2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)與解三角形第1節(jié)任意角與蝗制及三角函數(shù)的概念學(xué)案含解析新人教B版202305182158

2024版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)與解三角形第1節(jié)任意角與蝗制及三角函數(shù)的概念學(xué)案含解析新人教B版202305182158第4章三角函數(shù)與解三角形課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀1.了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化．2．借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義，能夠利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式．3．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2x＋cos2x＝1，eq\f(sinx,cosx)＝tanx.4．能畫(huà)出三角函數(shù)的圖像，了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值．5．了解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義．6．會(huì)推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式．7．能用余弦定理、正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.考查形式：一般為一個(gè)選擇題或一個(gè)填空題和一個(gè)解答題．考查內(nèi)容：三角函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、正弦定理、余弦定理．備考策略：(1)熟練應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式化簡(jiǎn)、求值．(2)重視對(duì)三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的研究，注意將問(wèn)題和方法進(jìn)行歸納、整理．(3)加強(qiáng)正弦定理、余弦定理應(yīng)用方面的訓(xùn)練．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.第1節(jié)任意角與弧度制及三角函數(shù)的概念一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．角的概念(1)分類(lèi)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線(xiàn)角.))(2)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．2．弧度的定義和公式(1)定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角為1弧度的角，記作1rad.(2)公式①弧度與角度的換算：360°＝2πrad,180°＝πrad，eq\f(n,180)＝eq\f(α,π).②弧長(zhǎng)公式：l＝αr.③扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr和S扇形＝eq\f(1,2)αr2.說(shuō)明：②③公式中的α必須為弧度制．有關(guān)角度與弧度的注意點(diǎn)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．3．任意角的三角函數(shù)(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x，y)，它與原點(diǎn)O的距離是r(r＝eq\r(x2＋y2)＞0)．一般地，稱(chēng)eq\f(y,r)為角α的正弦，記作sinα；稱(chēng)eq\f(x,r)為角α的余弦，記作cosα；稱(chēng)eq\f(y,x)為角α的正切，記作tanα.(2)三角函數(shù)與單位圓：角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，則角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(cos_α，sin_α)．(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)．(口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦)二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)小于90°的角是銳角．(×)(2)銳角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等．(×)(4)三角形的內(nèi)角必是第一、第二象限角．(×)2．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－4，3)，則cosα＝()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)D解析：記P(－4,3)，則x＝－4，y＝3，r＝|OP|＝eq\r(－42＋32)＝5.故cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(－4,5)＝－eq\f(4,5).故選D.3．已知sinA>0且tanA<0，則角A的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B解析：因?yàn)閟inA>0，所以角A為第一或第二象限角；因?yàn)閠anA<0，所以角A為第二或第四象限角，所以角A為第二象限角．4．在與2020°終邊相同的角中，絕對(duì)值最小的角的弧度數(shù)為_(kāi)_______．－eq\f(7π,9)解析：2020°＝eq\f(101π,9)＝12π－eq\f(7π,9)，所以與2020°終邊相同的角中，絕對(duì)值最小的角的弧度數(shù)為－eq\f(7π,9).5．已知扇形的圓心角為60°，其弧長(zhǎng)為2π，則此扇形的面積為_(kāi)_______．6π解析：設(shè)此扇形的半徑為r.由題意得eq\f(π,3)r＝2π，所以r＝6.所以此扇形的面積為eq\f(1,2)×2π×6＝6π.考點(diǎn)1象限角及終邊相同的角——基礎(chǔ)性1．(多選題)下列四個(gè)命題中，正確的是()A．－eq\f(3π,4)是第二象限角B．eq\f(4π,3)是第三象限角C．－400°是第四象限角D．－315°是第一象限角BCD解析：－eq\f(3π,4)是第三象限角，故A錯(cuò)誤；eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，從而eq\f(4π,3)是第三象限角，故B正確；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正確；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正確．2．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()C解析：當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此時(shí)α的終邊在eq\f(π,4)～eq\f(π,2)內(nèi)；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)(n∈Z)，此時(shí)α的終邊在π＋eq\f(π,4)～π＋eq\f(π,2)內(nèi)，結(jié)合選項(xiàng)知選C.3．