黑龍江省鶴崗市2021年中考數學真題（含答案）

2021年黑龍江省鶴崗市中考數學試卷

一、選擇題(每題3分，滿分30分)

1.下列運算中，計算正確的是()

A.〃廣+加3=2m5B.(—2〃-)=-6a，C.(a—b)=cr-b~D.-^6-7-V2-5/3

【答案】D

【解析】

【分析】根據積的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接進行排除選項.

【詳解】解：A、〃，與加3不是同類項，所以不能合并，錯誤，故不符合題意；

B、(-2fl2)3=-8?6,錯誤，故不符合題意；

C、［a-b^=a1-2ab+b1,錯誤，故不符合題意;

D、#>+0正確，故符合題意；

故選D.

【點睛】本題主要考查積的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟練掌握積的乘方、完全平方公式及

二次根式的除法是解題的關鍵.

2.下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是

I).VA

【答案】D

【解析】

【分析】根據中心對稱圖形的定義：旋轉180。后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形，以及軸對稱圖

形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這

條直線叫做對稱軸，即可判斷出答案.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

8.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形，熟記兩種圖形的特點并準確判斷是解題的關鍵.

3.如圖是由5個小正方體組合成的幾何體，則該幾何體的主視圖是（）

正面

“小

a日

°田

【答案】c

【解析】

【分析】根據幾何體的三視圖可直接進行排除選項.

【詳解】解：由題意得：

該幾何體的主視圖是

故選C.

【點睛】本題主要考查三視圖，熟練掌握幾何體的三視圖是解題的關鍵.

4.一組數據：2,4,4,4,6,若去掉一個數據4,則下列統(tǒng)計量中發(fā)生變化的是（)

A.眾數B.中位數C.平均數D.方差

【答案】D

【解析】

【分析】根據眾數、中位數、平均數及方差可直接進行排除選項.

【詳解】解：由題意得：

原中位數為4,原眾數為4,原平均數為x二±十;十今？二4,原方差為

(2-4)-+(4-4)~+(4-4)+(4-4)+(6-4)g

S2=------------------------------------------=-；

55

4+4—2+4+4+6

去掉一個數據4后的中位數為——=4,眾數為4,平均數為x=W十？二十？=4,方差為

24

(2-4)+(4-4)+(4-4)~+(6-4)

S~——21

4

.?.統(tǒng)計量發(fā)生變化的是方差：

故選D.

【點睛】本題主要考查平均數、眾數、眾數及方差，熟練掌握求一組數據的平均數、眾數及方差是解題的

關鍵.

5.有一個人患了流行性感冒，經過兩輪傳染后共有144人患了流行性感冒，則每輪傳染中平均一個人傳染

的人數是()

A.14B.11C.10D.9

【答案】B

【解析】

【分析】設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得l+x+x(l+x)=144,然后求解即可.

【詳解】解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，由題意可得：

l+x+x(l+x)=144,

解得：xy=1l,x2=-13(舍去)，

故選B.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的應用是解題的關鍵.

771+3

6.己知關于x的分式方程丁一=1的解為非負數，則加的取值范圍是()

2x—1

A.m>-4B.加之一4?且加。一3C.m>-AD.m>-4且加。一3

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意先求出分式方程的解，然后根據方程的解為非負數可進行求解.

租+3加+4|

【詳解】解：由關于X的分式方程一^=1可得：x=——，且

2x-l22

?..方程的解為非負數,

，〃+4m+41

-0>JH.?！?，

2

解得：/篦且加。一3,

故選B

【點睛】本題主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟練掌握分式方程的解法及一元一次不

等式的解法是解題的關鍵.

7.為迎接2022年北京冬奧會，某校開展了以迎冬奧為主題的演講活動，計劃拿出180元錢全部用于購買甲、

乙兩種獎品（兩種獎品都購買），獎勵表現突出的學生，已知甲種獎品每件15元，乙種獎品每件10元，則

購買方案有（）

A.5種B.6種C.7種D.8種

【答案】A

【解析】

【分析】設購買甲種獎品為x件，乙種獎品為y件，由題意可得15x+10y=180,進而求解即可.

【詳解】解：設購買甲種獎品為x件，乙種獎品為y件，由題意可得:

15%+10y=180,

y=18--x,

2

V%>0,y>0,且x、y都為正整數,

.?.當x=2時，則y=15；

當x=4時，則y=12；

當x=6時，則y=9；

當x=8時，則y=6；

當x=10時，則y=3；

，購買方案有5種；

故選A.

