全國(guó)版五年級(jí)數(shù)學(xué)能力強(qiáng)化教材（秋季）

目錄

第一講小數(shù)巧算一2

第二講小數(shù)巧算二5

第五講火車(chē)行程問(wèn)題15

第六講環(huán)形路線20

第八講解方程24

第九講列方程解應(yīng)用題27

第十講多邊形的面積三31

第十一講割補(bǔ)法巧算面積一36

第十二講割補(bǔ)法巧算面積二40

第十三講等積變形44

第十四講陣列問(wèn)題49

第一講小數(shù)巧算一

°小熱身:

(1)0.1+0.2+0.3+0.4=

(2)12.56-4.25=

(3)2.5X1.2=

(4)4.84-0.2=

Q知識(shí)精講

小數(shù)加減法混合運(yùn)算中的加減法是同級(jí)運(yùn)算，按從左到右的順序依次計(jì)算。如果有括號(hào),

要先算括號(hào)里面的，后算括號(hào)外面的。另外，整數(shù)加減法運(yùn)算中常用的加法交換律、結(jié)合律等

方法都可以應(yīng)用到小數(shù)的加減法運(yùn)算中，使計(jì)算簡(jiǎn)便。

例如：

28.9+15.3+4.7=28.9+(15.3+4.7)=28.9+20=48.9

28.9+18.4-8.9=18.4+(28.9-8.9)=18.4+20=38.4

例1:計(jì)算:0.2+0.4+0.6+0.8+0.12+0.14+0.16+0.18

練1:0.1+0.3+0.7+0.9+0.21+0.23+0.27

例2:20.2-19.1+18.2-17.1+-+4.2-3.1+2.2-1.1

練2:9.5-8.5+7.5-6.5+…+3.5-2.5+1.5-0.5

Q知識(shí)精講

小數(shù)乘除法混合運(yùn)算與整數(shù)乘除法混合運(yùn)算的運(yùn)算順序相同，都是從左到右依次計(jì)算。整

數(shù)乘除法中的運(yùn)算技巧同樣可以應(yīng)用到小數(shù)乘除法中。

在小數(shù)乘除法混合運(yùn)算中，根據(jù)某些數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系進(jìn)行配對(duì)計(jì)算，往往可以使看似復(fù)

雜的運(yùn)算變得非常簡(jiǎn)便。

例3:(1)0.9X12.5X0.8；(2)10.84-(2.792.5)

練3：計(jì)算：(1)0.25X0.5X0.4；(2)0.724-(1.84-2.5)

例4:(0.91X7.5X9.4)4-(0.25X1.3X0.47)

練4:(0.51X7.5X3)+(2.5X1.5X1.7)

.思維拓展

計(jì)算：(3.9X5.5X6.3X3.6)4-(1X3X5X7X0.9X1.1X1.3)

Q第二講小數(shù)巧算二

。小熱身:

(1)1.2X0.4+1.5=

(2)12.5X8-2.5X4=

Q知識(shí)精講

小數(shù)的四則混合運(yùn)算和整數(shù)四則混合運(yùn)算的順序是相同的，計(jì)算時(shí)要注意先算乘除法，后

算加減法，有括號(hào)的要先算括號(hào)內(nèi)的。在小數(shù)的四則混合運(yùn)算中，乘法分配律是常見(jiàn)的一種巧

算方法。

例如:2.5X(4+0.4)=2.5X4+2.5X0.4=10+1=11

例1：計(jì)算：(1)1.25X8.88；(2)2.5X4.4.

練1:計(jì)算：(1)2.5X4.88；(2)12.5X0.82.

例2:計(jì)算：(1)7.6X10.1；(2)4.75X9.9=

練2:計(jì)算：(1)2.5X1.02；(2)12.5X9.8.

9知識(shí)精講

當(dāng)算式中含有共同的因數(shù)時(shí)，可以逆用乘法分配律，把公因數(shù)提取出來(lái)，這就是提取公

因數(shù)。在小數(shù)計(jì)算中，同樣可以通過(guò)提取公因數(shù)來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。

例如:2.7X4.6+2.7X5.4=2.7X(4.6+5.4)=2.7X10=27

例3：計(jì)算：(1)2.4X6.5+2.4X4.3+7.6X10.8

練3：2.2X3.5+2.2X2.1+5.6X7.8

例4：計(jì)算:⑴3.6X9.9+0.36;(2)0.47X0.46-4.7X0.045

練4：計(jì)算:(1)8.4X10.1-0.84；(2)20.18X5.7+201.8X0.43

金思維拓展

計(jì)算:19.94X20.17-19.93X20.18

第三講生活中的小數(shù)

。小熱身：

(1)3.9與4.1的和乘1.6,積是多少？

(2)3.6除以1.2與0.8的差，商是多少？

◎知識(shí)精講

錯(cuò)中求解的這種類型題一般是采用倒推的方法，從錯(cuò)誤的結(jié)果入手分析造成錯(cuò)誤的主要

原因。在加減法中，利用和與差的變化規(guī)律反求加數(shù)或者被減數(shù)、減數(shù)；在乘除法中，利用積

與商的變化規(guī)律反求出因數(shù)或者被除數(shù)、除數(shù)。

例1:小高在計(jì)算一道小數(shù)加法計(jì)算時(shí)，把一個(gè)加數(shù)的十分位上的6看成了9,另一個(gè)加數(shù)

