贛州市贛縣三中高三月考前適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020屆江西省贛州市贛縣三中高三1月考前適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)(理）試題一?選擇題(本題共12題,每小題5分，共60分.在每小題的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.設(shè)集合,，則等于(）A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合B,根據(jù)并集運(yùn)算即可求解?！驹斀狻恳?yàn)?即集合由并集運(yùn)算可得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合并集的簡單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2。若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（）A. B。2 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，由此求得的虛部?！驹斀狻恳李}意，虛部為.故選B?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)虛部的概念,屬于基礎(chǔ)題。3.為了解戶籍、性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機(jī)抽取了容量為200的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各100人；男性120人,女性80人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與傾向選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖，如圖所示，其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應(yīng)比例，則下列敘述中錯誤的是()A.是否傾向選擇生育二胎與戶籍有關(guān)B.是否傾向選擇生育二胎與性別有關(guān)C.傾向選擇生育二胎的人群中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D.傾向選擇不生育二胎的人群中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)【答案】C【解析】【分析】由題意，通過閱讀理解、識圖，將數(shù)據(jù)進(jìn)行比對，通過計(jì)算可得出C選項(xiàng)錯誤．【詳解】由比例圖可知，是否傾向選擇生育二胎與戶籍、性別有關(guān)，傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)，傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)為人，女性人數(shù)為人，男性人數(shù)與女性人數(shù)不相同，故C錯誤，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了條形圖的實(shí)際應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，正確理解條形圖所表達(dá)的含義是解答的關(guān)鍵,著重考查了閱讀理解能力、識圖能力，屬于基礎(chǔ)題.4。函數(shù)的圖象大致為（)A。 B.C。 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除，當(dāng)時,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案．【詳解】解：定義域?yàn)椋?，所以為非奇非偶函?shù)，故錯誤；當(dāng)時，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，只要滿足條件，故選【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，考查同學(xué)們對函數(shù)基礎(chǔ)知識的把握程度以及數(shù)形結(jié)合與分類討論的思維能力．5。甲、乙兩個不透明的袋中各有5個僅顏色不同的球,其中甲袋中有3個紅球，2個白球,乙袋中有2個紅球，3個白球，現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一球,則兩球不同顏色的概率為（）A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一球，基本事件總數(shù)，兩球不同顏色包含的基本事件個數(shù)，由此能求出兩球不同顏色的概率．【詳解】甲、乙兩個不透明的袋中各有5個僅顏色不同的球，其中甲袋中有3個紅球、2個白球，乙袋中有2個紅球、3個白球，現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取一球,基本事件總數(shù),兩球不同顏色包含的基本事件個數(shù)，則兩球不同顏色的概率為．故選．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．6.若非零向量,滿足，向量與垂直，則與的夾角為（）A. B。 C。 D.【答案】B【解析】∵,且與垂直，∴，即，∴，∴，∴與的夾角為．故選．7。執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為A. B。 C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，利用等比數(shù)列的求和公式即可計(jì)算得解．【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，由于．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．8。正項(xiàng)等差數(shù)列的前和為，已知，則=（）A.35 B。36 C。45 D。54【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式能求出.【詳解】正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，解得或（舍）,,故選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，屬于中檔題。解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.9.已知，是過拋物線（）焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緼【解析】分析：求出，，利用方程,求得,從而可得結(jié)果。詳解：設(shè)，，則，又由拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì),，所以，得，，得．，得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A。點(diǎn)睛：過拋物線（），焦點(diǎn)的弦的常見性質(zhì)有：（1）弦長；（2）；（3)10.關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論:①是偶函數(shù)；②在區(qū)間單調(diào)遞減;③在有個零點(diǎn);④的最大值為。其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.①②④ B.②④ C。①④ D.①③【答案】A【解析】【分析】利用偶函數(shù)的定義可判斷出命題①的正誤；去絕對值，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷出命題②的正誤；求出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù),并利用偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；由取最大值知,然后去絕對值，即可判斷出命題④的正誤?！驹斀狻繉τ诿}①，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，命題①為真命題；對于命題②，當(dāng)時,，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，命題②正確；對于命題③，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時,，則函數(shù)在上有無數(shù)個零點(diǎn),命題③錯誤；對于命題④，若函數(shù)取最大值時，，則,，當(dāng)時,函數(shù)取最大值，命題④正確。