高等數(shù)學(xué)（上冊）

十四五普通高等院校公共課程類系列教材

“”

高等數(shù)學(xué)

上冊

()

吳健輝李珍真主編

夏輝鄭春玲王學(xué)文副主編

內(nèi)容簡介

本書遵循以服務(wù)為宗旨以應(yīng)用為目的以必需夠用為度的原則在認(rèn)真

“,,”,

總結(jié)經(jīng)驗(yàn)分析調(diào)研的基礎(chǔ)上合理整合知識內(nèi)容以突出重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)學(xué)法指導(dǎo)為

、,,、

特色充分體現(xiàn)了模塊式教學(xué)的應(yīng)用性本書集數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)思維數(shù)學(xué)教育于

,。、、

一體具體內(nèi)容包括函數(shù)極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不定積分定

,、,,,,

積分定積分的應(yīng)用并按層次配有習(xí)題便于學(xué)生學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)

,。,、

技能

。

本書適合作為普通高等院校各專業(yè)高等數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)課程的教材

、。

圖書在版編目CIP數(shù)據(jù)

()

高等數(shù)學(xué)上冊吳健輝李珍真主編北京中國

./,.—:

鐵道出版社有限公司

,2022.8

十四五普通高等院校公共課程類系列教材

“”

ISBN978-7-113-29515-8

高吳李高等數(shù)學(xué)高等

Ⅰ.①…Ⅱ.①…②…Ⅲ.①-

學(xué)校教材

-Ⅳ.①O13

中國版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號

CIP(2022)143535

書名:高等數(shù)學(xué)上冊

()

作者:吳健輝李珍真

策劃:曹莉群編輯部電話:

(010)51873090

責(zé)任編輯:潘星泉徐盼欣

封面設(shè)計(jì):劉穎

責(zé)任校對:孫玫

責(zé)任印制:樊啟鵬

出版發(fā)行:中國鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號

(100054,8)

網(wǎng)址:

/51eds/

印刷:三河市興達(dá)印務(wù)有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

202281202281

開本:印張:字?jǐn)?shù):千

710mm×1000mm1/1613.75269

書號:

ISBN978-7-113-29515-8

定價(jià):元

39.80

版權(quán)所有侵權(quán)必究

凡購買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問題請與本社教材圖書營銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,。:(010)63550836

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:(010)63549461

前言

高等數(shù)學(xué)是普通高等院校各專業(yè)的一門必修的基礎(chǔ)課程,本書基于

編者多年來從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累而編寫。在編寫過程中,遵循

“強(qiáng)基礎(chǔ),重應(yīng)用”的原則,在保證數(shù)學(xué)科學(xué)性的基礎(chǔ)上,減少了復(fù)雜的理

論求證,注重培養(yǎng)學(xué)生的基本運(yùn)算能力和解決實(shí)際應(yīng)用問題能力,力求

在有限的教學(xué)時(shí)數(shù)內(nèi)拓展學(xué)生的知識面。

本書具有如下特色:

()本書包含了普通高等院校各專業(yè)所需的主要高等數(shù)學(xué)內(nèi)容,在

1

編寫過程中既強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性,又做到了通俗易懂,便于讀

者自學(xué)。教師在教學(xué)過程中可以根據(jù)各專業(yè)的特點(diǎn)選擇所需內(nèi)容。

()在內(nèi)容選取上,突出基本概念的理解和基本方法的掌握,注重培

2

養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維方法。在編排上,以實(shí)例作為重要概念的

切入點(diǎn),重點(diǎn)分析如何從實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念,培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維

能力,遵循數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知規(guī)律,由淺入深,循序漸進(jìn)。

()在部分實(shí)例求解過程中加入分析,力求提高學(xué)生的觀察、分析、

3

思考能力,數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力,運(yùn)用數(shù)學(xué)基本概念、方法解決問題的能

