近世代數(shù)課后練習(xí)答案

§1—3集合、映射及代數(shù)運(yùn)算思考題1如何用語言陳述“B匸A”？定義4：設(shè)BuA，且存在aeA但a電B，那么稱B是A的真子集，否則稱B不是A的真子集。思考題2：若BuA，但B不是A的真子集，這意味著什么？定義5：若集合A和B含有完全一樣的元素，那么稱A與B相等，記為A=B.結(jié)論1：顯然，A=BoAuB且BuA.（4）集合的運(yùn)算①集合的并：AUB=4|xeA或xeB^②集合的交：4|xeA且x②集合的交：4|xeA且xeB③集合的差：4|xe④集合在全集內(nèi)的補(bǔ)：A二4|xe集合的布爾和(對稱差)：A十B=?|xeA或xeB但x電AnB}=(A-B)U(B-A)二(AUB)-(AnB)集合的卡氏積：AxB=fa,b)aeA且beB}卡氏積的推廣：令A(yù),A，…,A是m個集合，那么由它們做成的卡氏積為：1 2mA=AxAx…xAa,a，…,a)laeA,i=1,2,…,m}i 1 2 m 1 2 mi ii=1課堂練習(xí)：whichofthefollowingrulesarealgebraoperationsontheindicatedset?1、a。b=Jab],onthesetQ.3、a。bisarootof2、a。b=aInb,ontheset(|xe3、a。bisarootoftheequationx2-a2b2=0,onthesetR.4、 Subtraction,onthesetZ.5、Subtraction,onthesetw|neZandn>046、a。b=a一b,onthesetizlneZandn>0}Solution:1、Solution:1、whena=1andb=2na。b= 纟Q.2、whena=1andb=/na。b=Inf<0.2212-33、 whena=2,b=3na。b=<［-2-34、 Okay.5、 whena=2andb=5na。b=一3<0.6、Okay.§4—6結(jié)合律、交換律及分配律例1、設(shè)A=Z,“?！笔钦麛?shù)中的加法：則Vr,s,teZ,(r+s)+1=r+(s+1)???“+”在Z中適合結(jié)合律。例2、設(shè)A=Z,“?！笔钦麛?shù)中的減法：則特取2,5,3eZ,(2一5)一3=一6，而2一(5一3)=0???(2-5)-3豐2-(5-3)這說明“-”在Z中不滿足結(jié)合律。［課堂練習(xí)］ontheR.whichofthealgebraoperationsareassociativeandcommutativeontheR.1、a。b=\a2+1、a。b=\a2+b2；2、a。b=|a+b|；3、a。b=|a-b|4、a。b=a-b；5、a。b=ab+1；6、a。b=max(a,b｝；7、a。b= (a+bH—1)。a+b+1Solution:1、J、J；2、X,J；3、J,J；4、X,X；5、X,J；6、J,J；7、J,J?！?—9一一映射，同態(tài)及同構(gòu)例1：申:Z=｛…2,—hO，1，2,???｝t2Z=｛???4,—2,0,2,4,???｝,其中9(n)=2n,VneZ，可知9顯然是一個雙射。例4、設(shè)｛Z,。｝與｛A,。｝同例3,今設(shè)T:ZtA為t(n)=1,VneZ，那么Vm,neZ,t(m。n)=1,t(m)cT(n)=1x1=1?t(m。n)=t(m)oT(n),即t是Z到A的同態(tài)映射

｛z,。｝與｛A,。｝同上,n為偶數(shù)n為奇數(shù)Vn為偶數(shù)n為奇數(shù)若n,m均為偶數(shù)時nn+m為偶數(shù)，b(n。m)=b(n+m)=1,而b(n)cb(m)=1x1=1nb(n。m)=b(n)cb(m)若n,m均為奇數(shù)時nn+m為偶數(shù)，b(n。m)-b(n+m)=1,而b(n)cb(m)=(-1)x(-1)=1nb(n。m)-b(n)cb(m)若n奇而m偶時nn+m為奇數(shù)，則b(nom)-b(n+m)--1,而b(n)cb(m)-(-1)x1--1nb(n。m)-b(n)cb(m)(4)若n偶而m奇時同理知b(nom)-b(n)ob(m).由(1)?(4)知,b是Z到A的同態(tài)映射.思考題2：試證：(1)｛N*,?｝與｛N，-｝不同構(gòu)(為普｛乙+｝與｛乙?｝不同構(gòu).｛Q,+｝與｛Q*，-｝不同構(gòu)(其中Q*為非零有理數(shù)集).思路：(反證法)若N*仝N，且p是N*到N的同構(gòu)映射。貝I」申(1)—1,令p(0)—a(..a豐1),..a—p(0)—p(0-0)—p(0)p(0)—a2.a—1,推出矛盾(反證法)若Z二Z，且p是Z到Z的同構(gòu)映射。貝I」p(0)-1,令p(n)-2???1-p(0)-p(n-n)-p(n)p(-n)-2p(-n),推出矛盾.(反證法)若Q二Q*，且p是Q到Q*的同構(gòu)映射。貝p(0)-1,令p(q)--1?1-(-1)(-1)-p(q)p(q)-p(q+q)n2q-0,?.q-0,推出矛盾§10等價關(guān)系與集合的分類課堂訓(xùn)練：1、 在Z中，哪兩個整數(shù)是模4同余的：3與7，-11與2，21與-7,-9與15。42、 在Z中，屬于[2]的整數(shù)是：16，-6，20，-30。3、在Z中，哪兩個剩余類相等：［-3］與［9］；［-12］與［32］；［-1］與［-10］；［-7］與［31］。