定弦定角（隱圓壓軸四）（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊《重難點題型-高分突破》（人教版）

專題4.7定弦定角解題技巧：構(gòu)造隱圓定弦定角解決問題的步驟：（1）讓動點動一下，觀察另一個動點的運動軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個動點的運動軌跡為一段弧。（2）找不變的張角（這個時候一般是找出張角的補角），（這個補角一般為、）（3）找張角所對的定弦，根據(jù)三點確定隱形圓，確定圓心位置（4）計算隱形圓的半徑（5）圓心與所求線段上定點的距離可以求出來（6）最小值等于圓心到定點之間的距離減去半徑【典例1】如圖，已知矩形ABCD．（1）如圖①，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝45°的點P的軌跡；（2）如圖②，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝90°的點P的軌跡；（3）如圖③，請在矩形ABCD的內(nèi)部或邊上畫出使∠APB＝120°的點P的軌跡．【解答】解：（1）如圖，作等腰直角三角形AOB，使∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，則即為所求；（2）如圖，以AB為直徑作圓，則即為所求（不與A、B重合）；（3）如圖，作等腰△AOB，使∠AOB＝120°，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓，則即為所求（不與A、B重合）；．【變式1-1】（秋?潛山市期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（）A．6 B．﹣3 C．2﹣4 D．4﹣4【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PAB，∴∠PAB+∠PBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴點P在以AB為直徑的圓上運動，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時PC最小，∵OC＝＝＝2，∴PC的最小值為2﹣4，故選：C．【變式1-2】如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當(dāng)它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AF、BE相交于點P，則線段DP的最小值為﹣1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖：，∵動點F，E的速度相同，∴DF＝AE，又∵正方形ABCD中，AB＝2，∴AD＝AB，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF．∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠FAD+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，∵點P在運動中保持∠APB＝90°，∴點P的路徑是一段以AB為直徑的弧，設(shè)AB的中點為G，連接DG交弧于點P，此時DP的長度最小，AG＝BG＝AB＝1．在Rt△BCG中，DG＝＝＝，∵PG＝AG＝1，∴DP＝DG﹣PG＝﹣1即線段DP的最小值為﹣1，故答案為：﹣1．【變式1-3】（廣西模擬）如圖，AC為邊長為的菱形ABCD的對角線，∠ABC＝60°，點M，N分別從點B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動，連接AM和BN，求△APB面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABM＝60°，∵點M，N分別從點B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CA向終點C和A運動，∴BM＝CN，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∴∠ABP+∠CBN＝60°，∴∠ABP+∠BAM＝60°，∴∠APB＝180°﹣60°＝120°，∴點P在弧AB上運動，∴當(dāng)＝時，△PAB的面積最大，最大值＝×2×1＝，故選：D．【變式1-4】（宜興市期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，AB＝8，P為AC邊上的一個動點，D為PB上的一個動點，連接AD，當(dāng)∠CBP＝∠BAD時，線段CD的最小值是（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠CBP＝90°，∵∠CBP＝∠BAD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠ADB＝90°，取AB的中點E，連接DE，CE，∴DE＝AB＝4，∴OC＝OB＝4，∵CD≥CE﹣DE，∴CD的最小值為4﹣4，故選：D【變式1-5】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動點，連接AP，取AP中點Q，連接CQ，則線段CQ的最大值為（）A．3 B．1+ C．1+3 D．1+【答案】D【解答】解：如圖，連接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，∴點Q的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，當(dāng)點Q在CK的延長線上時，CQ的值最大（也可以通過CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值為1+，故選：D．【典例2】如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，點P在射線AM上運動，連BP交△APC的外接圓于D，則AD的最小值為（）A．1 B．2 C． D．4﹣3【答案】A【解答】解：連接CD，則∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135°∵BC＝4，∴點D在以BC為弦的一段圓弧上運動，圓心角為90°，設(shè)圓心為O，連接BO、CO、DO，則△BCO為等腰直角三角形，∴CO＝4，∠BCO＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠ACO＝90°，∴AO＝＝＝5，∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（當(dāng)且僅當(dāng)D是AF與圓弧的交點時取等號），∴線段AD的長的最小值為1，故選：A．【變式2-1】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為．【答案】2﹣2【解答】解：連接AE，如圖1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD為直徑，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴點E在以AB為直徑的⊙O上，∵⊙O的半徑為2，∴當(dāng)點O、E、C共線時，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即線段CE長度的最小值為2﹣2．