可求出阻力系數(shù)來(lái)．但在求摩托車所走路程時(shí),需對(duì)變量作變換．解設(shè)摩托車沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),在牽引力F和阻力Fr同時(shí)作用下,由牛頓定律有<1>當(dāng)加速度a＝dv/dt＝0時(shí),摩托車的速率最大,因此可得k＝F/vm2<2>由式<1>和式<2>可得<3>根據(jù)始末條件對(duì)式<3>積分,有則又因式<3>中,再利用始末條件對(duì)式<3>積分,有則*2-23飛機(jī)降落時(shí),以v0的水平速度著落后自由滑行,滑行期間飛機(jī)受到的空氣阻力F1＝-k1v2,升力F2＝k2v2,其中v為飛機(jī)的滑行速度,兩個(gè)系數(shù)之比k1/k2稱為飛機(jī)的升阻比．實(shí)驗(yàn)表明,物體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí),所受阻力與速度的關(guān)系與多種因素有關(guān),如速度大小、流體性質(zhì)、物體形狀等．在速度較小或流體密度較小時(shí)有F∝v,而在速度較大或流體密度較大的有F∝v2,需要精確計(jì)算時(shí)則應(yīng)由實(shí)驗(yàn)測(cè)定．本題中由于飛機(jī)速率較大,故取F∝v2作為計(jì)算依據(jù)．設(shè)飛機(jī)與跑道間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,試求飛機(jī)從觸地到靜止所滑行的距離．以上計(jì)算實(shí)際上已成為飛機(jī)跑道長(zhǎng)度設(shè)計(jì)的依據(jù)之一．分析如圖所示,飛機(jī)觸地后滑行期間受到5個(gè)力作用,其中F1為空氣阻力,F2為空氣升力,F3為跑道作用于飛機(jī)的摩擦力,很顯然飛機(jī)是在合外力為變力的情況下作減速運(yùn)動(dòng),列出牛頓第二定律方程后,用運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題的相關(guān)規(guī)律解題．由于作用于飛機(jī)的合外力為速度v的函數(shù),所求的又是飛機(jī)滑行距離x,因此比較簡(jiǎn)便方法是直接對(duì)牛頓第二定律方程中的積分變量dt進(jìn)行代換,將dt用代替,得到一個(gè)有關(guān)v和x的微分方程,分離變量后再作積分．解取飛機(jī)滑行方向?yàn)閤的正方向,著陸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示,根據(jù)牛頓第二定律有<1><2>將式<2>代入式<1>,并整理得分離變量并積分,有得飛機(jī)滑行距離<3>考慮飛機(jī)著陸瞬間有FN＝0和v＝v0,應(yīng)有k2v02＝mg,將其代入<3>式,可得飛機(jī)滑行距離x的另一表達(dá)式討論如飛機(jī)著陸速度v0＝144km·h-1,μ＝0.1,升阻比,可算得飛機(jī)的滑行距離x＝560m,設(shè)計(jì)飛機(jī)跑道長(zhǎng)度時(shí)應(yīng)參照上述計(jì)算結(jié)果．2-24在卡車車廂底板上放一木箱,該木箱距車箱前沿?fù)醢宓木嚯xL＝2.0m,已知?jiǎng)x車時(shí)卡車的加速度a＝7.0m·ｓ-2,設(shè)剎車一開始木箱就開始滑動(dòng)．求該木箱撞上擋板時(shí)相對(duì)卡車的速率為多大？設(shè)木箱與底板間滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.50．分析如同習(xí)題2-5分析中指出的那樣,可對(duì)木箱加上慣性力F0后,以車廂為參考系進(jìn)行求解,如圖所示,此時(shí)木箱在水平方向受到慣性力和摩擦力作用,圖中a′為木箱相對(duì)車廂的加速度．解由牛頓第二定律和相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有F0-Fｆ＝ma-μmg＝ma′<1>v′2＝2a′L<2>聯(lián)立解<1><2>兩式并代入題給數(shù)據(jù),得木箱撞上車廂擋板時(shí)的速度為*2-25如圖<a>所示,電梯相對(duì)地面以加速度a豎直向上運(yùn)動(dòng)．電梯中有一滑輪固定在電梯頂部,滑輪兩側(cè)用輕繩懸掛著質(zhì)量分別為m1和m2的物體A和B．設(shè)滑輪的質(zhì)量和滑輪與繩索間的摩擦均略去不計(jì)．已知m1＞m2,如以加速運(yùn)動(dòng)的電梯為參考系,求物體相對(duì)地面的加速度和繩的張力．分析如以加速運(yùn)動(dòng)的電梯為參考系,則為非慣性系．在非慣性系中應(yīng)用牛頓定律時(shí)必須引入慣性力．