全國(guó)2022年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，

請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）

1.從含有兩件正品4,%和一件次品優(yōu)的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，則取出的兩件產(chǎn)

品中恰有一件是次品的概率為（）

2.數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心

（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這

條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知A4BC的頂點(diǎn)為A（0,0）,3（5,（））,C（2,4）,則該三角形的歐拉線方程

為（）.注：重心坐標(biāo)公式為橫坐標(biāo)：；縱坐標(biāo)：**―*工

33

A.2x-y-10=0B.x-2y-5=0

C.2x+y-10=0D.X+2y-5=0

19

3.已知1>0,y>0,且x+y=4,則一+一的最小值為（）

%V

A.2B.3

C.4D.8

4.已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=x2+-,則/（一1）等于（）

X

A.-2B.0

C.lD.2

TT

5.下列四個(gè)函數(shù)，最小正周期是不的是（）

2

A.y=sin2xB.y=cos—

C.y=sin4xD.y=tan3x

6.設(shè)ak)g34=2,則4一"=()

11

A.—B.-

169

11

C.-D.一

86

7.函數(shù)/(x)=(g)'+/一2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A.OB.1

C.2D.3

4

8.函數(shù)/(x)=x+-(xwO)是()

A.奇函數(shù)，且(2,+8)上單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在(2,+8)上單調(diào)遞減

C.偶函數(shù)，且在(2,+8)上單調(diào)遞增D.偶函數(shù)，且在(2,+8)上單調(diào)遞減

9.已知扇形的周長(zhǎng)為8,扇形圓心角的弧度數(shù)是2,則扇形的面積為。

A.2B.4

C.6D.8

10.函數(shù)/(x)=Asin(3x+/)其中(4>0,陷<5)的圖象如圖所示，為了得到“X)圖象，則只需將g(x)=sin2x

的圖象()

C.向右平移［個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度

66

11.已知條件p：2x-4>0,條件q：x2_5x+6<0,則p是g的。

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

12.如圖一銅錢的直徑為32毫米，穿徑(即銅錢內(nèi)的正方形小孔邊長(zhǎng))為8毫米，現(xiàn)向該銅錢內(nèi)隨機(jī)地投入一粒米(米

的大小忽略不計(jì))，則該粒米未落在銅錢的正方形小孔內(nèi)的概率為

474萬

1,1

C.—D.1----

In6萬

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.)

13.定義在R上的偶函數(shù)，(x)滿足：當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=x3+x2,則〃-2)=

14.已知向量函=(-1,2),礪=(3,加)，OA±AB>則加=.

15.設(shè)集合4={(%丁)?=@,8={(n,刈y=三!，，則從口8=

16.已知/(x)=S1—g，且/。一。)+/(1-。2)<0,則實(shí)數(shù)"的取值范圍為

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.已知定義在R上的函數(shù)滿足：

①對(duì)任意實(shí)數(shù)x,均有/(x+y)+1(x-y)=2/W(y)；

②/⑴=0;

③對(duì)任意XG[0,1),f(x)>0

(1)求/(0)-/(2)的值，并判斷f(x)的奇偶性；

(2)對(duì)任意的xGR,證明：/(x+4)=/(%)?

(3)直接寫出f(x)的所有零點(diǎn)(不需要證明)

18.2020年春節(jié)前后，一場(chǎng)突如其來的新冠肺炎疫情在武漢出現(xiàn)并很快地傳染開來(已有證據(jù)表明2019年10月、11

月國(guó)外已經(jīng)存在新冠肺炎病毒)，對(duì)人類生命形成巨大危害.在中共中央、國(guó)務(wù)院強(qiáng)有力的組織領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民萬眾

一心抗擊、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已經(jīng)得到了非常好的控制(累計(jì)病亡人數(shù)3869人)，然而國(guó)外因國(guó)家體制、

思想觀念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越來越嚴(yán)重.疫情期間造成醫(yī)用防護(hù)用品短缺，某廠家生產(chǎn)醫(yī)用防護(hù)用品

需投入年固定成本為150萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入成本為C(x).當(dāng)年產(chǎn)量不足60萬件時(shí)，C(X)=^X2+380X

（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于60萬件時(shí)，C（x）=410x+-------3000（萬元）.通過市場(chǎng)分析，若每件售價(jià)為400元

時(shí)，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完.（利潤(rùn)=銷售收入-總成本）

（1）寫出年利潤(rùn)L（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式；

（2）年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?并求出利潤(rùn)的最大值

19.已知平面向量”,人滿足:卜《=2,忖=1|.

