5.1 任意角和弧度制（精練）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第一冊(cè)）（教師版含解析）

5.1任意角和弧度制【題組一基本概念的辨析】1．(2020·河南林州一中高一月考)已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，則A∩B＝()A．{α|α為銳角} B．{α|α小于90°}C．{α|α為第一象限角} D．以上都不對(duì)【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α為第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，對(duì)于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正確，比如﹣30°；對(duì)于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正確，例如﹣300°；對(duì)于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正確，例如380°，故選D．2．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))下列命題中正確的是()．A．第一象限角一定不是負(fù)角 B．小于90°的角一定是銳角C．鈍角一定是第二象限角 D．終邊和始邊都相同的角一定相等【答案】C【解析】為第一象限角且為負(fù)角，故A錯(cuò)誤；，但不是銳角，故B錯(cuò)誤；終邊與始邊均相同的角不一定相等，它們可以相差，故D錯(cuò)誤．鈍角一定是第二象限角，C正確．故選：C．3．(2020·汪清縣汪清第六中學(xué)高一期中(文))下列結(jié)論中正確的是()A．小于90°的角是銳角 B．第二象限的角是鈍角C．相等的角終邊一定相同 D．終邊相同的角一定相等【答案】C【解析】對(duì)于A，小于可能是負(fù)角，不是銳角；對(duì)于B，第二象限的角可能是負(fù)角，不是鈍角；對(duì)于C，兩個(gè)角相等，始邊一致，則終邊一定相同；對(duì)于D，終邊相同的角，可能相差360°的倍數(shù)，不一定相等.故選C.4．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))(1)給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角.其中正確說法的序號(hào)為________.(把正確說法的序號(hào)都寫上)(2)將時(shí)鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________.【答案】②【解析】(1)①銳角的范圍為是第一象限的角，命題①正確；②第一象限角的范圍為，故第一象限角可以為負(fù)角，故②錯(cuò)誤；③根據(jù)任意角的概念，可知小于180°的角，可以為負(fù)角，故③錯(cuò)誤；故答案為：②(2)將時(shí)針撥快20分鐘，則分針順時(shí)針轉(zhuǎn)過，即轉(zhuǎn)過的度數(shù)為故答案為：5．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))給出下列說法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角或直角或銳角．其中正確說法的序號(hào)為________．(把正確說法的序號(hào)都寫上)【答案】①【解析】銳角指大于0°小于90°的角，都是第一象限角，所以①對(duì)；由任意角的概念知，第一象限角也可為負(fù)角，小于180°的角還有負(fù)角、零角，所以②③錯(cuò)誤．故答案為：①6．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))下列命題正確的是____________(填序號(hào)).①－30°是第一象限角；②750°是第四象限角；③終邊相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角.【答案】④【解析】①是第四象限的角度，故①錯(cuò)誤；②750°的終邊與的終邊相同，故其為第一象限的角度，故②錯(cuò)誤；③終邊相同的角度不一定相等，故③錯(cuò)誤；④－950°12′與－950°12′′的終邊相同，其為第二象限的角，故④正確.故答案為：④.【題組二角度與弧度轉(zhuǎn)換】1．(2019·伊美區(qū)第二中學(xué)高一月考)化為弧度是()A． B． C． D．【答案】B【解析】2．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))把化為角度是()A．270° B．280° C．288° D．318°【答案】C【解析】因?yàn)?，?故選：C.3．(2020·靈丘縣豪洋中學(xué)高一期中)化為弧度是()A． B． C． D．【答案】B【解析】化為弧度是.故選：B4．(2020·金華市江南中學(xué)高一期中)轉(zhuǎn)化為弧度數(shù)為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由，所以故選：D5．(2019·長(zhǎng)沙鐵路第一中學(xué)高一月考)將300o化為弧度為()A． B． C． D．【答案】B【解析】．故選：B．6．(2020·通榆縣第一中學(xué)校高一期末)()A．70° B．75° C．80° D．85°【答案】B【解析】因?yàn)?，?故選：B.7．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))將下列角度與弧度進(jìn)行互化.(1)20°；(2)－15°；(3)(4)－.【答案】(1)20°＝；(2)－15°＝－；(3)＝105°；(4)－＝－396°.【解析】(1)20°＝＝.(2)－15°＝－＝－.(3)＝×180°＝105°.(4)－＝－×180°＝－396°.【題組三終邊相同】1．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))與405°角終邊相同的角是()．A． B．C． D．【答案】C【解析】由于，故與405°終邊相同的角應(yīng)為．故選：C2．(2020·永州市第四中學(xué)高一月考)在的范圍內(nèi)，與終邊相同的角是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?則在的范圍內(nèi)，與終邊相同的角是,故選：B.3．(2020·合肥市第八中學(xué)高一月考)下列各個(gè)角中與2020°終邊相同的是()A． B．680° C．220° D．320°【答案】C【解析】由題,,故選:C4．(2020·汪清縣汪清第六中學(xué)高一期中(文))在0°~360°范圍內(nèi)，與-1050°的角終邊相同的角是()A．30° B．150° C．210° D．330°【答案】A【解析】因?yàn)樗栽?°~360°范圍內(nèi)，與-1050°的角終邊相同的角是故選：A5．(2020·北京延慶·高一期末)與角終邊相同的角為()A． B．C． D．【答案】C【解析】與角終邊相同的角可寫成令，則故選：C6．(2020·輝縣市第二高級(jí)中學(xué)高一期中)下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)【答案】C【解析】與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C7．(2020·陜西大荔·高一月考)已知角是第一象限角，則的終邊位于()A．第一象限 B．第二象限C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或軸的非負(fù)半軸上【答案】D【解析】∵由角是第一象限角,∴可得,∴.