【點睛】本題主要考查二元一次方程的應用，正確理解題意、掌握求解的方法是解題的關鍵.

8.如圖，在平面直角坐標系中，菱形A8CD的邊軸，垂足為￡,頂點A在第二象限，頂點5在y

軸正半軸上，反比例函數丁=&（%/0/>0）的圖象同時經過頂點。、D.若點。的橫坐標為5,

x

BE=2DE，則攵的值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】由題意易得AB=8C=CO=AT>=5,AO〃BC,則設DE=x,BE=2x,然后可由勾股定理得

（5—x『+4f=25,求解x,進而可得點C[5,g）,則。[2,（+4],最后根據反比例函數的性質可求解.

【詳解】解：..?四邊形ABCD是菱形,

AB=BC=CD=AD,AD//BC,

VAD_Ly軸,

NDEB=ZAEB=90。,

：.ZDEB=NCBO=90。,

???點C的橫坐標為5,

(k、

??.點C[5,彳,AB=BC=CD=AD=5?

BE=2DE,

.,.設OE=x,BE=2x,則A￡=5-X,

.?.在RfaAEB中，由勾股定理得：(5—x『+4f=25,

解得：玉=2,巧=0（舍去）,

DE=2,BE—4,

?,?點+,

...2x[：+4)=Z,

解得：%=，40；

3

故選A.

【點睛】本題主要考查菱形性質及反比例函數與幾何的綜合，熟練掌握菱形的性質及反比例函數與幾何

的綜合是解題的關鍵.

9.如圖，平行四邊形ABFC的對角線AE、8C相交于點E,點O為AC的中點，連接8。并延長，交FC

的延長線于點。，交AR于點G,連接A。、OE,若平行四邊形ABFC的面積為48,則S。g的面積為

()

【答案】C

【解析】

【分析】由題意易得AB=FC,AB//FC,進而可得OEIICF//ABQE==CF==AB,則有

22

OEGsBAG,然后根據相似比與面積比的關系可求解.

【詳解】解：???四邊形ABFC是平行四邊形，

AB=FC,AB//FC,AE=EF,SAFC=-SABI..C,

?.?平行四邊形ABR?的面積為48,

SAFC=]SABFC~24,

?..點。為AC的中點,

OE//CF//AB,OE=-CF=-AB,

22

**?OEGsBAG，AOEs.ACF，

.q_lc跑—變

??AOE--AFC-，A(J~AB~2,

：.EG=-AE,

3

AG=-AE,

3

?；.AOG和“。后同高不同底，

2

,?SAOC=qSAOE=4,

故選C.

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定、平行四邊形的性質及三角形中位線，熟練掌握相似三角

形的性質與判定、平行四邊形的性質及三角形中位線是解題的關鍵.

10.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與3。相交于點。，點￡在8C的延長線上，連接。E,點尸

是。E的中點，連接O尸交CD于點G,連接CF,若CE=4,OF=6.則下列結論：①5=2；

②OD=COG；③tanNCDE=2；@ZODF=ZOCF=90°；⑤點D到CF的距離為植.其中正

25

確的結論是（）

A.①②③④B.①?④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤

【答案】C

【解析】

【分析】由題意易得=C。,80=0。==OC,ZBDC=45°,/BCD=ZDCE=90。，①由三角形

中位線可進行判斷；②由△QOC是等腰直角三角形可進行判斷；③根據三角函數可進行求解；④根據題意

可直接進行求解；⑤過點。作OHLC凡交CF的延長線于點H,然后根據三角函數可進行求解.

【詳解】解：???四邊形ABCO是正方形，

BC=CD,BO=OD=OA=OC,NBDC=45°,/BCD=NDCE=90°,AC1BD,

???點/是DE的中點，

：.OF^-BE,OF//BE,

2

VOF=6,CE=4,

ABE=12>則CD=BC=8,

,/OF//BE,

:.△DGFs^DCE,

.DGGF

"~CD~~CE~2f

：.GF=2,故①正確；

???點G是CD的中點，

OGLCD,

,：ZODC=45°,

...△OOC是等腰直角三角形，

、OD=6OG，故②正確；

'：CE=4,8=8,NDCE=9Q°,

CE1

AtanZCDE=—故③正確；

CD2

tanNCDE=—^1,

2

NCDE/5。,

...NO。/r90°,故④錯誤；

過點。作ZW_LCF,交CF的延長線于點4,如圖所示：

??,點/是C。的中點，

:,CF=DF,

：.ZCDE=ZDCFf

tanZCDE-tanZDCF-

2

設DH=x,則C〃=2x,

在用△￡>“(:中，X2+4X2^64>

解得：》=±垣，

5

:.DH=正，故⑤正確；

5

正確的結論是①②③⑤；

故選C.

