2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)的概念與性質(zhì)第8節(jié)函數(shù)與方程學(xué)案含解析新人教B版202305182145

2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)的概念與性質(zhì)第8節(jié)函數(shù)與方程學(xué)案含解析新人教B版202305182145第8節(jié)函數(shù)與方程一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)三者之間的關(guān)系函數(shù)f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根．2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的，并且f(a)f(b)<0(即在區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào))，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)中至少有一個(gè)零點(diǎn)，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)．函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)解．(2)由函數(shù)y＝f(x)(圖像是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)f(b)<0，如圖所示．所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件．3．二分法條件(1)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像連續(xù)不斷；(2)所在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值滿足f(a)f(b)＜0方法不斷地把函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值4．有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)圖像連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)．(2)連續(xù)不斷的函數(shù)圖像通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)．(×)(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)沒有零點(diǎn)．(√)(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)＜0.(×)(4)若f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＞0，則f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點(diǎn)．(×)2．下列函數(shù)圖像與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點(diǎn)的是()A解析：根據(jù)二分法的概念可知選項(xiàng)A中函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)．3．函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A．(1,2) B．(2,3)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))和(3,4) D．(4，＋∞)B解析：因?yàn)閒(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，且函數(shù)f(x)的圖像連續(xù)不斷，f(x)為增函數(shù)，所以f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)內(nèi)．4．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3B解析：由f′(x)＝ex＋3>0，得f(x)在R上單調(diào)遞增．又f(－1)＝eq\f(1,e)－3<0，f(0)＝1>0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．5．已知2是函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋m，x≥2，,2x，x<2))的一個(gè)零點(diǎn)，則f(f(4))的值是________．3解析：由題意知log2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f(f(4))＝f(log23)＝2log23＝3.6．若二次函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．(－8,1]解析：由題意知m＝－x2＋2x在(0,4)上有解．又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域?yàn)?－8,1]，所以－8<m≤1.考點(diǎn)1判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間——基礎(chǔ)性1．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,2)x2－2，利用零點(diǎn)存在定理確定各零點(diǎn)所在的范圍．下列區(qū)間中存在零點(diǎn)的是()A．(－3，－2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(2,3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))ABD解析：經(jīng)計(jì)算f(－3)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(9,2)－2＝eq\f(13,6)>0，f(－2)＝－eq\f(1,2)＋2－2＝－eq\f(1,2)<0，f(－1)＝－1＋eq\f(1,2)－2＝－eq\f(5,2)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2＋eq\f(1,8)－2＝eq\f(1,8)>0，f(1)＝1＋eq\f(1,2)－2＝－eq\f(1,2)<0，f(2)＝eq\f(1,2)＋2－2＝eq\f(1,2)>0，f(3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(9,2)－2＝eq\f(17,6)>0.根據(jù)零點(diǎn)判定定理可得區(qū)間(－3，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))上存在零點(diǎn)．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，則函數(shù)y＝f(x)()A．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)D解析：當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))時(shí)，函數(shù)圖像連續(xù)不斷，且f′(x)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－3,3x)<0，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上單調(diào)遞減．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,3e)＋1>0，f(1)＝eq\f(1,3)>0，f(e)＝eq\f(1,3)e－1<0，所以函數(shù)f(x)有唯一的零點(diǎn)在區(qū)間(1，e)內(nèi)．確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖像，觀察圖像與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．考點(diǎn)2確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)——綜合性(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．3 B．2C．7 D．0B解析：(方法一：直接法)由f(x)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)．(方法二：圖像法)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示．由圖像知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)．(2)設(shè)m，n∈Z，已知函數(shù)f(x)＝log2(－|x|＋8)的定義域是[m，n]，值域是[0,3]．當(dāng)m取最小值時(shí)，函數(shù)g(x)＝2|x－1|＋m＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3C解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2(－|x|＋8)的值域是[0,3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2(－|x|＋8)的定義域是[m，n]，所以m的最小值為－7，此時(shí)g(x)＝2|x－1|－6.令g(x)＝2|x－1|－6＝0，解得x＝2＋log23或x＝－log23，即有兩個(gè)零點(diǎn)．函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，再結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(3)利用圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩個(gè)函數(shù)圖像，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．1．