項目公示信息

項目公示信息項目名稱：三類非線性橢圓和拋物方程奇異解的漸近性態(tài)與穩(wěn)定性分析完成單位：西安交通大學，西安科技大學完成人：張正策，王彪項目簡介：隨著現(xiàn)代科學技術的快速發(fā)展，在許多應用學科和實際問題的研究中產(chǎn)生了大量的非線性偏微分方程，例如，它們被用來描述物理、化學、生物及經(jīng)濟學等領域的非線性現(xiàn)象。在偏微分方程理論及其應用問題的研究中，解的定性分析一直是其最為活躍的研究課題之一，半個多世紀以來，吸引了眾多數(shù)學家的關注，但目前仍有很多具有挑戰(zhàn)性的問題困惑著大家。近年來，由于在數(shù)學理論上存在著各自不同的本質性困難，比如，奇異解的漸近行為和一些非自相似性質等，引起了大家極大的興趣。本項目歷時近十年，對一類半線性橢圓型方程和兩類含非線性梯度的拋物型方程奇異解、梯度爆破解和全局解的漸近性態(tài)與穩(wěn)定性進行了系統(tǒng)的研究。該問題分別源自天體物理學中星球運動模型和物理力學中礦藏的表面增長、蒸汽沉積，以及鋁合金等金屬的薄膜成形研究。圍繞數(shù)學理論上的若干難點問題開展，主要進行理論分析，研究了奇異解和梯度爆破解精確的漸近性態(tài)，研究了全局解、熄滅解、最大模爆破解和梯度爆破解的完整分類，研究了全局解或奇異解的大時間收斂性，深入地探討了算子、反應項梯度和指數(shù)、以及初值，對解的漸近性態(tài)的影響。項目研究具有較高的數(shù)學理論價值，相關課題的研究也是目前反應擴散或非線性發(fā)展方程研究領域中前沿和熱門的研究課題，項目取得了一系列深刻的研究成果，形成了一套較為系統(tǒng)和有效的理論和方法。主要的研究成果有：1.得到了Matukuma方程高維徑向奇異正解精確的漸近展開式。研究一類半線性橢圓型Matukuma方程奇異正解的漸近行為，該問題與幾何中著名的Yamabe問題相關，超臨界情況的正解結構異常復雜，我們利用相平面分析和漸近展開，把高維徑向奇異解精確地分解成正則和奇異兩部分。為全空間及外區(qū)域上正則與奇異解的不存在性與存在性，提供了清晰的理論依據(jù)。2. 證明了梯度爆破解精確的時間漸近行為估計。研究一類非線性反應項含梯度的半線性粘性Hamilton-Jacobi方程梯度爆破解的漸近行為。這類方程又出現(xiàn)在物理力學研究中，為了刻畫礦藏的表面增長、蒸汽沉積，以及鋁合金等金屬的薄膜成形而提出和建立的數(shù)學模型。例如，著名的含隨機干擾項的Kardar‐Parisi‐Zhang方程。特別地，2014年菲爾茲獎獲得者MartinHairer，在隨機偏微分方程理論方面作出了杰出貢獻，對KPZ建立了一套正則性結構理論，主要成果相繼發(fā)表在純數(shù)學四大期刊的AnnalsMath（2013）和InventionMath（2014）.不僅開啟了許多新的純數(shù)學方向，也對科學和工程中的應用有重大意義，從而使得對該方程的研究變得更加重要。由于方法和技術上的困難，在研究梯度爆破解的性質時，適用于最大模爆破的一些方法往往不能應用。本人與美國圣母大學的HuBei教授合作，利用新的技巧，通過Rescaling方法和巧妙地構造輔助函數(shù)，首次發(fā)現(xiàn)并證明了指數(shù)型梯度反應項的方程，梯度爆破率也比自相似解的爆破率快，給出了漸近行為估計，并對大時間行為進行完整地分類。目前的研究成果，完善了關于非自相似梯度爆破率近20年的Open問題。3.首次證明了一類擬線性退化拋物方程徑向整體解的一個最優(yōu)的Liouville定理。研究一類用來描述在非線性介質中傳熱，或用來描述氫彈在空氣中爆炸后熱量傳播的一般熱傳導方程。由于算子的非線性和退化或奇異性困難，在過去的二十多年里，關于此方程的研究主要集中在弱解的正則性方面，而弱解的定性研究成果遠不如半線性方程豐富。我們利用新的相交比較原理，首次證明了此類退化方程徑向整體解的一個最優(yōu)的Liouville定理（成功地把上個世紀90年代的Fujita指標結果推廣到Sobolev指標），并利用新的Doubling方法（完全避免傳統(tǒng)的能量積分方法），繼而證明解關于先驗界、時間衰減和爆破率的一致估計，并證明了自相似爆破關于徑向初值擾動的穩(wěn)定性。4.首次對高維擬線性拋物方程的有限時間最大模爆破解、梯度爆破解和全局解進行了完整的分類。研究非線性梯度項和超線性函數(shù)項異號競爭的p-Laplace拋物方程，分析了在不同的指數(shù)范圍和初值條件下，全局解、最大模爆破和有限時間梯度爆破存在的充分條件。進而，研究非線性梯度項和超線性函數(shù)項同號作用或異號競爭的p-Laplace拋物方程，在不同的指數(shù)范圍和初值條件下，首次對全局解、最大模爆破和梯度爆破解進行了完整的分類。此外，首次得到了一維情形擬線性方程的梯度爆破率上下界估計。5.研究生物種群、腫瘤生長與信用等級遷移的自由邊值問題，解的分歧、穩(wěn)定性與有限差分格式的收斂速率。對Rabin邊值條件下的血管再生腫瘤模型的自由邊值問題，分析和證明了徑向對稱定常解關于腫瘤細胞繁殖率參數(shù)序列的分歧結果。對更復雜的捕食與被捕食模型非均勻資源環(huán)境情況，證明了穩(wěn)態(tài)正解關于擴散系數(shù)與半平凡穩(wěn)態(tài)解的分歧與穩(wěn)定性。對實際問題給出了嚴格的數(shù)學理論證明。項目成果在國際知名期刊發(fā)表論文31篇，其中SCI收錄28篇；15篇代表作在WebofScience中被他引59次。主要成果被美國、英國、法國等多個國家和地區(qū)的70余名學者進行了引用，包括Trans.AMS,JDE，Nonlinearity,NonlinearAnal等具有國際影響力的期刊。培養(yǎng)2名博士生和8名碩士生畢業(yè)。主要知識產(chǎn)權目錄(15篇代表作及專利、計算機軟件著作權等)：