【點睛】本題主要考查正方形的性質、相似三角形的性質與判定及三角函數，熟練掌握正方形的性質、相

似三角形的性質與判定及三角函數是解題的關鍵.

二、填空題(每題3分，滿分30分)

11.截止到2020年7月底，中國鐵路營業(yè)里程達到14.14萬公里，位居世界第二.將數據14.14萬用科學記

數法表示為.

【答案】1.414x10-5

【解析】

【分析】由題意易得14.14萬=141400,然后根據科學記數法可進行求解.

【詳解】解:由題意得:14.14萬=141400,

.??將數據14.14萬用科學記數法表示為1.414x1()5；

故答案為1.414x1()5.

【點睛】本題主要考查科學記數法，熟練掌握科學記數法是解題的關鍵.

12.函數y=一'—中，自變量x的取值范圍是—.

x-2

【答案】XH2.

【解析】

【詳解】試題分析：由已知：X-2M,解得XX2；

考點：自變量的取值范圍.

13.如圖，在平行四邊形A8CD中，對角線AC、BO相交于點0,在不添加任何輔助線的情況下，請你

添加一個條件,使平行四邊形ABC。是矩形..

【解析】

【分析】根據矩形的判定方法即可得出答案.

【詳解】解：?.?四邊形ABCO為平行四邊形，

.?.當NA5C=90°時，四邊形ABC。為矩形.

故答案為：ZABC=90°.

【點睛】本題考查了矩形的判定，熟記矩形的判定方法是解題的關鍵.

14.一個不透明的口袋中裝有標號為1、2、3的三個小球，這些小球除標號外完全相同，隨機摸出1個小球,

然后把小球重新放回口袋并搖勻，再隨機摸出1個小球，那么兩次摸出小球上的數字之和是偶數的概率是

【答案】I

9

【解析】

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，兩次摸出小球上的數字之和是奇數的結果有5種，再由概率公

式求解即可.

【詳解】解:畫樹狀圖如圖:

和

共有9種等可能的結果，兩次摸出小球上的數字之和是奇數的結果有5種，

.?.兩次摸出小球上的數字之和是偶數的概率為2,

9

故答案為：一.

9

【點睛】此題考查的是列表法或樹狀圖法求概率以及概率公式.列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能

的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.

lx-a>0

15.關于x的一元一次不等式組4°,二無解，則“的取值范圍是

3x-4<5

【答案】a>6

【解析】

【分析】分別解出這兩個不等式的解集，然后根據不等式組無解，得到關于。的不等式，解不等式即可.

2x-a>0①

【詳解】解:

3x-4<5@

解不等式①得：x>-a,

2

解不等式②得：x<3,

:不等式組無解,

a>6,

故答案為：G>6.

【點睛】本題考查的是根據一元一次不等式組的解集情況確定參數的取值范圍，掌握不等式組的解集的確

定方法是解題的關鍵.

16.如圖，在：。中，是直徑，弦AC的長為5cm，點。在圓上，且/4DC=30。，則。的半徑為—

【答案】5cm

【解析】

【分析】連接BC,由題意易得NABC=4M>C=30。，進而問題可求解.

【詳解】解：連接BC,如圖所示：

D

'：ZAZX?=30°,

ZABC=ZADC=30°,

,/AB是直徑，

ZACB=90°，

AC=5cm,

AB-2AC-10cm,

。的半徑為5cm；

故答案為5cm.

【點睛】本題主要考查圓周角定理及含30°直角三角形的性質，熟練掌握圓周角定理及含30。直角三角形

的性質是解題的關鍵.

17.若一個圓錐的底面半徑為1cm,它的側面展開圖的圓心角為90°,則這個圓錐的母線長為一_cm.

【答案】4

【解析】

【分析】根據圓錐側面展開圖可知圓錐底面圓的周長即為側面展開圖的弧長，然后由題意可進行求解.

【詳解】解：設母線長為R，由題意得：

nnR

/=2兀r

180

c90-7rR

：.2乃=-------，

180

解得：R=4，

這個圓錐的母線長為4cm,

故答案為4.

