2024屆安徽省安慶二中、天成中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆安徽省安慶二中、天成中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數(shù)列中，若，則（）A．10 B．15 C．20 D．252．若，下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且成等差數(shù)列，則等于()A． B． C． D．4．已知a,,且,若對,不等式恒成立,則的最大值為()A． B． C．1 D．5．已知，則的值為（）A． B． C． D．6．已知向量，，若，則的值為（）A． B．1 C． D．7．是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角8．設(shè)，則（）A． B． C． D．9．中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．10．某大學(xué)數(shù)學(xué)系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1，要用分層抽樣的方法從所有本科生中抽取一個容量為200的樣本，則應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為（）A．80 B．40 C．60 D．20二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線和將單位圓分成長度相等的四段弧，則________.12．若角的終邊過點(diǎn)，則______.13．已知圓，直線l被圓所截得的弦的中點(diǎn)為.則直線l的方程是________（用一般式直線方程表示）.14．一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________.15．已知向量，若，則________.16．已知，則的取值范圍是_______；三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知是遞增數(shù)列，其前項和為，，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項；（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請說明理由；（Ⅲ）設(shè)，若對于任意的，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值．18．如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=1．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．19．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.20．在中，已知，，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

直線MN的方程．21．愛心超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫單位：有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份每天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)216362574（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率；（2）當(dāng)六月份有一天這種酸奶的進(jìn)貨量為450瓶時，求這一天銷售這種酸奶的平均利潤（單位：元）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，得到，又由，代入即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，又由，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的通項公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了計算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題，.2、D【解題分析】

通過反例、作差法、不等式的性質(zhì)可依次判斷各個選項即可.【題目詳解】若，，則，錯誤；，則，錯誤；，，則，錯誤；，則等價于，成立，正確.本題正確選項：【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

由條件可得a3＝a1+2a2，即a1q2＝a1+2a1q，解得q＝1．代入所求運(yùn)算求得結(jié)果．【題目詳解】∵等比數(shù)列{an}中，各項都是正數(shù)，且a1，a3，2a2成等差數(shù)列，故公比q不等于1．∴a3＝a1+2a2，即a1q2＝a1+2a1q，解得q＝1．∴3+2，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差中項的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，考查了整體化的運(yùn)算技巧，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

由，不等式恒成立，得，利用絕對值不等式的定理，逐步轉(zhuǎn)化，即可得到本題答案.【題目詳解】設(shè)，對，不等式恒成立的等價條件為，又表示數(shù)軸上一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和的倍，顯然當(dāng)時，，則有，所以，得，從而，所以的最大值為1.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查絕對值不等式與恒成立問題的綜合應(yīng)用，較難.5、B【解題分析】sin(π+α)?3cos(2π?α)=0，即：sinα+3cosα=0，①又∵sin2α+cos2α=1，②由①②聯(lián)立解得：cos2α=.∴cos2α=2cos2α?1=.故選B.6、B【解題分析】

直接利用向量的數(shù)量積列出方程求解即可．【題目詳解】向量，，若，可得2﹣2＝0，解得＝1，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

本題首先要明確平面直角坐標(biāo)系中每一象限所對應(yīng)的角的范圍，然后即可判斷出在哪一象限中．【題目詳解】第一象限所對應(yīng)的角為；第二象限所對應(yīng)的角為；第三象限所對應(yīng)的角為；第四象限所對應(yīng)的角為；因為，所以位于第三象限，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查如何判斷角所在象限，能否明確每一象限所對應(yīng)的角的范圍是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，是簡單題．8、D【解題分析】

由得，再計算即可.【題目詳解】，，所以故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了以數(shù)列的通項公式為載體求比值的問題，以及歸納推理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.10、B【解題分析】試題分析：方法一:由條件可知三年級的同學(xué)的人數(shù)為,所以應(yīng)抽人數(shù)為,方法二:由條件可知樣本中一、二、三、四年級的人數(shù)比為4∶3∶2∶1,因此應(yīng)抽取三年級的學(xué)生人數(shù)為,答案選B.考點(diǎn)：分層抽樣二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0【解題分析】