故答案為2﹣2．【變式2-1】如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，點E在AB上，＝，在矩形內(nèi)找一點P，使得∠BPE＝60°，則線段PD的最小值為（）A．2﹣2 B． C．4 D．2【答案】A【解答】解：如圖，在BE的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，連接OD，過點O作OQ⊥BE于Q，OJ⊥AD于J．∵∠BPE＝∠EOB，∴點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OE為半徑的⊙O，∴當(dāng)點P落在線段OD上時，DP的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AE：EB＝1：2，∴BE＝2，∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，∴EQ＝BQ＝，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，∴OQ＝1，OE＝2，∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，∴四邊形AQOJ是矩形，∴AJ＝OQ＝1，JO＝AQ＝2，∵AD＝5，∴DJ＝AD﹣AJ＝4，∴OD＝＝＝2，∴PD的最小值＝OD﹣OP＝2﹣2，故選：A．【變式2-2】（柳南區(qū)校級模擬）如圖，在邊長為的等邊△ABC中，動點D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點P，則CP的最小值為．【答案】1【解答】解：∵CD＝AE，∴BD＝CE，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，∴∠APB＝120°，∴點P的運動軌跡是，∠AOB＝120°，連接CO，∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴OC＝AC÷cos30°＝2，OA＝OC＝1，∴OP＝1，∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥1，∴PC的最小值為1．【變式2-3】【問題原型】如圖①，在⊙O中，弦BC所對的圓心角∠BOC＝90°，點A在優(yōu)弧BC上運動（點A不與點B、C重合），連結(jié)AB、AC．（1）在點A運動過程中，∠A的度數(shù)是否發(fā)生變化？請通過計算說明理由．（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．【問題拓展】如圖②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分別是AB、BC的中點，則線段MN的最大值為．【答案】【問題原型】（1）∠A的度數(shù)不發(fā)生變化，理由見解析；（2）2；【問題拓展】．【解答】解：【問題原型】（1）∠A的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：∵，∠BOC＝90°，∴；（2）當(dāng)AC為⊙O的直徑時，AC最大，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，根據(jù)勾股定理，得OB2+OC2＝BC2，∵OB＝OC，∴，∴，即AC的最大值為；【問題拓展】如圖，畫△ABC的外接圓⊙O，連接OB，OC，ON，則ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，∴OB＝，∵M、N分別是AB、BC的中點，∴MN是△ABC的中位線，∴MN＝AC，∴AC為直徑時，AC最大，此時AC＝2OB＝，∴MN最大值為，故答案為：．【變式2-4】（灌南縣校級月考）我們在學(xué)習(xí)圓的知識時，常常碰到題目中明明沒有圓，但解決問題時要用到，這就是所謂的“隱圓”問題：下面讓我們一起嘗試去解決：（1）如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為．（2）如圖，在正方形ABCD中，動點E、F分別從D、C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC、CB上移動，連接AE和DF交于點P，由于點E、F的移動，使得點P也隨之運動．若AD＝2，則線段CP的最小值是．（3）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E、F分別為AD、DC邊上的點，且EF＝2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則PA+PG的最小值為多少？【解答】解：（1）如圖1中，∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值為2．故答案為2；（2）如圖2中，∵動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC，CB上移動，∴DE＝CF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中點O，連接OP，則OP＝AD＝×2＝1（不變），根據(jù)兩點之間線段最短得C、P、O三點共線時線段CP的值最小，在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案為：﹣1；（3）如圖3中，∵EF＝2，點G為EF的中點，∴DG＝1，∴G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點，作A關(guān)于BC的對稱點A′，連接A′D，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G，此時PA+PG的值最小，最小值為A′G的長；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，∴PA+PG的最小值為4，【變式2-5】（2022秋?定海區(qū)期中）如圖，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D為△ABC內(nèi)一動點，⊙O為△ACD的外接圓，直線BD交⊙O于P點，交BC于E點，，則AD的最小值為．【答案】1【解答】解：∵＝，∴∠ACB＝∠CDP．∵∠ACB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，∴點D在以BC為弦，∠BDC＝135°的圓弧上運動，如圖，設(shè)D點運動的圓弧圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點N，連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，則∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，∴∠BMC＝90°，∵BM＝CM，∴△BMC為等腰直角三角形，∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，∵∠ACB＝45°，∴∠ACM＝90°，∴AM＝＝＝5，∴當(dāng)A、D、M三點共線時，AD最小，此時，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．