【點睛】本題主要考查圓錐側面展開圖及弧長計算，熟練掌握圓錐側面展開圖及弧長計算是解題的關鍵.

18.如圖，在HfAAQB中，ZAOB=90°,Q4=4,03=6,以點。為圓心，3為半徑的O。，與OB交

于點C,過點C作CD_LQB交AB于點。，點P是邊OA上的點，則PC+PD的最小值為

【答案】2回

【解析】

【分析】延長CO,交0。于一點E,連接PE,由題意易得OC=3C=OE=3,ZBCD=ZAOB=90P,

則有BCD^.BOA,CP=PE,然后可得CD=2,PC+PD=PE+PD,要使PC+PO的值為最小,

即PE+PD的值為最小，進而可得當。、P、E三點共線時最小，最后求解即可.

【詳解】解：延長CO,交，。于一點E,連接PE,如圖所示：

?：OB=6,以點。為圓心，3為半徑的I。，

/.OC=BC=OE=3,

VZAOB=90°,CDLOB,

：.ZBCD=ZAOB=90°,

：.CDHOA,CP=PE,

BCDsBOA,

.CDBC\

"~OA~'OB~2'

?；QA=4,

r.CD=2,

?：CP=PE,

：.PC+PD=PE+PD,

則要使PC+PD的值為最小，即PE+PD的值為最小，

.?.當。、P、E三點共線時最小，即PE+PD=DE，如圖所示:

在RtADCE中，DE=y/CD2+CE2=2>/i0，

APC+PD的最小值為2JIG；

故答案為2JTU.

【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質、勾股定理、圓的基本性質及相似三角形的性質與判定，熟

練掌握線段垂直平分線的性質、勾股定理、圓的基本性質及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

19.在矩形ABCD中，AB=2cm,將矩形ABC。沿某直線折疊，使點3與點。重合，折痕與直線A。交

于點￡,且OE=3cm,則矩形的面積為cm2.

【答案】6+2指或6-2石

【解析】

【分析】根據題意可分當折痕與直線的交點落在線段AD上和AD外，然后根據折疊的性質及勾股定理

可求解.

【詳解】解：..?四邊形ABCD是矩形，

ZA=90°,

①當點E在線段AO上時，如圖所示:

由折疊的性質可得ZF=ZA=90°,AE=EF,AB=DF=2cm,

,/DE=3cm,

在DFE中，EF=yjDE2-DF2=J^cm，

AO=4E+OE=(3+6)cm,

?e'S矩形ABCD=AB?AZ)=(6+2>/5jcm-；

由軸對稱的性質可得BE=DE=3cm,

...在RfaEAB中，AE=jBE2-AB2=6cm，

AO=0E-AE=（3-⑹cm,

S粗％ABCD=48-AD=僅-2亞）cm~；

綜上所述：矩形ABC。的面積為（6+2石卜n?或（6-2碼cn?；

故答案為6+2道或6—2蓬.

【點睛】本題主要考查折疊的性質、勾股定理及矩形的性質，熟練掌握折疊的性質、勾股定理及矩形的性

質是解題的關鍵.

20.如圖，菱形A8CO中，ZABC=120°,A5=l，延長CO至A，使。A=CO,以4。為一邊，在

8c的延長線上作菱形ACCA，連接A4,得到A4O4；再延長a。至4,使。14=G2,以4G為

一邊，在CG的延長線上作菱形&GG2，連接44，得到AAQH……按此規(guī)律，得到A42O2O2O2O4)2I，

記AADA］的面積為5,,AAQ14的面積為S2^020^2020A021的面積為52021,則S2O21=.

【答案】2皿38.6

【解析】

【分析】由題意易得NBCD=60°,AB=A。=CD=1,則有AADA,為等邊三角形，同理可得M,D,A2……

4^20302()4021都為等邊三角形，進而根據等邊三角形的面積公式可得￡=手，S2=V3.........由此規(guī)

律可得5〃=G?221,然后問題可求解.

【詳解】解：：四邊形ABCD是菱形，

AAB=AD=CD=\,AD//BC,AB//CD,

???ZABC=120°,

/BCD=60。,

ZADA,=ZBCD=60°,

?：DA,=CD,

DAt=AD,

/.A4￡>A為等邊三角形,

A

同理可得AAQ4……AA2020020202021都為等邊三角形，

過點8作BE，CD于點E,如圖所示：

3

/.BE=BC，sinZBCD=—，

2

/.S.=-A,DBE=—A,D2=—，

1214H4

同理可得：S2=》A?D；=*x2?=6,S3=曰422=曰x4?=4百，……;

，由此規(guī)律可得：5“=百?22"Y,

2X202,44038

.-.S2021=V3X2-=2.V3;

故答案為2吶8.6.