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?B解析：由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N.故選B.4．若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是第________象限角．一或三解析：因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵詄q\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)是第三象限角．(1)判斷象限角的兩種方法圖像法在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的步驟①用終邊相同的角的形式表示出角α的范圍；②寫(xiě)出kα或eq\f(α,k)的范圍；③根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置．考點(diǎn)2扇形的弧長(zhǎng)、面積公式——綜合性已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)l；(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形的圓心角；(3)若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解：(1)因?yàn)棣粒?0°＝eq\f(π,3)，所以l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)．(2)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋α·R＝10，,\f(1,2)α·R2＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2).))故扇形的圓心角為eq\f(1,2).(3)由已知得l＋2R＝20(cm)．(方法一)S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以，當(dāng)R＝5cm時(shí)，S取得最大值，且最大值為25cm2，此時(shí)l＝10cm，α＝2.(方法二)S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,4)l(2R)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2R,2)))2＝25，當(dāng)且僅當(dāng)l＝2R＝10，即R＝5時(shí)，Smax＝25cm2，此時(shí)α＝2.若本例(1)條件不變，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在弓形的面積．解：l＝αR＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(1,2)lR－eq\f(1,2)×R2×sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)．應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積的最大值問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決，也可以通過(guò)“配湊”法利用均值不等式求最值．1．已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2 B．sin2C．eq\f(2,sin1) D．2sin1C解析：如圖，∠AOB＝2弧度，過(guò)O點(diǎn)作OC⊥AB于點(diǎn)C，并延長(zhǎng)OC交eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))于點(diǎn)D.則∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1)，即r＝eq\f(1,sin1)，從而eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的長(zhǎng)為l＝α·r＝eq\f(2,sin1).故選C.2．若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則該圓弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．3 D．eq\r(3)D解析：如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線(xiàn)段AB所對(duì)的圓心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB，垂足為M.在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，所以AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r.所以弧長(zhǎng)l＝eq\r(3)r.所以圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).考點(diǎn)3三角函數(shù)的定義及應(yīng)用——應(yīng)用性考向1三角函數(shù)的定義(1)已知點(diǎn)M在角θ終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，且|OM|＝2，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A．(2cosθ，sinθ) B．(－2cosθ，2sinθ)C．(－2cosθ，－2sinθ) D．(2cosθ，－2sinθ)C解析：由任意角的三角函數(shù)定義，可知角θ的終邊上的點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(2cosθ，2sinθ)，其中|OM′|＝2.因?yàn)閨OM|＝2，所以點(diǎn)M和點(diǎn)M′關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－2cosθ，－2sinθ)．(2)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．±eq\f(1,2) D．±eq\f(\r(3),2)A解析：因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)＝(－8m，－3)，cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以角α的終邊在第三象限，則m>0，|OP|＝eq\r(64m2＋9).由cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝eq\f(1,2)(m>0)．三角函數(shù)定義的應(yīng)用策略(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的終邊所在的直線(xiàn)方程(注意分為兩條射線(xiàn))，可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解．(3)已知角α的某個(gè)三角函數(shù)值，求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值．