6.3 實踐與探索 課件 2023-2024學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)七年級下冊

6.3

實踐與探索第1課時等積變形問題華東師大版數(shù)學(xué)七年級下冊情境引入從一個水杯向另一個水杯倒水.思考：在這個過程中什么沒有發(fā)生變化？圖形的等長變化合作探究

(1)若該長方形的長比寬多1.4米，此時長方形的長、寬各是多少米呢？在這個過程中什么沒有發(fā)生變化？長方形的周長(或長與寬的和)不變.用一根長為10米的鐵絲圍成一個長方形.xm(x+1.4)m等量關(guān)系：（長+寬）×2=周長解：設(shè)此時長方形的寬為

x米，則它的長為

(x+1.4)

米.根據(jù)題意，得(x+1.4+x)×2=10解得x=1.8

長：1.8+1.4=3.2此時長方形的長為

3.2米，寬為

1.8米.(2)若該長方形的長比寬多0.8米，此時長方形的長和寬各為多少米？它圍成的長方形與(1)中所圍成的長方形相比，面積有什么變化？解：設(shè)此時長方形的寬為

xm，則它的長為(x+0.8)m.根據(jù)題意，得(x+0.8+x)×2=10解得x=2.1長：2.1+0.8=2.9此時長方形的長為2.9m，寬為2.1m，面積為2.9×2.1=6.09(m2)，(1)中長方形的面積為

3.2×1.8

=5.76(m2).此時長方形的面積比

(1)中長方形的面積增大6.09－5.76=0.33(m2).(3)若該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，則正方形的邊長是多少？它圍成的正方形的面積與(2)中相比，又有什么變化？xm(x+x)×2=10解得x=2.5正方形的面積為2.5×2.5=6.25(平方米)解：設(shè)正方形的邊長為

x米.根據(jù)題意，得比(2)中面積增大6.25-6.09=0.16（平方米）正方形的邊長為2.5米同樣長的鐵絲可以圍更大的地方.

例1用兩根等長的鐵絲分別繞成一個正方形和一個圓，已知正方形的邊長比圓的半徑長2(π－2)m，求這兩根等長的鐵絲的長度，并通過計算說明誰的面積大．典例精析

【解析】比較兩圖形的面積大小，關(guān)鍵是通過題中的等量關(guān)系列方程求得圓的半徑和正方形的邊長，本題的等量關(guān)系為正方形的周長＝圓的周長．解：設(shè)圓的半徑為

rm，則正方形的邊長為

[r＋2(π－2)]m.根據(jù)題意，得答：鐵絲的長為8πm，圓的面積較大．因為4π×4＞4π×π，所以16π

＞4π2，所以圓的面積大．正方形的面積為[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．所以圓的面積是

π×42＝16π(m2)，所以鐵絲的長為2πr＝8π(m)．2πr＝4(r＋2π－4)，解得

r＝4.(1)形狀、面積發(fā)生了變化，而周長沒變；(2)形狀、周長不同，但是根據(jù)題意找出周長之間的關(guān)系，把這個關(guān)系作為等量關(guān)系．解決問題的關(guān)鍵是通過分析變化過程，挖掘其等量關(guān)系，從而可列方程．歸納總結(jié)圖形的等積變化

某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4m的圓柱形儲水箱．現(xiàn)對該樓進(jìn)行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4m減少為3.2m．那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4m變?yōu)槎嗌倜?？合作探?.如果設(shè)水箱的高變?yōu)?/p>

xm，填寫下表：

舊水箱新水箱底面半徑/m高/m體積/m21.64xπ×22×4π×1.62×x3.列出方程并求解.2.根據(jù)表格中的分析，找出等量關(guān)系.舊水箱的容積=新水箱的容積π×22×4π×1.62×x=解得

x=6.25因此，水箱的高度變成了6.25m.例2

一種牙膏出口處直徑為5mm，小明每次刷牙都擠出1cm長的牙膏，這樣一支牙膏可以用36次，該品牌牙膏推出新包裝，只是將出口處直徑改為6mm，小明還是按習(xí)慣每次擠出1cm的牙膏，這樣，這一支牙膏能用多少次？解：設(shè)這一支牙膏能用

x

次，根據(jù)題意得

解這個方程，得

x

＝

25.