【點睛】本題主要考查菱形的性質、等邊三角形的性質與判定及三角函數，熟練掌握菱形的性質、等邊三

角形的性質與判定及三角函數是解題的關鍵.

三、解答題（滿分60分）

2\2

21.先化簡，再求值:念卜含‘其中。=2360。+1.

【答案】r；g

【解析】

【分析】根據分式的混合運算法則進行化簡，再結合特殊角的三角函數值求出。的值，再代入求解即可.

a(a+\)-a2a2

詳解】解：原式=

a+1(a+1)(a—1)

a(?+1)(?-1)

XJ

a+\a'

a—1

a

當a-2cos60°+1=2x—F1=2時,

2

一a-\2-1]_

原式=——=--

2'2'

【點睛】本題主要考查分式的化簡求值問題，掌握運算法則與順序，熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵.

22.如圖，正方形網格中，每個小正方形邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內，ABO的三個

頂點坐標分別為A（—L3）,3（T,3）,0（0,（））.

（1）畫出.ABO關于x軸對稱的并寫出點片的坐標；

（2）畫出「A3O繞點。順時針旋轉90°后得到的VAz與O,并寫出點兒的坐標；

（3）在（2）的條件下，求點A旋轉到點為所經過的路徑長（結果保留萬）.

【答案】（1）見解析，A（-h-3）；（2）見解析，4（3,1）；（3）巫兀

2

【解析】

【分析】（1）分別作出點A、B關于x軸的對稱點，然后依次連接即可，最后通過圖象可得點兒的坐標；

（2）根據旋轉的性質分別作出點A、8繞點。旋轉90。的點，然后依次連接，最后根據圖象可得點兒的坐

標；

（3）由（2）可先根據勾股定理求出OA的長，然后根據弧長計算公式進行求解.

【詳解】解：(1)如圖所示：AA/I。即為所求,

由圖象可得A(T—3)：

(2)如圖所示：VA/2。即為所求,

由圖象可得4(3,1)；

(3)由(2)的圖象可得：點A旋轉到點&所經過的路徑為圓弧,

"?'OA=V32+12=V10,

???點A旋轉到點兒所經過的路校長為、器=型信=華

【點睛】本題主要考查旋轉的性質、坐標與軸對稱及弧長計算公式，熟練掌握旋轉的性質、坐標與軸對稱

及弧長計算公式是解題的關鍵.

23.如圖，拋物線y=o%2+加+3(。力0)與x軸交于點A(l,0)和點B(-3,0),與y軸交于點C,連接BC,

與拋物線的對稱軸交于點E,頂點為點D.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點尸是對稱軸左側拋物線上的一個動點，點。在射線ED上,若以點P、Q、E為頂點的三角形與.BOC

相似，請直接寫出點P的坐標.

【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)片(—1—0,2),鳥(—2,3)

【解析】

【分析】(1)根據拋物線>=如2+芯+3(a#0)與x軸交于點A(1,0)和點B(-3,0),即可得到關于。、

。的方程，從而可以求得心匕的值，然后即可寫出拋物線的解析式；

(2)根據(1)中拋物線的解析式，設點P的坐標，然后再根據3OC是等腰直角三角形，得出VPQE是

等腰直角三角形，再分類討論，列出方程，即可求解.

【詳解】解：(1),拋物線>=QN+加;+3(aWO)與x軸交于點A(1,0)和點3(-3,0),

。+/7+3=0

9。一3。+3=0

此拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3

(2)當x=0時，)，=3,所以，O2=OC=3,

....BOC是等腰直角三角形，

以點P、Q、E為頂點的三角形與_30C相似，

???VPQE是等腰直角三角形，

b_?