百分位上的9看成了6,那么錯(cuò)誤的答案和正確的答案之間相差多少？

練1:萱萱在計(jì)算一道小數(shù)加法計(jì)算題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)的百分位上的2看成了5,另一個(gè)加

數(shù)十分位上的1看成了7,那么錯(cuò)誤的答案和正確的答案之間相差多少？

例2:亮亮在計(jì)算一道小數(shù)減法計(jì)算題的時(shí)候，把被減數(shù)的十分位上的3看成了5,把減數(shù)

百分位上的1看成7,那么錯(cuò)誤的答案和正確的答案之間相差多少？

練2:佳佳在計(jì)算一道小數(shù)減法計(jì)算題的時(shí)候，把被減數(shù)百分位上的9看成了6,把減數(shù)十

分位上的0看成8,那么錯(cuò)誤的答案和正確的答案之間相差多少？

例3:墨莫在計(jì)算小數(shù)乘法算式的時(shí)候，把其中的一個(gè)因數(shù)1.7看成17,計(jì)算的結(jié)果比實(shí)際

的結(jié)果大19.89,那么正確的乘積應(yīng)該是多少？

練3:萌萌在計(jì)算一道小數(shù)乘法算式的時(shí)候，把其中的一個(gè)因數(shù)2.3看成是23,計(jì)算的結(jié)果

比實(shí)際的結(jié)果大31.05,那么正確的乘積應(yīng)該是多少？

例4:阿呆在寫(xiě)一個(gè)兩位數(shù)時(shí)，不小心把小數(shù)點(diǎn)漏了，結(jié)果得到的數(shù)比原數(shù)大72.27,那么這個(gè)兩位小數(shù)

是多少？

練4：阿瓜讀一個(gè)一位小數(shù)時(shí)，不小心漏讀了小數(shù)點(diǎn)，結(jié)果比原來(lái)多6.3,那么原來(lái)的小數(shù)是多少？

律思維拓展

買(mǎi)3支鉛筆和2支鋼筆共用1L45元，如果買(mǎi)2支鉛筆和3支鋼筆則共用16.8元，那么

買(mǎi)1支鉛筆和1支鋼筆各用多少元？

第四講加乘原理進(jìn)階

。小熱身：

解答題：

(1)用數(shù)字1,2,3可以組成多少個(gè)各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)？

(2)阿呆、阿瓜、大高和小高四個(gè)人排隊(duì)，共有多少種排隊(duì)的方法?

◎知識(shí)精講

如果完成一件事有幾類方式，在每一類方式中又有不同的方法，那么每類的方法數(shù)相加就得到

所有的方法數(shù)，這就是加法原理。如果完成一件事分為幾個(gè)步驟，在每一個(gè)步驟中又有不同的

方法，那么把每步的方法數(shù)相乘就得到所有的方法數(shù)，這就是乘法原理。

對(duì)于加乘原理，要深刻理解它的基本思想和基本原則。

加法原理又叫分類計(jì)數(shù)原理，在分類時(shí)要注意不重不漏。可以用樹(shù)形圖來(lái)幫助理解加法原

理，樹(shù)形圖的每一次分叉，就是在分類，要計(jì)算總的方法數(shù)，就是把每一個(gè)分枝下的方法數(shù)加

起來(lái)，這便是加法原理；樹(shù)形圖雖然有助于我們解決加法原理問(wèn)題，但是有時(shí)候樹(shù)形圖過(guò)于復(fù)

雜，可操作性差，此時(shí)，我們就把樹(shù)形圖加以簡(jiǎn)化，保留其加法原理核心，但是用數(shù)字來(lái)表示

其各個(gè)分支，我們稱之為標(biāo)數(shù)法，標(biāo)數(shù)法是加法原理的重要運(yùn)用，有利于幫助我們解決較為復(fù)

雜的加法原理問(wèn)題。

例1：如圖所示，鑫鑫想從A地去B地玩，那么有多少條最短路線？

A

練1：如圖所示，墨莫要從A地飛到B地，那么有多少條最短路線可以選擇?

B

例2:在下圖的街道示意圖中，只能沿著格線前進(jìn)，C處因施工不能通行，那么從A到B的

最短路線有多少條？

練2:“五一”長(zhǎng)假就要到了，小新和爸爸決定去動(dòng)物園玩。如果A點(diǎn)因?yàn)槭┕o(wú)法通行,

那么聰明的小朋友，你能找出從家到動(dòng)物園的最短路線共有幾條呢？

9知識(shí)精講

乘法原理又叫分步計(jì)算原理，在分步時(shí)要注意“前不影響后”。染色問(wèn)題是應(yīng)用乘法原理

最常見(jiàn)的一類題型，染色的時(shí)候，要盡量避免“隔”著染，一定不要“跳”著染，而且，第一

步要盡量去染“接觸最多”的那一部分，這樣，才能夠使得后面的染色過(guò)程盡量避開(kāi)“前影響

后”。

例3：如圖，用四種顏色對(duì)四個(gè)部分進(jìn)行染色，要求相鄰部分不同色，那么又多少種不同的

染色方法？

A

C

B

D

練3：如果用四種顏色對(duì)如圖所示的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，要求相鄰部分不同色，那么有多少

種不同的染色方法？

A

BCD

例4:如圖，把A、B、C、D、E這五部分用4種不同的顏色染色，每部分只染一種顏色且相

鄰的部分不能使用同一種顏色。請(qǐng)問(wèn)：這幅圖共有多少種不同的染色方法？

練4:用3種顏色去涂如圖所示的蝴蝶的5個(gè)區(qū)域，要求每相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，那么一共

有多少種涂法?