4思考題：1、ForsetA={a,b,c,d},givetwopartitionsofAandthecorrespondingrelationsSolution:TwopartitionsofAareQ={{a,b},{c,d}}andcorresponding1equivalencerelationsare:a?1a,b?1b,a?1b,b?1a，c?1c,d?1d,c?d,d?c111：a?2a,b?2bc?2c,d?2d，c?2d,d2?c22、Whichofthefollowingisanequivalencerelationontheindicatedset,ifitis,givecorrespondingpartition.On Z,m^nif m\=\n\.On Z,m^nif m-nis a multiple of4.On R,leta-b ifa-be QOnQ,,m^nifm-neZOnRxR,let(a,b)?(c,d)ifa2+b2=c2+d2第二章群論§1群的定義一、 半群定義1.設(shè)G為任一非空集合，G上定義了一個能封閉的代數(shù)運(yùn)算“?！保绻??！睗M足結(jié)合律，即Va,b,ceG,(a。b)。c=a。(b。c)，那么代數(shù)體系{G,。}叫做是一個半群.注：(1)乘法“?！钡谋磉_(dá)形式上，以后都用“ab”來替代“a。b”.(2)在不發(fā)生混淆的前提下，半群{G,。}可簡記為G.定義2.設(shè){G,。}是一個半群，那么?如果乘法“?！睗M足交換律，則稱{G,。}為可換半群.?如果G是有限集，則稱{G,。}為有限半群.例1、{Z,+},{Z,?}都是半群，并且是可換半群其中“+”和“?分別是通常的加法和乘法。（但不是有限半群）同理：{Q,+},{Q,?},{Q,?}{R,+},{R,?},{R,?},{C,+},{C,?},{0,?},｛N,+｝,｛N,?｝,｛丙,?｝,｛丙,+｝都是可換半群。例2.取F為任一數(shù)域，M(F)為F上一切n階方陣組成的集合。若“+”和“?”均為n通常矩陣的加法和乘法，那么｛M(F),+｝和｛M(F),?｝均為半群，但｛M(F),+｝為可換半n n n群，而當(dāng)n>1時，｛M(F),?｝不是可換半群。n若M(F)表示一切非零矩陣(n階)組成的集合，那么■［必n(F),+｝和｛必n(F),?｝都不是半群了(為什么？)例3、設(shè)A=｛123,4｝，而S=P(A)—A的全部子集構(gòu)成的集合，通常叫做A的幕集。那么｛S,□｝及｛S,U｝都是有限可換半群。二、 monoid(幺半群)定義3、設(shè)｛A,。｝是一個代數(shù)體系，如果A中存在一個特殊的元素，具有性質(zhì)：VaeA都有ea=ae=a，那么稱e為A的關(guān)于“?！钡膯挝辉?恒等元)。結(jié)論1：若｛A,。｝中有單位元e,那么單位元一定是唯一的.證明：設(shè)e,e都是A的單位元，ne=ee=e.121122定義4：設(shè)｛G,。｝是一個半群，如果G中含有單位元e,那么稱｛G,。｝為monoid，通常寫為｛G,。,e｝.例4在例1中，乙Q,C,N*關(guān)于“+”都是monoid，因為有單位元0而關(guān)于“?”也是monoid，因為1是單位元。三、 群定義5：設(shè)｛G,。,e｝是一個monoid，如果對aeG,滿足：3a'eG,使aa'=a'a=e,那么稱a'是a的逆元(正則元)。結(jié)論2：若a在monoid｛G,。,e｝中有逆元，那這個逆元是唯一的，所以，可以將a的逆元同意記為a-1.證明：設(shè)aa"都是a的逆元，那么aa'=a'a=e,且aa"=a''a=e,于是a=ea=(aa)a=a(aa)=ae=a.定義6：(群的定義)設(shè)｛G,。,e｝是一個monoid，如果｛G,。,e｝中每個元素都有逆元，則稱｛G,o,e｝是一個群。說的更具體一點(diǎn)：G對“o”來說是一個群應(yīng)滿足下列四條：（1） “o”在G中是封閉的（即“o”是代數(shù)運(yùn)算）（2） “o”滿足結(jié)合律（即｛G,o｝是半群）（3） ｛G,。｝中有單位元e，（即｛G,。｝是monoid）（4） ｛G,o｝中每個元都有逆元（即｛G,o｝是群）課堂訓(xùn)練：由群的定義，判斷下列代數(shù)體系中哪些是群？為什么？1、｛Z,+｝2、｛Z,?｝3、｛Q,+｝4、｛Q,?｝5、｛Q,?｝6、｛R,+｝7、｛R,?｝8、｛R,?｝9、｛C,+｝10、｛C,?｝11、｛C,?｝12、｛N,+｝13、｛N,?｝14、｛N*，+｝15、｛N*,?｝16、｛M（F）,+｝17、｛M（F）,?｝18、｛M（F）,?｝19、｛S,D｝n n n20、｛S,U｝解：1是群.因為｛乙+｝有單位元0（即e=0），而Vne乙n的逆元為—n，因為n+（—n）=（—n）+n=0.（譬如3的逆元為-3,…）同理3,6,9,14,16都是群.2不是群.因為｛Z,?｝有單位元1,而0eZ,0不可能有逆元（Ta0=0豐1）同理4,7,10,15,17也不是群，而13中雖然無零，但除了1夕卜，N中其它元都沒有逆元,所以13也不是群。18不是群，因為若AeM（F）且|A|=0時，A不可逆nA沒有逆元.n19不是群，因為除了0外，其它元都沒有逆元.20不是群，因為除了S外，其它元都沒有逆元.注意：在群｛G,o｝中,通常稱“°”為乘法，因而稱群G為乘法群。但有時我們會遇到用“加法”做成的群，例如什么的1，3，6，9，16.這時，我們稱這類群為加法群。