概率論與數(shù)理統(tǒng)計章

第8章假設檢驗8.1假設檢驗的基本概念8.3兩個正態(tài)總體的參數(shù)假設檢驗8.2單個正態(tài)總體的參數(shù)假設檢驗8.4總體比率的假設檢驗8.3非參數(shù)假設檢驗8.1假設檢驗的基本概念一、假設檢驗的概念二、假設檢驗的基本原理三、假設檢驗可能犯的兩類錯誤四、假設檢驗的一般步驟若對總體參數(shù)有所了解但有懷疑需要證實之時用假設檢驗方法來處理若對總體參數(shù)一無所知用參數(shù)估計的方法處理一、假設檢驗的概念

假設檢驗是指施加于一個或多個總體的概率分布或參數(shù)的假設.

所作假設可能是正確的,也可能是錯誤的.

為判斷所作的假設是否正確,從總體中抽取樣本,根據(jù)樣本的取值,按一定原則進行檢驗,然后作出接受或拒絕所作假設的決定.何為假設檢驗?例如,

提出總體服從泊松分布的假設;

參數(shù)假設檢驗非參數(shù)假設檢驗參數(shù)檢驗假設是針對總體分布函數(shù)中的未知參數(shù)而提出的假設進行檢驗；分布函數(shù)形式或類型的假設進行檢驗.本章主要討論參數(shù)假設檢驗問題，非參數(shù)檢驗假設是針對總體下面結合實例來說明參數(shù)假設檢驗的基本思想.假設檢驗的內容例1

某產品出廠檢驗規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產品能否出廠？若抽查結果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否廠？為此提出如下假設:例2

某廠生產的螺釘,按標準強度為68/mm2,而實際生產的強度X

服.若,則認為這批螺釘符合要求,否則認為不符合要求.現(xiàn)從整批螺釘中取容量為36的樣本,其樣本均值為68.5,問原假設是否正確?為此提出如下假設:在例1中在例2中均稱為參數(shù)假設參數(shù)假設一般是一對互逆的假設,比較參數(shù)的相等或大小稱其中的一個為原假設,也稱零假設或基本假設稱另一個為備擇假設,也稱備選假設或對立假設一般將含有等號的假設稱為原假設必須在原假設與備擇假設之間作一選擇假設檢驗的任務在例1中在例2中均稱為參數(shù)假設參數(shù)假設一般是一對互逆的假設,比較參數(shù)的相等或大小稱其中的一個為原假設,也稱零假設或基本假設稱另一個為備擇假設,也稱備選假設或對立假設一般將含有等號的假設稱為原假設必須在原假設與備擇假設之間作一選擇假設檢驗的任務二、假設檢驗的基本原理假設檢驗的理論依據(jù)是“小概率原理”小概率原理:如果一個事件發(fā)生的概率很小,那么在一次實驗中,這個事件幾乎不會發(fā)生.事件“擲100枚均勻硬幣全出現(xiàn)正面”事件“某人隨機買一注彩票中一等獎”事件“在一副撲克中隨機抽取4張全為A”以上幾個事件都可稱為“小概率事件”如:

無論原假設中是否含不等號，在實際檢驗時，均可按原假設僅含等號的檢驗進行檢驗.例1

某產品出廠檢驗規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產品能否出廠？若抽查結果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否廠？解假設一萬件產品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品是小概率事件,那么在一次實驗中,這個事件幾乎是不會發(fā)生的,現(xiàn)在竟然發(fā)生了,故認為原假設不成立,即該批產品次品率,則該批產品不能出廠.例1

某產品出廠檢驗規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現(xiàn)從一萬件產品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品,問該批產品能否出廠？若抽查結果發(fā)現(xiàn)1件次品,問能否廠？解假設一萬件產品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)3件次品是小概率事件,那么在一次實驗中,這個事件幾乎是不會發(fā)生的,現(xiàn)在竟然發(fā)生了,故認為原假設不成立,即該批產品次品率,則該批產品不能出廠.

