小學(xué)二年級奧數(shù)第三講-數(shù)數(shù)與計數(shù)(二)練習(xí)+答案

第三講數(shù)數(shù)與計數(shù)〔二〕例1數(shù)一數(shù)，圖3－1中共有多少點(diǎn)？解：〔1〕方法1：如圖3－2所示從上往下一層一層數(shù)：第一層1個第二層2個第三層3個第四層4個第五層5個第六層6個n第七層7個第八層8個第九層9個第十層10個第十一層9個第十二層8個第十三層7個第十四層6個第十五層5個第十六層4個第十七層3個第十八層2個第十九層1個總數(shù)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=〔1+2+3+4+5+6+7+8+9+10〕+〔9+8+7+6+5+4+3+2+1〕=55+45=100〔利用已學(xué)過的知識計算〕.2〕方法2：如圖3－3所示：從上往下，沿折線數(shù)第一層1個第二層3個第三層5個第四層7個第五層9個第六層11個第七層13個第八層15個第九層17個第十層19個總數(shù)：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100〔利用已學(xué)過的知識計算〕.3〕方法3：把點(diǎn)群的整體轉(zhuǎn)個角度，成為如圖3－4所示的樣子，變成為10行10列的點(diǎn)陣.顯然點(diǎn)的總數(shù)為10×10=100〔個〕.想一想：①數(shù)數(shù)與計數(shù)，有時有不同的方法，需要多動腦筋.②由方法1和方法3得出下式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10即等號左邊這樣的一串?dāng)?shù)之和等于中間數(shù)的自乘積.由此我們猜測：1=1×11+2+1=2×21+2+3+2+1=3×31+2+3+4+3+2+1=4×41+2+3+4+5+4+3+2+1=5×51+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×71+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×81+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×91+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10這樣的等式還可以一直寫下去，能寫出很多很多.③由方法2和方法3也可以得出下式：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.即從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個數(shù)的自乘積.由此我們猜測：1+3=2×21+3+5=3×31+3+5+7=4×41+3+5+7+9=5×51+3+5+7+9+11=6×61+3+5+7+9+11+13=7×71+3+5+7+9+11+13+15=8×81+3+5+7+9+11+13+15+17=9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10例2數(shù)一數(shù)，圖3－5中有多少條線段？解：〔1〕我們，兩點(diǎn)間的直線局部是一條線段.以A點(diǎn)為共同端點(diǎn)的線段有：ABACADAEAF5條.以B點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：BCBDBEBF4條.以C點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有CDCECF3條.以D點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有：DEDF2條.以E點(diǎn)為共同左端點(diǎn)的線段有EF1條.總數(shù)5+4+3+2+1=15條.〔2〕用圖示法更為直觀明了.見圖3－6.總數(shù)5+4+3+2+1=15〔條〕.想一想：①由例2可知，一條大線段上有六個點(diǎn)，就有：總數(shù)=5+4+3+2+1條線段.由此猜測如下規(guī)律〔見圖3－7〕：還可以一直做下去.總之，線段總條線是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比總數(shù)小1.我們又發(fā)現(xiàn)了一條規(guī)律.它說明了點(diǎn)數(shù)與線段總數(shù)之間的關(guān)系.②上面的事實(shí)也可以這樣說：如果把相鄰兩點(diǎn)間的線段叫做根本線段，那么一條大線段上的根本線段數(shù)和線段總條數(shù)之間的關(guān)系是：線段總條數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于根本線段的條數(shù)〔見圖3－8〕.根本線段數(shù)線段總還可以一直寫下去，同學(xué)們可以自己試試看.例3數(shù)一數(shù)，圖3－9中共有多少個銳角？解：〔1〕我們知道，圖中任意兩條從O點(diǎn)發(fā)出的射線都組成一個銳角.