考點(diǎn)05 誘導(dǎo)公式及恒等變換（解析版）

考點(diǎn)05誘導(dǎo)公式及恒等變換

三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1.公式

公式—■二三四五六

71

角(氏兀兀+a

2E+a￡Z)~a-a+a2~a2

正弦sina"sinasina—sinacosacosa

余弦cosacosa—cosa—cosasina—sina

正切tana-tana一tanatana

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

2.記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限

①“奇”與“偶”指的是k卷+a中的整數(shù)％是奇數(shù)還是偶數(shù).

②“變”與“不變”是指函數(shù)名稱的變化，若女是奇數(shù)，則正、余弦互變；若憶為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變

（3）“符號看象限”指的是在上方+a中，將a看成銳角時(shí)左3+a所在的象限.

二.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

l.cos(a—^)=cos6tcos夕+sinasin§cos(a+y5)=cosacos/?—sinasin/7........”同名相乘，符號反“

2.sin(a一夕)=sinacos//—cosccsin0sin(a+0=sinacos^3+cosctsin0---“異名相乘，符號同“

一.

3.tan(a—0=ta^n^a嬴-ta菰n5忐tan<?+,^=1t-atnaan+attaann^5g----------zz上,M同?開'下1異萬相乘

三.二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa--sin2a=sinacosa.

2

(2)cosla=cos2a-sin2a—2cos2a_1=1—2sin2a

2cos2a=l+cos2a<=>cos2a=—(1+cos2a)

2

2sin2a=1-cosa2a<=>sin2a=—(1—cos2a)

2

2tana

(3)tanla—

1—tan%

考點(diǎn)一誘導(dǎo)公式之化簡

【例1】（1）（2021?重慶?西南大學(xué)附中高三階段練習(xí)）cos12900)

r73

ABV?1D

-?-42--T

1\7l

COS-------aL.I2sin。-cosa/、

（2）（2021?重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知‘2、，貝Ij----------------=()

一，sma+cosa

cos(i+c)

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】（1）D（2）D

【解析】（1）由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得：cos1290°=cos（360°+210°）=cos2100

=??(180。+30。)=-cos30。=一等.故選：D.

八I門=?-sine??2sina-cosa2tan?-1「一仁

(2)由題意------=tancr=-2,貝ij-----------------------------=5.故選：D.

-cosasincr+cosatantz+1

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?北京市第八中學(xué)怡海分校高三階段練習(xí)）已知角a的終邊經(jīng)過,求cos(a一]

【答案】4

=1,所以sina=-且，從而

【解析】???角〃的終邊經(jīng)過

2

71=疝。=-哼?故答案為：-

cos

3

2.（2021?寧夏?吳忠中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若sin[]+a-,則cos(乃-a)=(

A.-|4

BC.D

-i5-?

【答案】B

333

【解析】v+a所以cosa=-/.cos(1一a)=-cosa=一故選：B.

5

3

3.（2021?河北?大名縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知sina=g,sin2tz<0,則cos^+a）的值為（）

A-1B-4

3

D.

5

【答案】A

3_________

【解析】由sin2a=2sinacosa<0及sina=可知cosa<0,所以cosa=-Jl—sin2a=-_4

-5

一4

LUCOS（K+a）=-cosa=-A.

4.（2021?江蘇如皋?高三期中）已知角。的終邊與直線x+2y+l=0垂直，sin（5+2可的值為

【答案】-13

【解析】直線x+2y+=。的斜率為-；，角。的終邊的斜率為2,.?.36=2,

222

sine+26)=cos20=cos0-sin0l-tan0=-：3故答案為:3

cos20+sin20l+tan2/95

考點(diǎn)二兩角和差與二倍角

【例2】（2021?全國?）化簡:

(1)sinll°cos29°4-cosll°sin29°；

(2)cos24°cos690+sin24°sin111°；

(3)sin222.5°-cos222.5°；

(4)2sinl50cosl5°;

(5)-sinl5°--cosl5°;

22

ni

(6)—sin15°4--cos15°.

22

【答案】(1)sin40°(2)變(3)一也(4)g(5)一也(6)受

22222

【解析】(1)sin11°cos290+cos11°sin29°=sin(l1°+29°)=sin40°.