思維拓展

用四種顏色對(duì)如圖所示的區(qū)域進(jìn)行染色，要求有線段連接的兩個(gè)圓圈不同色，那么共有多少種

多少種不同的染法？

第五講火車(chē)行程問(wèn)題

Q知識(shí)精講

我們之前已經(jīng)學(xué)了基本行程問(wèn)題，明確了速度、時(shí)間和路程這三個(gè)量之間的關(guān)系：

路程=速度X時(shí)間，速度=路程小時(shí)間，時(shí)間=路程+速度

另外，我們還學(xué)習(xí)了兩個(gè)對(duì)象之間的行程關(guān)系：相遇和追及。

相遇問(wèn)題中有：

路程和=速度和X相遇時(shí)間；

速度和=路程和+相遇時(shí)間；

相遇時(shí)間=路程和+速度和

追及問(wèn)題中有：

路程差=速度差X追及時(shí)間；

速度差=路程差+追及時(shí)間

追及時(shí)間=路程差?速度差

本講，我們將在之前內(nèi)容的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)一類新的、比較特殊的行程問(wèn)題一與運(yùn)動(dòng)對(duì)象本

身長(zhǎng)度有關(guān)系的行程問(wèn)題一我們稱之為“火車(chē)行程問(wèn)題”。

比如北京到廣州的鐵路全長(zhǎng)2300千米，如果一列火車(chē)從北京出發(fā)，以每小時(shí)100千米的

速度開(kāi)往廣州，我們很容易算出火車(chē)需要行駛23小時(shí)。在這個(gè)問(wèn)題中，火車(chē)的長(zhǎng)度與北京到

廣州的距離相比微乎其微，我們可以忽略不計(jì)了，我們需要把火車(chē)看成考慮自身長(zhǎng)度的運(yùn)動(dòng)物

體。

火車(chē)行程問(wèn)題和一般的行程問(wèn)題最大的區(qū)別在于，火車(chē)是有長(zhǎng)度的。因此計(jì)算火車(chē)行駛的

距離時(shí)，我們盯住火車(chē)上的一個(gè)點(diǎn)，比如車(chē)頭，或者車(chē)尾。車(chē)頭行駛了多遠(yuǎn)，火車(chē)就行駛了多

遠(yuǎn)；車(chē)尾行駛了多遠(yuǎn)，火車(chē)也就行駛了多遠(yuǎn)。

分析火車(chē)行程過(guò)程，首先要畫(huà)出始末兩個(gè)狀態(tài)，找到最后對(duì)齊的部位及其初始位置,將火

車(chē)行程過(guò)程轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)部位之間的相遇或追及過(guò)程。

火車(chē)的行程問(wèn)題大體上可以分為三類：火車(chē)過(guò)橋/山洞/隧道的問(wèn)題；火車(chē)與行人的相遇和

追及問(wèn)題；火車(chē)與火車(chē)的相遇和追及問(wèn)題。

我們先來(lái)看看火車(chē)經(jīng)過(guò)橋/山洞/隧道的過(guò)程。

“火車(chē)通過(guò)橋”即指“火車(chē)從車(chē)頭上橋到車(chē)尾離橋”的過(guò)程，如圖所示：

由此我們可以總結(jié)出以下規(guī)律：

火車(chē)在通過(guò)橋/山洞/隧道時(shí)行駛的總路程時(shí)火車(chē)車(chē)長(zhǎng)與橋/山洞/隧道的長(zhǎng)度之和。

例1：一列火車(chē)車(chē)長(zhǎng)180米，每秒行20米。請(qǐng)問(wèn)：這列火車(chē)通過(guò)320米的大橋，需要多長(zhǎng)時(shí)

間？

練1：一列火車(chē)長(zhǎng)700米，以每分鐘500米的速度通過(guò)一座長(zhǎng)1300米的大橋。從車(chē)頭上橋到

車(chē)尾離橋要多少分鐘？

例2：一列火車(chē)經(jīng)過(guò)一條350米的隧道用了20秒，又經(jīng)過(guò)另一條420米的隧道用了22秒，這

列火車(chē)有多長(zhǎng)？

練2：一列火車(chē)經(jīng)過(guò)一座長(zhǎng)130米的橋用了5秒，又經(jīng)過(guò)另外一座長(zhǎng)250米的橋用了7秒，這

列火車(chē)有多長(zhǎng)？

Q知識(shí)精講

火車(chē)從靜止的人身旁經(jīng)過(guò)的過(guò)程是非常簡(jiǎn)單的，從車(chē)頭遇到人到車(chē)尾離開(kāi)人，整個(gè)過(guò)程中火車(chē)

