遼寧省遼陽市2022屆高考數(shù)學(xué)二模試卷解析版

高考數(shù)學(xué)二模試卷4.函數(shù)/(x)=xlg(x2+1)+2%的部分圖象大致為()

一、單選題

1.已知集合A={x\x>-5},B={x|VxV1},則An8=()

A.{x|-5<x<1}B.{x\x>—5}

C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<1}

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算

【解析】【解答】因?yàn)锽={x|0<x<1),

所以AHB={x|0<x<1}.

故答案為：C.

【分析】先解不等式求出集合B,再根據(jù)交集的定義求解即可.

2.下列四個(gè)拋物線中，開口朝下且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5的是()

A.y2=-10xB.x2=-10yC.y2=-5xD.x2=-5y【答案】A

【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)【解析】【解答】因?yàn)?(x)=xlg(x2+1)+2x,定義域?yàn)镽,又/(-x)=-xlg(x2+1)-2x=-/(x)，

【解析】【解答】拋物線的開口朝下，說明其焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，則其滿足標(biāo)準(zhǔn)方程x2=-2py,又焦所以f(x)是奇函數(shù),排除C；

點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=5,所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-10y當(dāng)%>0時(shí)，x2+l>l,lg(xz+1)>0,則/(X)>0且/(x)單調(diào)遞增，排除B,D.

故答案為：B故答案為：A.

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向，位置特征及p的幾何意義即可得到答案【分析】通過奇偶性排除C選項(xiàng)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性排除B、D選項(xiàng)即可.

3.為了解某地高三學(xué)生的期末語文考試成績，研究人員隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)其進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)5.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA1底面ABCD，且PA=AB,AD=3AB,則

制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知不低于90分為及格，則這100名學(xué)生期末語文成績的及格率為PC與底面ABCD所成角的正切值為()

()A.1B.3C.卷D.V10

A.40%B.50%C.60%D.65%

【答案】C

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖

【解析】【解答】因?yàn)镻A1底面ABCD,ACu底而ABCD,

【解析】【解答】依題意可得及格率為1-20x(0.006+0.014)=0.6=60%.

所以PA1AC,則PC與底面ABCD所成角為Z-PCA.

故答案為：C.

設(shè)48=1,則PA=1,AD=3,AC=VTO-

所以=粵=?

【分析】利用直方圖求頻率即得.AC10

故答案為：C.故不是函數(shù)fa)極大值點(diǎn)的是-當(dāng).

故答案為：D.

【分析】由題可知NPS4即為所求，結(jié)合條件即得.

6.如圖，已知4,B兩地相距600m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地早1s,且聲速為340m/s..以線段

【分析】由f'a)=0,得x=0或％=/nr+3，kez,然后利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系即得.

AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程

8.區(qū)塊鏈作為?種新型的技術(shù)，被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，某個(gè)密碼的長度設(shè)定為512B,則密碼

為()

一共有2512種可能，為了破解該密碼，在最壞的情況下，需要進(jìn)行2512次運(yùn)算.現(xiàn)在有一臺(tái)計(jì)算機(jī)，每秒能

A，2^00~6W0=1(X<0)B.2^00-6M00=1(X<0)

進(jìn)行2.5x1014次運(yùn)算，那么在最壞的情況下，這臺(tái)計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需的時(shí)間大約為(參考數(shù)據(jù)lg2k

C2^00-61000=1(X>0)2^00-6n00=1(X>0)0.3,V10?1.58)()

【答案】BA.3.16x10139sB.1.58x10139s

【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的定義C.1.58x1014°sD.3.16X10140s

【解析】【解答】設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X,y)，則\PB\-\PA\=340x1=340<600,【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

所以P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為340的雙曲線的左支.

O512

因?yàn)镼=340,所以a=170,又\AB\=600=2c,【解析】【解答】設(shè)在最壞的情況下，這臺(tái)計(jì)算機(jī)破譯該密碼所需的時(shí)間為X秒，則有X=——江，

22.5X1014

2220512

所以c=300,b=c-a=90000-28900=61100，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得Igx=lg——寸=lg2512-lg(2.5x1014)

2.5x10

故炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為薪-熹=IQVO)。

=5121g2-(lg25+13)=5121g2-(21g5+13)=5121g2-2(1-lg2)-13=5141g2-15?139.2,

故答案為：B.所以x=101392=10139*io02?1.58xIO.

故答案為：B.

【分析】設(shè)炮彈爆炸點(diǎn)P，可得|PB|-|P4=340x1=340<600,利用雙曲線的定義即得.