（D若（M+2B）.（萬一5）=1,求￡石的值；

（2）設(shè)向量的夾角為氏若存在teR,使得|2+疝=1，求cos。的取值范圍.

20.我們知道，聲音通過空氣傳播時(shí)會(huì)引起區(qū)域性的壓強(qiáng)值改變.物理學(xué)中稱為“聲壓”.用尸表示（單位：Pa（帕））：“聲

壓級(jí)”S（單位：dB（分貝））表示聲壓的相對(duì)大小.已知它與“某聲音的聲壓尸與基準(zhǔn)聲壓玲=2xl（y5pa的比值的常

用對(duì)數(shù)（以10為底的對(duì)數(shù)）值成正比"，即S=Zlg—^（A是比例系數(shù)）.當(dāng)聲壓級(jí)S提高60dB時(shí)，聲壓尸會(huì)變

??-2x10-5

為原來的1000倍.

（1）求聲壓級(jí)S關(guān)于聲壓P的函數(shù)解析式；

（2）已知兩個(gè)不同的聲源產(chǎn)生的聲壓尸1,P2疊加后得到的總聲壓P=J邛+底，而一般當(dāng)聲壓級(jí)S<45dB時(shí)人類是

可以正常的學(xué)習(xí)和休息的.現(xiàn)窗外同時(shí)有兩個(gè)聲壓級(jí)為40dB的聲源，在不考慮其他因素的情況下，請(qǐng)問這兩個(gè)聲源疊

加后是否會(huì)干擾我們正常的學(xué)習(xí)？并說明理由.（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3）

21.有兩直線ax—2y—2a+4=0和2x-（l—a2）y—2—2a2=0,當(dāng)a在區(qū)間（0,2）內(nèi)變化時(shí)，求直線與兩坐標(biāo)軸圍

成的四邊形面積的最小值

22.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（l,3）,sin￡=孚，求tan（2a+/?）的值.

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的,

請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）

1、B

【解析】根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由題意，該抽樣是有放回的抽樣，所以每次抽到正品的概率是2:，抽到次品的概率是1所以取出的兩件產(chǎn)

214

品中恰有一件是次品的概率為尸

339

故選：B.

2、D

【解析】由重心坐標(biāo)公式得重心G的坐標(biāo)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)設(shè)出外心M的坐標(biāo)為(*,。)，再由例C|求

2

出。，然后求出歐拉線G用的斜率，點(diǎn)斜式就可求得其方程.

【詳解】設(shè)AABC的重點(diǎn)為G,外心為M,則由重心坐標(biāo)公式得

并設(shè)M的坐標(biāo)為(/,a)，

\-\MA|=|MCI

\舊-0>+(a-0)2=2>+(a-4>

解得a=2,即

424

45

..k=3-4-1

,GM752

3-2

417?

，歐拉方程為：y—=—(x—),即：x+2y—5=0

323

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，兩點(diǎn)之間的距離公式，三角形的重心、垂心、外心的性質(zhì)，考查了理解辨析能力及運(yùn)算

能力.

3、C

191(19^

【解析】根據(jù)條件龍+y=4,變形一+—=：(x+y)—+—后，利用均值不等式求最值.

%y4y)

【詳解】因?yàn)閤+y=4,

gj9lz/1叫9xM

所以一■I—=—(x+y)—-1—=——H---F10.

Xy4y)4(xy)

因?yàn)閤>0,y>0,

所以2+在22］匕豈=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=l,y=3時(shí)，等號(hào)成立，

%y\xy

19

故一+一的最小值為4.

xy

故選：c

4、A

【解析】首先根據(jù)解析式求/(I)值，結(jié)合奇函數(shù)有了(—幻=一)。)即可求得了(-1)

【詳解】?.”>0時(shí)，/(%)=x2+-

X

"⑴=1+1=2

又為奇函數(shù)

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，結(jié)合解析式及函數(shù)的奇偶性，求目標(biāo)函數(shù)值

5、C

【解析】依次計(jì)算周期即可.

2_77/?=ITI=47r

【詳解】A選項(xiàng)：T=；=7，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：1,錯(cuò)誤；

22

27r717T

C選項(xiàng)：T=——=一，正確；D選項(xiàng)：T=-,錯(cuò)誤.

423

故選：C.

6、B

【解析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解

【詳解】由alog34=2可得log34"=2,所以4a=9,

所以有4一"=1，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指對(duì)式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題

目.

7、C

【解析】將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題即可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)=d+Y—2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)y與函數(shù)y=-f+2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，繪制函數(shù)圖象如圖

7

觀察可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,則函數(shù)+尤2一2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.

