轉(zhuǎn)本高數(shù)積分學小結(jié)

定積分自測題答2.2π4.一.1π662.4.x2dx二211.原式(x)dx.定積分自測題答2.2π4.一.1π662.4.x2dx二211.原式(x)dx.π2dcos2cosπ1414原式 24cos22cos00πsec2tπ3π4π3π41233.xtant,原式sin2tdt2tan2t43ππ2π2 1cosxdtan2π00π20x2xπx dx |2031四f(x2)df1731e01(1π2π2 1cosxdtan2π00π20x2xπx dx |2031四f(x2)df1731e01(1)dx dxx2x0.五xxuxtf(xt)dt(xu)f00xxfx1cos00π2π2xx,00x2xf(t)dt1,六證設(shè)Fx)0則Fxx2xf(t)dt1,六證設(shè)Fx)0則Fx)在[0,1]上連續(xù)且F(011111dt1f00由零點存在定理,至少存在ξ0,1使F(ξ)0,即方程在(0,1)內(nèi)至少有一實根綜上可知方x2xf(t)dt在(0,1)內(nèi)有且僅有一實根02141)dx1A2x0π301112V2141)dx1A2x0π301112V(2x11)dx222(.π01V0π(1222π2或.30)dx31曉薇在線課曉薇在線課一、定積分應用的常用公平面圖形的面1yy=f2(yyf一、定積分應用的常用公平面圖形的面1yy=f2(yyf(AAy=f1(ooaaxxbbbbA=∫a[f2(x)?f1(A=f(x)adA=∫c[?2(y)??1(?x=φ(t?y=ψ(t?tA2ψ(t)φ?x=φ(t?y=ψ(t?tA2ψ(t)φ(4βρ=βρ=ρ(?ρ=ρ1(?oxox121ββA?)ρ22A2[ρ?)]???212αα體二b=VA(xybπ[f(x)]體二b=VA(xybπ[f(x)]2=oxx+xydd=2π[φ(y)]x=φ(cox平面曲線的弧三yyf(bs=1+y′2a}?x=φ(平面曲線的弧三yyf(bs=1+y′2a}?x=φ(t?y=ψ(t?(α≤t≤β)xx+dxβφ′2(t)+ψ′2(ts=αρ(α?ββsα例1xy26y80和直線x-y+4=0x例1xy26y80和直線x-y+4=0xy26y80解交3,1),B(0,xy46y80(yyxy21924y6y8)(y24)]dy.1x0例y在曲線y=解y?a2=2a(例y在曲線y=解y?a2=2a(x?ya{x2(2a(xa)0y==(a>(a,a20{x2(2a(xa)aox=(a<y=3ax2+2bx+例x1y=0所圍的平面圖形的面積為1a,b,c平面圖形繞y=3ax2y=3ax2+2bx+例x1y=0所圍的平面圖形的面積為1a,b,c平面圖形繞y=3ax22bxcc=0解與直線x1y=0所圍的平面圖形的面積為1，1b=1?∫1ax2+2bx)dx=a+即(301(3ax2+2(1?a)x)2V(a)=0=π[9a2+3a(1?a)+4(1?a)2=[2(a+5)2+9]5a=?54348b=94c=φ?(a>ρ=a?sin3??(0φ≤3π)1φ2=a?φρ 解?33??3φ?(a>ρ=a?sin3??(0φ≤3π)1φ2=a?φρ 解?33??3β∴s=ρ2(φ)+ρ′2(φα642?????φφφ=22+ ?3?3?30?????φ3π3= =2?sin3??例x=a(t?sinty=a(1cost擺線第一拱(0≤t≤2π)13解例x=a(t?sinty=a(1cost擺線第一拱(0≤t≤2π)13解則ta2(1?cost)2+a2sin20=a2(1?cost)2+a2sin2t12a(1?cost)=4a(cost+即22cos2=122t=2π333 π3)a, 2x4五y=設(shè)切點分別為P,QOP,OQ2x4五y=設(shè)切點分別為P,QOP,OQ解2ay(a22a4)(2a2)(x(a22a4)a(2ay=2x，y=?6a得0S=∫[(x2?2x+4)?(?6–2x+4)?2x]dx=2∫+[30法 k解：由已知：設(shè)切線方程。y'2x法 k解：由已知：設(shè)切線方程。y'2x2則kx2xx12,x2y2x,yk16,例Rx為積分區(qū)間，對[0R任意o為–例Rx為積分區(qū)間，對[0R任意o為–S(x)–x2–RV=8∫(R2?x2)dx30物理應五細棒的質(zhì)ρ(l物理應五細棒的質(zhì)ρ(lm=∫0(ρx為線密度xoxx+ll求曲線xy=4y1x>0例的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積?xy=y?求曲線xy=4y1x>0例的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積?xy=y?y=?y=x∫ =oxy1=116?+∞?==π??y1變力所作的bW=∫a=aF(F(變力所作的bW=∫a=aF(F(x+xoxbb水壓box+by∫Pf(ab=∫ρxf(xa(ρ為比重引y 3AllF=yyθ(a2+x2–lxG為引力系數(shù) =o引y 3AllF=yyθ(a2+x2–lxG為引力系數(shù) =oxx+x1b函數(shù)的平均∫yf(b?a1均方b∫y2f(b?a旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面四yf(x)≥旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面四yf(x)≥a≤x≤b=∫2πf(1+f′2(ySayf(oxx+ylnx,y=0.在區(qū)間[1e]內(nèi)求一點x0使y1及x=teSylnx,y=0.在區(qū)間[1e]內(nèi)求一點x0使y1及x=teS(t)=lnxdx+∫t(1lnx解S′(t)=S′(t)=1lnt?1t=1S′(e4)>1ttln1t=e例1?x=acos3(a例1?x=acos3(a>?y=asin3?求體積及表面積解設(shè)面積為aA= 0=4∫πat?3acos2t(?解設(shè)面積為aA= 0=4∫πat?3acos2t(?sint2π238∫=a[sint?sint]dt246πa20π2π2 (x′)2+(y′)2dt∫∫=L==00設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積S,體積為VaS=2∫1+y′2x0π∫設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積S,體積為VaS=2∫1+y′2x0π∫= 2asin3t?3acostsintdtπa250a0V=2∫=2∫ππa2sin6t?3acos2t(?sint02π2∫33=πsint(1?sin2t=πaa70例以每秒a的流量往半徑R的半球形水內(nèi)注水1)例以每秒a的流量往半徑R的半球形水內(nèi)注水1)h(0<h<R)面上升的速度若再將滿池水全部抽出y至少需作功多少解半圓的方程Rhox+(y?R)2=(0≤y≤=R2?(y?R)2=2Ry?y2(0≤y≤(1y的立體,故半球內(nèi)高為hhhV(h(1y的立體,故半球內(nèi)高為hhhV(h)=∫∫2xdyπ(2Ry?y200又設(shè)水深h時已注水的時間為t,則有V(h)=ath0π(2Ryy2dyπ(2Rh?h2)dh=兩邊對t求導,dha.π(2Rh?h2將滿池dha.π(2Rh?h2將滿池的水全部抽出所需的最小功即將池水全部提升到池沿高度所需的功抽水時使水位從y(0≤y≤R)降到y(tǒng)dy的功約(ρ=1水的比重ρπx2dy(R?x2=2Ry?y2dWρπ(2Ry?y2R?RW=∫ρπ(2Ry?RW=∫ρπ(2Ry?y2)(R?0R=π∫(2R2y?3Ry2+y30=πR44例