將單位圓分成長度相等的四段弧，每段弧對應(yīng)的圓周角為，計算得到答案.【題目詳解】如圖所示：將單位圓分成長度相等的四段弧，每段弧對應(yīng)的圓周角為或故答案為0【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線和圓相交問題，判斷每段弧對應(yīng)的圓周角為是解題的關(guān)鍵.12、-2【解題分析】

由正切函數(shù)定義計算.【題目詳解】根據(jù)正切函數(shù)定義：.故答案為－2.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義，掌握三角函數(shù)定義是解題基礎(chǔ).13、【解題分析】

將圓的方程化為標(biāo)椎方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)垂徑定理得到直線與直線垂直，根據(jù)直線的斜率求出直線的斜率，確定出直線的方程即可．【題目詳解】由已知圓的方程可得，所以圓心，半徑為3，由垂徑定理知：直線直線，因為直線的斜率，所以直線的斜率，則直線的方程為，即.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于常考題.14、【解題分析】

根據(jù)眾數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.【題目詳解】因為一組數(shù)據(jù)2，4，5，，7，9的眾數(shù)是2，所以，這一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，2，4，5，7，9，因此這一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

直接利用向量平行性質(zhì)得到答案.【題目詳解】，若故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量平行的性質(zhì)，屬于簡單題.16、【解題分析】

本題首先可以根據(jù)向量的運(yùn)算得出，然后等式兩邊同時平方并化簡，得出，最后根據(jù)即可得出的取值范圍．【題目詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，因為，所以，即，因為，所以，即，所以的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的運(yùn)算以及向量的數(shù)量積的相關(guān)性質(zhì)，向量的數(shù)量積公式，考查計算能力，是簡單題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不存在（3）1【解題分析】

（Ⅰ），得，解得，或．由于，所以．因為，所以.故，整理，得，即．因為是遞增數(shù)列，且，故，因此．則數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列.所以.………………5分（Ⅱ）滿足條件的正整數(shù)不存在，證明如下：假設(shè)存在，使得，則．整理，得，①顯然，左邊為整數(shù)，所以①式不成立．故滿足條件的正整數(shù)不存在．……1分（Ⅲ），不等式可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，則.所以，即當(dāng)增大時，也增大．要使不等式對于任意的恒成立，只需即可．因為，所以.即.所以，正整數(shù)的最大值為1．………14分18、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)見解析.【解題分析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).【題目詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知：，由可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為：，很明顯平面AEP的一個法向量為，，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個法向量為：，其且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).19、（1）見解析（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先由面面垂直性質(zhì)定理得平面，則，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．試題解析：證明：（1）在平面內(nèi)，因為AB⊥AD，，所以.又因為平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.（2）因為平面ABD⊥平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD，，所以平面.因為平面，所以.又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又因為AC平面ABC，所以AD⊥AC.點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．20、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）邊AC的中點(diǎn)M在y軸上，由中點(diǎn)公式得，A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和的平均數(shù)為1，同理，B，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和的平均數(shù)為1．構(gòu)造方程易得C點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合中點(diǎn)公式，我們可求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)式即可求出直線MN的方程．解：（1）設(shè)點(diǎn)C（x，y），∵邊AC的中點(diǎn)M在y軸上得=1，∵邊BC的中點(diǎn)N在x軸上得=1，解得x=﹣5，y=﹣2．故所求點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣5，﹣2）．（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，﹣），點(diǎn)N的坐標(biāo)是（1，1），直線MN的方程是=，即5x﹣2y﹣5=1．點(diǎn)評：在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．21、（1）；（2）460元.【解題分析】

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求得最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應(yīng)的概率；（2）分別求出溫度不低于、溫度在，以及溫度低于時的利潤及相應(yīng)的概率，即可求解這一天銷售這種酸奶的平均利潤，得到答案．【題目詳解】（1）根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān)．如果最高氣溫