為此，這些群中的單位元習(xí)慣上稱為零元，并統(tǒng)記為0,每個元的逆元習(xí)慣上叫做負(fù)元，統(tǒng)記為-a,（而不用a-1）（譬如群｛乙+｝中的零元為0,3的負(fù)元為-3）一種重要的群：我們應(yīng)該能回憶得起第4講中曾出現(xiàn)過的模n的剩余類集合Z=｛[0],[1],[2],…,[n—1]｝n為了便于掌握，現(xiàn)令n=4，我們期望能使Z成為一個群.4第一步：在Z中定義代數(shù)運(yùn)算，使其成為一個代數(shù)體系：在Z4=｛[0],[l],⑵,[3]｝中規(guī)定加法“+”[i]+[j｝=[i+j]其中⑵十⑶二[1],[1]+[2]=⑶…事實上，可用運(yùn)算表來完全刻劃“+”可知“+”是封閉的。+[0][1][2]⑶[0][0][1][2]⑶[1][1][2]⑶[0][2][2]⑶[0][1]⑶⑶[0][1][2]第二步：驗證“+”滿足結(jié)合律，進(jìn)而使｛Z，+｝成為半群。4事實上，V[A],[B],[c]GZ4,則([A]+[b])+[c]二[A+b]+[c]二[(a+b)+c]=[a+(b+c)]二[a]+[b+c]二[a]+([b]+[c]):.([a]+[b])+[c]二[a]+([b]+[c])第三步：找出｛z,+｝中的單位元(即零元)，使其為monoid4事實上，V[a]gZ,[a]+[0]=[0]+[a]=[0+a]=[a]/.[0]就是｛Z，+｝的零元。44第四步：說明Z中每個元都有逆元(即負(fù)元)，使其成為群(即加法群)4事實上，從運(yùn)算表中就容易地找到[0]的負(fù)元是本身，訂的負(fù)元為[b],b]的負(fù)元為本身,b]的負(fù)元為1].由上述四步的論述知｛Z，+｝就是一個加法群，叫做整數(shù)模4的剩余類加群。4一般而言：利用上述的論證，同樣可以定義｛Z，+｝為加群，叫做整數(shù)模N的剩余類n加群。定義7：設(shè)｛G,。｝是一個半群，若有一個特別地元EGG,使LVagG，都有ea=a.L則稱e為G的左單位元.L而對agG，若存在agG，使aa=e，則稱a為a的左逆元，記a=at.LL定義8:(群的第一定義)設(shè)｛G,。｝是一個對“。”封閉的半群，如果Va,bgG,方程ax=b,ya=b在G中有解，那么稱G為群.定義9(群的第二定義)設(shè)｛G,。｝是一個對“?！狈忾]的半群，而且G中存在左單位元e,L且VaeG:a都有左逆元，那么G為群。下面說明：群的第二定義Io|群的第0定義o群的第一定義群的第二定義二群的第0定義：已知｛G,。｝是半群，且有單位元.G中每個元a都有逆元.由于單位元必是左單位元，逆元必是左逆元，故利用群的第二定義知｛G,。｝是群.群的第0定義二群的第二定義|：已知｛G,。｝是半群，e是G的左單位元，任一個aeG,a有左逆元at，下面須證：LLa-1也是a的右逆元：La-1eGna-1本身也有左逆元a'，使a'a-1二e于是LLLLaa-1=e(aat)=(a'aT)(aa-1)=a'(a-1a)a-1=a'(ea-1)=a'a-1=eLLLLLLLLLLLaa-1=ena-1也是a右逆元。故a-1=a-1=a-1.LLLLR左單位元e也是右單位元：LVaeG,貝Ua-1a=e,aa-1=e，由(1)/.ae=a(a-1a)=(aa-1)a=ea=anae=aLLLLLe=e:=e.LR這說明：G中有單位元，每個aeG都有逆元a-1，由群的第0定義知｛G,o｝是群.思考題：上述(2)的證明中要用到(1)的結(jié)果，能否不使用(1)也將(2)證出?［證明］：VaeG，由條件知a有左逆元a'，而a'又有左逆元a''，于是a'a=e,a''a'=e.進(jìn)而：LLae=e(ae)=(aa)(ae)=a(aa)e=aee=ae=a(aa)=(aa)a=ea=aLLLLLLLLL群的第一定義n群的第0定義I：Va,beG,貝【Jaa-1=e=a-1a/.a(a-1b)=eb=bna-1b是ax=b的解，并(ba-1)a=be=b/.ba-1是ya=b的解由群的第一定義nG是群.群的第0定義n群的第一定義I：取定beG,由條件知yb=b在G中有解e,即eb=b，須證e是G的左單位元.事實上，VaeG,故bx=a在G中有解(條件)，設(shè)解為cnbe=a:.ea=e(bc)=(eb)c=be=a，由a的任意性ne是G的左單位元.VaeG,則ya=e在G中有解a'，使a'a=e,「.a'是a的左逆元.因為G中有左單位元，且G中每個元a都有左逆元，由前面的論證可知，左單位元必是單位元，左逆元必是逆元，利用群的第0定義nG是群。§2—3單位元、逆元、消去律及有限群的另一定義結(jié)論1：當(dāng)n二p—素數(shù)時，｛Zn，-｝必是一個群.證明：?(Zp中元素對乘法是封閉的)TZp=｛[1],[2],…」p-1]｝V[a],[b]eZp，則p不整除a，p不整除b.由于p是素數(shù)，由素數(shù)的性質(zhì)知p不能整除ab(?.?若p|abnpa或p|b)。由等價類的定義n[ab]豐[0](?.?[ab]=⑹op|ab一0)，這表明[ab]eZp。?(結(jié)合律成立)V[a],[b],[e]eZp，我們有[a]([b][e])=[a][be]=[a(be)]=[ab][e]=([a][b])[e].?(存在單位元)V[a]eZp,[a][1]二[a]二[1][a],「.[1]是｛Zp,?｝的單位元.?(每個元都有逆元)V[a]eZpnp不整除a,由于p是一個素數(shù)n(p,a)=1,「.