這不是小概率事件,沒理由拒絕原假設,從而接受原假設,即該批產品可以出廠.若從一萬件產品中任意抽查12件發(fā)現(xiàn)1件次品例2

某廠生產的螺釘,按標準強度為68/mm2,而實際生產的強度X

服.若,則認為這批螺釘符合要求,否則認為不符合要求.現(xiàn)從整批螺釘中取容量為36的樣本,其樣本均值為68.5,問原假設是否正確?解假設若原假設正確,則因此,可以確定一個常數(shù)c

使得反查正態(tài)分布表可得臨界值稱區(qū)間(,66.82)與(69.18,+

)為原假設的拒絕域，而區(qū)間(66.82,69.18)為原假設的接受域(實際上沒理由拒絕)。接受原假設，認為這批螺釘符合要求均值置信度為95%置信區(qū)間例2

某廠生產的螺釘,按標準強度為68/mm2,而實際生產的強度X

服.若,則認為這批螺釘符合要求,否則認為不符合要求.現(xiàn)從整批螺釘中取容量為36的樣本,其樣本均值為68.5,問原假設是否正確?解假設若原假設正確,則因此,可以確定一個常數(shù)c

使得查正態(tài)分布表可得臨界值稱區(qū)間(,66.82)與(69.18,+

)為原假設的拒絕域，而區(qū)間(66.82,69.18)為原假設的接受域(實際上沒理由拒絕)。接受原假設，認為這批螺釘符合要求假設檢驗方法是概率意義下的反證法.要注意的是小概率事件畢竟不是不可能事件,只是小概率事件發(fā)生的概率很小,在一次實驗中“幾乎”不會發(fā)生.因此上述方法就可能出現(xiàn)錯誤,即真的假設被拒絕了,而錯誤的假設卻可能被接受了.1.第一類錯誤:棄真錯誤此時我們便犯了“棄真”錯誤,也稱為第一類錯誤三、假設檢驗可能犯的兩類錯誤則犯棄真錯誤的概率為小概率事件發(fā)生的概率就是犯棄真錯誤的概率

越大,犯第一類錯誤的概率越大,即越顯著.2.第二類錯誤:納偽錯誤此時我們便犯了“納偽”錯誤,也稱為第二類錯誤犯納偽錯誤的概率為

我們希望這兩類錯誤都很小.但可以證明，在樣本容量n固定時,同時減小

和

是辦不到的.當

減小時必導致

增大,反之亦然.要想使

和

同時減小，只有增大樣本容量n.在實際應用中，一般原則是：在給定犯第一類錯誤的概率

之后,使得犯納偽錯誤的概率

盡可能的小.在例2中()計算犯第二類錯誤的概率H0不真,即

68,

可能小于68,也可能大于68,

的大小取決于

的真值的大小.若例2

某廠生產的螺釘,按標準強度為68/mm2,而實際生產的強度X

服.若,則認為這批螺釘符合要求,否則認為不符合要求.現(xiàn)從整批螺釘中取容量為36的樣本,其樣本均值為68.5,問原假設是否正確?區(qū)間(66.82,69.18)為原假設的接受域在例2中()計算犯第二類錯誤的概率H0不真,即

68,

可能小于68,也可能大于68,

的大小取決于

的真值的大小.若若

的大小取決于

的真值的大小.若

的大小取決于

的真值的大小.仍取

=0.05,得因此，原假設的接受域為(67.118,68.882)現(xiàn)增大樣本容量,取n

=64,

=66,則原假設的接受域為(67.118,68.882)樣本容量為36時的樣本容量為36時的（一）根據(jù)問題的要求提出假設，寫明原假設H0和備擇假設H1的具體內容.四、假設檢驗的一般步驟（三）對給定（或選定）的顯著性水平

，由統(tǒng)計量的分布查表確定出臨界值，進而得到H0的拒絕域和接受域.（二）根據(jù)H0的內容，建立（或選取）檢驗統(tǒng)計量并確定其分布.（四）由樣本觀察值計算出統(tǒng)計量的值.（五）做出推斷：當統(tǒng)計量的值滿足“接受H0的條件”時就接受H0，否則就拒絕H0接受H1.（六）完整準確地寫出檢驗的結論.8.2單個正態(tài)總體的參數(shù)假設檢驗一、方差已知的正態(tài)總體均值的檢驗二、方差未知的正態(tài)總體均值的檢驗三、大樣本場合下,非正態(tài)總體均值的檢驗四、單個正態(tài)總體方差的檢驗一、方差已知的正態(tài)總體均值的檢驗由抽樣分布定理構造小概率事件H0拒絕域雙側檢驗H0拒絕域例1

某百貨商場的日營業(yè)額近似服從正態(tài)分布,去年的日平均營業(yè)額為53.6萬元,均方差為6萬元,今年隨機抽查了10天的營業(yè)額,分是:58.2,57.8,58.4,59.3,60.7,71.3,56.4,58.9,48.5,49.5.根據(jù)經驗認為方差沒有變化.問今年的日平均營業(yè)額與去年相比是否有顯著變化?