7

本題選擇C選項(xiàng).

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

8、A

【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義判定函數(shù)的性質(zhì)即可.

4

【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)/Q)=x+—(xwO),

X

所以/(X)是奇函數(shù)，選項(xiàng)C,D錯(cuò)誤;

X

設(shè)2<%<々，則有/(芭)—/(%)=(X-工21'：：4

x.x.-4八

又由2<X]<々，則%一<0，—=---〉0，

石巧

則/侖)一/(%2)<°，則“X)在(2,+8)上單調(diào)遞增，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

故選：A.

9,B

【解析】由給定條件求出扇形半徑和弧長(zhǎng)，再由扇形面積公式求出面積得解.

【詳解】設(shè)扇形所在圓半徑r,則扇形弧長(zhǎng)/=2r,而/+2r=8,

由此得，-=2,/=4,所以扇形的面積5=工>=4.

2

故選：B

10、D

【解析】根據(jù)圖像計(jì)算周期和最值得到A=l,8=2,再代入點(diǎn)計(jì)算得到/（x）=sin（2x+gj,根據(jù)平移法則得到

答案.

7"^77rTTTT27r

【詳解】根據(jù)圖象：A=l,—=——-=故7=兀=」，（o=2,故/（x）=sin（2x+何，

41234co

，兀）.（2兀）八口r,2兀7.2兀，r

/lyl=sinl—+^1=0,即彳+9=%兀，（p=lot--9keZ,

當(dāng)％=1時(shí)，e=g滿足條件，貝!|/（x）=sin12x+gj=sin2x+

故只需將g（X）=sin2x的圖象向左平移2個(gè)單位即可.

6

故選：D.

11、B

【解析】利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷

【詳解】由2x-4>0,得x〉2,即p:x>2,

由尤2-53+6<0，得2cx<3,即4：2<X<3

x>2推不出2cx<3,但2cx<3能推出x>2,

.??P是g的必要不充分條件.

故選：B

12、B

【解析】由題意結(jié)合幾何概型公式可得：該粒米未落在銅錢的正方形小孔內(nèi)的概率為：

,8x8,1

P=l--------7=1-------.

乃xl6-4乃

本題選擇B選項(xiàng).

點(diǎn)睛：數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡(jiǎn)捷直觀的解法.用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗(yàn)的全部結(jié)果

所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件4滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：

=構(gòu)成事件A的區(qū)域的測(cè)度

（）一實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所組成的區(qū)域的測(cè)度.

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）

13、12

【解析】根據(jù)偶函數(shù)定義，結(jié)合x?0時(shí)的函數(shù)解析式，代值計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?（X）是定義在卡上的偶函數(shù)，故可得〃-2）=/（2）,

又當(dāng)xNO時(shí)，/（x）=x3+x2,故可得了⑵=12,

綜上所述：/（-2）=12.

故答案為：12.

14、4

【解析】先根據(jù)向量的減法運(yùn)算求得而，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，可得關(guān)于〃?的方程，解方程即可求得/〃的值.

【詳解】因?yàn)橄蛄刻K=（—1,2）,。*=（3,加），

所以麗=礪一礪=（3,加）一（一1,2）=（4,加一2）

OA1AB

則函?通=0

即一lx4+2x（/〃-2）=（）

解得m=4

故答案為：4

【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.

15、（（-1,-1）,（3,3）｝

【解析】聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案

＞=x（x=-l1rx=o3

【詳解】解方程組x+3,得?或

y=r[y=TU=3

lx-1

故答案為：｛（-1,-1）,（3,3））

16、（-2,1）

【解析】〃X）=2（2,+1），該函數(shù)的定義域?yàn)镽，又/（一力=2（2.、+1）=-2（2,+1）=一""，故/（力為R上

的奇函數(shù)，所以/（1一。）+/（1—/）＜0等價(jià)于/（1—〃）＜/（/—[）,又“X）為R上的單調(diào)減函數(shù)，1一。＞/一1,

也即是2＜0，解得-2vavl,填（-2,1）

點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式時(shí)，要注意挖掘函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17、(1)1(0)->(2)=2,1A?為偶函數(shù);

(2)證明見解析；(3)2〃+1,neZ.