存在u,veZ,使pu+av=1,即[pu+av]=[1],]但[pu+av]二[pu]+[av]二⑹+[av]二[av]二[a][v],這表明有[v]豐[0],使[a][v]二[1]n[v]是[a啲逆元，即[v]二[a]-1。結(jié)論2：設(shè)｛G,。｝是一個monoid，令H=｛gge6且&可逆｝，實證｛H,。｝是一個群.證明：因為e是可逆的，所以H中有單位元enHH0,其次Va,beH,那么a-1,b-1分別是它們的逆元，即aa-1=a-1a=e,bb-1=b-1b=e,于是(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e,這表明：ab有逆元b-1a-1, abeH.由于Hu｛G,。｝，故H自然滿足結(jié)合律，所以H是群.注：從上述討論中自然知道：若e是群G的單位元ne-1二e,VagGn(a-1)-1二a，若a,b可逆nab也可逆且(ab)-1=b-1a-1例1乘法群Z5=｛[1],[2],[3],[4]｝中，[1]是單位元，顯然|[1]|二1，而…,[2]12二[2]8二[2]4二[1],|[2]二4同理知|[3]|二4,|[4]|二2.例2加法群｛Z，+｝二｛[0],[1],[2],[3],[4]｝中，⑹是單位元，5???|[0]|二1,|[1]二5,|[2]|二5,[3]|二5,[4]|二5例3加法群｛Z，+｝中，0是單位元.???|0|二1,而其它元素a,a|=+?例4乘法群｛RR,?｝中，1是單位元，???|1|二1,-1|二2，而其它元素的階都是無限.注：加法群匕，+｝中，元素的階的定義自然需做相應(yīng)的變化：設(shè)agG,能夠使ma=0的最小正整數(shù)m叫做a的階，若這樣的m不存在，則稱a的階是無限的，a的階仍記為|a|.例5設(shè)G二｛8,8,8｝是由x3=1的三個復(fù)根組成的集合，而G中的代數(shù)運(yùn)算“?！笔?12通常的乘法，那么｛G,。｝必為一個乘法群.其中習(xí)慣上記為G，叫做3次單位根群。這里3-1+尸-1-尸8二1,8二 ,8二 01222思考題及課堂訓(xùn)練：一、 若|G|=+r,即使｛G,。｝能滿足封閉性、結(jié)合律和消去律，貝J｛G,。｝也不可能成為群，這種說法對嗎？二、 設(shè)G是個有限半群，那么G為群oG中有消去律成立.三、 設(shè)G是群，那么VagG,若存在mgZ+，使am二en|a|<m(可知a的階是有限的)VagGn|a|=a-1證明：(1)由于am=e,這本身說明|a|< 令|a|二k，若k>m，則與元素的階的定義矛盾，故知k<m.(2)若|a|二m，那么am=e,另夕卜(a-1)m二(am)-1二e-1二e,由(1)知|a-]|<m，若a-1=nn(a-1)n=en(an)-1=enan=e-1=e|a|<n,于是有n<m,且

m<nnm=nn，即|a=a-1.§4群的同態(tài)與群的同構(gòu)“o”為代數(shù)運(yùn)算,例3:設(shè)A=“o”為代數(shù)運(yùn)算,*問題*問題*：lA,。｝可否成群?通過運(yùn)算表也許能解決單位元和逆元問題，但U,。｝的結(jié)合律的檢驗,是相當(dāng)費(fèi)事的,怎么辦?*處理方案*:另取一個群一整數(shù)加群｛乙+｝作映射:申：ZTA,其中9(x)=a,當(dāng)x三oG),*(x)=b,當(dāng)x三1(3)申(x)=c,當(dāng)x三2(3)易知，少是滿射，但少能否保運(yùn)算呢?下面利用｛Z，+｝是交換的特點(diǎn)，分六個情形來檢驗:?如果x三0(3)且y三0(3)nx+y三0(3),^(x+y)=a=aoa=^(x)°q(y),.^(x+y)=^(x)°q(y)?如果x三0(3)且y三1(3) x+y三1G),￥(x+y)=b=aob=^(x)°*(y).?.￥(x+y)=*(x)°*(y)?如果x三0(3)且y三2(3) x+y三2(3),^(x+y)=c=aoc=￥(x)。*(y),.^(x+y)=^(x)。*(y)?如果x三1(3)且y三1(3) x+y三2(3),+y)=c=bob=^(x)o^(yLqCx+y)=^(x)°*(y)?如果x三1(3)且y三2(3) x+y三0(3),+y)=a=boc=^(x)。*(y),.^(x+y)=^(x)。*(y)?如果x三2(3)且y三2(3)nx+y三1G),￥（x+y）=b=coc=9（x）。9（y）,.：￥（x+y）=9（x）。9（y）由上逐一驗證知，9能保運(yùn)算，?-9是同態(tài)滿射,由定理1n?,。}是一個群.例4給定加法群(FL]+}.其中“+”為多項式通常的加法.并設(shè)9,F[x]TF[x].其中Vf（x）eF[x],申（f（x））=f'（x）9(f(x)+g(x))=(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)=9(f(x))+9(g(x))..故9是(FL]+} 的一個群自同態(tài).例5設(shè)G是一個群.令EndG表示G的一切自同態(tài)組成的集合，那么{findG》。為一個monoid.其中“?！睘橛成涞暮铣?例6設(shè)G為群，先固定G中一個元素aeG.規(guī)定9:GTG..9(x)=axa-1.VxeG,aa那么9必是G的一個自同構(gòu).a證明：9是單射:Vx,yeG,若x豐y,那么必有9(x)北9(y).否則，若9(x)=9(y).a a a a a則有axa-1=aya-1，由群中的消去律nx=y,n9(x)=9(y)，?是單射。