答：這一支牙膏能用

25

次．

你認(rèn)為列一元一次方程解應(yīng)用題的主要步驟有哪些？關(guān)鍵是什么？思考：

1.審——通過審題找出等量關(guān)系.6.答——注意單位名稱.5.檢——檢驗求出的值是否為方程的解，并檢驗是否符

合實際問題.4.解——求出方程的解(對間接設(shè)的未知數(shù)切忌繼續(xù)求解).3.列——依據(jù)找到的等量關(guān)系，列出方程.2.設(shè)——設(shè)出合理的未知數(shù)(直接或間接)，注意單位名稱.做一做1.要鍛造一個直徑為8厘米、高為4厘米的圓柱形毛坯，則至少應(yīng)截取直徑為4厘米的圓鋼______厘米.2.鋼錠的截面是正方形，其邊長是20厘米，要鍛造成長、寬、高分別為40厘米、30厘米、10厘米的長方體，則應(yīng)截取這種鋼錠多長？答：應(yīng)截取這種鋼錠

30厘米.161.一個長方形的周長是40cm，若將長減少8cm，寬增加2cm，長方形就變成了正方形，則正方形的邊長為()A.6cm

B.7cm

C.8cm

D.9cmBC2.一個梯形的面積是60cm2，高為5cm，它的上底比下底短2cm，求這個梯形上底和下底的長度.設(shè)下底長為

xcm，則下面所列方程正確的是

()

3.根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是(

)AA.π×42x=π×32×(x+5)B.π×42x=π×32×(x-5)C.π×82x=π×62×(x+5)D.π×82x=π×62×(x-5)應(yīng)用一元一次方程

圖形等長變化應(yīng)用一元一次方程解決實際問題的步驟

圖形等積變化列

⑤檢

④解設(shè)

審

⑥答

6.3

實踐與探索第2課時銷售問題及百分率問題華東師大版數(shù)學(xué)七年級下冊情境引入清倉處理跳樓價滿200返100五折銷售銷售中的盈虧合作探究1.進(jìn)價100元的商品提價40%后，標(biāo)價為________元，若按標(biāo)價的八折銷售，則售價為________元，此商品的利潤為________元，利潤率是________.2.某商品原價是

a元，現(xiàn)在每件打九折銷售，則此時的售價是

元.3.一件商品打

x折出售，就是用原價乘

.

140112120.9a12％填空：問題1：上面的打折銷售問題中有哪些量?成本價(進(jìn)價)標(biāo)價(原價)銷售價

利潤

利潤率問題2：這些量有何關(guān)系?大家想一想！進(jìn)價：購進(jìn)商品時的價格(有時也叫成本價).售價：在銷售商品時的售出價(有時稱成交價，賣出價).標(biāo)價：在銷售時標(biāo)出的價（有時稱原價，定價）.利潤：在銷售商品的過程中的純收入，利潤＝售價-進(jìn)價.有關(guān)銷售的概念利潤率：利潤占進(jìn)價的百分率，即：利潤率

＝

利潤÷進(jìn)價×100%.概念學(xué)習(xí)理一理：打折促銷活動中各個量與量之間有怎樣的等量關(guān)系？

進(jìn)價＋提價

=標(biāo)價售價－進(jìn)價（成本）=利潤進(jìn)價×利潤率

=利潤

標(biāo)價×折扣率

=售價打折或減價標(biāo)價售價進(jìn)價提價利潤、利潤率(1)某商品的進(jìn)價為80元，在進(jìn)價的基礎(chǔ)上提高20%后標(biāo)價，則標(biāo)價為

元.(2)標(biāo)價為500元的商品打9折后的售價為

元.(3)某商品每件的銷售利潤是72元，進(jìn)價是120元，則售價是

元.(4)某商品利潤率為13%，進(jìn)價為50元，則利潤是

元.(80＋80×20%)（500×0.9）（50×13%）（120＋72）964506.5192做一做

商品利潤利潤率=

=商品售價－商品進(jìn)價●售價、進(jìn)價、利潤的關(guān)系：商品利潤●進(jìn)價、利潤、利潤率的關(guān)系：商品進(jìn)價×100%折扣數(shù)●標(biāo)價、折扣數(shù)、商品售價的關(guān)系：商品售價=標(biāo)價×10●商品售價、進(jìn)價、利潤率的關(guān)系：商品進(jìn)價商品售價=×(1+利潤率)打折銷售要點歸納A.盈利B.虧損C.不盈不虧