解構造統(tǒng)計量原假設的拒絕域為原假設的拒絕域為由樣本觀測值得統(tǒng)計量觀測值查表得臨界值即認為今年的日平均營業(yè)額與去年有顯著變化統(tǒng)計量構造小概率事件H0拒絕域單側(邊)檢驗右側(邊)檢驗上述方法稱為例2

某車間生產某種規(guī)格的鋼絲,根據(jù)經驗,其折斷力

,現(xiàn)改革了生產工藝,生產了一批鋼絲,從中隨機抽取一個n=10的樣本,測得千克,問新工藝是否值得推廣?解構造統(tǒng)計量原假設的拒絕域為統(tǒng)計量觀測值即可以認為平均折斷力有顯著提高,故新工藝值得推廣查表得臨界值原假設的拒絕域為統(tǒng)計量構造小概率事件H0拒絕域左側(邊)檢驗作業(yè)P204練習8.11.2.P213練習8.21.2.二、方差未知的正態(tài)總體均值的檢驗構造統(tǒng)計量構造小概率事件H0拒絕域H0拒絕域若統(tǒng)計量觀測值雙側檢驗構造統(tǒng)計量若統(tǒng)計量觀測值H0拒絕域單側檢驗右側檢驗若統(tǒng)計量觀測值構造統(tǒng)計量單側檢驗左側檢驗H0拒絕域例3

用傳統(tǒng)方法養(yǎng)雞,經若干天后,雞的平均重量為4斤,今改善飼養(yǎng)方法,經相同天數(shù)后,隨機抽測10只,得數(shù)據(jù)如下:3.7,3.8,4.1,3.9,4.6,4.7,5.0,4.5,4.3,3.8斤,經驗表明同一批雞的重量近似服從正態(tài)分布,問改進飼養(yǎng)方法后的這批雞的平均重量是否顯著提高了?解構造統(tǒng)計量原假設的拒絕域為統(tǒng)計量觀測值即可以認為這批雞的重量沒有顯著提高由查表得臨界值原假設的拒絕域為三、大樣本場合下,非正態(tài)總體均值的檢驗構造統(tǒng)計量構造統(tǒng)計量四、單個正態(tài)總體方差的檢驗由抽樣分布定理,構造統(tǒng)計量若小概率事件發(fā)生H0拒絕域則例4正常生產知某維尼綸廠所產維尼綸的纖度近似服從正態(tài)分布,標準差為0.048,某日任意抽取20根測量其纖度的樣本標準差為0.067,試判斷該日產品的纖度波動是否有顯著變化?解則構造統(tǒng)計量由查表得臨界值統(tǒng)計量的觀測值即認為該日產品的纖度波動與以前有顯著變化構造統(tǒng)計量H0拒絕域構造統(tǒng)計量H0拒絕域應構造統(tǒng)計量作業(yè)P213練習8.23.4.5.6.8.3兩個正態(tài)總體的參數(shù)假設檢驗參照單個正態(tài)總體的假設檢驗對兩個正態(tài)總體的參數(shù)的假設進行檢驗相互獨立由抽樣分布定理構造統(tǒng)計量的觀測值的絕對值應很小H0拒絕域因此原假設的拒絕域為構造統(tǒng)計量例1

甲、乙兩廠生產的某種元件的壽命都近似服從正態(tài)分布,,且相互獨立,從兩廠生產的元件中分別抽取了100只和75只,測得樣本均值分別為1180小時和1220小時,問乙廠生產的元件平均壽命是否比甲廠高?解構造統(tǒng)計量原假設的拒絕域為由查表得臨界值統(tǒng)計量觀測值即可以認為乙廠生產的元件壽命要比甲廠的高由抽樣分布定理構造統(tǒng)計量因此原假設的拒絕域為構造統(tǒng)計量例2

甲、乙兩零件彼此可以替代,且它們的抗壓強度都近似服從正態(tài)分布,但甲零件的成本較低,為評估質量,各抽取了5只,測得抗壓強度數(shù)據(jù)如下:(kg/cm2)

甲零件:89,89,90,84,88

乙零件:88,87,92,90,91假定它們抗壓強度的方差相等,問能否認為甲零件的抗壓強度不比乙零件低?解構造統(tǒng)計量由由樣本觀測值,得查表得臨界值即可以認為甲零件的抗壓強度不比乙零件低由抽樣分布定理構造統(tǒng)計量因此H0拒絕域為H