設點P的坐標為(相，-根2-2m+3)，拋物線的對稱軸為直線》=——=-------=—1,

2a-2x1

設的解析式為丁="+〃，將8(-3,0),C(0,3)代入得，

-3k+/z=0

Vf

〃=3

女=1

解得，\C，故BC的解析式為y=X+3,

n=3

把尤二一1代入得，y=2,則已點坐標為(一1,2),

如圖，當E為直角頂點時，——2/T/4-3=2，解得，町——1—>/2,嗎——1+>/2(舍去)，把肛——1

代入得，一加2_2加+3=2，則P點坐標為(一1一后,2),

當。為直角頂點時，PQ=QE,即一機2一2〃?+3-2=-1一加，解得〃4=-2,叫=0（舍去），把班=一2

代入得，—加一2加+3=3,則尸點坐標為（-2,3）；

當P為直角頂點時，作于即一根2一2加+3—2=7—m，解得班=-2,nt,=0（舍

去），則P點坐標為（-2,3）；

綜上，P點坐標為（-1-夜,2）或（-2,3）.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式和相似三角形與等腰直角三角形的性質，解題關鍵是熟

練運用待定系數法和設出點的坐標，根據題意列出方程.

24.為慶祝中國共產黨建黨100周年，某中學開展“學史明理、學史增信、學史崇德、學史力行”知識競賽,

現隨機抽取部分學生的成績分成A、B、C、D、E五個等級進行統(tǒng)計,并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,

請根據圖中提供的信息，解答下列問題:

（1）本次調查中共抽取學生；

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，求B等級所對應的扇形圓心角的度數；

（4）若該校有1200名學生參加此次競賽，估計這次競賽成績?yōu)锳和8等級的學生共有多少名？

【答案】（1）100；（2）圖見詳解；（3）144°；（4）這次競賽成績?yōu)锳和B等級的學生共有792名.

【解析】

【分析】（1）根據統(tǒng)計圖及題意可直接進行求解；

（2）由（1）及統(tǒng)計圖可得C等級的人數為20名，然后可求出8等級的人數，進而問題可求解；

（3）根據題意可直接進行求解；

（4）由（2）可直接進行求解.

【詳解】解：（1）由題意得：

26?26%=100（名），

故答案為100；

（2）由題意得：

C等級的人數為100義20%=20（名）,8等級的人數為100-26-20-10-4=40（名）,

則補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

40

360°x—=144°；

100

答：B等級所對應的扇形圓心角的度數為144。.

(4)由(2)及題意得：

1200x40+26=792(名)；

100

答：這次競賽成績?yōu)锳和B等級的學生共有792名.

【點睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計及條形統(tǒng)計圖，熟練掌握扇形統(tǒng)計及條形統(tǒng)計圖是解題的關健.

25.已知A、B兩地相距240kH1,一輛貨車從A地前往B地，途中因裝載貨物停留一段時間.一輛轎車沿

同一條公路從B地前往A地，到達A地后(在A地停留時間不計)立即原路原速返回.如圖是兩車距B地

的距離(km)與貨車行駛時間X(h)之間的函數圖象，結合圖象回答下列問題：

(1)圖中根的值是；轎車的速度是km/h；

(2)求貨車從A地前往B地過程中，貨車距8地的距離y(km)與行駛時間x(h)之間的函數關系式;

(3)直接寫出轎車從B地到A地行駛過程中，轎車出發(fā)多長時間與貨車相距12km?

-66x+240(0<x<2.5)

27

【答案】⑴5；120；⑵y=<75(2.5<x<3.5)；(3)lh或一h.

-50x+250(3.54x45)'

【解析】

【分析】(1)由圖象可知轎車從B到A所用時間為2h,即可得出從A到8的時間，進而可得根的值，根據

速度=距離一時間即可得轎車速度；

(2)由圖象可知貨車在2.5h~3.5h時裝載貨物停留lh,分以<2.5；2.5<x<3.5；3.58<5三個時間段，分別

利用待定系數法求出y與x的關系式即可得答案；

(3)分兩車相遇前和相遇后相距12km兩種情況，分別列方程求出x的值即可得答案.

【詳解】(1)由圖象可知轎車從8到A所用時間為3-l=2h,

轎車從A到3的時間為2h,

m=3+2=5,

?1、B兩地相距240km,

轎車速度=240+2=120km/h,

故答案為：5；120

(2)由圖象可知貨車在2.5h~3.5h時裝載貨物停留lh,

①設yMN=4%+4(4/0)(0<X<2.5)

V圖象過點”(0,240)和點N(2.5,75)

bt=240

2.5Z]+4=75

b]=240

解得：

=-66

/.yMN=-66x+240(0<x<2.5)

②???貨車在2.5h?3.5h時裝載貨物停留lh,

/.yNG=75(2.5<x<3.5),

③設%”=攵2%+偽(%2^0)(3.5<x<5),

???圖象過點G(3.5,75)和點"(5,0)

f5k2+瓦=0

一13.5攵2+坊=75

也=250

解得:50，

yGH=-50x+250(3.5<x<5),

66x+240(0<x<2.5)

y='75(2.5<x<3.5).

