高階的無(wú)窮小

第二節(jié)極限§

1.2.1

數(shù)列的極限§

1.2.2函數(shù)的極限§

1.2.3函數(shù)極限的性質(zhì)和運(yùn)算§

1.2.4*函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系§

1.2.5函數(shù)極限存在判別準(zhǔn)則§

1.2.6無(wú)窮小量和無(wú)窮大量§

1.2.7無(wú)窮小量的性質(zhì)§

1.2.8無(wú)窮小量的比較1§

1.2.1

數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義概念的引入正六邊形的面積A1正形的面積正十二邊形的面積A2計(jì)算圓的面積21.數(shù)列的概念

按照某一法則,對(duì)每一n

N

,對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn,則得到一個(gè)序列

x1,x2,x3,

,xn

,

,這一序列叫做數(shù)列,記為{xn},第n項(xiàng)xn叫做數(shù)列的一般項(xiàng).2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

；注意：

(1).數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取(2).數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)3問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.通過(guò)觀察:當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),無(wú)限接近于1.引例觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì).42.數(shù)列極限的通俗定義

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果數(shù)列{xn}的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a,則常數(shù)a稱為數(shù)列{xn}的極限,或稱數(shù)列{xn}收斂a,記為axnn=￥?lim.

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),

xn無(wú)限接近于a.

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),|xn-a|無(wú)限接近于0.

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.

當(dāng)n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).

因此,若n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù),則當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),

xn無(wú)限接近常數(shù)a.53.數(shù)列極限的精確定義

設(shè){xn}為一數(shù)列

如果存在常數(shù)a

對(duì)于任意給定的正數(shù)e

總存在正整數(shù)N

使得當(dāng)n>N

時(shí)

不等式|xn

a|<e都成立

則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限

或者稱數(shù)列{xn}收斂于a

記為或如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.習(xí)慣上也說(shuō)極限定義的簡(jiǎn)記形式

0,

N

N

當(dāng)n

N時(shí)

有|xn

a|

.

6注：

(1).e的任意性，它是描述xn

與a的無(wú)限接近程度.(2).N與ε有關(guān)，但不唯一.(3)幾何解釋:(4).數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.當(dāng)n>N

時(shí),所有的點(diǎn)xn

都落在開區(qū)間(a-e,a+e),只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在這區(qū)間以外.7證明例1

證明對(duì)于任意e>0,要使|xn-1|<e,只要e<n1

,即e1>n

分析則當(dāng)n>N時(shí),就有即8例2

證明分析證明(設(shè)

),要使或只要?jiǎng)t當(dāng)n>N時(shí),就有所以9

例3

設(shè)|q|<1,證明等比數(shù)列1,q,q2,

,qn-1,

的極限是0.分析要使只要取自然對(duì)數(shù),得證明則當(dāng)n>N時(shí),就有所以10二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1(極限的唯一性)

如果數(shù)列{xn}收斂

那么它的極限唯一

證明:

假設(shè)同時(shí)有axnn=￥?lim及bxnn=￥?lim,

且a<b.

按極限的定義,

對(duì)于2ab-=e>0,

存在充分大的正整數(shù)N,

使當(dāng)n>N時(shí),同時(shí)有

|xn-a|<2ab-=e

及|xn-b|<2ab-=e,

因此同時(shí)有

2abxn+<及2abxn+>,

這是不可能的.所以只能有a=b.

11例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證明:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂

,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長(zhǎng)度為1的開區(qū)間

使當(dāng)n>N

時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.12定理2(收斂數(shù)列的有界性)收斂數(shù)列{xn}一定有界.證:

設(shè)取則當(dāng)時(shí),有從而有取

則有由此證明收斂數(shù)列必有界.注此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立.例如,雖有界但不收斂

.數(shù)列13定理3(收斂數(shù)列的保號(hào)性)

若時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起14子數(shù)列的收斂性注：例如，所謂子數(shù)列是指：數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列{xn}中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列{xn}的子數(shù)列（或子列）.

在子數(shù)列中，一般項(xiàng)是第k

項(xiàng)，而在原數(shù)列中卻是第項(xiàng)，顯然，15

定理4(收斂數(shù)列與子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列{xn}收斂于a，那末它任一子數(shù)列也收斂,且極限也是a.證:

設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)

時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明******************************************16注:若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極限,則原數(shù)列一定發(fā)散.故數(shù)列發(fā)散.

證：因?yàn)楫?dāng)時(shí),

證明

數(shù)列是發(fā)散的.17內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“

–N”

定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限思考與練習(xí)如何判斷極限不存在?方法1.

找一個(gè)趨于∞的子數(shù)列;方法2.

找兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列.18§

1.2.2函數(shù)的極限

一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限

如果當(dāng)x無(wú)限地接近于x0時(shí)

函數(shù)f(x)的值無(wú)限地接近于常數(shù)A

則常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

x0時(shí)的極限

記作

1.函數(shù)極限的定義分析:當(dāng)x

x0時(shí)

f(x)

A

當(dāng)|x-x0|0時(shí)|f(x)-A|0

當(dāng)|x-x0|小于某一正數(shù)d后

|f(x)-A|能小于給定的正數(shù)e

任給e

0

存在d

0

使當(dāng)|x-x0|

d

時(shí)

有|f(x)-A|

e

0limxx?f(x)=A或f(x)?A(當(dāng)x?0x).

19定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作幾何解釋:極限存在函數(shù)局部有界這表明:

20注1）語(yǔ)言表述

2）表示時(shí)有3)e

任意給定后，才能找到d

，d依賴于e

，一般的e

越小，d

越小.4)d

不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.當(dāng)時(shí),有無(wú)極限與

有無(wú)定義沒(méi)有關(guān)系.21例1證明(C為常數(shù))

證當(dāng)時(shí),成立,例2證明證取當(dāng)時(shí),成立,22例3.

證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要23例4.

證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此24例5.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有25

2.單側(cè)極限當(dāng)自變量x從x0的左(或右)側(cè)趨于x0時(shí)，函數(shù)f(x)有極

限A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的左(右)極限，記作或思考題:寫出左右極限的精確定義

3.單側(cè)極限和極限的關(guān)系

函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限與右極限均存在且相等，即

26例6.

設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:因?yàn)轱@然所以不存在.27

4.極限的性質(zhì)定理1

(函數(shù)極限的唯一性)定理2

(函數(shù)極限的局部有界性)如果f(x)

A(x

x0)

那么f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界

定理3

(函數(shù)極限的局部保號(hào)性)如果f(x)

A(x

x0)

而且A

0(或A

0)

那么在x0的某一去心鄰域內(nèi)

有f(x)

0(或f(x)

0)

如果當(dāng)x

x0時(shí)f(x)的極限存在,那么這極限是唯一的

定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)

如果當(dāng)x

x0時(shí)f(x)的極限存在

{xn}是任一收斂于x0的數(shù)列

則函數(shù)值數(shù)列{f(xn)}必收斂

且28證因?yàn)樗匀t當(dāng)時(shí),有記則定理2獲得證明.定理2

（函數(shù)極限的局部有界性）如果則存常數(shù)M>0和δ>0,使得當(dāng)時(shí),有|f(x)|≤M.29定理3

（函數(shù)極限的局部保號(hào)性）如果而且A

>0(或A<0),則存在常數(shù)δ>0,使得當(dāng)時(shí),有f(x)>0(或f(x)>0.)某一去心鄰域，當(dāng)x∈時(shí)，就有定理3如果，那末就存在著x0的證:就A>0的情形證明.所以取則當(dāng)時(shí),有

推論如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)

0(或f(x)

0)

且

f(x)

A(x

x0)

那么A

0(或A

0)

30二、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限類似地可定義如果當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)

f(x)無(wú)限接近于某一常數(shù)A

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x

時(shí)的極限

記為

0

X

0

當(dāng)|x|

X時(shí)

有|f(x)

A|

精確定義

結(jié)論

31幾何解釋:

0,

X

0,當(dāng)|x|>X時(shí)

有|f(x)-A|<e:水平漸近線

水平漸近線

如果￥?xlimf(x)=c,

則直線y=c稱為函數(shù)y=f(x)的圖形的

32例7.

證明證:取因此注:就有故欲使即33思考與練習(xí)1.若極限存在,2.設(shè)函數(shù)且存在,則是否一定有？34時(shí),有

§

1.2.3函數(shù)極限的性質(zhì)和運(yùn)算

一、無(wú)窮小運(yùn)算法則定理1.

有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.證:

考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說(shuō)明當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量.類似可證:有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小

.35設(shè)函數(shù)u在x0的某一去心鄰域{x|0

|x

x0|

1}內(nèi)有界

即

M

0

使當(dāng)0

|x

x0|

1時(shí)

有|u|

M

又設(shè)

是當(dāng)x

x0時(shí)的無(wú)窮小

即

0

存在

2

0

使當(dāng)0

|x

x0|

2時(shí)

有|

|

取

min{

1

2}

則當(dāng)0

|x

x0|

時(shí)

有|u

|

|u|

|

|

M

這說(shuō)明u

也是當(dāng)x

x0時(shí)的無(wú)窮小

證明

定理2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小

推論2

有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小

推論1

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小

36例1.求解:

利用定理2可知說(shuō)明:

y=0是的漸近線.37二、極限的四則運(yùn)算法則

(2)limf(x)

g(x)=lim

f(x)

lim

g(x)=A

B

推論1

如果lim

f(x)存在

而c為常數(shù)

則lim[c

f(x)]=c

limf(x)

推論2

如果limf(x)存在

而n是正整數(shù)