考向2三角函數(shù)值的符號(hào)(1)(2020·全國(guó)卷Ⅱ)若α為第四象限角，則()A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0D解析：因?yàn)棣潦堑谒南笙藿?，所以－eq\f(π,2)＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，所以－π＋4kπ<2α<4kπ，k∈Z，所以角2α的終邊在第三、第四象限或y軸的非正半軸上，所以sin2α<0，cos2α可正、可負(fù)、可為零．故選D.(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．大于等于0A解析：因?yàn)閑q\f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq\f(3π,2)，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.所以sin2·cos3·tan4＜0.故選A.(3)若sinαtanα＜0，且eq\f(cosα,tanα)＜0，則角α是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角C解析：由sinαtanα＜0可知sinα，tanα異號(hào)，則α為第二或第三象限角．由eq\f(cosα,tanα)＜0可知cosα，tanα異號(hào)，則α為第三或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角．(1)三角函數(shù)值符號(hào)及角的終邊位置判斷．已知角的三角函數(shù)值(sinα，cosα，tanα)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角的終邊所在的位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況．(2)三角函數(shù)值的符號(hào)規(guī)律．一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．設(shè)α是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝()A．eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)D解析：因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，所以cosα＝eq\f(1,5)x<0，即x<0.又cosα＝eq\f(1,5)x＝eq\f(x,\r(x2＋16))，解得x＝－3，所以tanα＝eq\f(4,x)＝－eq\f(4,3).2．(2020·永州祁陽(yáng)二模)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線(xiàn)y＝－2x上，則sin2θ＝()A．eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(4,5) D．－eq\f(4,5)D解析：在角θ的終邊所在直線(xiàn)y＝－2x上任取一點(diǎn)P(a，－2a)(a≠0)，則r＝|OP|＝eq\r(5)|a|.由三角函數(shù)的定義知sinθ＝eq\f(－2a,\r(5)|a|)，cosθ＝eq\f(a,\r(5)|a|)，故sin2θ＝2sinθ·cosθ＝2·eq\f(－2a,\r(5)|a|)·eq\f(a,\r(5)|a|)＝－eq\f(4,5).故選D.3．已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]A解析：因?yàn)閏osα≤0，sinα>0，所以角α的終邊在第二象限或y軸的正半軸上．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))所以－2<a≤3.故選A.第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(1)平方關(guān)系的作用：實(shí)現(xiàn)同角的正弦值與余弦值之間的轉(zhuǎn)化，利用該公式求值，要注意確定角的終邊所在的象限，從而判斷三角函數(shù)值的符號(hào)．(2)商數(shù)關(guān)系的作用：切化弦，弦切互化．(3)掌握變形公式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))，sin2α＝eq\f(tan2α,1＋tan2α)，cos2α＝eq\f(1,1＋tan2α).2．誘導(dǎo)公式公式①sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z公式②sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα公式③sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα公式④sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα公式⑤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα公式⑥sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα(1)誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱(chēng)的變化．若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱(chēng)不變．“符號(hào)看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時(shí)，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．(2)利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟：eq\x(\a\al(任意負(fù),角的三,角函數(shù)))eq\o(→,\s\up9(利用誘導(dǎo)),\s\do8(公式③或①))eq\x(\a\al(任意正,角的三,角函數(shù)))eq\o(→,\s\up9(利用誘導(dǎo)),\s\do8(公式①))eq\x(\a\al(0～2π的,角的三,角函數(shù)))eq\o(→,\s\up9(利用誘導(dǎo)公式),\s\do8(②或④或⑤或⑥))eq\x(\a\al(銳角三,角函數(shù)))也就是：“負(fù)化正，去周期，大化小，全化銳”．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)對(duì)任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(√)(2)誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角．(×)(3)若cos(nπ－θ)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosθ＝eq\f(1,3).(×)(4)已知sinθ＝eq\f(m－3,m＋5)，cosθ＝eq\f(4－2m,m＋5)，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則m<－5或m≥3.(×)2．