力,并提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在例題與習(xí)題的選取方面既考慮到了

基本知識及基本能力的訓(xùn)練,同時(shí)也編排了一些思維能力的提高題。

本書由景德鎮(zhèn)學(xué)院的吳健輝、李珍真擔(dān)任主編,由景德鎮(zhèn)學(xué)院的夏

輝、鄭春玲、王學(xué)文擔(dān)任副主編。第一章、第三章由吳健輝編寫,第二章、

第四章由李珍真編寫,第五章由夏輝編寫,第六章由鄭春玲編寫,王學(xué)文

負(fù)責(zé)全書習(xí)題的編寫,本書由吳健輝負(fù)責(zé)統(tǒng)稿和審核。

由于編者水平所限,書中不足和疏漏之處在所難免,敬請廣大讀者

批評指正。

編者于景德鎮(zhèn)

年月

20225

目錄

第1章函數(shù)、極限與連續(xù)…………

1

函數(shù)的概念………………

1.11

幾個(gè)基本概念……………………

1.1.11

函數(shù)的概念………

1.1.22

函數(shù)的表示法……………………

1.1.33

函數(shù)的初等性質(zhì)…………………

1.1.45

初等函數(shù)…………

1.1.57

習(xí)題………………………

1.110

數(shù)列的極限………………

1.211

極限概念的引入…………………

1.2.112

數(shù)列極限…………

1.2.212

數(shù)列極限的性質(zhì)…………………

1.2.316

習(xí)題………………………

1.220

函數(shù)極限…………………

1.321

自變量趨于無窮時(shí)的極限……

1.3.121

自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限………………

1.3.223

函數(shù)極限的性質(zhì)…………………

1.3.326

習(xí)題………………………

1.329

無窮小量與無窮大量……………………

1.431

無窮小量…………

1.4.131

無窮大量…………

1.4.233

習(xí)題………………………

1.434

兩個(gè)重要極限……………

1.535

夾逼定理…………

1.5.135

高等數(shù)學(xué)(上冊)