行駛的路程就是火車(chē)長(zhǎng)度一其實(shí)可以把人看作縮短至長(zhǎng)度為0的橋。

接下來(lái)，我們畫(huà)圖觀察分析一下火車(chē)從行人身旁經(jīng)過(guò)的過(guò)程。

①火車(chē)與人相遇（從車(chē)頭遇見(jiàn)人到車(chē)尾離開(kāi)人）：

車(chē)走女走

火車(chē)與人相遇：路程和=車(chē)長(zhǎng)。

由此，我們可以總結(jié)出以下規(guī)律：

行人與火車(chē)迎面相遇，從相遇時(shí)刻到錯(cuò)開(kāi)時(shí)刻，火車(chē)和行人的路程和=火車(chē)的長(zhǎng)度。

②火車(chē)追人（從車(chē)頭追上人到車(chē)尾離開(kāi)人）：

3n_三___口____百__「_________________厘______三_____口______功_n

健火車(chē)與人追及：路程差=車(chē)長(zhǎng)。

由此我們可以總結(jié)出以下規(guī)律：

火車(chē)追行人，從追上時(shí)刻到離開(kāi)時(shí)刻，火車(chē)和行人的路程差=火車(chē)的長(zhǎng)度。

例3：一行人沿著鐵路散步，每秒走1米，迎面過(guò)來(lái)一列長(zhǎng)600米的火車(chē)。已知火車(chē)每秒行駛

14米，那么從火車(chē)頭與行人相遇到火車(chē)尾離開(kāi)行人共用了多長(zhǎng)時(shí)間？

練3：一名行人沿著鐵路散步，每秒走1米，迎面過(guò)來(lái)一列長(zhǎng)300米的火車(chē)。已知火車(chē)每秒鐘

行駛14米，請(qǐng)問(wèn)：從火車(chē)頭與行人相遇到火車(chē)尾離開(kāi)他共用了多長(zhǎng)時(shí)間？

例4：一人以每分鐘60米的速度沿鐵路步行，一列長(zhǎng)144米的客車(chē)從他身后開(kāi)來(lái)，客車(chē)的速

度是每秒鐘17米?？蛙?chē)從他身邊經(jīng)過(guò)用了多少秒？

練4：東東在鐵路旁邊沿著鐵路方向散步，他散步的速度是2米/秒。這時(shí)從身后開(kāi)來(lái)一列長(zhǎng)

270米的火車(chē)，已知火車(chē)速度是17米/秒，請(qǐng)問(wèn)：從車(chē)頭追上他到車(chē)尾離開(kāi)他一共用了多少秒？

思維拓展

阿呆和阿瓜兩兄弟沿著鐵路旁邊的小路向著同一個(gè)方向行走，阿呆的速度是每分鐘40米，阿

瓜的速度是每分鐘90米，現(xiàn)在有列火車(chē)迎面開(kāi)來(lái)，車(chē)速是每分鐘260米，經(jīng)過(guò)3分30秒從阿

呆的身邊經(jīng)過(guò)，那么這列火車(chē)從阿瓜的身邊經(jīng)過(guò)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

。第六講環(huán)形路線

°小熱身：

解答題：

（1）甲乙兩人分別從AB兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度是每秒走2米，已知AB兩地之

間的距離是300米，經(jīng)過(guò)1分鐘相遇，那么乙的速度是多少？

（2）甲乙兩人分別從AB兩地同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲的速度是每秒走2米，已知AB兩地之

間的距離是300米，經(jīng)過(guò)1分鐘乙追上甲，那么乙的速度是多少？

◎知識(shí)精講

環(huán)形路線的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)封閉的曲線，這就意味著從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，跑完一圈之后會(huì)回到出發(fā)點(diǎn)，這是完

全不同于直線運(yùn)動(dòng)的。同樣的，環(huán)形中的相遇問(wèn)題與直線形問(wèn)題也是略有不同的。如圖所示，從一個(gè)點(diǎn)出

發(fā)，背向而行的兩人，會(huì)在圓周上的一點(diǎn)相遇。這時(shí)他們走過(guò)的路程和為一個(gè)圓周。

路程和是跑道的周長(zhǎng)

相遇時(shí)間=周長(zhǎng)+（甲速+乙速）

這里要特別說(shuō)明，在圓周上兩點(diǎn)之間的距離是這樣定義：兩點(diǎn)間較短一段圓弧的長(zhǎng)度。如

圖，AB兩點(diǎn)間的距離就是AB間粗實(shí)線的長(zhǎng)度。

環(huán)形路線上的相遇問(wèn)題具有周期性。若甲、乙兩人同地反向出發(fā)，那么兩人第一次相遇時(shí),

兩人共合走一整圈；從此刻開(kāi)始，每相遇一次，兩人就合走一整圈。如此反復(fù)不斷下去，如果

兩人的速度保持不變，那每次相遇的時(shí)間也就相同了。

在環(huán)形路線問(wèn)題中，善用周期性會(huì)使一些問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，特別是一些多次相遇的問(wèn)題。

例1:陽(yáng)光小學(xué)圓形操場(chǎng)跑道的周長(zhǎng)是1000米，小鑫與小揚(yáng)同時(shí)同地背向而行，小鑫每分鐘

走56米,小揚(yáng)每分鐘走44米，經(jīng)過(guò)多少分鐘兩人第一次相遇？經(jīng)過(guò)多少分鐘兩人第六次相遇？

練1：小鑫和小高在周長(zhǎng)為2000米的環(huán)形跑道上同時(shí)同地背向而行。小鑫的速度是200米/

分，小高的速度是300米/分。經(jīng)過(guò)多少分鐘兩人第一次迎面相遇？經(jīng)過(guò)多少分鐘兩人第五次

迎面相遇？

例2:甲、乙兩人在周長(zhǎng)為600米的環(huán)形跑道上同時(shí)同地背向而行。甲的速度是70米/分,

乙的速度是50米/分。兩人第三次迎面相遇時(shí)，甲距離出發(fā)地多少米？

練2:甲、乙兩人在周長(zhǎng)為560米的環(huán)形跑道上同時(shí)同地背向而行。甲的速度是60米/分,

乙的速度是80米/分。兩人第五次迎面相遇時(shí)，甲距離出發(fā)點(diǎn)多少米？

Q知識(shí)精講

如果兩人沿著環(huán)形路線從同一個(gè)點(diǎn)出發(fā)同向而行，慢的那個(gè)人會(huì)在圓周上的一點(diǎn)被快的那

人追上。這時(shí)他們走過(guò)的路程之差是一個(gè)圓周。

路程差是跑道的周長(zhǎng)