-50x+250(3.5<x<5)

(3)設轎車出發(fā)x/7與貨車相距12km，則貨車出發(fā)(x+l)h,

①當兩車相遇前相距12km時：-66(x+l)+240-120x=12,

27

解得：x=—,

31

②當兩車相遇后相距12km時：120x-[-66(%+1)+240]=12,

解得：

27

答：轎車出發(fā)lh或『h與貨車相距12km.

【點睛】本題考查一次函數的應用，待定系數法求一次函數解析式的運用,認真分析函數圖象，讀懂函數

圖象表示的意義是解題關鍵.

26.在等腰AM■中，AE=DE，AABC是直角三角形，NC43=90°，ZABC=-ZAED,連接

2

CD、6。，點/是8。的中點，連接族.

B

圖①E

(1)當NEW=45°,點5在邊AE上時，如圖①所示，求證：EF=；CD.

(2)當ZE4D=45°,把AABC繞點A逆時針旋轉，頂點B落在邊A。上時，如圖②所示,當ZEAD=60°,

點8在邊AE上時，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段族和又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的

猜想，不需證明.

【答案】(1)見詳解；(2)圖②中=圖③中EF=X3C。，理由見詳解.

22

【解析】

【分析XI)由題意易得ZADE=ZEAD=45°,則有ZAED=90°,然后可得ZABC=45°,EF=-BD,

2

進而可得AO垂直平分BC,則CZ)=B￡>,最后問題可求證；

(2)取C。的中點連接AH、EH、FH,如圖②，由題意易得FH〃BC,AH=DH,則有可垂直平分

AD,/HFA=NCBA=45°,進而可得NE”F=NE4f=45°,然后可得點A、E、F、，四點共圓，則根據圓

的基本性質可求解；如圖③，取BC的中點G,連接GF并延長，使得GM=CD,連接。W、EM、EG,AG,

則有四邊形CGMD是平行四邊形，DM=CG=AC,進而可得△ACO空△QME,則有CD=EM,ZEMD=ZDCA,

然后可得aEMG是等邊三角形，最后問題可求解.

【詳解】(1)證明：?；AE=DE，/E4Z>=45°,

ZADE=NEW=45。，

/.ZAED=90°,

???點F是3。的中點，

EF=-BD,

2

ZABC=-ZAED,

2

：.NABC=45°,

???ZC4B=90°,

...△ACB是等腰直角三角形，

■:NS4￡)=NC4D=45。，

...A。垂直平分3C,

：.CD=BD,

EF=LCD；

2

(2)解：圖②中EF=(CZ),圖③中瓦'=3。。，理由如下:

22

圖②：取CQ的中點H,連接44、EH、FH,如圖②，

,:AE=DE，ZEAD=45°,

：.NAOE=NEW=45°,

ZAED=90°,

?；ZABC=-ZAED,

2

NABC=45。，

?.?點F是8。的中點，

FH//BC,AH=DH=-CD,

2

.?.EH垂直平分A。，ZHFA=ZCBA=45°,

:.NEHF=NEAF=45°,

.?.點A、E、F、，四點共圓，

VZHFA^ZEAF=45°,

；?AH=EF，

：.EF=-CD；

2

圖③：如圖③，取BC的中點G,連接G尸并延長，使得GM=CZ),連接。M、EM、EG,AG,

,：AE=DE，ZEAD=60°,

是等邊三角形，

ZA￡D=ZADE=60°，

NABCJNAED,

2

ZABC=30°,

???NC4B=90°，

ZCAD=30°,ZACB=60°,

ZAGB=90°，

AG-CG,

...△AGC是等邊三角形，

：.AC=CG,

?.?點尸是8D的中點，

GM//CD,

四邊形CGMD是平行四邊形，

AC=CG=DM,CGHDM,NGCD=NDMG,

：.ZGDM=ZAGB=90°，

/.ZEDM=30°,

/.ZCAD=ZMDE,

AD^DE,

：.(SAS),

:.CD=EM,ZEMD=ZDCA,

：.ZACB+ZGCD=ZDMG+NEMG，

/.ZAC3=N￡MG=60°,

...△EMG是等邊三角形，

:點尸是8。的中點，

BF=DF,

■：BC//DM,

ZGBF=ZMDF,

NGFB=4MFD,

；.,GFB當MFD(ASA),

GF=MF,

：.EFLGM,

/.EF=EM-sinZEMG^—EM=—CD.