·Ⅱ·

兩個(gè)重要極限…………………

1.5.236

習(xí)題………………………

1.540

函數(shù)的連續(xù)性……………

1.641

連續(xù)函數(shù)的概念…………………

1.6.141

連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)……………

1.6.243

初等函數(shù)的連續(xù)性………………

1.6.345

間斷點(diǎn)……………

1.6.445

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)………

1.6.548

習(xí)題………………………

1.650

無窮小量的比較…………

1.752

習(xí)題………………………

1.755

第2章導(dǎo)數(shù)和微分………………

56

導(dǎo)數(shù)的概念………………

2.156

概念的引入………

2.1.156

導(dǎo)數(shù)的定義………

2.1.257

導(dǎo)數(shù)的幾何意義…………………

2.1.361

可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系………………

2.1.462

習(xí)題………………………

2.162

函數(shù)的求導(dǎo)法則…………

2.264

函數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則………

2.2.164

反函數(shù)的求導(dǎo)法則………………

2.2.266

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則……………

2.2.367

習(xí)題………………………

2.270

特殊類型函數(shù)的求導(dǎo)法…………………

2.371

隱函數(shù)的求導(dǎo)法…………………

2.3.171

冪指函數(shù)求導(dǎo)法…………………

2.3.273

多個(gè)因子積商的求導(dǎo)……………

2.3.374

由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法………………

2.3.475

習(xí)題………………………

2.376

目錄

·Ⅲ·

高階導(dǎo)數(shù)…………………

2.477

習(xí)題………………………

2.480

微分………………………

2.581

微分的概念………

2.5.181

微分的幾何意義…………………

2.5.283

微分的運(yùn)算法則與公式…………

2.5.383

微分的應(yīng)用………

2.5.485

習(xí)題………………………

2.587

第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用………………

89

微分中值定理……………

3.189

羅爾()定理………………

3.1.1Rolle89

拉格朗日()中值定理…………………

3.1.2Lagrange91

柯西()中值定理…………

3.1.3Cauchy93

習(xí)題………………………

3.194

洛必達(dá)法則………………

3.295

洛必達(dá)法則………

3.2.195

其他未定型………

3.2.298

習(xí)題………………………

3.2100

泰勒公式………………

3.3101

習(xí)題………………………

3.3105

函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值…………

3.4105

函數(shù)單調(diào)性的判定……………

3.4.1105

函數(shù)的極值……………………

3.4.2107

函數(shù)的最值……………………

3.4.3111

習(xí)題………………………

3.4112

曲線的凹凸性及拐點(diǎn)…………………

3.5114

習(xí)題………………………

3.5116

函數(shù)的作圖……………

3.6117

曲線的漸近線…………………

3.6.1117

高等數(shù)學(xué)(上冊)

·Ⅳ·

函數(shù)的作圖……………………

3.6.2118

習(xí)題………………………

3.6120

導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)及物理學(xué)上的應(yīng)用……

3.7120

導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用………

3.7.1121

導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用………

3.7.2127

習(xí)題………………………

3.7129

第4章不定積分…………………

130

不定積分的概念………

4.1130

原函數(shù)的概念…………………

4.1.1130

不定積分的定義………………

4.1.2131

不定積分的幾何意義…………

4.1.3132

不定積分的基本公式…………

4.1.4133

不定積分的性質(zhì)………………

4.1.5134

直接積分計(jì)算舉例……………

4.1.6135

習(xí)題………………………

4.1136

不定積分的換元積分法………………

4.2137

第一換元積分法………………

4.2.1138

第二換元積分法………………

4.2.2143

習(xí)題………………………

4.2147

分部積分法……………

4.3149

習(xí)題………………………

4.3154

幾類特殊函數(shù)的不定積分……………

4.4154

有理函數(shù)的不定積分…………

4.4.1154

三角函數(shù)有理式的不定積分…………………

4.4.2159

簡單無理函數(shù)的積分…………

4.4.3160

習(xí)題………………………

4.4161

第5章定積分……………………

163

定積分的概念…………

5.1163

定積分概念引入的背景………

5.1.1163

目錄

·Ⅴ·

定積分的概念…………………

5.1.2165

習(xí)題………………………

5.1167

定積分的性質(zhì)…………

5.2168

習(xí)題………………………

5.2171

微積分學(xué)基本定理……………………

5.3171

引例……………

5.3.1171

變上限函數(shù)……………………

5.3.2172

牛頓萊布尼茨公式……………

5.3.3-174

習(xí)題………………………

5.3175

定積分的基本積分法…………………

5.4176

定積分的換元積分法…………

5.4.1176

定積分的分部積分法…………

5.4.2178

習(xí)題………………………

5.4180

廣義積分………………

5.5181

無窮區(qū)間上的廣義積分………

5.5.1182

無界函數(shù)的廣義積分…………

5.5.2184

習(xí)題………………………

5.5186

第6章定積分的應(yīng)用……………

187

定積分的微元法………

6.1187

平面圖形的面積………

6.2188

直角坐標(biāo)系下求平面圖形的面積……………

6.2.1189

極坐標(biāo)系下求平面圖形的面積………………

6.2.2191

習(xí)題………………………

6.2192

空間幾何體體積………

6.3192

已知截面面積求體積…………

6.3.1192

旋轉(zhuǎn)體體積……………………

6.3.2193

習(xí)題………………………

6.3195

平面曲線的弧長………

6.4195

直角坐標(biāo)系下求弧長…………

6.4.1195

高等數(shù)學(xué)(上冊)