故答案為：1．【典例3】如圖，⊙O半徑為6，弦AB＝6，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是（）A．6 B．9 C．6 D．9【答案】B【解答】解：連接OA、OB，作△ABC的外接圓⊙D，如圖1，∵OA＝OB＝6，AB＝6，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝6，要使△ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，∵∠ACB＝60°，點C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如圖2，當(dāng)點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為AB2＝9，∴△ABC的最大面積為9．故選：B．【變式3-1】如圖，⊙O的半徑為1，弦AB＝1，點P為優(yōu)弧上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：連接OA、OB，如圖1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的面積最大，則點C到AB的距離最大，∵∠ACB＝60°，點C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如圖2，作△ABC的外接圓D，當(dāng)點C在優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為AB2＝，∴△ABC的最大面積為．故選：D【變式3-2】如圖，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為．【答案】9+9【解答】解：如圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，過點O作OH⊥BC于H，則BH＝HC，由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝90°，∴OB＝OC＝BC＝3，OH＝BC＝3，當(dāng)BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，由題意可知，BC邊上的高的最大值為：3+3，∴△ABC面積的最大值為：×6×（3+3）＝9+9，故答案為：9+9．【變式3-3】問題提出（1）如圖①，已知△ABC為邊長為2的等邊三角形，則△ABC的面積為；問題探究（2）如圖②，在△ABC中，已知∠BAC＝120°，BC＝6，求△ABC的最大面積；問題解決（3）如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形ABCD，其寬AB＝20米，長BC＝24米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端墻面AB區(qū)域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點M出發(fā)的觀測角∠AMB＝45°，請你通過所學(xué)知識進行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出MC的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）9；（3）存在，MC的長度為8米或12米．【解答】解：（1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，∴BD＝1，∴AD＝＝，∴△ABC的面積為×2×＝，故答案為：；（2）作△ABC的外接圓⊙O，∵∠BAC＝120°，BC＝6，∴點A在上運動，當(dāng)A'O⊥BC時，△ABC的面積最大，∴∠BOA'＝60°，BH＝CH＝3，∴OH＝3，OB＝6，∴A'H＝OA'﹣OH＝6﹣3＝3，∴△ABC的最大面積為×6×3＝9；（3）存在，以AB為邊，在矩形ABCD的內(nèi)部作一個等腰直角三角形AOB，且∠AOB＝90°，過O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB＝20米，∴AH＝OH＝10米，OA＝10米，∵BC＝24米，∴OG＝14米，∵10＞14，∴以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD相交，∴⊙O上存在點M，滿足∠AMB＝45°，此時滿足條件的有兩個點M，過M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，連接OF，∴EF＝OH＝10米，OM1＝10米，∴EM1＝14米，∴OE＝＝2米，∴CM1＝BF＝8米，同理CM2＝BH+OE＝10+2＝12（米），∴MC的長度為8米或12米．【變式3-4】（1）如圖1，線段AB的長為4，請你作出一個以AB為斜邊且面積最大的直角三角形ABC．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝4，BC＝2，請你求出四邊形ABCD的面積．問題解決：（3）小明爸爸所在的工廠需要裁取某種四邊形的材料板，這種材料板的形狀如圖3所示，并且滿足在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，DB＝4，你能求出這種四邊形面積的最小值嗎？如果能，請求出此時四邊形ABCD面積的最小值；如果不能，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，畫法：以AB為直徑畫圓O，當(dāng)點C位于半圓的中點時，直角△ABC的面積最大；（2）如圖2，連接AC，過C作CH⊥AB，交AB的延長線于H，在Rt△BCH中，∵BC＝2，∠CBH＝180°﹣120°＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BH＝BC＝1，HC＝＝，∴AH＝AB+BH＝4+1＝5，在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2＝52+（）2＝28，∴S△ABC＝AB?CH＝×4×＝2，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ADC是等邊三角形，∴S△ADC＝AC2＝×28＝7，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝2+7＝9；（3）能，如圖3，連接AC，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ADC是等邊三角形，將△BDC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得△HDA，連接BH，則BD＝DH＝4，∠HDB＝60°，∴△HDB是等邊三角形，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝S△BDH﹣S△ABH，∵BD＝4，是定值，∴S△BDH是定值，∴當(dāng)△ABH的面積最大時，四邊形ABCD的面積最小，∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BAD+∠BCD＝360°﹣75°