【解析】⑴令x=y=0可求1A0);令*=?=1可求人2)；令x=0可求奇偶性；

(2)令y=l即可證明；

(3)/(1)=(),/(力是以4為周期的周期函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f(T)=0,從而可得f(x)的所有零點(diǎn)

【小問1詳解】

?.?對(duì)任意實(shí)數(shù)x,九均有/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),

.?.令x=y=0,則/(0)+/(0)=2/(0)/(0),可得f(0)[f(0)-1]=0,

??,對(duì)任意xe[0,l),/(x)>0,.?.用)>0,

令x=y=l,貝!|/(2)+/(0)=2尸⑴=〃2)+/(0)=()n〃2)=—1；

,.7>)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且令x=0時(shí)，

/(y)+/(-y)=2/(O)/(y)=>/(^)+/(-y)=2/(y)=>/(-y)=/(y),

.,?/(X)是R上的偶函數(shù)；

【小問2詳解】

令y=l,則〃x+l)+〃x_l)=2/(x)/⑴=/(x+l)+/(x—1)=0,

則〃%+2)+/(力=0=/(X+2)=-/(力,

”(x+4)=/[(x+2)+2]=-/(x+2)=-[-〃x)]=/(x),

即〃x+4)=〃x)；

【小問3詳解】

/(1)=(),且f(x)是以4為周期的周期的偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得〃-1)=0,從而可得八-1)=/(1)=/(3)=犬5)

=...=0,故/(1)的零點(diǎn)為奇數(shù),

即./U)所有零點(diǎn)為2〃+1,neZ.

2

——x+20x-150,0<x<60,xGN.

18、(1)￡(%)=<；(2)年產(chǎn)量為90萬件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲

2850/1Ox+姆當(dāng),x260”N.

IxJ

利潤(rùn)最大，利潤(rùn)的最大值為1050萬元

【解析】(1)由利潤(rùn)=銷售收入-總成本寫出分段函數(shù)的解析式即可；

(2)利用配方法和基本不等式分別求出各段的最大值，再取兩個(gè)中最大的即可.

【詳解】(1)當(dāng)0Wx<60,xeN+時(shí)，

，/、400x10000%12°。,、1”

L(x)=--------------380x—150=—x~+20x—150

\71000022

當(dāng)x260,時(shí)，

幽型幽_41。尸辿5+3。。。-15。=285。/1。A辿出

'，10000xIx)

1

92

--x+20x-150,0<x<60,XGN+

“Xb(Q1()00\

2850-10x+^-^,x>6Q,xeN

IxJ+

/、1、2

(2)當(dāng)0Wx<60,xeM時(shí)，L(x)=--(x-20)-+50,

,當(dāng)x=20時(shí)，取得最大值L(20)=5()(萬元)

當(dāng)x之60,xeN,時(shí)，L(x)=2850—110x+^^Jw2850—2x10x90=1050

Q]nnn

當(dāng)且僅當(dāng)10》="四，即x=90時(shí)等號(hào)成立

x

即x=90時(shí)，L(x)取得最大值1050萬元

綜上，所以即生產(chǎn)量為90萬件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大為1050萬元

19、(1)—1；(2)—1,——-U——,1.

2J|_2_

【解析】Q)用向量數(shù)量積運(yùn)算法則展開；

(2)兩邊同時(shí)平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的一元二次方程有解.

【詳解】(1)若(1+25)"-5)=1,則彳2+①5_2廬=1，

又因?yàn)殁?2,忖=11,所以4+5-/?-2=1，所以萬

⑵若|5+仍1=1，則52+*人2=1,

又因?yàn)殁?2,忖=1,所以2』.力+/+3=0即/+4tcose+3=0.

所以△nlGcos28-1220,解得■或>

22

所以COS。G-1,-近］U「走,1.

22

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵:“向量模的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“關(guān)于f的一元二次方程有解“，A>0,再轉(zhuǎn)化為cos。的不等式，屬于中檔

題.

20、(1)5=201g―2x10-5

(2)不會(huì)，理由見解析

【解析】(1)根據(jù)已知條件代入具體數(shù)據(jù)即可求出參數(shù)攵的值，從而確定解析式

(2)將聲壓級(jí)代入解析式求出聲壓，根據(jù)P=J斤+、求出疊加后的聲壓,代入解析式可求出對(duì)應(yīng)的聲壓級(jí)，與45

比較大小，判斷是否會(huì)干擾學(xué)習(xí)

【小問1詳解】

p1000PP(

由題意得：理5+60=桃雙/雙k+6。川3+愴所以3%=60,%=20,所以聲

壓級(jí)S關(guān)于聲壓尸的函數(shù)解析式為S=201g2x10-5

【小問2詳解】

不會(huì)干擾我們正常的學(xué)習(xí)，理由如下：

ppP

將S=4()代入S=201g3rk得：但丁工=2,所以「0=1()2,解得：「=2x10-3,即［=8=2x10-3

2x102x102x10

2

所以P