即的終邊位于第一或第二象限或軸的非負(fù)半軸上.故選:D.8．(2020·寧縣第二中學(xué)高一期中)已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么________.【答案】.【解析】在范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角滿足：或滿足題意的角為：，，本題正確結(jié)果：【題組四象限的判斷】1．(2020·廣東高一期末)下列各角中，與2019°終邊相同的角為()A．41° B．129° C．219° D．﹣231°【答案】C【解析】因?yàn)椋耘c2019°終邊相同.故選：C.2．(2020·湖南隆回·高一期末)下列各角中，與終邊相同的角為()A． B． C． D．【答案】C【解析】與終邊相同的角的集合是，當(dāng)時(shí)，.故選：C3．(2020·河南項(xiàng)城市第三高級(jí)中學(xué)高一月考)設(shè)是第一象限角，且，則是第()象限角A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】∵是第一象限角，∴，，∴，，∴為第一象限角或第二象限角或終邊在軸正半軸上的軸線角，∵，∴，∴是第二象限角.故選：.4．(2020·輝縣市第二高級(jí)中學(xué)高一期中)角弧度，則所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】角弧度，，∴α在第三象限，故選:C.5．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))若θ＝－5，則角θ的終邊在()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限【答案】D【解析】2π－5與－5的終邊相同，∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，則－5也是第一象限角.故選：D6．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))若是第四象限角,則角的終邊在()A．第一象限 B．第一或第三象限 C．第四象限 D．第二或第四象限【答案】D【解析】取,則,在第四象限;取,則,在第二象限.故選：D.7．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))試求出終邊在如圖所示陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．【答案】．【解析】因?yàn)?，所以的終邊與的終邊相同，則終邊在題圖所示陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合為．8．(2020·上海高一課時(shí)練習(xí))用弧度制寫出終邊在陰影部分的角的集合：(1)(2)【答案】(1)；(2)【解析】(1)邊界對(duì)應(yīng)射線所在終邊的角分別為所以終邊在陰影部分的角的集合為(2)邊界對(duì)應(yīng)射線所在終邊的角分別為所以終邊在陰影部分的角的集合為=【題組五扇形】1．(2020·山東濰坊·高一期末)已知某扇形的半徑為，圓心角為，則此扇形的面積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，某扇形的半徑為，圓心角為，根據(jù)扇形的面積公式，可得所以此扇形的面積為.故選：B.2．(2020·江西省銅鼓中學(xué)高一期末)一個(gè)扇形的圓心角為150°，面積為，則該扇形半徑為()A．4 B．1 C． D．2【答案】D【解析】圓心角為，設(shè)扇形的半徑為，，解得.故選：D3．(2020·武威第八中學(xué)高一期末)已知扇形的周長(zhǎng)為8，圓心角為2弧度，則該扇形的面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)此扇形半徑為r，扇形弧長(zhǎng)為l=2r則2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面積為r=故選A4．(2020·輝縣市第二高級(jí)中學(xué)高一期中)已知扇形的圓心角為，周長(zhǎng)為，則扇形的面積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，且，所以有，所以，該扇形的面積為.故選：B.5．(2020·河南宛城·南陽中學(xué)高一月考)中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)．一般情況下，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形的面積為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時(shí)，扇面看上去形狀較為美觀，那么此時(shí)扇形的圓心角的弧度數(shù)為()A． B． C． D．【答案】A【解析】與所在扇形圓心角的比即為它們的面積比，設(shè)與所在扇形圓心角分別為，則，又，解得故選:A6．(2020·永昌縣第四中學(xué)高一期末)如圖，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6，求弓形ACB的面積．【答案】【解析】∵120°＝π＝π，∴l(xiāng)＝6×π＝4π，∴的長(zhǎng)為4π.∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，如圖所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos30°×3＝9.∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.∴弓形ACB的面積為12π－9.【題組六生活中實(shí)際】1．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))將時(shí)鐘撥快20分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________．【答案】－120°【解析】將時(shí)針撥快20分鐘，則分針順時(shí)針轉(zhuǎn)過，即轉(zhuǎn)過的度數(shù)為故答案為：2．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知α＝30°，將其終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為________.【答案】1110°【解析】一個(gè)角為，其終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角的度數(shù)為：．故答案為：．3．(2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))寫出下列說法所表示的角.(1)順時(shí)針擰螺絲2圈；(2)將時(shí)鐘撥慢2小時(shí)30分，分針轉(zhuǎn)過的角．【答案】(1)－720°；(2)900°.【解析】(1)順時(shí)針擰螺絲2圈，即旋轉(zhuǎn)了，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的角為負(fù)角，故轉(zhuǎn)過的角是；(2)撥慢時(shí)鐘需將分針按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，時(shí)針撥慢2小時(shí)30分，是2.5周角，角度數(shù)是；又分針是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過的角是．4．(2020·浙江高一課時(shí)練習(xí))在一晝夜中，鐘表的時(shí)針和分針有幾次重合？幾次形成