aa9是滿射： VgeG，取x=a-g1eGa .那么a9(x)=axa-1=a(a-1ga)a-1=gnx是g的原象.9是滿射.9a保運(yùn)算：其實，aVx,yeG，那么9(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=9(x)9(y)，a aa由上知，9a是一個自同構(gòu)。習(xí)慣上稱9a為G的內(nèi)自同構(gòu).例7設(shè)G為群.那么G的一切自同構(gòu)組成的集合記為AutG.，而G的一切內(nèi)自同構(gòu)組成的集合記為InG.于是我們有：AutG.是群，其中，運(yùn)算就是映射的通常的乘法.InG是群，其中運(yùn)算就是映射的通常的乘法.例8.設(shè)G為任意群，而映射9:GTG,為9(x)=x-1,VxeG試證：9是自同構(gòu)oG是可換群。**證明**："u"首先，易知9是雙射。事實上，當(dāng)x豐y時，自然x豐y，?9是單射，VeG,貝i」9(a-1)=(a-1)-1=a這表明a-1是a的原象， 9為滿射。其次,

須證P能保運(yùn)算，Vx,ygG,9(xy)二(xy)-1二x-1y-1二(yx)-1n(xy)-1二(yx)-1nxy二yx.???9能保運(yùn)算，即9是一個G的自同構(gòu)，“n” 9是自同構(gòu)，nVx,ygG.有9(xy)=9(x)9(y)男B么(xy)-1=9(xy)=9(x)9(y)=x-1y-1=(yx)-1nxy=yx.由x,y的任意性nG是個可換群，（注：這里用到性質(zhì)：a-1=b-1oa=b）§6置換群（pormutationgroup）<1 2 3、<12<1 2 3、<123、T=<231丿<312丿二.置換的乘積.設(shè)a=￡,2,3}的任二個置換兀那么由于兀和T都是變換,于是兀T也是A的變換.且有兀T：1T1,2T2,3T3.用本教材的記法為：1加=1,2加=2,3加=3.換句話說:血3、換句話說:血23丿<1兀=0I1S3<1兀=0I1S3,兀,兀,兀34523、<123、,K=32丿2V2 13丿}.其中<1例1. 計算下列置換的乘積：(1)兀T,(2)兀2,(3)KT2<123、<123、<123、解：兀T==/IJ1?<312丿<231丿V123丿<123、<123、<123兀2==23丿23丿V312/兀T2=（KT）T<123、<123、<123、=T23丿312丿V312丿注意：置換乘積中,是從左到右求變換值,這是與過去的習(xí)慣方法不同的.例2. 設(shè)A=6,2,3},那么A的全部一一變換構(gòu)成的三次對稱群為

(123、(123'(123、兀=3[231丿，“4=[312丿兀=5[321丿所以S3二3!=b.其中兀0是恒等變換?即兀0是S3的單位元.定理1.n次對稱群S的階是n!.n由于置換群也是變換群,故必蘊(yùn)含著變換群的一切特征.譬如,不可交換性：(1豐\3](123丫123、(1豐\32丿—[213丿[132丿定義2.S中的一個將i變到i,i變到i，…,i變回到i而其余文字（如果還有其他文字）n 1 2 2 3k 1123不發(fā)生變化的置換，叫做k—循環(huán)置換（或稱—循環(huán)），記為（Ji2,'…ik）123例3?在S5中.(15]5丿3）叫作(15]5丿3）叫作3—循環(huán)置換.(11丿345） 叫作5—循環(huán)置換.(15]5丿昭）叫作1—循環(huán)置換.2）循環(huán)置換分解很容易發(fā)現(xiàn)，并不是每個置換都能成為循環(huán)置換.比如5元置換很容易發(fā)現(xiàn)，并不是每個置換都能成為循環(huán)置換.比如5元置換工(11丿可能是循環(huán)置換,但我們會發(fā)現(xiàn)(12(12345「(12345](12345][34521丿[32541丿4325丿=(1 3 5)2 4)(*)可見，T雖不是循環(huán)置換，但它是循環(huán)置換之積。定義3.設(shè)兀=（,i,…,i）和T=（j,j，…，j）都是循環(huán)置換.1 2 k 1 2 s如果兀與T不含相同的文字，那么稱兀與T是不相連的.定理2.每一個n元置換都可以寫成若干個不相連的循環(huán)置換的乘積?（循環(huán)置換分解定理）循環(huán)置換的性質(zhì)結(jié)論1.k—循環(huán)置換兀=（ii…i）的階就是k12k

結(jié)論2：k—循環(huán)置換兀二U…卩的逆置換也是循環(huán)置換且“-1二Cj…i2i；)結(jié)論3.兩個不相連的k—循環(huán)置換是可以交換的。結(jié)論4.任一個k—循環(huán)置換兀=結(jié)論2：k—循環(huán)置換兀二U…卩的逆置換也是循環(huán)置換且“-1二Cj…i2i；)結(jié)論3.兩個不相連的k—循環(huán)置換是可以交換的。結(jié)論4.任一個k—循環(huán)置換兀=Ci…i)=CiXi)…(ii)(i)=CiXiXi)???Ci)k—1k12k 1213 1k—11k 1k2k3k定義4.每個2—循環(huán)置換都叫做一個對換.定理3.每個n元置換都能表示成若干個對換的乘積代二(2 5 3 1 7)例4.二(2 5)(2 3)(2 1)(2 7)二(2 7)(5 7)(3 7)(1 7)結(jié)論5?設(shè)j電Ci…i).且( i…i)=(ji12k 1 2k 1i…i)j2ki)1置換的奇偶性.結(jié)論6.任意一個置換表成對換之積時，表示式中對換個數(shù)的奇偶性不變.定義5?一個置換兀叫做偶(奇)置換o?？梢员沓膳?奇)數(shù)個對換之積.結(jié)論7.一個k—循環(huán)置換兀是偶(奇)置換ok為奇(偶)數(shù).定義6.n次對稱群S中全部偶置換組成的集合