追及時(shí)間=周長(zhǎng)十（乙速-甲速）

環(huán)形路線上的追及問(wèn)題具有周期性。若甲、乙兩人同地同向出發(fā)，甲快乙慢，那么甲第

一次追上乙時(shí)，恰好比乙多跑一整圈；從此刻開(kāi)始，甲想要再次追上乙，就必須再多跑一整圈。

如此反復(fù)不斷地追下去，甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈，所以每次追及的路程差是一樣的。

如果兩人的速度差保持不變，那每次追上的時(shí)間就相同了。

在環(huán)形路線問(wèn)題中，善用周期性會(huì)使一些問(wèn)題變簡(jiǎn)單，特別時(shí)一些多次追及的問(wèn)題。

例3:小鑫和小高在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上同時(shí)同地而行。小鑫的速度是80米/分，小高

的速度是60米/分，經(jīng)過(guò)多少分鐘小鑫第一次追上小高？再經(jīng)過(guò)多少分鐘小鑫第五次追上小

高？

練3:甲、乙兩人在周長(zhǎng)為900米的環(huán)形跑道上同時(shí)同地同向而行，甲的速度是90米/分，乙

的速度是60米/分。經(jīng)過(guò)多少分鐘甲第一次追上乙？再經(jīng)過(guò)多少分鐘甲第六次追上乙？

例4:甲、乙兩人在周長(zhǎng)為700米的環(huán)形跑道上同時(shí)同地同向而行，甲的速度是90米/分，乙

的速度是55米/分，當(dāng)甲第三次追上乙時(shí)，甲距離出發(fā)點(diǎn)多少米？

練4:甲、乙兩人在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上同時(shí)同地同向而行。甲的速度是85米/分，乙

的速度是65米/分。當(dāng)甲第四次追上乙時(shí)，甲距離出發(fā)點(diǎn)多少米？

◎思維拓展

周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上，有相距100米的A、B兩點(diǎn)，甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)相背而

行，速度分別是2米/秒和3米/秒。請(qǐng)問(wèn)：多少秒后兩人第三次相遇？

第八講解方程

。小熱身:

解下列方程：

(1)x+4,6=8.2;

(2)x-2.8=3

(3)2x=5.6

(4)x4-3=5.4

◎知識(shí)精講

等式:用等號(hào)連接，表示相等關(guān)系的式子。

方程:就是含有未知數(shù)的等式。

一元一次方程：就是只含有一種未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的方程。

等式有兩個(gè)基本性質(zhì)：

等式性質(zhì)1：等式兩邊加上或減去一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍相等。

等式性質(zhì)2:等式兩邊乘一個(gè)數(shù)，或除以一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。

利用等式的性質(zhì)我們可以解一些簡(jiǎn)單的方程。

解較簡(jiǎn)單的一元一次方程的一般步驟：

（1）移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)的一邊（通常是左邊），已知數(shù)移到等號(hào)的另一邊;

（2）合并同類項(xiàng)：把方程兩邊分別合并，化簡(jiǎn)成ax=b（aH0）的形式；

（3）系數(shù)化1:在方程兩邊同除以未知數(shù)系數(shù)a,得到方程的解X/；

a

（4）把的得到的解代回原方程檢查。

例1：解下列方程。

(1)6x+12=42;(2)12x-42=9x;(3)84-7x=5x

練1:解下列方程。

(1)4x-14=66;(2)4x+108=8x;(3)108-3x=6x

例2:解下列方程。

(1)5x+2=2x=14;(2)7-2x=31-6x;(3)15-3x=4x-20

練2:解下列方程。

(1)7+6x=32+x;(2)16-3x=36-8x;(3)19-5x=7x-17

9知識(shí)精講

去括號(hào)時(shí)要注意：

(1)如果括號(hào)前面是減號(hào)，去掉括號(hào)后，原有的項(xiàng)要變號(hào)。

(2)如果括號(hào)前面是加號(hào)，去掉括號(hào)后，原有的項(xiàng)不變號(hào)。

例3:(1)9x-(2x-21)=10x;(2)7x+2(ll-x)=37

練3:接下列方程。

(1)4x+5(x-3)=30;(2)27-(5x-8)=2x

例4:解方程：30-7(5-x)=9

練4:解方程：6x-4(10-x)=50

息思維拓展

如果5x=12+3x和3-(m-x)=4的解相等,那么m等于幾？

第九講列方程解應(yīng)用題

。小熱身：

(1)2X+8=X+12.6

(2)3X-2.8=12+X

9知識(shí)精講

列方程解應(yīng)用題的方法和步驟

步驟要求要注意的問(wèn)題_______

讀懂題目、弄清題意、找出能夠表審題是分析解題的過(guò)程，解題程序中不

審題示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系，分用體現(xiàn)出來(lái)

清已知數(shù)和未知數(shù)