(2020·武邑中學(xué)調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝________.2解析：因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝－1＋ln2<0，f(3)＝2＋ln3>0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n＝2.2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－cosx，則f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．3解析：如圖，作出g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x與h(x)＝cosx的圖像，可知g(x)與h(x)的圖像在[0,2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用——應(yīng)用性考向1根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間求參數(shù)(1)已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個(gè)根在(0,1)內(nèi)，另一個(gè)根在(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－2))解析：設(shè)f(x)＝x2＋ax＋1，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f1<0，,f2>0，))解得－eq\f(5,2)<a<－2.(2)若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))解析：由題意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解．設(shè)t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，則t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的步驟考向2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x≤0，,ex，x>0，))則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[0,1)B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪(1，＋∞)D解析：函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m的零點(diǎn)就是方程f(x)＋x＝m的根．畫出h(x)＝f(x)＋x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤0，,ex＋x，x>0))的大致圖像(圖略)．觀察它與直線y＝m的交點(diǎn)，得知當(dāng)m≤0或m>1時(shí)，有交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)．利用函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的方法由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問題，可采用數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，變?yōu)殛P(guān)于兩個(gè)初等函數(shù)的方程再在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x<1，,4x－ax－2a，x≥1.))(1)若a＝1，則f(x)的最小值為________；(2)若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(1)－1(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)解析：(1)若a＝1，則f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x<1，,4x－1x－2，x≥1，))作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，由圖可得f(x)的最小值為－1.(2)當(dāng)a≥1時(shí)，要使f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，需滿足21－a≤0，即a≥2；當(dāng)a<1時(shí)，要使f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1≤2a，,21－a>0，))解得eq\f(1,2)≤a<1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪[2，＋∞)．第9節(jié)函數(shù)的應(yīng)用一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．常見的函數(shù)模型(1)正比例函數(shù)模型：f(x)＝kx(k為常數(shù)，k≠0)；(2)反比例函數(shù)模型：f(x)＝eq\f(k,x)(k為常數(shù)，k≠0)；(3)一次函數(shù)模型：f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)；(4)二次函數(shù)模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)；(5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)；(6)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1)；(7)冪函數(shù)模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠1)；(8)“對(duì)勾”函數(shù)模型：y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)．(1)“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；指數(shù)增長(zhǎng)先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對(duì)數(shù)增長(zhǎng)先快后慢，其增長(zhǎng)速度緩慢．(2)充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．(3)易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果的合理性．(4)對(duì)于函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)，當(dāng)x>0時(shí)，在x＝eq\r(a)處取得最小值2eq\r(a)；當(dāng)x<0時(shí)，在x＝－eq\r(a)處取得最大值－2eq\r(a).2．指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)冪函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快．(×)(2)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(n,0)<logax0.(×)(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>1)的增長(zhǎng)速度．(√)(4)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增長(zhǎng)速度越來越快的形象比喻．(×)2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：當(dāng)x∈(4，＋∞)時(shí)，易知增長(zhǎng)速度由大到小依次為g(x)＞f(x)＞h(x)．故選B.3．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2xB．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D.4．生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本．某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元)，一萬件商品的售價(jià)是20萬元．為獲取最大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A．36萬件 B．18萬件C．22萬件 D．9萬件B解析：設(shè)利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)，則L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142.當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值．5．某商品價(jià)格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價(jià)格與原來價(jià)格比較，變化的情況是()A．減少7.84%B．增加7.84%C．減少9.5%D．不增不減A解析：設(shè)該商品原來價(jià)格為a.依題意得，a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，所以(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的價(jià)格與原來價(jià)格比較，減少7.84%.考點(diǎn)1利用函數(shù)圖像刻畫實(shí)際問題——基礎(chǔ)性1．有一個(gè)盛水的容器，由懸在它上空的一條水管均勻地注水，最后把容器注滿，在注水過程中時(shí)間t與水面高度y之間的關(guān)系如圖所示．若圖中PQ為一線段，則與之對(duì)應(yīng)的容器的形狀是()B解析：由函數(shù)圖像可判斷出該容器的形狀不規(guī)則，又函數(shù)圖像的變化先慢后快，所以容器下邊粗，上邊細(xì)．