若tanα＝eq\f(1,2)，則sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(1,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)D解析：因?yàn)閠anα＝eq\f(1,2)，所以sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝eq\f(sin2α－cos2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(tan2α－1,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).故選D.3．已知cos31°＝a，則sin239°·tan149°的值是()A．eq\f(1－a2,a) B．eq\r(1－a2)C．eq\f(a2－1,a) D．－eq\r(1－a2)B解析：sin239°·tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝eq\r(1－a2).4．若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，則tanα＝________.－eq\f(1,2)解析：因?yàn)閑q\f(π,2)<α<π，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).5．化簡(jiǎn)eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)＋α)))·sin(α－π)·cos(2π－α)的結(jié)果為_(kāi)_______．－sin2α解析：原式＝eq\f(sinα,cosα)·(－sinα)·cosα＝－sin2α.考點(diǎn)1同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用——應(yīng)用性考向1知弦求切(2020·福州一模)已知3sinα·tanα＋8＝0，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則tanα＝________.－2eq\r(2)解析：因?yàn)?sinα·tanα＋8＝0，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以eq\f(31－cos2α,cosα)＋8＝0，整理可得3cos2α－8cosα－3＝0，解得cosα＝－eq\f(1,3)或cosα＝3(舍去)．所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(2),3).所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－2eq\r(2).若本例的條件改為“eq\f(sinα,1＋cosα)＝2，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))”．求tanα的值．解：因?yàn)閑q\f(sinα,1＋cosα)＝2，所以sinα＝2＋2cosα.兩邊平方，得sin2α＝4＋8cosα＋4cos2α，即1－cos2α＝4＋8cosα＋4cos2α，整理得，5cos2α＋8cosα＋3＝0，解得cosα＝－1或cosα＝－eq\f(3,5).當(dāng)cosα＝－1時(shí)，1＋cosα＝0，eq\f(sinα,1＋cosα)無(wú)意義；當(dāng)cosα＝－eq\f(3,5)時(shí)，sinα＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).本例為已知sinα，cosα，tanα中的一個(gè)求另外兩個(gè)的值．解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝eq\f(sinα,cosα)即可，但要注意α的取值范圍，即三角函數(shù)值的符號(hào)．考向2知切求弦已知eq\f(tanα,tanα－1)＝－1，求下列各式的值：(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解：由已知得tanα＝eq\f(1,2).(1)eq\f(sinα－3cosα,sinα＋cosα)＝eq\f(tanα－3,tanα＋1)＝－eq\f(5,3).(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝eq\f(sin2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋2＝eq\f(tan2α＋tanα,tan2α＋1)＋2＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＋2＝eq\f(13,5).利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為正切的表達(dá)式，進(jìn)行求值．常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)：①sinα，cosα的齊次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)；②sinα，cosα的齊次分式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(如\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα))).(2)切化弦：利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般單獨(dú)出現(xiàn)正切、余切時(shí)，采用此技巧．考向3“sinα±cosα，sinαcosα”之間的關(guān)系已知－π<x<0，sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，求sinx－cosx的值．解：由已知，得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，兩邊平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25).因?yàn)?sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，所以sinx－cosx＝±eq\f(7,5).由－π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝－eq\f(12,25)<0，所以cosx>0.所以sinx－cosx<0.故sinx－cosx＝－eq\f(7,5).本例中若將條件“－π<x<0”改為“0<x<π”，求sinx－cosx的值．解：因?yàn)?<x<π，2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，所以sinx>0，cosx<0，所以sinx－cosx>0，故sinx－cosx＝eq\f(7,5).“sinα±cosα，sinαcosα”關(guān)系的應(yīng)用sinα±cosα與sinαcosα通過(guò)平方關(guān)系聯(lián)系到一起，即(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，sinαcosα＝eq\f(sinα＋cosα2－1,2)，sinαcosα＝eq\f(1－sinα－cosα2,2).因此在解題時(shí)已知一個(gè)可求另外兩個(gè)．1．已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，則tanα＝()A．eq\f(3,4) B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)D解析：因?yàn)閏osα＝－eq\f(3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).故選D.2．