因此，正確的命題序號為①②④.故選A?！军c(diǎn)睛】本題考查與余弦函數(shù)基本性質(zhì)相關(guān)的命題真假的判斷，解題時要結(jié)合自變量的取值范圍去絕對值,結(jié)合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于中等題.11.如圖，矩形中,為邊的中點(diǎn)，將直線翻轉(zhuǎn)成平面)，若分別為線段的中點(diǎn)，則在翻轉(zhuǎn)過程中，下列說法錯誤的是(）A.與平面垂直的直線必與直線MB垂直B.異面直線與所成角是定值C。一定存在某個位置，使D。三棱錐外接球半徑與棱的長之比為定值【答案】C【解析】【詳解】取DC中點(diǎn)N，連MN，NB，則，所以平面平面,即平面,A正確；取的中點(diǎn)為F，連接MF,EF，則平面BEFM是平行四邊形，所以為異面直線與所成角,故B正確；A關(guān)于直線DE對稱點(diǎn)N，則平面，即過O與DE垂直的直線在平面上，故C錯誤；三棱錐外接球的半徑為，故D正確。故選C。12。若關(guān)于x的方程有三個不相等的實(shí)數(shù)解，且，其中m∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則的值為()A.1+m B.e C。m—1 D。1【答案】D【解析】【分析】令，則有,即，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個實(shí)根,，,且,，即可求解?！驹斀狻坑煞匠炭傻?令，則有，即.令函數(shù)，則.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。作出圖象如下：要使關(guān)于額方程有三個不相等的實(shí)數(shù)解，，且結(jié)合圖象可得關(guān)于關(guān)于的方程一定有兩個實(shí)根，,，且，，，?！唷摺喙蔬xD.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法（1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；（2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值）問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解。二?填空題（本題共4小題，每小題5分,共20分)13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】試題分析：?？键c(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義。14。已知為正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若,則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)知，,成等比數(shù)列,即可用的式子表示，然后用基本不等式求最小值．【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)，，,成等比數(shù)列,且故，當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立，所以最小值32．故答案為32【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，以及利用基本不等式求最值,屬于中檔題．15。將一顆均勻的骰子擲兩次,第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為,第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為，則方程組有唯一解的概率是___________．【答案】【解析】【分析】所有的可能的結(jié)果（a，b）共有6×6＝36種,滿足直線l1與l2平行的結(jié)果(a，b）共有3個，由此求得直線l1與l2平行的概率，用1減去直線l1與l2平行的概率，即得所求．【詳解】由題意可知,方程組有唯一解轉(zhuǎn)化為表示方程組的兩直線相交，即直線l1：ax+by=3與直線l2：x+2y=2相交，又所有的可能出現(xiàn)的結(jié)果（a，b）共有6×6＝36種，當(dāng)直線l1與l2平行時，應(yīng)有，故其中滿足直線l1與直線l2平行的結(jié)果(a，b）共有：（1，2）、（2，4）、(3,6)，總計(jì)3個，故直線l1與l2平行的概率為．又由a,b的意義可知兩條直線不重合,故直線l1與l2相交的概率為1,∴方程組有唯一解的概率為1,故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型及其對立事件的概率計(jì)算公式的應(yīng)用，考查了兩直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．16.已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為，，設(shè)四邊形的周長為,面積為,且滿足，則該雙曲線的離心率為______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥勘绢}首先可根據(jù)題意繪出圖像并設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)為，然后通過圓與雙曲線的對稱性得出,再根據(jù)“點(diǎn)即在圓上,也在雙曲線上"聯(lián)立方程組得出，然后根據(jù)圖像以及可得和,接下來利用雙曲線定義得出以及,最后根據(jù)并通過化簡求值即可得出結(jié)果．【詳解】如圖所示，根據(jù)題意繪出雙曲線與圓的圖像，設(shè)，由圓與雙曲線的對稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，因?yàn)閳A是以為直徑，所以圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，也在雙曲線上，所以有，聯(lián)立化簡可得，整理得,，,所以，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?lián)立可得，，因?yàn)闉閳A的直徑,所以，即,,，，，,所以離心率．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考查雙曲線與圓的相關(guān)性質(zhì)，考查對雙曲線以及圓的定義的靈活應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及方程思想，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，體現(xiàn)了綜合性，是難題．三?解答題每小題12分,共60分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知在中,的對邊分別是，且，且．（1)求的面積；（2）為邊上的點(diǎn)，且滿足，當(dāng)取得最小值時，求的長．【答案】(1）；(2）?！窘馕觥俊痉治觥浚?）利用正弦定理把邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再利用余弦定理可求的值，由題設(shè)中的數(shù)量積可求的乘積，最后利用公式可求的面積；（2）利用基本不等式可求的最小值,再利用余弦定理可求的長.【詳解】解:（1）由正弦定理得，故所以，又因?yàn)?，所?，所以．（2)由（1)得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值為,此時三角形為等邊三角形,故，所以，故．【點(diǎn)睛】在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式,那么我們可以利用正弦定理化簡該條件，如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式,那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.18。