(2)由sin111。=sin(l80°-69°)=sin69°,

cos24°cos690+sin24°sinl11°=cos24°cos690+sin24°sin69°=cos(69°-24°)=cos45°=

(3)sin222.5°-cos222.5°=-(cos222.5°-sin222.5°)=—cos45。=—孝.

(4)2sinl50cosl5°=sin30o=—.

2

(5)-sin!5°-—cosl50=sinl50cos600-cos15°sin60°=sin(l5°-60°)=-sin45°=--.

222

(6)sin150+-cos15°=sin15°cos30°+cos15°sin30°=sin(l5°+30°)=sin45°=—.

222

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?天津薊州?高三期中）已知tana=g,則tan（芳+a卜.

【答案】2

■，5萬、f71：\（71\1+tana4-一

【解析】tan——+cr=tan^+—+a=tan—+cr=----------=—^~=2.故答案為：2.

V4）<4J^4）l-tana「J

sin1100°-2sin100O,

2.（2021?河南）計(jì)算:-------------------------------=（）

cos160°

A.1B.6C.2D.2>/3

【答案】B

sin11000-2sin100°sin（1080°+20）-2sin（90°+10°）2cos100-sin20°

【解析】依題意,

cos160°一cos（180。-20。）-cos20°

_2cos（30。-20。）-sin20。_ecos20°+sin20°-sin20°_百cos20°_舊故選R

cos20°cos20°cos20°

3.（2021?云南）已知80二=一骼（0<1<乃），則tan（a+?）=（）

A.--B.-C.-3D.3

33

【答案】A

【解析】cosa=-^^（0<a<乃），.,?工VaVmsina=\l1-cos12a=^^-?..tana==一2,

5725cosa

（萬）tana+11.

/.tana+-\=-------=故選：A.

k4J1-tancr3

4.（2021?河南）化簡函數(shù)），=V5sinx-COSX=.

5.（2021?全國?）化簡:

（1）cosl00°cos400+sin80°sin40°；

（2）cos80°cos55°-cos10°cos35°；

0

V2

-十

225°

V2也

2一

一2

【答案】(1)；(2)--(3)昱(4)

2222

【解析】(1)cos100°cos400+sin80°sin40°=-cos80°cos400+sin80°sin40°=-cos(80°+40°)=-cos120°=-；

2

0

(2)cos80°cos550-cos10°cos350=sin10°cos550-cos10°sin55°=sin(10°-55°)=_sin45=--；

2

(3)^-sin15°+cos150=cos45°sin15°+sin45°cos150=sin(45°+15°)=sin600=—;

/n/n]

(4)--sin150-----cos15°=sin450sin15°-cos45°cos15°=-cos(45°+15°)=-cos60°=--.

222

考點(diǎn)三角的拼湊

jr12冗

【例3-1](2021?全國?高一課時(shí)練習(xí))已知tan(]—a)=Q,則tan(-^-+a)=()

-亞B.--C.-D.亞

3333

【答案】B

2乃717t71I

【解析】根據(jù)題意，tan(—+a)=tan[^r+(--+a)]=tan(--+a)=-tan(—：B.

33333

【例3?2】(2021?湖南?沅江市第一中學(xué)高三階段練習(xí))若sin(a+￡|=|,則sin"a-f=(

)

24_24

A.—B.C.--D.

252525~25

【答案】C

【解析】Z+G2fa+—l=l-2x—=_2_

Vcos|=l-2sin___，

<3J16j2525

.(乃)(71(乃、71,i

/.sin2a——：=-cos—+2a=-cos2a+—=-—,故選：C.

16j126；I3j25

7T4TT

【例3-3](2021?福建?福州三中模擬預(yù)測)已知sin(a+^)==,則8式”工)=()

356

4_433

A.-BC.?-D.