在通常受力分析的基礎(chǔ)上,加以慣性力后,即可列出牛頓運(yùn)動(dòng)方程來(lái)．解取如圖<b>所示的坐標(biāo),以電梯為參考系,分別對(duì)物體A、B作受力分析,其中F1＝m1a,F2＝m2a分別為作用在物體A、B上的慣性力．設(shè)ar為物體相對(duì)電梯的加速度,根據(jù)牛頓定律有<1><2><3>由上述各式可得由相對(duì)加速度的矢量關(guān)系,可得物體A、B對(duì)地面的加速度值為a2的方向向上,a1的方向由ar和a的大小決定．當(dāng)ar＜a,即m1g-m2g-2m2a＞0時(shí),a1的方向向下；反之,a1的方向向上．*2-26如圖<a>所示,在光滑水平面上,放一質(zhì)量為m′的三棱柱A,它的斜面的傾角為α．現(xiàn)把一質(zhì)量為m的滑塊B放在三棱柱的光滑斜面上．試求：<1>三棱柱相對(duì)于地面的加速度；<2>滑塊相對(duì)于地面的加速度；<3>滑塊與三棱柱之間的正壓力．分析這類問題可應(yīng)用牛頓定律并采用隔離體法求解．在解題的過程中必須注意：<1>參考系的選擇．由于牛頓定律只適用于慣性系,可選擇地面為參考系<慣性系>．因地面和斜面都是光滑的,當(dāng)滑塊在斜面上下滑時(shí),三棱柱受到滑塊對(duì)它的作用,也將沿地面作加速度為aA的運(yùn)動(dòng),這時(shí),滑塊沿斜面的加速度aBA,不再是它相對(duì)于地面的加速度aB了．必須注意到它們之間應(yīng)滿足相對(duì)加速度的矢量關(guān)系,即aB＝aA＋aBA．若以斜面為參考系<非慣性系>,用它求解這類含有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的力學(xué)問題是較為方便的．但在非慣性系中,若仍要應(yīng)用牛頓定律,則必須增添一慣性力F,且有F＝maA．<2>坐標(biāo)系的選擇．常取平面直角坐標(biāo),并使其中一坐標(biāo)軸方向與運(yùn)動(dòng)方向一致,這樣,可使解題簡(jiǎn)化．<3>在分析滑塊與三棱柱之間的正壓力時(shí),要考慮運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響,切勿簡(jiǎn)單地把它視為滑塊重力在垂直于斜面方向的分力mgcosα,事實(shí)上只有當(dāng)aA＝0時(shí),正壓力才等于mgcosα．解1取地面為參考系,以滑塊B和三棱柱A為研究對(duì)象,分別作示力圖,如圖<b>所示．B受重力P1、A施加的支持力FN1；A受重力P2、B施加的壓力FN1′、地面支持力FN2．A的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)镺x軸的正向,Oy軸的正向垂直地面向上．設(shè)aA為A對(duì)地的加速度,aB為B對(duì)的地加速度．由牛頓定律得<1><2><3><4>設(shè)B相對(duì)A的加速度為aBA,則由題意aB、aBA、aA三者的矢量關(guān)系如圖<c>所示．據(jù)此可得<5><6>解上述方程組可得三棱柱對(duì)地面的加速度為滑塊相對(duì)地面的加速度aB在x、y軸上的分量分別為則滑塊相對(duì)地面的加速度aB的大小為其方向與y軸負(fù)向的夾角為A與B之間的正壓力解2若以A為參考系,Ox軸沿斜面方向［圖<d>］．在非慣性系中運(yùn)用牛頓定律,則滑塊B的動(dòng)力學(xué)方程分別為<1><2>又因<3><4>由以上各式可解得由aB、aBA、aA三者的矢量關(guān)系可得以aA代入式<3>可得第三章動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律3-1對(duì)質(zhì)點(diǎn)組有以下幾種說法：<1>質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)量的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)；<2>質(zhì)點(diǎn)組總動(dòng)能的改變與內(nèi)力無(wú)關(guān)；<3>質(zhì)點(diǎn)組機(jī)械能的改變與保守內(nèi)力無(wú)關(guān)．下列對(duì)上述說法判斷正確的是<><A>只有<1>是正確的<B><1>、<2>是正確的<C><1>、<3>是正確的<D><2>、<3>是正確的分析與解在質(zhì)點(diǎn)組中內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的,它們是作用力與反作用力．由于一對(duì)內(nèi)力的沖量恒為零,故內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)量．