①設(shè)未知數(shù)①設(shè)未知數(shù)一般是問(wèn)什么，就直接設(shè)什

②把所求的量用未知數(shù)表示么，即直接設(shè)元

設(shè)元

③把各個(gè)量用含未知數(shù)的式子表示②直接設(shè)元有困難，可以間接設(shè)元

出來(lái)③設(shè)未知數(shù)時(shí)，必須寫(xiě)清未知數(shù)的單位

列方程根據(jù)等量關(guān)系列出方程方程兩邊所用的單位需一致

解出這個(gè)方程的解，求出未知數(shù)的如果是間接設(shè)元，求出的未知數(shù)還需要

解方程

值利用其他算式得到所求的量

把方程的解代入方程檢驗(yàn)，或根據(jù)檢驗(yàn)的步驟在解題程序中不用寫(xiě)出來(lái)

檢驗(yàn)

實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)方程的解要符合實(shí)際情況，否則無(wú)解

這一步在列方程解應(yīng)用題中必不可少，

作答寫(xiě)出答案，作出結(jié)論

是一種規(guī)范要求

下來(lái)我們就來(lái)看看如何用一元一次方程解應(yīng)用題.

例1:甲數(shù)比乙數(shù)的2倍還少7,兩數(shù)的平均數(shù)是46,那么乙數(shù)是多少？

練1：甲數(shù)比乙數(shù)的3倍還多4,兩數(shù)的平均數(shù)是34,那么乙數(shù)是多少?

例2：一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是42厘米，長(zhǎng)是寬的2倍。那么長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米?

練2:一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是32厘米，長(zhǎng)是寬的3倍，那么長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米?

9知識(shí)精講

有些題直接設(shè)未知數(shù)有困難，可以直接設(shè)未知數(shù)。

例3:大、小兩個(gè)水池都未注滿水，如果從小池抽水將大池灌滿，則小池還剩下10噸，如果

從大池抽水將小池注滿。則大池還剩水20噸，已知大池容積是小池容積的1.2倍，兩池中共

有水多少噸？

練3：大、小兩個(gè)杯子都未裝滿水，如果將小杯子的部分水倒入大杯子，并將其倒?jié)M，則小

杯子還剩水30克；如果將大杯子的部分水倒入小杯子，并將其倒?jié)M，則大杯子還剩水90克,

已知大杯子的容積是小杯子的2倍，兩杯水原來(lái)共裝多少克水？

例4：小豆身上帶有1元、5元、10元三種面值的紙幣共82元，其中1元與10元紙幣共17

張，1元紙幣的張數(shù)是5元紙幣張數(shù)的3倍。那么小豆身上有多少?gòu)?0元紙幣？

練4:五年級(jí)的三個(gè)班分蘋(píng)果，一班每人3個(gè)，二班每人4個(gè)，三班每人5個(gè)。已知二班和

三班共有90人，二班的人數(shù)是一班的2倍，總共分出去475個(gè)蘋(píng)果。那么這三個(gè)班一共有多

少人？

曲思維拓展

已知甲、乙兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是21,乙、丙兩那個(gè)數(shù)的平均數(shù)是25,甲、丙兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是

20,則甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的總和是多少？

第十講多邊形的面積三

。小熱身:

解答題

（1）平行四邊形的底是12厘米，對(duì)應(yīng)的高是6厘米，那么這個(gè)平行四邊形的面積是多少平

方厘米？

（2）平行四邊形的面積是30平方厘米，底是6厘米，那么高是多少厘米？

Q知識(shí)精講

回顧基本直線形的面積公式：

正方形的面積=邊長(zhǎng)X邊長(zhǎng)；長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)X寬；

平行四邊形的面積=底x高；三角形的面積=底X高92；

梯形的面積=（上底+下底）X高+2.

在三角形中：

（1）反求高：高=三角形面積X24?底

（2）反求底：底=三角形面積X2?高

這種反求的方法，在幾何問(wèn)題中是經(jīng)常會(huì)遇到的。

需要注意的是，反求三角形的底或高時(shí)，切記首先三角形面積要“X2”。

例1：如圖，在平行四邊形ABCD中，三角形BEF的面積為44平方厘米，BF長(zhǎng)為11厘米，F(xiàn)C

長(zhǎng)為3厘米。請(qǐng)問(wèn)：平行四邊形ABCD的面積是多少平方厘米？

AED

BC

F

練1：如圖，直角梯形ABCD的上底是6厘米，下底是10厘米，三角形ACD的面積是21平方

厘米。請(qǐng)問(wèn)：梯形ABCD的面積是多少平方厘米？

9知識(shí)精講

在梯形中：

（1）反求高：高=梯形的面積X2+（上底+下底）

（2）反求上底：上底=梯形的面積X2?高-下底

（3）反求下底：下底=梯形的面積X2+高-上底

需要注意的是，反求梯形的底或高時(shí)，切記首先梯形面積要“X2”

例2:如圖，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是13厘米，梯形ABCD的面積是48平方厘米。

請(qǐng)問(wèn)：三角形ABE的面積是多少平方厘米？

練2:如圖，直角梯形ABCD的高是6厘米，下底是12厘米，梯形ABCD的面積是51平方厘

米。請(qǐng)問(wèn)：三角形ABE的面積是多少平方厘米？

6k知識(shí)精講

如果只知道正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，不知道邊長(zhǎng)，該如何求出正方形的面積呢？