·Ⅵ·

參數(shù)方程形式下求曲線弧長…………………

6.4.2196

極坐標(biāo)系下求曲線弧長………

6.4.3197

習(xí)題………………………

6.4198

定積分的物理應(yīng)用……………………

6.5198

功………………

6.5.1198

水壓力…………

6.5.2200

引力……………

6.5.3200

習(xí)題………………………

6.5201

附錄A不定積分表………………

202

第1章

函數(shù)極限與連續(xù)

、

微積分學(xué)的創(chuàng)立是由常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變的一件具有劃時(shí)代意義的事

情微積分學(xué)的研究對象是函數(shù)高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分學(xué)它以極限為工

,.,

具并在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究函數(shù)的變化率及其規(guī)律性從而產(chǎn)生微積分的基本概念及

,,

性質(zhì)本章主要介紹函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)數(shù)列與函數(shù)的極限及其基本性質(zhì)

.,,

連續(xù)函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)為進(jìn)一步學(xué)好微積分打下一個(gè)良好的基礎(chǔ)

,.

1.1函數(shù)的概念

1.1.1幾個(gè)基本概念

1.常量與變量

在日常生活或生產(chǎn)實(shí)踐中觀察某一個(gè)事件的結(jié)果往往是用一個(gè)量的形式來

,

表現(xiàn)的在觀察的某一個(gè)過程中始終保持不變的量稱為常量經(jīng)常變化的量稱為變

,,

量通常用小寫字母abc表示常量用小寫字母xyz表示變量

.,,,…,,,,….

常量和變量是相對的在不同的過程中常量和變量是可以轉(zhuǎn)化的例如某商

,.,

品的價(jià)格在第一個(gè)月內(nèi)保持不變可以說在第一個(gè)月內(nèi)價(jià)格是常量如果在第二個(gè)

,;

月內(nèi)發(fā)生了變化那么價(jià)格在這兩個(gè)月內(nèi)是變量實(shí)際生活中的量短期內(nèi)可以是常

,.

量從長期來看絕大多數(shù)是變量

,,.

從幾何意義上來表示常量對應(yīng)數(shù)軸上的定點(diǎn)變量對應(yīng)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)

,,.

2.集合與區(qū)間

集合是表示具有同一種屬性的全體

.

例如某班的全體學(xué)生可以組成一個(gè)集合一家公司所有的在職職工可以組成

,;

一個(gè)集合所有的實(shí)數(shù)可以組成一個(gè)集合等等

;;.

有關(guān)集合的運(yùn)算集合的表示等方面的基本知識中學(xué)數(shù)學(xué)已有介紹這里不

、,,

再贅述

.

高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)集及其符號表示如下

:

開區(qū)間ab=x|axb

:,<<;

2高等數(shù)學(xué)上冊

··()

閉區(qū)間ab=x|axb

:,≤≤;

左半開區(qū)間或右半閉區(qū)間ab=x|axb

():(,]<≤;

右半開區(qū)間或左半閉區(qū)間ab=x|axb

():[,)≤<;

上述四個(gè)區(qū)間的長度都是有限長的因此把它們統(tǒng)稱為有限區(qū)間

,.

無窮區(qū)間有

:

-+=Ra+=x|xaa+=x|xa

(∞,∞);(,∞)>;,∞≥;

-b=x|xb-b=x|xb.

∞,<;∞,≤

如無特別聲明可用如下符號表示一些常用數(shù)集

,:

R實(shí)數(shù)集Q有理數(shù)集Z整數(shù)集N自然數(shù)集

———;———;———;———.

為了討論數(shù)軸上某點(diǎn)附近的性質(zhì)需要引入鄰域的概念

,.

定義1設(shè)x是一個(gè)實(shí)數(shù)δ是正數(shù)通常是指很小的正數(shù)數(shù)軸上到點(diǎn)x的

0,(),0

距離小于δ的點(diǎn)的全體稱為點(diǎn)x的δ鄰域記為Uxδ見圖即

,0,0,[1-1(a)].

Uxδ=x-δx+δ=x|x-x|δ.

0,0,0