0512

7.設(shè)函數(shù)/(x)=%sin%+cos%,則下列不是函數(shù)/(x)極大值點(diǎn)的是()【分析】根據(jù)題意所求時(shí)間為％=二~亡，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

2.5X1014

A.B.竽C.一^口.一當(dāng)二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)Zi=1-3i,Z2=3+i,則()

【答案】D

A.%+Z2I=6

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

B.Z]—z2=-2+2i

【解析】【解答】由題可得f(x)=sinx4-xcosx—sinx=xcosx?

C.2逐2=6-8i

令/(x)=0，得x=0或％=k7r+],kWZ,

D.z/2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

則當(dāng)xW(-竽,—(0,分，(岑，竽)時(shí),f(x)>°'

【答案】B.C.D

當(dāng)一竽)，(-￡,0)，G'竽)時(shí),f8V0，【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算；復(fù)數(shù)求模

所以函數(shù)f(x)在(一竽,一方,(0,,,(竽，竽)上單調(diào)遞增，在(卷,-竽)，(-p0),【解析】【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，zi+z2=4-2i,所以，%+Z2I=,42+(-2)2=2正，A不符合題

意；

G，竽)上單調(diào)遞減，

對(duì)于B選項(xiàng)，z7-z=1+3i-3-I=-2+2i,B對(duì)；7rQ■,37rTlCi)ilITTT.Q.■

2M—2+l2knW—石V—6式7+2kn,kEZ?

對(duì)于C選項(xiàng)，zz=(1-3i)(3+i)=6-8i,C對(duì)；

x2解得-2+12kW3W2+6k,kEZ.

對(duì)于D選項(xiàng)，z/2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，D對(duì).

由-2+12AV2+6A,〃GZ,得攵v1,keZf

故答案為：BCD.

因?yàn)?>0,所以當(dāng)k<0時(shí)，不符合條件，故k=0,BP0<to<2.

1,7T/,IT4HCiJIT九,九)(DTt7T

【分析】利用復(fù)數(shù)的加法與模長公式可判斷A選項(xiàng)：利用共挽復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的減法可判斷B選項(xiàng)：利由gW'W4，得-8--6<^-6<T-6，

用復(fù)數(shù)的乘法可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的兒何意義可判斷D選項(xiàng).則0+2/nrW等一看〈竿一髀TT+2而，kEZ,

10.已知Q>0,b>0,且2。+6=4,則()

解得5+16k<co<+8k?kEZt

ab

A.2~>|B.log2a+log2b<1

由1+16k〈竽+8k,kWZ,得kEZ,

C.y/2a4->[b>2>/2D.，+4》等

因?yàn)閟>0,所以當(dāng)kV0時(shí)，不符合條件，故k=0,即1工卬工竽.

【答案】B,D

綜上所述，3的取值范圍為g,2].

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式；不等式的基本性質(zhì)

45

2

a-h--

【解析】【解答】對(duì)于A,0<a<2,a-t=a-(4-2a)=3a-4e(-4,2)，所以±<2<4,所以3的取值可以為選項(xiàng)中的33

A不符合題意，故答案為：BCD.

對(duì)于B,4=2a+b>2>/2ab>0，即0<Vab<V2，0<ab<2,log2a+\og2b=log2(ab)<1,B

符合題意，【分析】根據(jù)函數(shù)/(x)=sin(a)x-|)在管，司上單調(diào)遞增,可知一介2時(shí)工等一卷<等一看美+

對(duì)卜C.(V2a+y/B)，=2a+b+2x/2abW8,V2a+\[b<2yf2?C不符合題意,

2k兀,由此可得-2+12k&3W2+6K再根據(jù)-2+12kWcoW2+6k和3>0,可知k=0,進(jìn)而求出0V

對(duì)于D，1+/=等+需=￥+4+提>￥+2腐=尋，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b/時(shí)，等號(hào)成o)<2；根據(jù)對(duì)任意看"工不可知等一上5一髀平一?再根據(jù)和，可知"162工3工竽+8〃，求

立，D符合題意.得k=0,由此即可求出3的范圍，進(jìn)而求出結(jié)果.

故答案為：BD12.在正方體48co中，點(diǎn)E為線段8山1上的動(dòng)點(diǎn)，則()

A.直線DE與直線AC所成角為定值

【分析】由不等式的性質(zhì)與基本不等式對(duì)選項(xiàng)逐一判斷.B.點(diǎn)E到直線AB的距離為定值

11.已知3>0，函數(shù)/a)=Si7l(3X-看)在5j]上單調(diào)遞增，且對(duì)任意舟，都有/(x)>C.三棱錐E-48。的體積為定值

D.三棱錐E-&B0外接球的體積為定值

0,則3的取值可以為()

45

Aa2【答案】A.C

--

B.33

【知識(shí)點(diǎn)】桂柱、極錐、棱臺(tái)的體積：球內(nèi)接多面體：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