22

【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質、平行四邊形的性質與判定及三角函數、

圓的基本性質，熟練掌握等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質、平行四邊形的性質與判定及三角函

數、圓的基本性質是解題的關鍵.

27.“中國人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”.為擴大糧食生產規(guī)模，某糧食生產基地計劃投入一筆

資金購進甲、乙兩種農機具，已知購進2件甲種農機具和1件乙種農機具共需3.5萬元，購進1件甲種農機

具和3件乙種農機具共需3萬元.

(1)求購進1件甲種農機具和1件乙種農機具各需多少萬元？

(2)若該糧食生產基地計劃購進甲、乙兩種農機具共10件，且投入資金不少于9.8萬元又不超過12萬元,

設購進甲種農機具機件，則有哪幾種購買方案？哪種購買方案需要的資金最少，最少資金是多少？

(3)在(2)的方案下，由于國家對農業(yè)生產扶持力度加大，每件甲種農機具降價0.7萬元，每件乙種農機

具降價0.2萬元，該糧食生產基地計劃將節(jié)省的資金全部用于再次購買甲、乙兩種農機具(可以只購買一種),

請直接寫出再次購買農機具的方案有哪幾種？

【答案】Q）購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元；（2）有三種方案：方案一:

購買甲種農機具5件，乙種農機具5件；方案二：購買甲種農機具6件，乙種農機具4件；方案三：購買甲

種農機具7件，乙種農機具3件；方案一需要資金最少，最少資金是10萬元；（3）節(jié)省的資金再次購買農

機具的方案有兩種：方案一：購買甲種農機具。件，乙種農機具15件；方案二：購買甲種農機具3件，乙

種農機具7件

【解析】

【分析】（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元，根據題意可直接列出二元一

次方程組求解即可；

（2）在（1）的基礎之上，結合題意，建立關于"?的一元一次不等式組，求解即可得到，〃的范圍，從而根

據實際意義確定出，"的取值，即可確定不同的方案，最后再結合一次函數的性質確定最小值即可;

（3）結合（2）的結論，直接求出可節(jié)省的資金，然后確定降價后的單價，再建立二元一次方程，并結合

實際意義進行求解即可.

【詳解】解：（1）設購進1件甲種農機具需x萬元，購進1件乙種農機具需y萬元.

2x+y=3.5

根據題意,得《；，

x+3y=3

x=l.5

解得:

y=0.5

答：購進1件甲種農機具需1.5萬元，購進1件乙種農機具需0.5萬元.

1.5m+0.5(10—m)>9.8

（2）根據題意,

1.5/77+0.5(10-m)<12

解得：4.8</?z<7,

；機為整數，

...加可取5、6、7,

有三種方案：

方案一：購買甲種農機具5件，乙種農機具5件;

方案二：購買甲種農機具6件，乙種農機具4件;

方案三：購買甲種農機具7件，乙種農機具3件.

設總資金為叩萬元，則W=1.5m+0.5(10-m)=m+5,

?.?左=1>0,

W隨m的增大而增大,

，當m=5時，％小=5+5=10（萬元），

.??方案一需要資金最少，最少資金是10萬元.

（3）由（2）可知，購買甲種農機具5件，乙種農機具5件時，費用最小，

根據題意，此時，節(jié)省的費用為5x0.7+5x0.2=4.5（萬元），

降價后單價分別為：甲種0.8萬元，乙種0.3萬元，

設節(jié)省的資金可購買。臺甲種，〃臺乙種，

則：0.8a+0.3。=4.5,

由題意，。，匕均為非負整數，

.??滿足條件的解為：4,或4,

0=15[b=l

.?.節(jié)省的資金再次購買農機具的方案有兩種：

方案一：購買甲種農機具0件，乙種農機具15件；

方案二：購買甲種農機具3件，乙種農機具7件.

【點睛】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組以及一次函數的實際應用，找準等量關系，理解一

次函數的性質是解題關鍵.

28.如圖，在平面直角坐標系中，A4OB的邊OA在X軸上，Q4=AB,且線段OA的長是方程

4

了2一4%_5=0的根，過點3作軸，垂足為E，tan/84E=—,動點M以每秒1個單位長度的速