5.~555

【答案】A

[解析]令人=二十￡,則=則sinA=：,cos(A_[]=sin4=j,故cos(a—g)=:.故選：A

362Jk2.)365

【例3-4](2021?全國?模擬預(yù)測)已知sin[a+]j=g,a為第二象限角，則cos(a+蔡)=()

.3710R3M「挑Vio

A.---------D.-----C.-------nu.--------

10101010

【答案】A

【解析】因?yàn)閍為第二象限角,所以2E+?<a+g<2E+萼(keZ),

又因?yàn)閟in(a+1=~^~，所以2E+^<a+《<2E+兀(％eZ),

所以cos

.兀

所以cossin—

4

2亞歷亞丘3>/10

=-------------X--------------------X--------=-----------------，

525210

故選：A.

sina=^^,sin(a+￡)=1,則cos〃=

【例3-5］（2021?吉林?高三階段練習(xí)（文））若a,夕均為銳角,

()

A?半B?蕓C.半喈

【答案】B

【解析】明尸均為銳角，sina=￥，則cosa=Vl-sin2a=亭,

sina>sin(c+0,故a+/為鈍角，cos(a+=-yj\-sin2+=-^

cos/?=cos(a+/7-a)=cos(a+〃)cosa+sin(a+/?)sina

石42632遍痂部口

=---X—+----x-=----.故選：B

555525

【變式訓(xùn)練】

1.（2021.廣東?普寧市華僑中學(xué)高三期中）已知?！辏?,兀5伸1+7（1）=-|,則cosa=

23

【答案】*

(兀71(7C)7冗1.(n\.7l71正[A/3_V15-2

【解析】???cosa=cosa+--=--cosa+--cos—+sina+—sin—=+

I3333333J26

故答案為：巫二

6

JT32a-"的值為（

2.（2021?海南華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)。為銳角，若cosm+7）=-=,則sin)

o5

D16]_

A。4B.—C.

255

【答案】D

【解析】因?yàn)閏os（a+^）=-|,所以cos（2a+1^=2cos2（a+?）-l二-±,

所以sin12a-V）=sin（2a+?—3=-cos（2a+?）=故選：D.

3.（2021?福建?莆田第二十五中學(xué)高三期中）已知sin（《-a卜;，則sin仁-2a）等于（

)

77.1

A.B.cD.

88-士：8

【答案】B

【解析】sin仁一2aJ=sin7171271_7

-a=-cos2=-l-2sin~~a

313-8

故選：B

考點(diǎn)四恒等變化

cos(a-80)

【例4-1】（2021?湖南師大附中高三階段練習(xí)）若tana=2tanl0,則)

sin(a-10]

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

[解析1tana=2tanl0，

.cos(a-80)_cos(a+10-90)_sin(a+10)sinacoslO+cosasinl0_tana+tan10z_3tanlO

sin(a-10]sin(a-10)sin(a-lO')sinacoslO-cosasin100tana-tan10tanlO:

故選：C.

【例4-2】(2021?云南?昆明一中)sin40°tan10°)=.

【答案】1

【解析】sin4/（C"40。產(chǎn)罌）「4。。（?方一9⑺.

(ni、

2sin40°\coslO°--sinlO°2sin40o(cos300cosl0°-sin3O°sinlO°)_2而40。8$400_sin80。]

=------------------------------------------cos10°cos10°cos10°

cos10°

故答案為：1

【變式訓(xùn)練】

1.(2021.河南宋基信陽實(shí)驗(yàn)中學(xué))&-----?—=.

sin200sin70°

【答案】4

28cos20°」sin20°

22

【解析】且______!_百cos200-sin20°IL2sin(60°-20°)

=4-

sin20°sin70°sin200cos20°sin20°cos200

-sin40°

2

故答案為：4.

sinl2°(2cos2120-l)

2.（2021?云南?昆明一中））

G-tan12°

【答案】I

o

J_c；n42°i

［解析］因?yàn)閟inl2Q(2cos2_sin12。8S12。以＞$24。_4、_1.故答案為：-

x/3-tanl2°一73cos120-sin120-2sin480~88

3.(2021?廣東?高三階段練習(xí))已知COS36。：叵1，則8$108。=.

4

【答案】上正

4

【解析】108=3x36,設(shè)x=36°,則cos108°=cos3x，

cos3x=cos(JH-2X)=cosxcos2x-sinxsin2x=cosx(2cos2x-1)-sinx-2sinx-cosx

=coa￥(2cos2x-l-2sin2x)=cosx?2cos2x-1-20-cos2x)J=icos2cos2x-1-2+2cos2x

=cosx(4cos2工-3)

丁cos戶"r,cos?尸3+班,代入上式得，cosl08=cos3x=-——?

484

故答案為：三叵.