如圖，已知多面體ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1,AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1;（Ⅱ）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】分析:方法一：（Ⅰ)通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得，再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論;(Ⅱ)找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（Ⅰ）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量之積為0得出，再根據(jù)線面垂直的判定定理得結(jié)論；(Ⅱ）根據(jù)方程組解出平面的一個法向量，然后利用與平面法向量的夾角的余弦公式及線面角與向量夾角的互余關(guān)系求解.【詳解】詳解：方法一:（Ⅰ）由得,所以。故。由,得,由得,由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié)由平面得平面平面，由得平面,所以是與平面所成的角.由得，所以，故因此，直線與平面所成的角的正弦值是。方法二：（Ⅰ）如圖,以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz。由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：因此由得。由得所以平面。（Ⅱ)設(shè)直線與平面所成的角為。由(Ⅰ）可知設(shè)平面的法向量.由即可取.所以。因此,直線與平面所成的角的正弦值是.點(diǎn)睛:利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破"：第一，破“建系關(guān)”,構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二,破“求坐標(biāo)關(guān)”,準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量;第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.19.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)．(1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)M為的中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn))，過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)，使得;若存在，請求出的值,若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在滿足條件，詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)所給條件列出方程組,求解即可．(2）對直線的斜率存在與否分類討論，當(dāng)斜率存在時,設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達(dá)定理，即可表示出、、，則可求．【詳解】解:（1）由已知可得，解得，,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2）若直線的斜率不存在時，，，所以;當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y,得，所以．因?yàn)椋O(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程，消去,得,解得．，，同理，，因?yàn)椋?，?存在滿足條件，綜上可得，存在滿足條件．【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與橢圓綜合問題，屬于中檔題．20.某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測試．現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）。（2)根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50．用樣本平均數(shù)作為的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，現(xiàn)任取一輛汽車,求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率。參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0。5方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格．遙控車開始在第0格,客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次．若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到)若擲出反面遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格(失敗大本營)時，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車移到第格的概率為P試證明是等比數(shù)列,并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值．【答案】（1）300；（2)0.8186；（3）證明見解析,期望值為,約2萬元.【解析】【分析】0000（1)利用每組中點(diǎn)值乘以其頻率，再求和即可得到平均值；（2)由(1）可知，利用求解即可；（3)根據(jù)題意可知：得出移到第n格兩種方式①遙控車先到第格,又?jǐn)S出反面；②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面,由此得到,利用定義證明其為等比數(shù)列，結(jié)合累加法得出的表達(dá)式，由此得到，，根據(jù)題意得出參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元,或0，分別求出或0的概率,然后求出期望即可。【詳解】(1）（千米）（2）因?yàn)榉恼龖B(tài)分布所以（3)遙控車開始在第0格為必然事件，,第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．遙控車移到第n(）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種．①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為②遙控車先到第格,又?jǐn)S出正面,其概率為所以，當(dāng)時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列以上各式相加，得(），獲勝的概率失敗的概率設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，或0X的期望參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為,約2萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖求平均數(shù)、正態(tài)分布求概率，等比數(shù)列的證明以及數(shù)學(xué)期望的求法，題目較為綜合,考查面較廣,屬于難題。21。己知函數(shù)．（Ⅰ)當(dāng)時,函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅱ）若方程的兩個根分別為，求證：?！敬鸢浮浚á瘢唬á?證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由題，可將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，依題意,在上是減函數(shù)等價(jià)于對恒成立，再采用分離參數(shù)法解不等式即可;（Ⅱ）由于方程的兩個根分別為,故有，可解得,化簡并聯(lián)立前式可得，再設(shè)，則整體可代換為，求，根據(jù)的正負(fù)即可得證【詳解】（Ⅰ)在上遞減，對恒成立。即對恒成立,所以只需，,當(dāng)且僅當(dāng)時取“”，。（Ⅱ）由已知，得，兩式相減，得.由知，設(shè)，則。。在上遞增，.，.即.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)增減性利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)問題,已知函數(shù)零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求證不等式恒成