如下圖，我們把正方形沿對(duì)角線剪成兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，再拼接成一個(gè)大的等腰

直角三角形，總面積沒(méi)有發(fā)生改變，由此可以得出正方形面積公式：

正方形面積=對(duì)角線的平方+2

將正方形沿對(duì)角線分成將2個(gè)小等腰直角三角形

2個(gè)小等腰直角三角形拼成一個(gè)大等腰直角三角形

大等度直角三角形面積=對(duì)角線X對(duì)角線2

TF方形面積=對(duì)角線X對(duì)角線二

類似地，只知道等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，不知道直角邊長(zhǎng)，也能求出等腰直角三角形的

面積。等腰直角三角形的面積=斜邊的平方+4

4個(gè)相同的大等腰直角

三角形拼成1個(gè)正方形

窿一TF方形面積=斜邊X斜邊

等膘直角三角形面積=斜邊X斜邊」1

從圖中我們也可以看出，等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，而且斜邊上的高還

把等腰直角三角形分成了兩個(gè)一模一樣的小等腰直角三角形。

例3：兩個(gè)等腰直角三角形如圖所示擺放，恰好拼成一個(gè)直角梯形。已知較小的等腰直角三

角形斜邊長(zhǎng)為8厘米。請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)直角梯形的面積是多少平方厘米？

練3:如圖所示是一個(gè)由正方形ABCD和等腰直角三角形BCE組成的梯形，BD長(zhǎng)4厘米。請(qǐng)

問(wèn)：這個(gè)梯形得到的面積是多少平方厘米?

例4：四個(gè)等腰直角三角形拼成如圖所示的平面圖形，已知最小的等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為

2厘米。請(qǐng)問(wèn)：該圖形的面積是多少平方厘米？

練4:三個(gè)等腰直角三角形拼成如圖所示的平面圖形，已知最小的等腰直角三角形邊長(zhǎng)為4

厘米。請(qǐng)問(wèn)：該圖形的面積是多少平方厘米？

以思維拓展

如圖，梯形ABCD的上底AD長(zhǎng)5厘米，下底BC長(zhǎng)12厘米，腰CD的長(zhǎng)為8厘米，過(guò)B向CD

作出的垂線BE的長(zhǎng)為9厘米，那么梯形ABCD的面積是多少平方厘米?

第十一講割補(bǔ)法巧算面積一

。小熱身:

解答題

（1）三角形的底是&4厘米，對(duì)應(yīng)的高是4厘米，那么這個(gè)三角形的面積是多少平方厘米？

（2）梯形的上底是4厘米，下底是6厘米，高是4厘米，那么梯形的面積是多少平方厘米？

9知識(shí)精講

我們學(xué)習(xí)了三角形面積和正方形面積的計(jì)算，三角形和正方形的面積都可以直接利用公式計(jì)算

出來(lái)，而在我們實(shí)際學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些不規(guī)則圖形，這些圖形的面積沒(méi)有辦法利用公式

直接求出來(lái)，于是就需要把它們通過(guò)分割、添補(bǔ)等各種方式變換為規(guī)則的圖形，然后再計(jì)算面

積。

例1：計(jì)算下面圖形的面積。（單位：厘米）

練1:如圖是學(xué)校操場(chǎng)一角，請(qǐng)計(jì)算它的面積。（單位：米）

例2：根據(jù)下圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算出陰影部分的面積。

練2：根據(jù)下圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出陰影部分的面積。

Q知識(shí)精講

利用同增同減差不變的特性來(lái)解決圖形面積問(wèn)題。

例3:下圖是是兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起形成的組合圖形，其中AB=8cm、CD=10cm,

ED=20cm.請(qǐng)問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方厘米？

練3：如圖是兩個(gè)相同的直角三角形組合而成。請(qǐng)問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方厘米？

Q知識(shí)精講

利用轉(zhuǎn)化的思想，通過(guò)割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化圖形，從而解決圖形面積問(wèn)題。

例4:一塊正方形的鋼板，先截去一個(gè)寬3分米的長(zhǎng)方形，又截去一個(gè)寬3分米的長(zhǎng)方形,

面積比原來(lái)正方形減少63平方分米。請(qǐng)問(wèn)：原正方形的面積是多少平方分米？

3

練4:一塊正方形的鋼板，先截去一個(gè)寬5分米的長(zhǎng)方形，又截去一個(gè)寬5分米的長(zhǎng)方形,

面積比原來(lái)正方形減少85平方分米。請(qǐng)問(wèn)：原正方形的面積是多少平方分米？

◎

思維拓展

圖中，甲、乙兩個(gè)正方的邊長(zhǎng)的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40平方厘米。

請(qǐng)問(wèn)：乙正方形的面積是多少平方厘米？

第十二講割補(bǔ)法巧算面積二

。小熱身：

解答題：

（1）正方形的邊長(zhǎng)是10厘米，正方形的面積是多少平方厘米？

（2）正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度是12厘米，正方形的面積是多少平方厘米?