n中:AI=2s|=2.n2n2構(gòu)成一個群.叫做n次交錯群.其(123456、； T=(123456、； p=(123456、<613542丿231654丿<316452丿兀=1)求兀—1,P—1,T—1;課堂訓(xùn)練:給出下列6元置換.2)3)求兀,P和P的組織置換表達(dá)式,并求出兀七和PT—1,4)求I兀I,TI,Ipl.5)寫成對換之積,并判斷其奇偶性.解：1)兀T6、1丿(1T—1=6、4丿6、3丿2)兀T二(123456、(123456、(1 2 3456、<613542丿<231654丿21563丿(123456、(123456、(123456、Tp—<231654丿<316452丿—63254丿兀=G62)4 5) t=(123)4 6) p=(1362)—G26)45)(23)46)=(13)2456)TOC\o"1-5"\h\z肌=G 6 2)Q 5)( 2 3)46)=G 4 56 3)4=b,]=6；Tl=b,]=6； |p|=4兀=G6)( 2)4 5)t=(1 2)( 3)4 6) p=(1 3)( 6)( 2)叩=G 6 2)4 5)( 3 62)=G2 3 6)4 5)= G2)( 3)( 6)4 5)???兀是奇置換；T是奇置換；P是奇置換；兀P是偶置換.§8子群(Subgroups)例1設(shè)G為任意一個群，那么由G的單位元組成子集{e},自然有{e}<G,另外G本身也有G<G，所以G一般有兩個子群，統(tǒng)稱它們?yōu)榈腉平凡子群.如果G除了平凡子群外還有其他子群，那就稱為G的真子群，記為H<G.思考題2：一個群G能表成它的兩個真子空間的并集嗎？答：不能。如果H<G,H<G,且G=HuH。那么必有H匸H且H匸H。故12121221存在，heH且h電H，heH且h電H，而G=HuH是群nhheG，即111222211212hheH或hheH，但若hheHnh=h-i(hh)eH矛盾。同理，若12112212121121hheHnh=(hh)h-1eH，矛盾。這表明G=HuH是不可能的。1221122212例2 設(shè)K={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}，則易知K是群。(即K<S)，現(xiàn)令TOC\o"1-5"\h\z4 4 4 4H={(1),(12)(34)}，H={(1),(13)(24)}，H={(1),(14)(23)}。123可知H都是K的真子群(i=1-2-3)，顯然K=HuHuH。i 4 4 1 2 3例3 對于三次對稱群S={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，3令H={(1),(12)},H={(1),(13)},H={(1),(23)},H={(1),(123),(132)}，1 2 3 4可知H<S.(/=1,2,3,4)，并顯然S=HUHUHUH,i3 3 1 2 3 4上二例表明：群有可能表成三個或四個真子群的并。例4 K={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.若令e=(1),a=(12)(34)4b=(13)(24),c=(14)(23).那么a2=b2=c2=e且ab=ba=c,ac=ca=b.be=cb=a.這說明:K=(a,b)=(a,c)=(b,c).4也就是說，K可由a,b,c中任意兩個元素生成，但不可能由一個4元素生成，即K不是循環(huán)群。4思考題4取S的一個子集S=｛(12),(123)｝，試問S生成的子群H=(S)中包含了哪些元3素？試問一個群的兩個不同的子集能生成同一個子群嗎？解：H=(S)中元素是S中元素一切可能的元素和逆元之積組成的。即：含有(12)(12)=(1),(123)(123)=(132),(12)(123)=(13),(123)(12)=(23)。自然還有(12),(123).???H=(S)二｛(1),(12),(13),(23),(123),(132)｝二S3另外：設(shè)T=｛(12),(132)｝，但N二(T)二S(驗證過程略)3由上可知盡管T豐S.但(T)=(S)n兩個不同的子集可能生成相同的子集。訓(xùn)練題設(shè)Ia1=8，找出G=(a)的全部子集。(注：有二個重要命題需要用到(1)循環(huán)群的子群必是循環(huán)群。(2)n階循環(huán)G中，n的任一個正因子r，G都有唯一的一個r階子群)解：由上命題(1)知，G的每個子群都必是循環(huán)群。由命題(2)知8的正因子只有1,2,4,8nG只有4個子群。H=(e).H=(a4). H=(a2)=(a6) H=(a)=(a3)=(a5)=(a7)1 2 3 4作業(yè)：P65(1)(2)(5)(6)注：?模12的剩余類加群Z=([1])是12階循環(huán)群，故可用上訓(xùn)練題的方法解決。12?e=ak=ak-1ana-1=ak-1§9子群的陪集(Cosetofsubgroup)思考題1若H<G，又設(shè)aeG，那么“Ha=aH”成立嗎?為什么？答：由于G不一定是變換群，所以Ha=aH未必成立.比如,在引例2中,(123治=&23)(23)｝，而H(123)=&23)(13)｝,???