【答案】B.C,D

【解析】【解答】如圖所示：

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(wx+<t))的圖象變換

A.因?yàn)?CJ.B0,AC1DjD,又BDCD]D=D,所以4cl平面。山3當(dāng)，又DEu平面平面DiDB%,AC1

【解析】【解答】由，得等一抬3%-牌等Y

DE,則直線DE與直線AC所成角為定值，故正確；

B.當(dāng)點(diǎn)E與Di重合時(shí)，點(diǎn)E到直線AB的距離在a,當(dāng)點(diǎn)E與當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)E到直線AB的距離a,故錯(cuò)【答案】登

誤；

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；兩角和與差的正弦公式

C.因?yàn)槿忮F乙?一必加二力L￡8。，且點(diǎn)&到面EBD的距離為定值，SA.D為定值，故體積為定值，故正確；

【解析】【解答】解：因?yàn)橥撸?（sin（a+9,6）,而=（sin（a+竽），1）且OA//OB.

D,易知L4CiJ.平面&BD,所以三棱錐E-&BD外接球的球心O在4G上，當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，球心O的位置改

所以sin（a+與）=6sin（a+竿），

變，則球的半徑R改變，所以外接球體積不為定值，故錯(cuò)誤；

故答案為：AC所以sinacos今+cosasin苧=6（sinacos芋+cosasin約

所以sina+cosa=6（—sina+cosa）,

【分析】根據(jù)題意由正方體的幾何性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)定理，得出線線垂直結(jié)合異面直線所成角的定

加卜［4sina5

m以tana=------==?

義，即可判斷出選項(xiàng)A正確；由點(diǎn)到直線距離的定義以及線面垂直的判定定理即可判斷出選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由等cosa7

..,.r2tana2xS35

體積法，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果由此判斷出選項(xiàng)C正確；由球以及內(nèi)接多面體的幾何性質(zhì)，即可得出結(jié)論由此所以匕起。"匚蒜兀=常=誦.

判斷出選項(xiàng)D錯(cuò)誤從而得出答案。

三、填空題故答案為：

22

13.若點(diǎn)P,Q分別圓C：/+y2=i與圓。：（x-7）+y=4上一點(diǎn)，則\PQ\的最小值

為?

【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示得到sin（a+9=6sin（a+芋），再由兩角和的正弦公式展開，再利用同角

【答案】4

三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tana,最后利用二倍角的正切公式計(jì)算可得：

【知識(shí)點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定

16.“物不知數(shù)”是中國古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩

【解析】【解答】因?yàn)閨CD|=7>14-2,所以兩圓相離，所以\PQ\的最小值為7-1-2=4

二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的.大

故答案為：4

衍求?術(shù)（也稱作“中國剩余定理“）是中國占算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問

題.已知問題中，一個(gè)數(shù)被3除余2,被5除余3,被7除余2,則在不超過4200的正整數(shù)中，所有滿足條件

【分析】由幾何關(guān)系求解.

的數(shù)的和為.

14.某話劇社計(jì)劃不在今年7月1日演出一部紅色話劇，導(dǎo)演已經(jīng)選好/該話劇的9個(gè)角色的演員，還有4個(gè)

【答案】82820

角色的演員待定，導(dǎo)演要從8名男話劇演員中選3名，從5名女話劇演員中選1名，則導(dǎo)演的不同選擇共有_

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用：數(shù)列的求和

種.

【解析】【解答】由題可知滿足被3除余2,被5除余3.被7除余2的最小的數(shù)為23,

【答案】280

滿足該條件的數(shù)從小到大構(gòu)成以23為首項(xiàng)，3x5x7為公差的等差數(shù)列，

【知識(shí)點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理

其通項(xiàng)公式為a=105n-82,

【解析】【解答】依題意，可得導(dǎo)演的不同選擇的種數(shù)為Cl-Cl=280，n

令a<4200,解得n三40蓋，

故答案為:280.n

則所有滿足條件的數(shù)的和為23X40+吟翌x105=82820.

【分析】根據(jù)題意，從8名男話劇演員中選3名有種選擇，從5名女話劇演員中選1名有種選擇，由分步計(jì)

故答案為：82820.

數(shù)原理即可求解.

15.已知向量G?=（sin（a+?6）,而=（sin（a+竽），1）.OA//OB，則tan2a=.

【分析】找出滿足條件的最小整數(shù)值為23,可知滿足條件的數(shù)形成以23為首項(xiàng)，以105為公差的等差數(shù)列,

確定該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.若選②:

四、解答題

設(shè)等比數(shù)列｛端y｝的公比為q,則q=

17.在△4BC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為Q,b,c,且cosB=^-^.

(1)求Ca

AAn_l_x(曠'=(期

2n-l2x1-1x

(2)若c=2a,求sinB.