9知識(shí)精講

我們學(xué)習(xí)了如何利用分割和添補(bǔ)的方式來(lái)計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，但是有些較復(fù)雜的圖形

需要我們自己思考如何切割，然后再添補(bǔ)來(lái)計(jì)算面積，也就是“先割再補(bǔ)”。本章將重點(diǎn)研究

此類問(wèn)題。

一般情況下，我們都是將形狀大小相同的圖形進(jìn)行割補(bǔ)，但是有時(shí)候形狀不相同的圖形也

可以進(jìn)行割補(bǔ)，只要面積相等即可，只要面積相等即可，所以割補(bǔ)法的本質(zhì)是將面積相同的數(shù)

塊圖形進(jìn)行替換，以達(dá)到將不規(guī)則圖形變?yōu)橐?guī)則圖形的目的。

例1:如圖所示的四邊形的面積等于多少？（單位：厘米）

練1:如圖所示的四邊形的面積等于多少？（單位：厘米）

例2：兩個(gè)正方形拼成如圖所示的平面圖形，已知大正方形的面積為64平方厘米，請(qǐng)問(wèn)：小

正方形的面積是多少平方厘米？

練2：如圖由2個(gè)同樣大小的等邊三角形組合而成，每個(gè)大三角形的面積為6平方厘米，外圍

的6個(gè)小三角形均為形狀大小相同的等邊三角形，那么中間陰影部分的面積是多少平方厘米？

9知識(shí)精講

利用網(wǎng)格法把圖形分成若干個(gè)相等的小圖形，可找出陰影部分與整體之間的關(guān)系。

例3:在一個(gè)等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段，如果這個(gè)

等腰三角形的面積為9平方厘米。請(qǐng)問(wèn)：圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

練3:如圖所示，三角形ABC是面積為20平方厘米的等腰直角三角形，D、E、F是三邊的中

點(diǎn)。請(qǐng)問(wèn)：空白部分的面積是多少平方厘米？

例4：如圖，把兩個(gè)相同的正三角形的各邊分別二等分和四等分，并連接這些等分點(diǎn)。已知左

圖中陰影部分部分的面積是100平方分米。請(qǐng)問(wèn)：右圖中陰影部分的面積是多少平方分米？

練4:如圖，把兩個(gè)同樣大小的正方形分別分成6X6和3X3的方格表，左圖陰影部分的面

積是400平方厘米。請(qǐng)問(wèn)：右圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

Q思維拓展

把正三角形的每條邊三等分，以各邊的中間一段為邊向外作小正三角形，得到一個(gè)六角形，再

將這個(gè)六角形的六個(gè)“角”（即小正三角形）的兩邊三等分，又以它的中間段為邊向外作更小

的小正三角形，這樣就得到如圖所示的圖形。如果所作的最小的正三角形的面積為1平方厘米。

請(qǐng)問(wèn)：整個(gè)圖形的面積是多少平方厘米？

。小熱身:

解答題；

（1）等腰直角邊是12厘米，這個(gè)三角形的面積是多少平方厘米？

（2）直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度分別是3和4,這個(gè)三角形的面積是多少平方厘米?

◎知識(shí)精講

三角形和平行四邊形的關(guān)系非常緊密?；叵胨鼈兊拿娣e公式，如果我們把一個(gè)平行四邊形沿對(duì)

角線分成兩塊，那么每個(gè)三角形的面積正好是平行四邊形的一半，如圖：

除了上面這種情形外，下圖中的陰影三角形由于和平行四邊形底、高都相同，所以面積也是平

形四邊形的一半。（注意：長(zhǎng)方形也是平行四邊形）

例1:如圖，平行四邊形的面積為150平方厘米。請(qǐng)問(wèn)：陰影部分的面積為多少平方厘米?

練1:如圖，平行四邊形的面積為90平方厘米。請(qǐng)問(wèn)：陰影部分的面積為多少平方厘米?

9知識(shí)精講

兩條平行線間有四個(gè)三角形：三角形OAB、三角形PAB、三角形MAB和三角形NAB,它們

的底相同，都是AB；高相等，都是兩條平行線間的距離，所以這四個(gè)三角形的面積是相等的。

我們把這種“底相同，高相等”的情況簡(jiǎn)稱為“同底等高”，如果兩個(gè)三角形同底等高,

那么它們的面積相等。

下圖中，利用“同底等高”，把E點(diǎn)拉到A點(diǎn)，那么陰影部分的面積就等于三角形ABC

的面積，即等于長(zhǎng)方形ABCD的一半。這幾種圖形，我們把它稱為“狗牙模型”。

“狗牙模型”需要滿足：“嘴巴”是平行四邊形；“牙齒”要占滿“嘴巴”的一邊。下

面2個(gè)圖形不是狗牙模型。

例2:如圖，平行四邊形ABCD的面積為80平方厘米，EF平行AB。請(qǐng)問(wèn)：陰影部分的面積為

多少平方厘米?

練2:如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積為64平方厘米，EF平行AB。請(qǐng)問(wèn)：陰影部分的面

積為多少平方厘米？

例3:如圖，E是平行四邊形ABCD中的任意一點(diǎn)，已知△ABE的面積是20平方厘米,

△EBC的面積25平方厘米，△ECD的面積是32平方厘米，那么AADE的面積是多少

平方厘米？

練3:如圖，已知平行四邊形ABCD的面積是120平方厘米，E是其中的任意一點(diǎn)，那

么圖中陰影部分面積多少平方厘米？

AD

9知識(shí)精講

觀察圖形，找到整體一半可以由哪些圖形組成，通過(guò)去相同、比不同，得出所求圖形的面

積。

例4:如圖，在平行四邊形ABCD中，三角形AEF的面積為9平方厘米，三角形BCE

的面積為13平方厘米，那么三角形DFC的面積是多少平方厘米？

練4:如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，三角形AD