但由于相互有作用力的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移大小以及位移與力的夾角一般不同,故一對(duì)內(nèi)力所作功之和不一定為零,應(yīng)作具體分析,如一對(duì)彈性內(nèi)力的功的代數(shù)和一般為零,一對(duì)摩擦內(nèi)力的功代數(shù)和一般不為零,對(duì)于保守內(nèi)力來(lái)說,所作功能使質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能與勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換,因此保守內(nèi)力即使有可能改變質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能,但也不可能改變質(zhì)點(diǎn)組的機(jī)械能．綜上所述<1><3>說法是正確的．故選<C>．3-2有兩個(gè)傾角不同、高度相同、質(zhì)量一樣的斜面放在光滑的水平面上,斜面是光滑的,有兩個(gè)一樣的物塊分別從這兩個(gè)斜面的頂點(diǎn)由靜止開始滑下,則<><A>物塊到達(dá)斜面底端時(shí)的動(dòng)量相等<B>物塊到達(dá)斜面底端時(shí)動(dòng)能相等<C>物塊和斜面<以及地球>組成的系統(tǒng),機(jī)械能不守恒<D>物塊和斜面組成的系統(tǒng)水平方向上動(dòng)量守恒分析與解對(duì)題述系統(tǒng)來(lái)說,由題意知并無(wú)外力和非保守內(nèi)力作功,故系統(tǒng)機(jī)械能守恒．物體在下滑過程中,一方面通過重力作功將勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能,另一方面通過物體與斜面之間的彈性內(nèi)力作功將一部分能量轉(zhuǎn)化為斜面的動(dòng)能,其大小取決其中一個(gè)內(nèi)力所作功．由于斜面傾角不同,故物體沿不同傾角斜面滑至底端時(shí)動(dòng)能大小不等．動(dòng)量自然也就不等<動(dòng)量方向也不同>．故<A><B><C>三種說法均不正確．至于說法<D>正確,是因?yàn)樵撓到y(tǒng)動(dòng)量雖不守恒<下滑前系統(tǒng)動(dòng)量為零,下滑后物體與斜面動(dòng)量的矢量和不可能為零．由此可知,此時(shí)向上的地面支持力并不等于物體與斜面向下的重力>,但在水平方向上并無(wú)外力,故系統(tǒng)在水平方向上分動(dòng)量守恒．3-3對(duì)功的概念有以下幾種說法：<1>保守力作正功時(shí),系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢(shì)能增加；<2>質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑,保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功為零；<3>作用力和反作用力大小相等、方向相反,所以兩者所作功的代數(shù)和必為零．下列上述說法中判斷正確的是<><A><1>、<2>是正確的<B><2>、<3>是正確的<C>只有<2>是正確的<D>只有<3>是正確的分析與解保守力作正功時(shí),系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)勢(shì)能應(yīng)該減少．由于保守力作功與路徑無(wú)關(guān),而只與始末位置有關(guān),如質(zhì)點(diǎn)環(huán)繞一周過程中,保守力在一段過程中作正功,在另一段過程中必然作負(fù)功,兩者之和必為零．至于一對(duì)作用力與反作用力分別作用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)所作功之和未必為零<詳見習(xí)題3-2分析>,由此可見只有說法<2>正確,故選<C>．3-4如圖所示,質(zhì)量分別為m1和m2的物體A和B,置于光滑桌面上,A和B之間連有一輕彈簧．另有質(zhì)量為m1和m2的物體C和D分別置于物體A與B之上,且物體A和C、B和D之間的摩擦因數(shù)均不為零．首先用外力沿水平方向相向推壓A和B,使彈簧被壓縮,然后撤掉外力,則在A和B彈開的過程中,對(duì)A、B、C、D以及彈簧組成的系統(tǒng),有<><A>動(dòng)量守恒,機(jī)械能守恒<B>動(dòng)量不守恒,機(jī)械能守恒<C>動(dòng)量不守恒,機(jī)械能不守恒<D>動(dòng)量守恒,機(jī)械能不一定守恒分析與解由題意知,作用在題述系統(tǒng)上的合外力為零,故系統(tǒng)動(dòng)量守恒,但機(jī)械能未必守恒,這取決于在A、B彈開過程中C與A或D與B之間有無(wú)相對(duì)滑動(dòng),如有則必然會(huì)因摩擦內(nèi)力作功,而使一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能,故選<D>．