(123治豐H(123).習(xí)題課習(xí)題1證明S中每個元都可以寫成(12)，(13)的乘積。3進(jìn)而證明S中的每個元都可以寫成(12),(13)，…，(1n)中若干個對換的乘積。證明：（1）S={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}3于是：（1）=（12）（12）（13）（13）（12）=（12）（13）=（13）（23）=（123）（12）=（12）（13）（12）（123）=（12）（13）（132）=（13）（12）（2）分析：從（1）中看出：若輪換中出現(xiàn)1,那么用公式：（ii…i）二（ii）（ii）…（ii）即可。12m12131m若輪換中沒出現(xiàn)1,那么使用公式：（ii…i）二（jii…i）（ji）即可。12m12m1（這里j=1）證明思路：第一步：因為S中每個置換都可寫成若干個不相連的輪換之積，所以只需討論輪換即可：n第二步：如果輪換i…i中有1,則可以寫成（1,i',i'，…,i'），由第一個公式即可。1m 12 m-1第三步：如果i…i不含1,那么用第二個公式（ii…i）二（1ii…i）（1i）即可。1m 12m 12m1習(xí)題2（1） 設(shè)G=（a）是一個無限循環(huán)群，又設(shè)G二（b）是一個6階循環(huán)群，證明：G?G（同態(tài)）（2） 利用（1）的證明思路證明：若G=（a）是無限循環(huán)群，而G二（b）是n階循環(huán)群，證明G?G。（3） 有上面的基本，則可證明61頁習(xí)題5。證明：（1）■/G={…。-3,a-2,a-1,e,a,a2,a3,...}.G={e,b,b2,b3,b4,b5}.作申：GTG，其中VameG.有申（am）=br（這里m=q6+r（0<r<6））.首先:VbieG0<i<5. .?.取aieG有Q（a「）= 是滿射.其次.Vam,aneG.那么m=6q+r,n=6q+r.其中0<r<5（i=1,2），那么1 1 2 2 im+n=6（q+q）+（r+r）=6（q+q）+（6q+r）=6（q+q+q）+r（0<r<5）12121212申(aman)=申(am+n)=br1+r2=br.而申(am)申(an)=br1br2=br1+r2=br.??申(aman)=申(am)申(an)??由上可知，是同態(tài)滿射，即G?G利用上述方法，證明(2)的思路：(i)若G是無限群。則G仝Z仝G。由同構(gòu)的傳遞=G仝G,自然有G?G。(ii)若IGI二n。由(2)可得結(jié)果。習(xí)題3：P65.Ex4循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。證明：設(shè)G=(a)是一個循環(huán)群。而H<G,如果H={e}nH=(e)是單元群，自然是由e生成的循環(huán)群。如果H豐{e}.而???0豐Hn3xeH.但H<G二(a)nx二ak,kgZ，而由子群的性質(zhì)知a-keH.這說明存在正整數(shù)m使ameH,于是可證H二(an).事實上，VateH那么t=nq+r0<r<n.若r豐0則ar=at-nq=at-(an)-qeH.r<n.這與n是最小正整數(shù)矛盾nr=0nn11..at=(an)qe(an).由at的任意性nH<(an)，而顯然(an)<H H=(an).習(xí)題4：設(shè)G=(a)是一個n階循環(huán)群，對于n的任一個正因子r，那么G都有唯一的一個r階子群。證明：?rInn=rtnlatI=r即H=(at)是r階子群。如果H也是G的一個r階子群.由習(xí)題3nH=(ak)且0<k<n.Iakl=r.k是最小者.令n=kg+u e=an=akg-a?na?=(ak)-geHnu=0(不然u<k，與k是最小者矛盾) ???kInnn=kq?即Iakl=q?故q=rn=kr,n=trnk=tH=H.nr階子群是唯一的.習(xí)題5：設(shè)G為群.(1)C(G)={xeGIVaeG,xa=ax}叫作群G的中心.證明C(G)<G.設(shè)S匸G，令N(S)二{xgGIxSx-1二S}.證明:N(S)<G設(shè)m為固定的整數(shù).令H={xgGIxm=e}.證明:H<G.習(xí)題6：在群同構(gòu)的意義下，試證四階群只有兩種，它們都是交換群。注：由習(xí)題6知，一切階小于等于5階的群都是交換群，進(jìn)而70頁習(xí)題7解決了。習(xí)題7：試證：任一個6階群中必有兩階子群，也必有三階子群?！?0不變子群、商群例1 如果G是一個交換群，那么G的任一個子群H都是不變子群。因為Ha={e,h,h，…}a={a,ha,ha,…}={a,ah,ah，…}=a{e,h,h，…}=aH12121212思考題1：若H<G且[G:H]=2.則HVG.(P74.Ex3)證：VxgG.若xgHnHx=H=xH.即xH=Hx.若xgH.則」xH豐H且xHuH=G.又有Hx豐H且G=HxuH.(都是G的陪集分解)，于是xH=G-H=HxnxH=Hx.故不論如何都有xH=Hx.nHVG.例2 設(shè)H<G，那么N(H)={xgGIxH=Hx}，叫做H在G中的正規(guī)化子。試證:H△N(H)<G證明：(N(H))<G:vegN(H)nN(H)H0.Vx,ygN(H).那么(xy)H=x(yH)=x(Hy)=(xH)y=(Hx)y=H(xy)nxygN(H).VxgN(H) xH=Hxnx-1(xH)x-1=x-1(Hx)x-1nx-1H=Hx-1x-1gN(H)由上知，N(H)<G.