則lim[f(x)]n=[limf(x)]n

定理3

如果lim

f(x)=A

lim

g(x)=B

那么

(1)lim[f(x)

g(x)]=limf(x)

limg(x)=A

B

38證:(1)因則有(其中為無(wú)窮小)于是由定理1可知也是無(wú)窮小,再利用極限與無(wú)窮小的關(guān)系定理,知結(jié)論(1)成立.由定理2可知和是無(wú)窮小,再由定理1可知是無(wú)窮小,從而結(jié)論(2)成立.39數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則定理5

如果j(x)

y(x)

而limj(x)=a

limy(x)=b

那么a

b

不等式定理4

設(shè)有數(shù)列{xn}和{yn}

如果那么Axnn=￥?lim,

Bynn=￥?lim,

40求極限舉例討論

提示

例1

解

例2

解

41

解

例3

解

例4

根據(jù)無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系得因?yàn)?2討論

提示

當(dāng)Q(x0)

P(x0)

0時(shí)

約去分子分母的公因式(x

x0)

有理函數(shù)的極限?)()(lim0=?xQxPxx

當(dāng)0)(01xQ時(shí),

)()()()(lim000xQxPxQxPxx=?.

當(dāng)0)(0=xQ且0)(01xP時(shí),

￥=?)()(lim0xQxPxx.

43先用x3去除分子及分母

然后取極限

解

先用x3去除分子及分母

然后取極限

例5

解:

例6

44討論提示

例7

解

所以45

解

當(dāng)x

時(shí)

分子及分母的極限都不存在

故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用

例8

是無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積

46定理6(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則)設(shè)函數(shù)y

f[g(x)]是由函數(shù)y

f(u)與函數(shù)u

g(x)復(fù)合而成

f[g(x)]在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義

若g(x)

u0(x

x0)

f(u)

A(u

u0)

且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)

u0

則例9

解

392--=xxy是由uy=與392--=xxu復(fù)合而成的.

47內(nèi)容小結(jié)1.極限運(yùn)算法則(1)無(wú)窮小運(yùn)算法則(2)極限四則運(yùn)算法則(3)復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法時(shí),用代入法(分母不為0)時(shí),對(duì)型,約去公因子時(shí),分子分母同除最高次冪(2)復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量48

§

1.2.5函數(shù)極限存在判別準(zhǔn)則

一、準(zhǔn)則I及第一個(gè)重要極限

如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件

(1)yn

xn

zn(n=1

2

3

)

準(zhǔn)則I

準(zhǔn)則I

如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件

(1)

g(x)

f(x)

h(x)

(2)limg(x)

A

lim

h(x)

A

那么lim

f(x)存在

且lim

f(x)

A

(2)aynn=￥?lim,

aznn=￥?lim,

那么數(shù)列{xn

}的極限存在,

且axnn=￥?lim.

49證

如果數(shù)列{xn}、{yn}及{zn}滿足下列條件

(1)yn

xn

zn(n=1

2

3

)

準(zhǔn)則I

(2)aynn=￥?lim,

aznn=￥?lim,

那么數(shù)列{xn

}的極限存在,

且axnn=￥?lim.

上兩式同時(shí)成立,},,max{21NNN=取50圓扇形AOB的面積證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有第一個(gè)重要極限51當(dāng)時(shí)注52注:這是因?yàn)?/p>

令u=a(x)

則u

0

于是第一個(gè)重要極限53例1.

求解:例2.

求解:

令則因此原式54

解

例3

例4

解

55二、準(zhǔn)則II及第二個(gè)重要極限M準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

準(zhǔn)則II的幾何解釋x1x5x4x3x2xnA

以單調(diào)增加數(shù)列為例數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng)

或者無(wú)限向右移動(dòng)

或者無(wú)限趨近于某一定點(diǎn)A

而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生

56第二個(gè)重要極限我們還可以證明這就是第二個(gè)重要極限

根據(jù)準(zhǔn)則II

數(shù)列{xn}必有極限,

此極限用e來(lái)表示,即可以證明(2)xn

3

(1)xn

xn+1

n

N

注:57

解

例5

令t=-x

則x

時(shí)

t

于是58

例6

解:

練習(xí)

1.

2.

59當(dāng)

§

1.2.6無(wú)窮小量和無(wú)窮大量

一、無(wú)窮小定義1.

若時(shí),函數(shù)例如:函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)時(shí)為無(wú)窮小;函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮小.則稱函數(shù)時(shí)的無(wú)窮小

.為60說(shuō)明:除0以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮小!因?yàn)楫?dāng)時(shí),顯然C

只能是0!CC時(shí),函數(shù)(或)則稱函數(shù)為定義1.

若(或)則時(shí)的無(wú)窮小

.61其中

為時(shí)的無(wú)窮小量.定理1.(無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系)證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其它變化過(guò)程類似可證.62