即時(shí)=-^T-

【答案】(1)解：因?yàn)閏osB="—以>

（2）解：Sn=,+/+…+2彳”1,

即2ccosB=2a—b,由正弦定理可得2sinCcosB=2sin4-sinF,

1,3^,2n-l

又sinA=sin[7r-(B+0]=sin(B+C)，=潸3+…+，

即2s\nCcosB=2sin(B+C)—sinB,則兩式相減得,

所以2sinCcosB=2sin8cosc+2cos8sinC-sinB,、

產(chǎn)lr二1小n火1涔1/…+尹1--2n-l

即ZsinFcosC=sinF,因?yàn)閟inB>0,所以cosC=?又Cw(O,兀)，所以C=當(dāng)

(2)解：因?yàn)閏=2a,所以sinA=gsinC=2x孚=孚?

因?yàn)閏>a，所以cosi4=V1—sin2/l=?

1c32n+3

2Sn==2~2^T，

所以sinB=sin(71+C)=sinzlcosC+cos/lsinC=x1x苧='召藍(lán)召。

2n4a

【知識(shí)點(diǎn)】兩角和與差的正弦公式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系：正弦定理

【解析】【分析】(1)首先利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；.,co2?i+3o.2(n+2)—1o.

?Sn=3-----pj—=3-4x-—=314an+2,

(2)利用正弦定理將邊化角即可得到sin4再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos4最后根據(jù)sinB=

存在正整數(shù)p,q,r,使得Sn=p-q%+r，且P=3,q=4,r=2.

sin(4+C)利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得；

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式

18.?｛2na)為等差數(shù)列，且；②嗡號(hào)｝為等比數(shù)列，且a2V.從①②兩個(gè)條件中任選一

n【解析】【分析】(1)若選①，則可根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求出的公差d,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求2〃即，從而求

個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答.得斯：若選②，則可證明等比數(shù)列概念求出｛晶^｝的公比，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求｛給力從而求得

在數(shù)列包｝中，由另，.

｛每｝:

⑴求｛an]的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)%通項(xiàng)公式的特征，采用錯(cuò)位相減法即可求其前n項(xiàng)和，將其化為Sn二p-qa“+r形式即可得p、q、r

(2)已知｛%J的前n項(xiàng)和為S”，試問是否存在正整數(shù)p,q,r,使得Sn=p-qan+r?若存在，求的值.

p,q,i■的值；若不存在，說明理由.19.某大學(xué)為了鼓勵(lì)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，舉辦了“校園創(chuàng)業(yè)知識(shí)競賽”，該競賽決賽局有A、8兩類知識(shí)競答挑

【答案】(1)解：若選①：戰(zhàn)，規(guī)則為進(jìn)入決賽的選手要先從力、8兩類知識(shí)中選擇一類進(jìn)行挑戰(zhàn)，挑戰(zhàn)成功才有對(duì)剩下的一類知識(shí)挑戰(zhàn)

2a2a的機(jī)會(huì)，挑戰(zhàn)失敗則競賽結(jié)束，第二類挑戰(zhàn)結(jié)束后，無論結(jié)果如何，競賽都結(jié)束/、8兩類知識(shí)挑戰(zhàn)成功分別

設(shè)等差數(shù)列｛2"%｝的公差為d,則d=3-l=5zl=2，

3—12

可獲得2萬元和5萬元?jiǎng)?chuàng)業(yè)獎(jiǎng)金，第一類挑戰(zhàn)失敗，可得到2000元激勵(lì)獎(jiǎng)金.已知甲同學(xué)成功晉級(jí)決賽，面對(duì)

n

2an=2al+2(n-1)=2n—1,

A、8兩類知識(shí)的挑戰(zhàn)成功率分別為0.6、0.4,且挑戰(zhàn)是否成功與挑戰(zhàn)次序無關(guān).

(1)若記X為甲同學(xué)優(yōu)先挑戰(zhàn)4類知識(shí)所獲獎(jiǎng)金的累計(jì)總額(單位：元)，寫出X的分布列；又ADnOF=產(chǎn)，所以BF1平面OAD.

(2)為了使甲同學(xué)可獲得的獎(jiǎng)金累計(jì)總額期望更大，請(qǐng)幫甲同學(xué)制定挑戰(zhàn)方案，并給出理由.因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以DE||BF,所以DE_L平面OAD,

【答案】(1)解：由題意可知，X的可能取值有2000、20000、70000,故平面ODE1平面OAO

P(X=2000)=1-0.6=0.4,P(X=20000)=0.6x(1-0.4)=0.36,(2)解：由題可知，LOFB為二面角。一力D-B的大小，即Z.OFB=120°,

P(X=70000)=0.6x0.4=0.24,以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：則F(0,V3,0),。(-1,0,0),0(0,一坐，1)