主要論文專著目錄（限15條）序號論文專著名稱刊名作者年卷頁碼（xx年xx卷xx頁）發(fā)表時間通訊作者第一作者1GradientblowuprateforasemilinearparabolicequationDiscreteContin.Dyn.Syst.Ser.AZhang,Zhengce;Hu,Bei26(2010),no.2,767–7792010.2ZhangZhengceeceZhangZhengce2RateestimatesofgradientblowupforaheatequationwithexponentialnonlinearityNonlinearAnal.Zhang,Zhengce;Hu,Bei72(2010),no.12,4594–46012010.3ZhangZhengceZhangZhengce3AnoptimalLiouville-typetheoremofthequasilinearparabolicequationwithap-LaplaceoperatorNonlinearAnal.Zhang,Zhengce;Li,Zhenjie74(2011),no.16,5735–57442011.6ZhangZhengceZhangZhengce4Auniversalboundforradialsolutionsofthequasilinearparabolicequationwithp-LaplaceoperatorJ.Math.Anal.Appl.Zhang,Zhengce;Li,Zhenjie385(2012),no.1,125–1342011.6ZhangZhengceZhangZhengce5TheradialpositivesolutionsoftheMatukumaequationinhigherdimensionalspace:singularsolutionJ.DifferentialEquationsWang,Biao;Zhang,Zhengce;Li,Yi253(2012),no.12,3232–32652012.9LiYiWangBiao6Stabilityofblowupforaparabolicp-LaplaceequationwithnonlinearsourceZ.Angew.Math.Phys.Zhang,Zhengce;Chen,Shuang64(2013),no.3,483–4912012.7ZhangZhengceZhangZhengce7BlowupandexistenceofglobalsolutionstononlinearparabolicequationswithdegeneratediffusionElectron.J.DifferentialEquationsZhang,Zhengce;Li,Yan2013,No.264,17pp2013.11ZhangZhengceZhangZhengce8GlobalexistenceandgradientblowupofsolutionsforasemilinearparabolicequationwithexponentialsourceDiscreteContin.Dyn.Syst.Ser.BZhang,Zhengce;Li,Yan19(2014),no.9,3019–30292014.11ZhangZhengceZhangZhengce9Classificationofblowupsolutionsforaparabolicp-LaplacianequationwithnonlineargradienttermsequationJ.Math.Anal.Appl.Zhang,Zhengce;Li,Yan436(2016),no.2,1266–12832015.12ZhangZhengceZhangZhengce10Bifurcationforafree-boundarytumormodelwithangiogenesisNonlinearAnal.RealWorldAppl.Huang,Yaodan;Zhang,Zhengce;Hu,Bei35(2017),483–5022016.12ZhangZhengceHuangYaodan11Bifurcationanalysisofadiffusivepredator-preymodelinspatiallyheterogeneousenvironmentElectron.J.Qual.TheoryDiffer.Equ.Wang,Biao;Zhang,Zhengce2017,PaperNo.42,17pp2017.5ZhangZhengceWangBiao12ClassificationofcertainqualitativepropertiesofsolutionsforthequasilinearparabolicequationsSci.ChinaMath.Li,Yan;Zhang,Zhengce;Zhu,Liping61(2018),no.5,855–8682018.1ZhangZhengceLiYan13AsymptoticbehaviorofpositivesolutionsoftheHénonequationRockyMountainJ.Math.Wang,Biao;Zhang,Zhengce48(2018),no.8,2717–27492018.3ZhangZhengceWangBiao14Singleblowuppointforasemilinearreaction-diffusionsystemMath.Nachr.Zhang,Zhengce;Huang,Yaodan291(2018),no.17-18,2709–27222018.5ZhangZhengceZ