而顯然VxgH.有xH=H=HxnxgN(H)H<N(H).(HVN(H))：???已知H<N(H)?由N(H)的定義可知：VxgN(H).都有xH=HxnHVN(H).§11同態(tài)與不變子群思考1設(shè)申：GTG是群同態(tài),且N=kerCp),則設(shè)aWG.,那么QTLp(a)]=a,對嗎？設(shè)awG,那么 ￡'')=a對嗎？設(shè)H<G,那么申-1[p(H)LH對嗎?設(shè)H<G，那么pQ-i冷LH對嗎？答:(2)和(4)是正確的,而(1)和(3)是不正確的.第三章環(huán)與域§加群、環(huán)的定義例1.{R;+,?}中設(shè)Z為整數(shù)集,”+”和”?”為Z中通常的整數(shù)加法和乘法.易知{R;+,?}是一個環(huán).—習(xí)慣上稱它為整數(shù)環(huán)，記為Z.同理還有有理數(shù)環(huán)，實數(shù)環(huán)，復(fù)數(shù)環(huán)。上述的四個環(huán)都是由數(shù)組成。故稱為數(shù)環(huán).例2?偶數(shù)集2Z={…,-6,-4,-2,0,2,4,6,…}對于整數(shù)通常的加法和乘法也是一個環(huán).例3.設(shè)Z[i]={a+bi\Va,bwZ},按數(shù)的通常的加法也構(gòu)成一個環(huán),叫做高斯數(shù)環(huán).例4?任取定一個數(shù)域F.由F上一切一付元多項式組成的集合F[x]={axn+axn-i+…+ax+a\awF,nwN-1}關(guān)于多項式n n-1 1 0i通常的加法與乘法.也可構(gòu)成一個環(huán).這個環(huán){F[x];+;?}稱為關(guān)于x的多項式，或一元多項式環(huán).例3?在n階矩陣環(huán)M(F),(n>2)中?若AwM(F).那么A是左(右)零因子o|A|二0.n n證明：(=)若A是左零因子.o30豐BwM(F)?使AB=0.n如果\A\h0nB=0nT.「」A\=0(u) ???\A\=0,構(gòu)造地個齊線性方程組.

由方程組的性質(zhì)n(*)有非零解.c1c2c1c2，令B=c由方程組的性質(zhì)n(*)有非零解.c1c2c1c2，令B=c0…01c0…02c0…0nc1c2cnA是零因子。(Ac■1,Ao，…,ao:)c200思考題1:在例3.中,能證明A也必是個右零因子嗎?答:能.?/|A'|=|A|二0nA'B二B'A二0nA是右零因子.例4?剩余類Z是無零因子環(huán)om為素數(shù).m證明：m為素數(shù)oZ是一個乘法群oZ是半群oZ為無零因子環(huán)(由結(jié)論)m m m無零因子環(huán)的一個重要特性設(shè)｛R;+,?｝是一個無零因子環(huán)，那么加群｛R,+｝中每個非零元素的階彼此必相同.并且，若有限時必是素數(shù).思考題2.指出下列哪些元素是給定的環(huán)的零因子.(1)在M2(F)中?設(shè)A二21""0-1「,B=，C=_00__10_在Z中，它的全部零因子是哪些.12Z中有零因子嗎?11答：(1)???IA1=1C1=0nA,C是零因子，但B不是.Z中的零因子為[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]12Z中沒有零因子.11§4無零因子環(huán)的特征例4.若R中每個元a都有a2=a(稱a為幕等元)且R豐￡｝.那么R必為特征是2的交換環(huán).證明：VaeR，?2aeR，2a=(2a》=4a2=4a=2a+2an2a=0.由于R豐￡}nCh(R)》1.由a的任意性nCh(R)=2.VaeRn2a=0.即a=-a Va,beR.a+b=(a+b》=a2+b2+ab+ban一ab=ba,但a=-anab=ba即R是可交換的.練習(xí)1:設(shè)0豐aeR.如果a不是零因子nCh(R)=|a|.證明：若a|二g，由本講附注nCh(R)=s.若a|=n(???R未必是無零因子環(huán).n未必是素數(shù))?/na=0,那么VbeR..a(nb)=(na')b=0b=0.而a不是左零因子nnb=0.由于|a|=n.由特征的定義nCh(RI.練習(xí)2.若域F的階為偶數(shù)，即|F|=2n，那么Ch(R)=2.證明：(反證法)若Ch(F)=p豐2.那么Va豐0,b豐0eF且a豐b則(a)n(b)=￡}.顯然F中這樣的p階循環(huán)子群只有有限個?不好?沒有m+1個.那么這m+1個子群所含的中元素共有p+m(p-1)個.即p+m(p-1)=偶數(shù)=2n?但p+m(p-1)不可能是偶數(shù)，矛盾.§5子環(huán)、環(huán)的同態(tài)例1.對于環(huán)R而言，零環(huán)和R必是R的子環(huán) R的平凡子環(huán).例2?偶數(shù)環(huán)2Z是整數(shù)環(huán)的子環(huán)(但不是子整環(huán)).例3.整系數(shù)多項式環(huán)Z6)是多項式環(huán)FG)的子環(huán)例6.設(shè)9:ZTZ是環(huán)同態(tài)滿射，其中：9(n)=In］6顯然z是整環(huán)..z中沒有零因子，但在z中，b］和b〕、Cd都6是零因子.即：2顯然不是Z中的零因子，但9(2)=12］卻是Z6中的零因子?這告訴我們:非零因子的象可能會是零因子.例7.設(shè)R