4

4.(2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)e)in求1(黑)0+COS7蕓0°的值________________

sin800+cos20°

【答案】2-6

sinl0°+cos70ocos800+cos70°_cos(75°+5°)+cos(75°-5°)

【解析】

sin800+cos200-sin800+sin70°-sin(75。+5。)+sin(75。-5。)

2cos75°cos5°_1J1-tan30°tan45°

2sin75°cos5°tan75°tan(30°+45°)-tan300+tan45°

1.(2021?廣西玉林)若cosa=-Lsinf當(dāng)+2a]=()

3I2)

八77

A.1B.--C.-D.——

9999

【答案】c

【解析】VCOS6Z=-^,?,.sin(/+2a；27

|=-cos2a=l-2cos2a=l-g=§,故選：C.

則cos(/-2a)+cos2a=()

2.（2021?云南師大附中）若tana=2,

71

A.一一B.——C.-D.-

5555

【答案】A

【解析】2;>6.cos2?-sin2a-2sinacosa

cos-2aj+cos2a=cos?-sina—2sinacosa=-------------------------------

sin'a+cosa

1-tan2?-2tantz1-22-2x27

tan2a+l22+15

故選：A.

3.（2021?江蘇南京?高三階段練習(xí)）已知cos6=g,則sin（29+5）=（）

77八22

A.一一B.-C.-D.——

9933

【答案】A

【解析】由題意可知，sin（2，+]）=cos2，=2cos?6-1=2x（g）-1=-^,故選：A.

4.（2021?四川攀枝花）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（-2,不），則sin[]-2a）=（）

A.一還B.-1cd

99-1-￥

【答案】B

【解析】由題設(shè)，sina=@,sin(g-2a〕=cos2a=l-2sin2a=-!.故選：B

312)9.一.”

3

5.（2021?河南?高三階段練習(xí)（理））已知sin37°=—,則cos593°=()

A33八44

A.-B.--C.一D.——

5555

【答案】B

【解析】cos5930=cos(720°-127°)=cos(2x360°-127°)=cos(-127°)=cos(127°)

=cos(9(T+37。)=-sin37。=-g故選：B.

6.（2021?甘肅?靜寧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)（文））若tan（a+?24

=4,則tan-----a

5

A-iC.4D.-4

【答案】D

2兀-tan”幺+兀

【解析】因?yàn)閠ana-----

5I5

2TT

所以tan-----a

5

3

7.（2021?重慶一中高三階段練習(xí)）已知85（0+60。）=,，則§m（210。-0二（）

43

BcD.

5-1-45

【答案】D

3

【解析】5皿（210。一1）=汨（270。一（60。+。））=一8$（60。+。）=一］.故選：D.

a-?）=；,則cos（2,

8.（2021?四川?東辰國際學(xué)校三模（文））已知sin

7227

A.——B.——C.-D.-

9339

【答案】D

【解析】時(shí)20-?）=1-2時(shí)”訃1-2、3=（故選：D.

7F

9.（2021?四川?射洪中學(xué)）己知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3,-4）,貝^。式］-々）=.

4

【答案】-y

【解析】因角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（3,T）,則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離〃=上==5,于是得sina=-g,

乃44

所以cos（彳—e）=sina=-1.故答案為：——

255

10.（2021?上海長寧?一模）在直角坐標(biāo)系X。'中，角a的始邊為x正半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若角a的

終邊經(jīng)過點(diǎn)（-3,4）,則sin（a+m=

【答案】=4

［解析］+故答案為：

11.（2021?黑龍江?哈爾濱三中）sin14°cos160+sin104°cos74°=

【答案】］

2

【解析】Qsin1040=sin(90°+14°)=cos140,cos74°=cos(90°-16°)=sin16°

利用兩角和的正弦公式可得：

sin14°cos160+sin104°cos74°=sin14°cos160+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=1,故答案為：!

12.（2021?浙江?無高三階段練習(xí)）已知角。的終邊在直線x-2y=0上，則tan*

cos126+與

【答案】y1|4

【解析】由直線x-2y=0的斜率為則tan6=g,又cos（26+31=sin2”2嗎=±

1+tan2^5

14

故答案為：—.