你估計盈虧情況是怎樣的？典例精析例1一商店在某一時間以每件60元的價格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?￥60￥60思考：銷售的盈虧決定于什么？取決于總售價與總成本(兩件衣服的成本之和)的關(guān)系總售價

＞總成本

總售價

＜總成本

總售價

＝總成本盈利虧損不盈不虧(2)設(shè)虧損25%的衣服進(jìn)價是y元，依題意得y－0.25y＝60解得y＝80(1)設(shè)盈利25%的衣服進(jìn)價是x元，依題意得x＋0.25x＝60解得x＝48解：兩件衣服總成本：x+y=48＋80＝128(元)因為120－128＝

－8(元)所以賣這兩件衣服共虧損了8元.與你猜想的一致嗎？1.某琴行同時賣出兩臺鋼琴，每臺售價為960元.其中一臺盈利20%，另一臺虧損20%.這次琴行是盈利還是虧損，或是不盈不虧？練一練2.某文具店有兩個進(jìn)價不同的計算器都賣64元，其中一個盈利60%，另一個虧本20%.這次交易中的盈虧情況？答案：買這兩個計算器盈利

8

元.答案：這次琴行虧本80元.

例2一件服裝先將進(jìn)價提高25%出售，后進(jìn)行促銷活動，又按標(biāo)價的8折出售，此時售價為60元.請問商家是盈是虧，還是不盈不虧？解：設(shè)這件衣服的進(jìn)價是

x元，則提價后的售價是(1＋25%)x元，促銷后的售價是(1＋25%)x×0.8元，依題意得(1＋25%)x×0.8＝60

解得x＝60售價60=成本60答：這家商店不盈不虧.練一練1.某商品在原價的基礎(chǔ)上提高25%標(biāo)價，若想調(diào)回原價，應(yīng)降價的百分率為

.20%2.我國政府為解決老百姓看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格，某種藥品在2021年漲價30%后，2023年降價70%至

a元，則這種藥品在2005年漲價前價格為

元.1.某商品的進(jìn)價是1000元，售價是1500元，由于銷售情況不好，商店決定降價出售，但又要保證利潤率不低于5%，那么商店最多可打幾折出售此商品？解:設(shè)商店最多可以打

x折出售此商品，根據(jù)題意，得1500×=1000(1+5%)解得x=7答:商店最多可以打7折出售此商品.

2.據(jù)了解個體商店銷售中售價只要高出進(jìn)價的20%便可盈利，但老板們常以高出進(jìn)價50%~100%標(biāo)價，假若你準(zhǔn)備買一雙標(biāo)價為600元的運動鞋，應(yīng)在什么范圍內(nèi)還價？高于進(jìn)價50%標(biāo)價高于進(jìn)價100%標(biāo)價進(jìn)價x元y元標(biāo)價(1＋50%)x(1＋100%)y方程(1＋50%)x＝600(1＋100%)y＝600方程的解x＝400y＝300盈利價400(1＋20%)＝480300(1＋20%)＝360答：應(yīng)在480

元

~

360

元內(nèi)還價.

商品利潤利潤率=

=商品售價－商品進(jìn)價●售價、進(jìn)價、利潤的關(guān)系：商品利潤●進(jìn)價、利潤、利潤率的關(guān)系：商品進(jìn)價×100%折扣數(shù)●標(biāo)價、折扣數(shù)、商品售價的關(guān)系：商品售價=標(biāo)價×10●商品售價、進(jìn)價、利潤率的關(guān)系：商品進(jìn)價商品售價=×(1+利潤率)打折銷售6.3

實踐與探索第3課時速率問題華東師大版數(shù)學(xué)七年級下冊情境引入你知道它蘊含的是我們數(shù)學(xué)中的什么問題嗎？相遇問題

星期天早晨，小斌和小強(qiáng)分別騎自行車從家里同時出發(fā)去參觀雷鋒紀(jì)念館.已知他倆的家到雷鋒紀(jì)念館的路程相等，小斌每小時騎

10km，他在上午

10時到達(dá)；小強(qiáng)每時騎

15

km，他在上午

9

時

30

分到達(dá).求他們的家到雷鋒紀(jì)念館的路程.情境引入

由于小斌的速度較慢，因此他花的時間比小強(qiáng)花的時間多.本問題中涉及的等量關(guān)系有：

.