所以，以O(shè)A邊為公共邊的銳角有∠LAOB,∠AOC，∠AOD，∠AOE，∠AOF共5個.以O(shè)B邊為公共邊的銳角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4個.以O(shè)C邊為公共邊的銳角有：∠COD，∠COE，∠COF共3個.以O(shè)D邊為公共邊的銳角有：∠DOE，∠DOF共2個.以O(shè)E邊為一邊的銳角有：∠EOF只1個.銳角總數(shù)5+4+3+2+1＝15②用圖示法更為直觀明了：如圖3－10所示，銳角總數(shù)為：5+4+3+2+1=15〔個〕.想一想：①由例3可知：由一點(diǎn)發(fā)出的六條射線，組成的銳角的總數(shù)=5+4+3+2+1〔個〕，由此猜測出如下規(guī)律：〔見圖3－11～15〕兩條射線1個角〔見圖3－11〕三條射線2+1個角〔見圖3－12〕四條射線3+2+1個角〔見圖3－13〕五條射線4+3+2+1個角〔見圖3－14〕六條射線5+4+3+2+1個角〔見圖3－15〕總之，角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)比射線數(shù)小1.②同樣，也可以這樣想：如果把相鄰兩條射線構(gòu)成的角叫做根本角，那么有共同頂點(diǎn)的根本角和角的總數(shù)之間的關(guān)系是：角的總數(shù)是從1開始的一串連續(xù)自然數(shù)之和，其中最大的自然數(shù)等于根本角個數(shù).③注意，例2和例3的情況極其相似.雖然例2是關(guān)于線段的，例3是關(guān)于角的，但求總數(shù)時，它們有同樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式.同學(xué)們可以看出，一個數(shù)學(xué)式子可以表達(dá)外表上完全不同的事物中的數(shù)量關(guān)系，這就是數(shù)學(xué)的魔力.習(xí)題1.書庫里把書如圖3－16所示的那樣沿墻堆放起來.請你數(shù)一數(shù)這些書共有多少本？2.圖3－17所示是一個跳棋盤，請你數(shù)一數(shù)，這個跳棋盤上共有多少個棋孔？3.數(shù)一數(shù)，圖3－18中有多少條線段4.數(shù)一數(shù)，圖3－19中有多少銳角？5.數(shù)一數(shù)，圖3－20中有多少個三角形？6.數(shù)一數(shù)，圖3－21中有多少正方形？習(xí)題解答1.解：方法1：從左往右一摞一摞地數(shù)，再相加求和：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135〔本〕.方法2：把這摞書形成的圖形看成是由一個長方形和一個三角形“尖頂〞組成.長方形中的書10×11=110三角形中的書1+2+3+4+5+4+3+2+1=25總數(shù)：110+25=135〔本〕.2.解：因?yàn)槠蹇纵^多，應(yīng)找出排列規(guī)律，以便于計數(shù).仔細(xì)觀察可知，圖中大三角形ABC上的棋孔的排列規(guī)律是〔從上往下數(shù)〕：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外還有三個小三角形中的棋孔的排列規(guī)律是1，2，3，4，所以棋孔總數(shù)是：〔1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13〕+〔1+2+3+4〕×3=91+10×3=121〔個〕.3.解：方法1：按圖3－22所示方法數(shù)〔圖中只畫出了一局部〕線段總數(shù)：7+6+5+4+3+2+1=28〔條〕.方法2：根本線段共7條，所以線段總數(shù)是：7+6+5+4+3+2+1=28〔條〕.4.解：按圖3－23的方法數(shù)：角的總數(shù)：7+6+5+4+3+2+1=28〔個〕.5.解：方法1：〔1〕三角形是由三條邊構(gòu)成的圖形.以O(shè)A邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7個；以O(shè)B邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OBC，△OBD，△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6個；以O(shè)C邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OCD，△OCE，△OCF，△OCG，△OCH，共5個；以O(shè)D邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△ODE，△ODF，△ODG，△ODH，共4個；以O(shè)E邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OEF，△OEG，△OEH，共3個；以O(shè)F邊為左公共邊構(gòu)成的三角形有：△OFG，△OFH，共2個；以O(shè)G邊和OH，GH兩邊構(gòu)成的三角形僅有：△OGH1個；三角形總數(shù)：7+6+5+4+3+2+1=28〔個〕.〔2〕方法2：顯然底邊AH