Qsincr4-cos(7

13.（2021?湖南?高三階段練習(xí)）若銳角。滿足tan2a=-不，則tan0=

'sina+3cos(4一a)

【答案】45

【解析】因?yàn)閠an2a=2tan7=一色,所以tana=-!或4,又。為銳角，所以tana=4,

1-tan*^a154

sina+cosasina+cos。tana+1「

所以-777\~~=5.故答案為：4,5

sma+3cos(%-a)sina-3cosatana-3

14.(2021?北京四中高三期中)已知a為第三象限角，且tana=3,則sin(,-4)=；cos(a+?)=

【答案]巫

105

31

【解析】因?yàn)閍為第三象限角，且tana=3,所以sina=-水，

vIU\J\\J

3Mcos(a+?)=q^cosa-sina)=￥.故答案為：9乎

貝！Jsin(a—萬)=-sina=-----；

10

15.（2021"蘇?南京市第一中學(xué)高三期中）已知sin（3乃+a）=2sin作+a],則城",2a

I2）1+cos~a

【答案】|4

【解析】因?yàn)閟in（3?+a）=2sin+所以一sina=-2cosa,即tana=2,

匚匚sirTa+sm2asirra+2sinacosatan~a+2tana2"+2x24m找W小4

m以-------：------=—」--------；----=-----z-----------=—：-----=—.故合茶為：；

l+cos~asin-a+2cos~atan-a+22+233

裂a(bǔ)）的值是.

16.（2021?山東荷澤?高三期中）已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)（T,3）,則cos

【答案】-13

【解析】解：已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(T,3),根據(jù)三角形的定義可知x=T,y=3,r=J^7=5,

根據(jù)三角函數(shù)定義：sina=』，所以Sinan］，；cos［孚-a］=-sina=-1.故答案為：-

r5\2)55

17(2021?江蘇鎮(zhèn)江?高三期中)已知sina+?cosa=2f，貝ijsin(2a+奈卜.

【答案】0

【解析】因?yàn)閟ina+#cosa=半，故可得sin(a+()=#

（2a+￡|=sin[2（a+￡|—”-cos+?）]=2sii?（a+

則sin-l=2x-1=0.

故答案為：0.

18.（2021?河南）己知tana=3,tan（a-/7）=-2,貝iJtan/7=

【答案】-1

tana-tan（a-尸）_3-（-2）

【解析】由已知可得,tanp=tan[a-（a-夕）]==T.故答案為:

1+tanatan（a-，）1+3x（-2）

19.(2021?山東聊城一中高三期中)已知函數(shù)y=log“(x-2)+4(。>0,。工1)的圖象恒過點(diǎn)定點(diǎn)A,若角a終

邊經(jīng)過點(diǎn)A,貝ljsin2a+sin(a+m)=.

9

【答案】

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=iog“x的圖象恒過定點(diǎn)(1,0),

所以函數(shù)y=log,,(x—2)+4(a>0,a41)的圖象恒過定點(diǎn)(3,4),A(3,4).

因?yàn)榻莂終邊經(jīng)過點(diǎn)A（3,4）,由二角函數(shù)的定義可得：sina=，cosa=|.

（3萬、43399

所以sin2a+sin|a+—=2sinacosa-cosa=2x—x------=~■,故答案為：一.

\>2y5552525

20.（2021?四川）已知tan（7t+e）=2,則sin（26+（）=_______.

【答案】也

10

【解析】因?yàn)閠an（兀+6）=2,由誘導(dǎo)公式得：tan（兀+6）=tan6=2

LL7--八2sin0cos02tan64

所以sm20=——z-----=———=一

sin20+cos20tan2^+15

2322

r八cossin01-tan01-43

cos29----------------——----------=-----=—，

cos-0+sin201+tan201+45

.(g,nOzj.兀_4y/2(3]及-為近

I4；4452I5j21010

I~----------------------------------------

1.(2021?云南師大附中)已知sin?！?cos6=0,則sm"+sm(]+")二()

sin。

3i

A.3B.—C.—D.—1

22

【答案】B

sinO+sin]]+夕

【解析】因?yàn)閟in6-2cose=0,故可得:tan6=2.原式=sin。+cos夕=i+-L=3.

sin。sin。tan。2

故選：B.

已知cos[+.)=：

2.(2021?四川瀘州）,則sin2x=()

A.二C.」7

D.

999

【答案】D

(Q=；，得郎21+￡|1+cos|2x4---|7

【解析】由COSx