因此，設(shè)他倆的家到雷鋒紀(jì)念館的路程均為

skm，解得s=＿＿＿＿.

因此，小斌和小強(qiáng)的家到雷鋒紀(jì)念館的路程為

km．根據(jù)等量關(guān)系，得

.1515注意單位要統(tǒng)一.

例1小明與小紅的家相距

20

km，小明從家里出發(fā)騎自行車去小紅家，兩人商定小紅到時候從家里出發(fā)騎自行車去接小明.

已知小明騎車的速度為

13km/h，小紅騎車的速度是

12km/h.(1)如果兩人同時出發(fā)，那么他們經(jīng)過多少小時相遇？

分析：由于小明與小紅都從家里出發(fā)，相向而行，所以相遇時，他們走的路程的和等于兩家之間的距離.即小明走的路程+小紅走的路程=兩家之間的距離(20

km).典例精析解：設(shè)小明與小紅騎車走了

xh

后相遇，則根據(jù)等量關(guān)系，得

13x+12x=20.

解得x=0.8.

答：經(jīng)過

0.8h他們兩人相遇.小明走的路程小紅走的路程(2)如果小明先走30min，那么小紅騎車要走多少小時才能與小明相遇？小明先走的路程小紅出發(fā)后小明走的路程小紅走的路程解：設(shè)小紅騎車走了

th后與小明相遇，則根據(jù)等量關(guān)系，得

13(0.5+t)+12t=20.

解得t=0.54.

答：小紅騎車走0.54h后與小明相遇.路程＝速度×?xí)r間甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之間的距離

相遇問題總結(jié)歸納注意相向而行的始發(fā)時間和地點.

甲、乙兩車分別從

A，B

兩地同時出發(fā)，相向而行．已知

A，B

兩地的距離為

480

km，且甲車以

65

km/

h

的速度行駛．若兩車

4

h

后相遇，則乙車的行駛速度是多少？答：乙車的行駛速度是

55

km/h.練一練

例2小明早晨要在7:20以前趕到距家1000米的學(xué)校上學(xué)．一天，小明以80米/分鐘的速度出發(fā)，5分鐘后，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶歷史作業(yè)，于是，爸爸立即以180米/分鐘的速度去追小明，并且在途中追上了他．問爸爸追上小明用了多長時間？

分析：當(dāng)爸爸追上小明時，兩人所走路程相等.追及問題解：設(shè)爸爸追上小明用了

x分鐘，則此題的數(shù)量關(guān)系可用線段圖表示.據(jù)題意，得80×5＋80x=180x.答：爸爸追上小明用了4分鐘．解得x=4.80×580x180x

一隊學(xué)生步行去郊外春游，每小時走4km，學(xué)生甲因故推遲出發(fā)30min，為了趕上隊伍，甲以6km/h的速度追趕，問甲用多少時間就可追上隊伍？答：該生用了1小時追上了隊伍.練一練路程

＝

速度×?xí)r間S快－S慢

=S原來距離

追及問題總結(jié)歸納注意同向而行始發(fā)時間和地點.

例3生產(chǎn)的這批螺釘、螺母要打包，由一個人做要40h完成.現(xiàn)計劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8h，完成這項工作.假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)該安排多少人工作？分析：人均效率人數(shù)時間工作量前一部分工作x4后一部分工作x＋28×＝×工作量之和等于總工作量1.工程問題××＝解：設(shè)先安排x人做4h，根據(jù)題意得等量關(guān)系：

可列方程解方程，得4x＋8(x＋2)＝40，4x＋8x＋16＝40，12x＝24，

x＝2.答：應(yīng)先安排2人做4小時.前部分工作總量+后部分工作總量=總工作量1一條地下管線由甲工程隊單獨鋪設(shè)需要

12

天，由乙工程隊單獨鋪設(shè)需要

24

天.如果由這兩個工程隊從兩端同時施工，要多少天可以鋪好這條管線？做一做根據(jù)工作效率×工作時間

=

工作量，列方程:

解：設(shè)要

x天可以鋪好這條管線，由題意得答：要8天可以鋪好這條管線.分析：把工作量看作單位“1”，則甲的工作效率為，乙的工作效率為.

解方程，得解決工程問題的思路：1.三個基本量：三個基本量：工作量、工作效率、