已知sinx＋cosx＝eq\f(\r(3)－1,2)，x∈(0，π)，則tanx＝()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\r(3) D．－eq\r(3)D解析：因?yàn)閟inx＋cosx＝eq\f(\r(3)－1,2)，且x∈(0，π)，所以1＋2sinxcosx＝1－eq\f(\r(3),2)，所以2sinxcosx＝－eq\f(\r(3),2)＜0，所以x為鈍角，所以sinx－cosx＝eq\r(sinx－cosx2)＝eq\f(1＋\r(3),2)，結(jié)合已知解得sinx＝eq\f(\r(3),2)，cosx＝－eq\f(1,2)，則tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝－eq\r(3).3．(2020·化州二模)已知曲線(xiàn)f(x)＝eq\f(2,3)x3在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)的傾斜角為α，則eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)的值為_(kāi)_______．eq\f(3,5)解析：由f(x)＝eq\f(2,3)x3得f′(x)＝2x2，所以f′(1)＝2，故tanα＝2.所以eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α－1,2tanα＋1)＝eq\f(22－1,2×2＋1)＝eq\f(3,5).考點(diǎn)2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——基礎(chǔ)性(1)(多選題)在△ABC中，下列關(guān)系恒成立的是()A．tan(A＋B)＝tanCB．cos(2A＋2B)＝cos2CC．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\f(C,2)D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝coseq\f(C,2)BD解析：對(duì)于A，由于tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于cos(2A＋2B)＝cos2(π－C)＝cos2C，故B正確；對(duì)于C，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A＋B,2)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π－C,2)))＝coseq\f(C,2)，故C錯(cuò)誤，D正確．(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________．0解析：因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.(1)利用誘導(dǎo)公式解題的一般思路①化絕對(duì)值大的角為銳角；②角中含有±eq\f(π,2)的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉eq\f(π,2)的整數(shù)倍．(2)常見(jiàn)的互余和互補(bǔ)的角互余的角eq\f(π,3)－α與eq\f(π,6)＋α；eq\f(π,3)＋α與eq\f(π,6)－α；eq\f(π,4)＋α與eq\f(π,4)－α互補(bǔ)的角eq\f(π,3)＋θ與eq\f(2π,3)－θ；eq\f(π,4)＋θ與eq\f(3π,4)－θ提醒：對(duì)給定的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí)，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．特別要注意每一個(gè)角的終邊所在的象限，防止三角函數(shù)值的符號(hào)及三角函數(shù)名稱(chēng)出錯(cuò)．1．已知sin(π＋α)＝－eq\f(1,3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝()A．2eq\r(2) B．－2eq\r(2)C．eq\f(\r(2),4) D．±2eq\r(2)D解析：因?yàn)閟in(π＋α)＝－eq\f(1,3)，所以sinα＝eq\f(1,3)，cosα＝±eq\f(2\r(2),3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(cosα,sinα)＝±2eq\r(2).故選D.2．(2020·北京卷)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C解析：①當(dāng)存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ時(shí)，若k為偶數(shù)，則sinα＝sin(kπ＋β)＝sinβ；若k為奇數(shù)，則sinα＝sin(kπ－β)＝sin[(k－1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sinβ，充分性成立；②當(dāng)sinα＝sinβ時(shí)，α＝β＋2nπ或α＝π－β＋2nπ，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n)或α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n＋1)，亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性成立．所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的充要條件．故選C.已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．[四字程序]讀想算思求tanx的值1.同角的正弦、余弦和正切有什么關(guān)系？2．3cosx＋4sinx的最大值是多少？3．由已知條件聯(lián)想點(diǎn)A(cosx，sinx)在哪條直線(xiàn)上1.求sinx和cosx；2．輔助角公式1.方程思想；2．?dāng)?shù)形結(jié)合；3．轉(zhuǎn)化與化歸3cosx＋4sinx＝51.sin2x＋cos2x＝1，tanx＝eq\f(sinx,cosx)；2．3cosx＋4sinx的最大值為5；3．點(diǎn)A(cosx，sinx)在直線(xiàn)3x＋4y＝5上1.聯(lián)立3cosx＋4sinx＝5與sin2x＋cos2x＝1；2．3cosx＋4sinx＝5sin(x＋φ)1.tanx可看作直線(xiàn)的斜率；2．將已知條件變?yōu)閑q\f(3,5)cosx＋eq\f(4,5)sinx＝1思路參考：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3cosx＋4sinx＝5，,sin2x＋cos2x＝1.))解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x＋cos2x＝1，,3cosx＋4sinx＝5，))消去cosx，整理得(5sinx－4)2＝0.解得sinx＝eq\f(4,5)，cosx＝eq\f(3,5).故tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝eq\f(4,3).思路參考：注意到3cosx＋4sinx的最大值為5，利用輔助角公式推出x與輔助角的關(guān)系．解：3cosx＋4sinx＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)sinx＋\f(3,5)cosx))＝5sin(x＋φ)＝5，其中cosφ＝eq\f(4,5)，sinφ＝eq\f(3,5).所以tanφ＝eq\f(3,4).所以x＋φ＝2kπ＋e