再由PQ為線段，知這一段是均勻變化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故選B.2．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖像為()D解析：y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排除A，C.又因?yàn)樾⊥踉谝业匦菹?0分鐘，排除B.故選D.3．(多選題)汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是()A．消耗1L汽油，乙車最多可行駛5kmB．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80km/h的速度行駛1h，消耗8L汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80km/h，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油CD解析：由題圖可知，當(dāng)乙車速度大于40km/h時(shí)，乙車每消耗1升汽油，行駛里程都超過5km，A錯(cuò)；由題意可知，以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三輛車中甲車耗油最少，B錯(cuò)；甲車以80km/h的速度行駛時(shí)，燃油效率為10km/L，則行駛1小時(shí)，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，C正確；速度在80km/h以下時(shí)，丙車比乙車燃油率更高，所以更省油，D正確．判斷實(shí)際問題中兩變量變化的過程的方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖像．(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化特點(diǎn)，結(jié)合圖像的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．考點(diǎn)2已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題——基礎(chǔ)性某市家庭煤氣的使用量x(單位：m3)和煤氣費(fèi)f(x)(單位：元)滿足關(guān)系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C，0<x≤A，,C＋Bx－A，x>A.))已知某家庭2020年前三個(gè)月的煤氣費(fèi)如表：月份用氣量煤氣費(fèi)一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費(fèi)為()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元A解析：根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0<x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x>5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)×(20－5)＝11.5.已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知條件利用待定系數(shù)法，確定函數(shù)模型中的待定系數(shù)．(3)利用函數(shù)模型求解實(shí)際問題．1．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元D解析：設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p)元，則由題意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．當(dāng)p∈(0,30)時(shí)，L′(p)>0；當(dāng)p∈(30，＋∞)時(shí)，L′(p)<0.故L(p)在p＝30時(shí)取得極大值，即最大值，且最大值為L(zhǎng)(30)＝23000.2．加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))．如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為________分鐘．3.75解析：根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3，0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式．聯(lián)立得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(15,2)t＋\f(225,16)))＋eq\f(45,16)－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16).所以，當(dāng)t＝eq\f(15,4)＝3.75時(shí)，p取得最大值，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘．考點(diǎn)3構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問題——應(yīng)用性考向1二次函數(shù)、分段函數(shù)模型(2020·唐山一中模擬)“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長(zhǎng)速度v(單位：千克/年)是養(yǎng)殖密度x(單位：尾/立方米)的函數(shù)．當(dāng)x不超過4尾/立方米時(shí)，v的值為2千克/年；當(dāng)4<x≤20時(shí)，v是x的一次函數(shù)；當(dāng)x達(dá)到20尾/立方米時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．(1)當(dāng)0<x≤20時(shí)，求函數(shù)v關(guān)于x的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長(zhǎng)量(單位：千克/立方米)可以達(dá)到最大？求出最大值．解：(1)由題意得，當(dāng)0<x≤4時(shí)，v＝2.當(dāng)4<x≤20時(shí)，設(shè)v＝ax＋b(a≠0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20a＋b＝0，,4a＋b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,8)，,b＝\f(5,2)，))所以v＝－eq\f(1,8)x＋eq\f(5,2).故函數(shù)v＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤4，,－\f(1,8)x＋\f(5,2)，4<x≤20.))(2)設(shè)年生長(zhǎng)量為f(x)千克/立方米，依題意，由(1)得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0<x≤4，,－\f(1,8)x2＋\f(5,2)x，4<x≤20.))當(dāng)0<x≤4時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；當(dāng)4<x≤20時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(5,2)x＝－eq\f(1,8)(x2－20x)＝－eq\f(1,8)(x－10)2＋eq\f(25,2)，f(x)max＝f(10)＝12.5.所以，當(dāng)0<x≤20時(shí)，f(x)的最大值為12.5.故當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí)，魚的年生長(zhǎng)量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克/立方米．解決分段函數(shù)模型問題的注意點(diǎn)(1)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)構(gòu)造分段函數(shù)模型時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者.考向2指數(shù)(對(duì)數(shù))函數(shù)模型(1)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2020年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2022年 B．2023年C．2024年 D．2025年C解析：設(shè)第n(n∈N*)年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元．根據(jù)題意得130(1＋12%)n－1＞200，則lg[130(1＋12%)n－1]＞lg200，所以lg130＋(n－1)lg1.12＞lg2＋2，所以2＋lg1.3＋(n－1)lg1.12＞lg2＋2，所以0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞eq\f(24,5).又因?yàn)閚∈N*，所以n≥5，所以該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2024年．故選C.(2)(2020·新高考全國(guó)卷Ⅰ)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型I(t)＝ert描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)()A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天B解析：因?yàn)镽0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38，所以I(t)＝ert＝e0.38t.設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為t1天，則e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln2，所以t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8(天)．故