3-5如圖所示,子彈射入放在水平光滑地面上靜止的木塊后而穿出．以地面為參考系,下列說法中正確的說法是<><A>子彈減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)槟緣K的動(dòng)能<B>子彈-木塊系統(tǒng)的機(jī)械能守恒<C>子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服木塊阻力所作的功<D>子彈克服木塊阻力所作的功等于這一過程中產(chǎn)生的熱分析與解子彈-木塊系統(tǒng)在子彈射入過程中,作用于系統(tǒng)的合外力為零,故系統(tǒng)動(dòng)量守恒,但機(jī)械能并不守恒．這是因?yàn)樽訌椗c木塊作用的一對(duì)內(nèi)力所作功的代數(shù)和不為零<這是因?yàn)樽訌棇?duì)地位移大于木塊對(duì)地位移所致>,子彈動(dòng)能的減少等于子彈克服阻力所作功,子彈減少的動(dòng)能中,一部分通過其反作用力對(duì)木塊作正功而轉(zhuǎn)移為木塊的動(dòng)能,另一部分則轉(zhuǎn)化為熱能<大小就等于這一對(duì)內(nèi)力所作功的代數(shù)和>．綜上所述,只有說法<C>的表述是完全正確的．3-6一架以3.0×102m·ｓ-1的速率水平飛行的飛機(jī),與一只身長(zhǎng)為0.20m、質(zhì)量為0.50kg的飛鳥相碰．設(shè)碰撞后飛鳥的尸體與飛機(jī)具有同樣的速度,而原來(lái)飛鳥對(duì)于地面的速率甚小,可以忽略不計(jì)．試估計(jì)飛鳥對(duì)飛機(jī)的沖擊力<碰撞時(shí)間可用飛鳥身長(zhǎng)被飛機(jī)速率相除來(lái)估算>．根據(jù)本題的計(jì)算結(jié)果,你對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的物體<如飛機(jī)、汽車>與通常情況下不足以引起危害的物體<如飛鳥、小石子>相碰后會(huì)產(chǎn)生什么后果的問題有些什么體會(huì)？分析由于鳥與飛機(jī)之間的作用是一短暫時(shí)間內(nèi)急劇變化的變力,直接應(yīng)用牛頓定律解決受力問題是不可能的．如果考慮力的時(shí)間累積效果,運(yùn)用動(dòng)量定理來(lái)分析,就可避免作用過程中的細(xì)節(jié)情況．在求鳥對(duì)飛機(jī)的沖力<常指在短暫時(shí)間內(nèi)的平均力>時(shí),由于飛機(jī)的狀態(tài)<指動(dòng)量>變化不知道,使計(jì)算也難以進(jìn)行；這時(shí),可將問題轉(zhuǎn)化為討論鳥的狀態(tài)變化來(lái)分析其受力情況,并根據(jù)鳥與飛機(jī)作用的相互性<作用與反作用>,問題就很簡(jiǎn)單了．解以飛鳥為研究對(duì)象,取飛機(jī)運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤軸正向．由動(dòng)量定理得式中F′為飛機(jī)對(duì)鳥的平均沖力,而身長(zhǎng)為20cm的飛鳥與飛機(jī)碰撞時(shí)間約為Δt＝l/v,以此代入上式可得鳥對(duì)飛機(jī)的平均沖力為式中負(fù)號(hào)表示飛機(jī)受到的沖力與其飛行方向相反．從計(jì)算結(jié)果可知,2.25×105N的沖力大致相當(dāng)于一個(gè)22t的物體所受的重力,可見,此沖力是相當(dāng)大的．若飛鳥與發(fā)動(dòng)機(jī)葉片相碰,足以使發(fā)動(dòng)機(jī)損壞,造成飛行事故．3-7質(zhì)量為m的物體,由水平面上點(diǎn)O以初速為v0拋出,v0與水平面成仰角α．若不計(jì)空氣阻力,求：<1>物體從發(fā)射點(diǎn)O到最高點(diǎn)的過程中,重力的沖量；<2>物體從發(fā)射點(diǎn)到落回至同一水平面的過程中,重力的沖量．分析重力是恒力,因此,求其在一段時(shí)間內(nèi)的沖量時(shí),只需求出時(shí)間間隔即可．由拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知,物體到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間,物體從出發(fā)到落回至同一水平面所需的時(shí)間是到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間的兩倍．這樣,按沖量的定義即可求得結(jié)果．另一種解的