第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第7節(jié) 條件概率及二項分布

第7節(jié)條件概率及二項分布考試要求1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念；2.理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，能解決一些簡單的實際問題.1.條件概率知

識

梳

理條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝__________為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝_________________P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互獨立性P(A)P(B)P(B)P(A)3.獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，其中Ai(i＝1，2，…，n)是第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝______________________.(2)二項分布P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)二項分布[常用結(jié)論與微點提醒]相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B).診

斷

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(4)n次獨立重復(fù)試驗要滿足：①每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果，可以分別稱為“成功”和“失敗”；②每次試驗“成功”的概率為p；“失敗”的概率為1－p；③各次試驗是相互獨立的.(

)解析對于(1)，條件概率并不一定不等于無條件概率，例如當(dāng)A與B相互獨立時，就有P(A|B)＝P(A)，故(1)錯；對于(2)，只有當(dāng)A，B為相互獨立事件時，公式P(AB)＝P(A)P(B)才成立.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√2.(老教材選修2－3P54練習(xí)2改編)已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為(

)答案B3.(老教材選修2－3P55練習(xí)3改編)天氣預(yù)報，在元旦假期甲地的降雨的概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為(

) A.0.2 B.0.3 C.0.38 D.0.56＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.答案C4.(2020·重慶診斷)袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是(

)答案D5.(2019·全國Ⅰ卷)甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是________.

解析記事件M為甲隊以4∶1獲勝，則甲隊共比賽五場，且第五場甲隊獲勝，前四場甲隊勝三場負(fù)一場，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.

答案

0.186.(多填題)(2020·泰安質(zhì)檢)某人有4把鑰匙，其中2把能打開門，現(xiàn)隨機地取1把鑰匙試著開門，不能開門的就扔掉，問第二次才能打開門的概率是________；如果試過的鑰匙不扔掉，這個概率是________.考點一條件概率【例1】(1)(一題多解)從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝(

)(2)(2020·長沙一模)已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8，超過2年的概率為0.6，若一個這種元件使用到1年時還未失效，則這個元件使用壽命超過2年的概率為(

)A.0.75 B.0.6 C.0.52 D.0.48答案(1)B

(2)A法二事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4個.事件AB發(fā)生的結(jié)果只有(2，4)一種情形，即n(AB)＝1.解析(1)法一設(shè)事件A為“第1次取到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次取到的是卡口燈泡”，(2)設(shè)種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件B(發(fā)芽又成活為幼苗).依題意P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根據(jù)條件概率公式P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.72.答案(1)D

(2)0.72考點二相互獨立事件同時發(fā)生的概率故所求的分布列為規(guī)律方法求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算.∵燈亮和燈不亮是兩個對立事件，解析燈泡不亮包括兩種情況：①四個開關(guān)都開，②下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，答案C考點三獨立重復(fù)試驗與二項分布【例3】

(2020·湖南五市十校聯(lián)考)為全面貫徹黨的教育方針，堅持立德樹人，適應(yīng)經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展對多樣化高素質(zhì)人才的需要，按照國家統(tǒng)一部署，湖南省高考改革方案從2018年秋季進(jìn)入高一年級的學(xué)生開始正式實施.新高考改革中，明確高考考試科目由語文、數(shù)學(xué)、英語3科，及考生在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個科目中自主選擇的3科組成，不分文理科.假設(shè)6個自主選擇的科目中每科被選擇的可能性相等，每位學(xué)生選擇每個科目互不影響，甲、乙、丙為某中學(xué)高一年級的3名學(xué)生. (1)求這3名學(xué)生都選擇物理的概率； (2)設(shè)X為這3名學(xué)生中選擇物理的人數(shù)，求X的分布列.(2)X的所有可能取值為0，1，2，3，解(1)設(shè)“這3名學(xué)生都選擇物理”為事件A，所以X的分布列為【訓(xùn)練3】

為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有40人，不超過100km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有20人，不超過100km/h的有25人. (1)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過100km/h的人中隨機抽取2人，求這2人恰好有1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率； (2)以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100km/h且為男性駕駛員的車輛數(shù)為X，求X的分布列.所以X的分布列為數(shù)學(xué)運算——二項分布與超幾何分布的辨別1.數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果等.2.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，學(xué)生對這兩種模型的定義不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認(rèn)為是超幾何分布，不加分析，濫用公式，運算對象不明晰，事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別.【例1】

寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？ (1)X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù). (2)X2表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個骰子的點數(shù)之和. (3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件數(shù)為X3. (4)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X4(N－M＞n＞0).解(1)X1的分布列為(2)X2的分布列為(3)X3的分布列為X4服從超幾何分布.(4)X4的分布列為【例2】

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.解

(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0